如果你本月一直在关注数学新闻，你就会知道 35 岁的数论家詹姆斯·梅纳德 (James Maynard) 赢得了 菲尔兹奖章 ——数学家的最高荣誉。 Maynard 喜欢“简单到可以向高中生解释，但又难到难倒数学家数百年”的数学问题， 广达 报道，其中一个简单的问题是：当你沿着数轴移动时，一定总是有靠近的素数吗？
你可能已经注意到数学家对素数很着迷。 是什么吸引他们？ 也许这是事实，素数体现了一些数学最基本的结构和奥秘。 素数通过允许我们使用唯一的因式分解对每个数字进行分类和分类，绘制出乘法的世界。 但即使人类从乘法开始就一直在玩素数，我们仍然不确定素数会出现在哪里，它们有多分散，或者它们必须有多接近。 据我们所知，素数并不遵循简单的模式。
我们对这些基本对象的迷恋导致了数百种不同类型的素数的发明或发现：梅森素数（形式 2n − 1)、平衡素数（两个相邻素数的平均值）和 Sophie Germain 素数（一个素数 p 这样 2p + 1 也是素数），仅举几例。
对这些特殊素数的兴趣源于玩弄数字和发现新事物。 “数字精细素数”也是如此，最近添加到该列表中的内容导致了一些关于最基本问题的令人惊讶的结果：某些种类的素数到底有多罕见或普遍？
为了理解这个问题，让我们从一个有抱负的数字爱好者学到的第一个有趣的事实开始：素数有无穷多个。 欧几里得在 2,000 年前使用所有数学史上最著名的矛盾证明之一证明了这一点。 他首先假设只有有限多个素数并想象所有 n 他们在一个列表中：
$lateexp_1, p_2, p_3, ..., p_n$。
然后他做了一件聪明的事：他想到了 $latexq=p_1 乘以 p_2 乘以 p_3 乘以……乘以 p_n+1$ 的数字。
注意到 q 不能在素数列表中，因为它比列表中的所有内容都大。 所以如果存在一个有限的素数列表，这个数 q 不能是素数。 但如果 q 不是素数，它必须能被它自己和 1 以外的东西整除。这反过来意味着 q 必须 可以被列表中的某个素数整除，但由于方式 q 构造，划分 q 名单上的任何东西都会留下1的余数。所以显然 q 既不能被任何素数整除，也不能被任何素数整除，这是由于假设只有有限多个素数而产生的矛盾。 因此，要避免这个矛盾，实际上必须有无穷多个素数。
鉴于它们的数量无限多，您可能会认为各种质数都很容易找到，但质数侦探接下来要学习的一件事是质数的分布范围。 一个关于连续素数之间空间的简单结果，称为素数间隙，说明了一些非常令人惊讶的事情。
在前 10 个素数（2、3、5、7、11、13、17、19、23 和 29）中，您可以看到由一个或多个合数组成的间隙（非素数，例如 4、12或 27）。 您可以通过计算它们之间的合数来衡量这些差距：例如，0 和 2 之间有一个大小为 3 的间隙，1 和 3 以及 5 和 5 之间有一个大小为 7 的间隙，3 之间有一个大小为 7 的间隙和 11，依此类推。 此列表中最大的质数差距由 24 和 25 之间的五个合数组成——26、27、28、23 和 29。
现在看到令人难以置信的结果：素数间隙可以任意长。 这意味着存在与您想象的相距很远的连续素数。 也许同样令人难以置信的是这个事实是多么容易证明。
我们上面已经有了一个长度为 5 的素数间隙。 可以有一个长度为 6 的吗？ 我们不会搜索素数列表以希望找到一个，而是自己构建它。 为此，我们将使用基本计数公式中使用的阶乘函数：根据定义，$latexn!=n times(n-1) times (n-2) times ... times 3 times 2 times 1$，例如 $ latex3!=3 乘以 2 乘以 1 = 6$ 和 $latex5!=5 乘以 4 乘以 3 乘以 2 乘以 1=120$。
现在让我们建立我们的主要差距。 考虑以下连续数字序列：
$乳胶7！+2$，$乳胶7！+3$，$乳胶7！+4$，$乳胶7！+5$，$乳胶7！+6$，$乳胶7！+7$。
由于 $latex7!=7 乘以 6 乘以 5 乘以 4 乘以 3 乘以 2 乘以 1$，我们序列中的第一个数字 $latex7!+2$ 可以被 2 整除，经过一点因式分解后您可以看到：
$latex7!+2=7 次 6 次 5 次 4 次 3 次 2 次 1+2$
$latex=2(7 次 6 次 5 次 4 次 3 次 1+1)$。
同样，第二个数字 $latex7!+3$ 可以被 3 整除，因为
$latex7!+3=7 次 6 次 5 次 4 次 3 次 2 次 1+3$
$latex=3（7 次 6 次 5 次 4 次 2 次 1+1）$。
同样，7！ + 4 可以被 4、7 整除！ + 5 乘 5、7！ + 6 乘 6 和 7！ + 7 乘 7，等于 7！ + 2、7！ + 3、7！ + 4、7！ + 5、7！ + 6、7！ + 7 一个由六个连续的合数组成的序列。 我们的主要差距至少为 6。
这种策略很容易推广。 序列
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex...$, $latexn!+n$。
是 $latexn-1$ 连续合数的序列，这意味着，对于任何 n，有一个长度至少为 $latexn-1$ 的素数间隙。 这表明存在任意长的素数间隙，因此在自然数列表中，有一些地方最接近的素数相隔 100 或 1,000，甚至 1,000,000,000 个数字。
在这些结果中可以看到经典的张力。 素数有无限多，但连续素数也可以相距无限远。 更重要的是，有无限多个连续的素数靠近。 大约 10 年前，张益堂的开创性工作掀起了一场缩小差距并证明孪生素数猜想的竞赛，该猜想断言有无穷多对仅相差 2 的素数。孪生素数猜想是最重要的猜想之一。著名的数学开放式问题，詹姆斯·梅纳德为证明这一难以捉摸的结果做出了自己的重大贡献。
这种紧张关系也出现在最近关于所谓的数字精细素数的结果中。 要了解这些数字是什么以及它们可能在哪里，也可能不在哪里，请花点时间思考以下奇怪的问题：是否有一个两位数的素数总是随着其个位的任何变化而变成合数？
为了感受数字的精致，让我们来玩一下数字 23。我们知道它是质数，但是如果你改变它的个位会发生什么？ 嗯，20、22、24、26 和 28 都是偶数，因此是合数； 21 可以被 3 整除，25 可以被 5 整除，27 可以被 9 整除。到目前为止，一切都很好。 但是如果你把个位数改成 9，你会得到 29，它仍然是质数。 所以 23 不是我们正在寻找的那种素数。
37岁呢？ 正如我们在上面看到的，我们不需要检查偶数或以 5 结尾的数字，所以我们只检查 31、33 和 39。因为 31 也是素数，所以 37 也不起作用。
这样的数字是否存在？ 答案是肯定的，但我们必须一直到 97 才能找到它：97 是质数，但 91（可被 7 整除）、93（可被 3 整除）和 99（也可被 3 整除）都是合数，以及偶数和 95。
一个素数是“微妙的”，如果当你将它的任何一个数字更改为其他任何数字时，它就会失去它的“素数”（或素数，使用技术术语）。 到目前为止，我们看到 97 在个位上是微妙的——因为改变那个数字总是会产生一个合数——但是 97 是否满足数字微妙的全部标准？ 答案是否定的，因为如果将十位数字更改为 1，您将得到 17，即质数。 （请注意，37、47 和 67 也是素数。）
事实上，没有两位数的数字精致素数。 下表列出了所有两位数的数字，其中两位数的素数在阴影中显示，说明了原因。
任何给定行中的所有数字都具有相同的十位数字，并且任何给定列中的所有数字都具有相同的个位数字。 97 是其行中唯一的阴影数字，这反映了它在个位上是微妙的事实，但它不是其列中唯一的质数，这意味着它在十位上并不微妙。
一个数字精细的两位素数必须是其行和列中唯一的素数。 如表所示，不存在这样的两位数素数。 那么数字精致的三位素数呢？ 这是一个类似的表格，显示了 100 到 199 之间的三位素数的布局，省略了合数。
在这里，我们看到 113 在它自己的行中，这意味着它在个位数中是微妙的。 但是 113 不在它自己的列中，因此对十位数的一些更改（例如 0 的 103 或 6 的 163）会产生素数。 由于没有数字出现在它自己的行和自己的列中，我们很快就会看到，如果你改变它的个位或十位，没有一个三位数字可以保证是复合的。 这意味着不可能有三位数字精细素数。 请注意，我们甚至没有检查百位数。 为了真正数字化，三位数字必须在三维表中避免三个方向的素数。
数字精细素数甚至存在吗？ 当你在数轴上走得更远时，素数往往会变得更稀疏，这使得它们不太可能在这些高维表的行和列中交叉路径。 但是更大的数字有更多的数字，并且每个额外的数字都会降低素数在数字上变得微妙的可能性。
如果你继续前进，你会发现数字精细素数确实存在。 最小的是 294,001。 当你改变它的一个数字时，你得到的数字——比如 794,001 或 284,001——将是复合数字。 还有更多：接下来的几个是 505,447； 584,141; 604,171; 971,767; 和 1,062,599。 事实上，他们并没有停下来。 著名的数学家 Paul Erdős 证明了有无数个数字精细素数。 这只是关于这些奇怪数字的许多令人惊讶的结果中的第一个。
例如，Erdős 不仅证明了存在无限多的数字精细素数：他证明了在任何基中都有无限多的数字精细素数。 因此，如果您选择以二进制、三进制或十六进制表示您的数字，您仍然可以保证找到无限多的数字精细素数。
数字微妙的素数不仅仅是无限的：它们占所有素数的非零百分比。 这意味着，如果您查看数字精细素数的数量与整体素数数量的比率，这个分数是大于零的某个数字。 用技术术语来说，所有素数的“正比例”在数字上是微妙的，正如菲尔兹奖得主 Terence Tao 在 2010 年所证明的那样。素数本身并不占所有数字的正比例，因为你会发现越来越少的素数你沿着数字线走得越远。 然而，在这些素数中，您将继续发现数字精细素数，其频率足以使精细素数与总素数之比保持在零以上。
也许最令人震惊的发现是 2020年的结果 关于这些奇怪数字的新变化。 通过放宽数字是什么的概念，数学家重新构想了数字的表示：他们不再单独考虑 97，而是将其视为具有前导零：
…0000000097。
每个前导零都可以被认为是一个数字，数字精致的问题可以扩展到这些新的表示。 是否存在“广泛数字化的精细素数”——如果你改变任何数字，包括任何前导零，这些素数总是会变成合数？ 感谢数学家 Michael Filaseta 和 Jeremiah Southwick 的工作，我们知道答案是肯定的。 不仅存在广泛的数字精细素数，而且它们的数量是无限多的。
素数构成了无数的数学谜题，供专业人士和爱好者玩。 我们可能永远无法解开它们的所有谜团，但你可以指望数学家不断发现和发明新的质数来探索。
演习
1. 2 到 101 的质数之间最大的质数差距是多少？
2. 为了证明素数有无穷多个，欧几里得假设素数有有限个$latexq=p_1 x p_2 x p_3 x ... x p_n+1$ 是不能被列表中的任何素数整除。 这不是意味着 q 必须是素数？
3. 数论中一个著名的结果是，之间总有一个素数 k 4th 和5th 轴车削中心k （包括的）。 这很难证明，但很容易证明之间总有一个素数 k 和 $latexq=p_1 乘以 p_2 乘以 p_3 乘以 ... 乘以 p_n+1$（含），其中 $latexp_1, p_2, p_3, ..., p_n$ 都是小于或等于的素数 k. 证明给我看。
4. 你能找到个位数和十位数中最小的素数吗？ 这意味着更改个位或十位将始终产生一个合数。 （您可能想编写一个计算机程序来执行此操作！）
挑战问题：你能找到以二进制表示时在数字上微妙的最小素数吗？ 回想一下，在二进制或以 2 为底的情况下，唯一的数字是 0 和 1，每个位值代表 2 的幂。例如，8 表示为 $latex1000_2$，因为 $latex 8=1 乘以 2^3 + 0乘以 2^2 + 0 乘以 2^1 + 0 乘以 2^0$，以 7 为底的 2 是 $latex111_2$，因为 $latex7=1 times2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0$。
单击以获取答案1：
单击以获取答案2：
不。考虑前六个素数：2、3、5、7、11 和 13。在这种情况下，数字 q 将是 $latex 2 次 3 次 5 次 7 次 11 次 13 + 1 = 30,031$ 。 这不能被 2、3、5、7、11 或 13 整除，但它不是素数：它的因数为 $latex 30,031 = 59 乘以 509$。 请注意，它有素数，但它们都大于前六个素数。
单击以获取答案3：
如果有 k or q 我们已经完成了。 如果 q 不是素数，它是合数，这意味着它可以被某个素数整除，但我们已经知道它不能被任何一个素数整除 n 素数。 因此它必须能被一个大于第一个素数的素数整除 n 素数，因为这些都是小于的素数 k, 这个素数必须大于 k. 但是这个素数分裂 q，所以它必须小于 q, 所以之间一定有一个素数 k 和 q.
单击以获取答案4：
满足这个性质的第一个素数是 2,459，因为 2,451、2,453 和 2,457 都是复合的（满足微妙的个位标准），并且 2,409、2,419、2,429、2,439、2,449、2,469、2,479、2,489 和 2,499 都是复合的（满足微妙的十位数标准）。 然而 2,459 在数字上并不精细，因为 2,659 是质数，所以一旦你开始考虑百位数，它就会失败。 （感谢数学家 John D. Cook 发表他的 数字精致的素数查找 Python 代码.)
点击挑战问题的答案：
$latex127=1111111_2$ 是数字敏感的，因为 $latex 126=1111110_2$、$latex125=1111101_2$、$latex123=1111011_2$、$latex119=1110111_2$、$latex111=1101111_2$、$latex95=1011111 和=2_63$ 都是复合的。
