Den overraskende simple matematik bag gådefulde matchups | Quanta Magasinet

Det er mesterskabskampen i Imaginary Math League, hvor Atlanta Algebras skal møde Carolina Cross Products. De to hold har ikke spillet mod hinanden i denne sæson, men tidligere på året besejrede Atlanta Brooklyn Bisectors med en score på 10 til 5, og Brooklyn besejrede Carolina med en score på 7 til 3. Giver det os nogen indsigt i hvem vil tage titlen?

Nå, her er en tankegang. Hvis Atlanta slog Brooklyn, så er Atlanta bedre end Brooklyn, og hvis Brooklyn slog Carolina, så er Brooklyn bedre end Carolina. Så hvis Atlanta er bedre end Brooklyn og Brooklyn er bedre end Carolina, så burde Atlanta være bedre end Carolina og vinde mesterskabet.

Hvis du spiller konkurrencespil eller sport, ved du, at det aldrig er så ligetil at forudsige udfaldet af en kamp. Men fra et rent matematisk synspunkt har dette argument en vis appel. Den bruger en vigtig idé i matematik kendt som transitivitet, en velkendt egenskab, der giver os mulighed for at konstruere rækker af sammenligninger på tværs af relationer. Transitivitet er en af ​​de matematiske egenskaber, der er så grundlæggende, at du måske ikke engang bemærker det.

For eksempel er lighed af tal transitiv. Det betyder, at hvis vi ved det a = b , b = c, det kan vi konkludere a = c. Forholdet "større end" er også transitivt: For reelle tal, hvis a > b , b > c, derefter a > c. Når relationer er transitive, kan vi sammenligne og kombinere dem og skabe en rækkefølge af objekter. Hvis Anna er højere end Benji og Benji er højere end Carl, så kan vi sortere de tre efter deres højde: A, B, C. Transitivitet ligger også bag vores naive argument om, at hvis A er bedre end B , B er bedre end C, derefter A er bedre end C.

Transitivitet er til stede i lighed, kongruens, lighed, endda parallelisme. Det er en del af alt det grundlæggende matematik, vi laver, hvilket gør det særligt matematisk interessant, når det ikke er der. Når analytikere rangerer hold, økonomer studerer forbrugernes præferencer eller borgere stemmer på deres foretrukne kandidater, kan mangel på transitivitet føre til overraskende resultater. For bedre at forstå denne slags systemer har matematikere studeret "intransitive terninger" i over 50 år, og en nyligt papir fra det online matematiske samarbejde kendt som Polymath-projektet har fremmet denne forståelse. For at få en fornemmelse af, hvordan intransitivitet ser ud og føles, lad os danne vores egen liga og spille rundt.

I vores nye matematikliga konkurrerer spillere ved at vende tilpassede mønter og sammenligne resultaterne. Lad os sige spiller A har en mønt med tallet 10 på den ene side og tallet 6 på den anden, og spiller B's mønt har tallene 8 og 3. Vi antager, at mønterne er retfærdige - hvilket betyder, at hver side er lige sandsynlig, når mønterne vendes - og vi repræsenterer tallene på mønterne på denne måde.

I et spil vender spillerne deres mønter, og den, der viser det højeste tal, er vinderen. Hvem vinder hvornår A spiller B?

Det afhænger selvfølgelig af. Sommetider A vil vinde nogle gange B vil vinde. Men det er ikke svært at se det A er favoriseret at vinde imod B. Der er fire måder, spillet kan udfolde sig på, og A vinder i tre af dem.

Så i spillet om A versus B, A har 75% chance for at vinde.

Nu C kommer med og udfordrer B til et spil. C's mønt har en 5'er på den ene side og en 4'er på den anden. Igen er der fire muligheder.

Her B , C hver vinder to af de fire matchups, så de vil hver vinde 50 % af spillene. B , C er ligeligt matchede.

Nu, hvad ville du forvente, der skulle ske hvornår A , C Spil? Godt, A normalt slår Bog B er jævnt matchet med C, så det virker rimeligt at forvente det A vil nok blive begunstiget imod C.

Men A er mere end en favorit. A dominerer C, vinder 100 % af tiden.

Dette kan virke overraskende, men matematisk er det ikke svært at se, hvorfor det sker. C's tal er midt imellem Bs, så C vinder til enhver tid B vender deres lavere tal. Men C's numre er begge nedenfor As, så C vil aldrig vinde den kamp. Dette eksempel krænker ikke ideen om transitivitet, men det viser, at tingene kan være mere komplicerede end blot A > B > C. En lille ændring af vores spil viser, hvor meget mere kompliceret det kan være.

Vores konkurrenter bliver hurtigt trætte af det to-sidede mønt-flipping-spil, da det er let fuldstændigt at forstå matematisk (se øvelserne i slutningen af ​​kolonnen for flere detaljer), så ligaen beslutter sig for at opgradere til tre-sidede mønter. (En af fordelene ved at spille i en imaginær matematikliga er, at alt er muligt.)

Her er A , B's mønter:

Hvem er favoriseret i et spil mellem A , B? Nå, der er tre udfald for A's møntkast og tre for B, hvilket fører til ni mulige spiludfald, som vi nemt kan kortlægge.

Hvis man igen antager, at alle udfaldene er lige sandsynlige, A beats B i fem ud af de ni resultater. Det betyder A skulle vinde $latex frac{5}{9} omkring 55 % af tiden, så A er favoriseret imod B.

Føler sig lidt nede over deres udsigter, B udfordringer C til et spil. C's numre er vist nedenfor. Kan du lide B's chancer?

Igen er der ni mulige udfald i et spil B versus C, så vi kan bare liste dem ud.

Det kan vi se B ser ret godt ud imod C. I fem af de ni mulige udfald, B vinder. Så B er favoriseret imod C.

Dårlig C nu skal der spilles A. Med A favoriseret imod B , B favoriseret imod C, hvad chancen gør C skal vinde? En ret god en, som det viser sig.

I fem af de ni mulige udfald her, C beats A. Det betyder at C er favoriseret imod A, selv om Aer favoriseret imod B , B er favoriseret imod C.

Dette er et eksempel på et intransitivt system. Mere teknisk set er forholdet "at blive begunstiget imod" i vores spil ikke transitivt: A er favoriseret imod Bog B er favoriseret imod C, men A er ikke nødvendigvis begunstiget imod C.

Vi ser det ikke ofte i matematik, men denne form for adfærd ville ikke overraske sportsfans. Hvis Giants slog Eagles og Eagles slog Cowboys, kunne Cowboys stadig meget vel slå Giants. Der er masser af faktorer, der bidrager til resultatet af et individuelt spil. Hold kan blive bedre med træning eller stagnere, hvis de ikke innoverer. Spillere kan skifte hold. Detaljer som spillets placering - hjemme eller ude - eller hvor for nylig hold har spillet kan påvirke, hvem der vinder, og hvem der taber.

Men dette simple eksempel viser, at der også er rent matematiske årsager bag denne form for intransitivitet. Og denne rent matematiske betragtning har noget til fælles med konkurrencebegrænsningerne i den virkelige verden: matchups.

Her er tallene for A, B , C.

Når vi ser dem side om side, er det lettere at se, hvorfor intransitivitet opstår i denne situation. Selvom B er favoriseret at vinde imod C, C's to mellemhøje tal - 7'eren og 6'eren - giver dem en fordel i forhold til A at B ikke har. Selv om A er favoriseret imod B , B er favoriseret imod C, C kampe op imod A bedre end B gør. Dette svarer til, hvordan et underdog-sportshold kan matche en overlegen modstander, fordi deres spillestil er svær at håndtere for det hold, eller fordi en spiller eller træner giver dem en fordel mod den pågældende modstander.

Det faktum, at sport er intransitiv, er noget af det, der gør dem sjove og overbevisende. Når alt kommer til alt, hvis A beats B , B beats C, C kommer ikke bare til at tabe på grund af transitivitet, når de står over for A. I konkurrence kan alt ske. Som mange kommentatorer har sagt efter en ked af det, "Det er derfor, de spiller spillet."

Og derfor leger vi med matematik. At finde, hvad der er sjovt, overbevisende og overraskende. Alt kan ske.

Øvelser

1. Antag, at to spillere spiller det tosidede møntspil, og de fire tal fra de to mønter er alle forskellige. Der er stort set kun seks mulige scenarier for, hvem der vinder og hvor ofte. Hvad er de?

2. I det tresidede spilscenarie beskrevet ovenfor, find en anden tresidet mønt til C således at B er stadig begunstiget imod C , C er stadig begunstiget imod A.

3. Bevis, at i et tosidet møntspil er det umuligt at have tre spillere A, B, C sådan at A er favoriseret imod B, B er favoriseret imod Cog C er favoriseret imod A.

Rettelse: Januar 26, 2024
To tidligere offentliggjorte figurer viste fejlmærkede matchups mellem spillere A mod C og B mod C. Tallene er blevet rettet.