سنبدأ بتمثيل هذه المعادلات:

# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
y1 = 2 * x + 3 plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y1)
# [...] Add axes, styles...

الشكل 5: خطوط المعادلة المتوازية.

كما ترى في الشكل 5 ، لا توجد نقطة على الخطين الأزرق والأخضر. هذا يعني أن نظام المعادلات هذا ليس له حل.

يمكنك أيضًا فهم سبب عدم وجود حل من خلال صورة العمود بيانياً. لنكتب نظام المعادلات على النحو التالي:

عند كتابته كمجموعة خطية من متجهات العمود ، لديك:

الشكل 6: صورة العمود لنظام خطي بدون حل.

يوضح الشكل 6 متجهات العمود في النظام. يمكنك أن ترى أنه من المستحيل الوصول إلى نقطة نهاية المتجه الأخضر من خلال الجمع بين المتجهين الأزرق والأحمر. والسبب هو أن هذه النواقل تعتمد خطيًا (مزيد من التفاصيل في الرياضيات الأساسية لعلوم البيانات). المتجه المراد الوصول إليه يقع خارج نطاق المتجهات التي تجمعها.

مثال 2. عدد لانهائي من الحلول

يمكنك مواجهة موقف آخر حيث يحتوي النظام على عدد لا حصر له من الحلول. لنفكر في النظام التالي:

# create x and y vectors
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 2 * x + 1
y1 = (4 * x + 2) / 2 plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y1, alpha=0.3)
# [...] Add axes, styles...

الشكل 7: خطوط المعادلة متداخلة.

نظرًا لأن المعادلات هي نفسها ، يوجد عدد لا حصر له من النقاط في كلا الخطين ، وبالتالي ، هناك عدد لا حصر له من الحلول لنظام المعادلات الخطية هذا. هذا على سبيل المثال مشابه للحالة مع معادلة واحدة ومتغيرين.

من منظور صور العمود ، لديك:

وبتدوين المتجه:

الشكل 8: صورة العمود لنظام خطي مع عدد لا حصر له من الحلول.

يوضح الشكل 8 المتجهات المقابلة ممثلة بيانياً. يمكنك أن ترى أن هناك عددًا لا حصر له من الطرق للوصول إلى نقطة نهاية المتجه الأخضر مع مجموعات من المتجهات الزرقاء والحمراء.

نظرًا لأن كلا المتجهين يسيران في نفس الاتجاه ، فهناك عدد لا حصر له من التركيبات الخطية التي تسمح لك بالوصول إلى متجه الجانب الأيمن.

نبذة عامة

للتلخيص ، يمكن أن يكون لديك ثلاث حالات محتملة ، موضحة بمعادلتين ومتغيرين في الشكل 9.

الشكل 9: ملخص المواقف الثلاثة لمعادلتين ومتغيرين.

من المستحيل أن يكون هناك خطان يتقاطعان أكثر من مرة وأقل من عدد لا حصر له من المرات.

المبدأ ينطبق على المزيد من الأبعاد. على سبيل المثال ، مع ثلاث طائرات في IR³، يمكن أن يكون اثنان على الأقل متوازيين (لا يوجد حل) ، أو يمكن أن يتقاطع الثلاثة (حل واحد) ، أو يمكن تراكب الثلاثة (عدد لا نهائي من الحلول).

تمثيل المعادلات الخطية بالمصفوفات

 
الآن بعد أن أصبح بإمكانك كتابة معادلات متجهة باستخدام صورة العمود ، يمكنك الذهاب إلى أبعد من ذلك واستخدام مصفوفة لتخزين متجهات العمود.

لنأخذ النظام الخطي التالي مرة أخرى:

تذكر من الرياضيات الأساسية لعلوم البيانات أنه يمكنك كتابة مجموعات خطية كمنتج متجه مصفوفة. المصفوفة تتوافق مع متجهي عمودين من الجانب الأيسر متسلسلين:

والمتجه يتوافق مع المعاملات التي ترجح متجهات العمود في المصفوفة (هنا ، x و  y):

يصبح نظامك الخطي معادلة المصفوفة التالية:

التدوين

يؤدي هذا إلى الرموز التالية المستخدمة على نطاق واسع لكتابة الأنظمة الخطية:

مع A المصفوفة التي تحتوي على متجهات العمود ، x ناقلات المعاملات و b المتجه الناتج ، الذي سنسميه ناقلات الهدف. يسمح لك بالانتقال من حساب التفاضل والتكامل ، حيث يتم النظر في المعادلات بشكل منفصل ، إلى الجبر الخطي ، حيث يتم تمثيل كل جزء من النظام الخطي كمتجهات ومصفوفات. هذا التجريد قوي للغاية ويجلب نظرية الفضاء المتجه لحل أنظمة المعادلات الخطية.

باستخدام صورة العمود ، تريد العثور على معاملات التركيبة الخطية لمتجهات العمود على الجانب الأيسر من المعادلة. الحل موجود فقط إذا كان المتجه المستهدف في نطاقها.

 
السيرة الذاتية: هادريان جان هو عالم تعلم الآلة. وهو حاصل على درجة الدكتوراه في العلوم المعرفية من مدرسة Ecole Normale Superieure في باريس ، حيث أجرى بحثًا حول الإدراك السمعي باستخدام البيانات السلوكية والفسيولوجية الكهربية. عمل سابقًا في الصناعة حيث قام ببناء خطوط أنابيب التعلم العميق لمعالجة الكلام. في ركن علم البيانات والبيئة ، يعمل على مشاريع حول تقييم التنوع البيولوجي باستخدام التعلم العميق المطبق على التسجيلات الصوتية. يقوم أيضًا بإنشاء محتوى بشكل دوري ويقوم بالتدريس في Le Wagon (معسكر تدريب علوم البيانات) ، ويكتب مقالات في مدونته (hadrienj.github.io).

هذا الموضوع ذو علاقة بـ:

• الرياضيات الأساسية لعلوم البيانات: الأساس وتغيير الأساس
• الرياضيات الأساسية لعلوم البيانات: التحول الخطي باستخدام المصفوفات
• الرياضيات الأساسية لعلوم البيانات: نظرية المعلومات