تعارف
ہم ریاضی کو خالصتاً منطقی خیال کرتے ہیں، لیکن ریاضی کی تعلیم، اس کی اقدار، اس کی افادیت اور اس کے کام کاج میں باریکیاں ہیں۔ تو "اچھی" ریاضی کیا ہے؟ 2007 میں، ریاضی دان Terence تاؤ کے لیے ایک مضمون لکھا امریکی ریاضیاتی سوسائٹی کا بلیٹن جو اس سوال کا جواب دینے کی کوشش کر رہا تھا۔ آج، فیلڈز میڈل، ریاضی میں ایک پیش رفت انعام اور میک آرتھر فیلوشپ کے وصول کنندہ کے طور پر، تاؤ زندہ ترین ریاضی دانوں میں سے ایک سب سے معزز اور قابل قدر ہیں۔ اس ایپی سوڈ میں، وہ ہمارے میزبان اور ساتھی ریاضی دان کے ساتھ شامل ہوتا ہے۔ سٹیون سٹروگیٹز اچھی ریاضی کی تخلیقات پر نظرثانی کرنے کے لیے۔
سنو ایپل پوڈ, Spotify, گوگل پوڈ کاسٹ, Stitcher, میں دھن یا آپ کی پسندیدہ پوڈ کاسٹنگ ایپ، یا آپ کر سکتے ہیں۔ اس سے سٹریم Quanta.
مکمل نقل
سٹیون سٹروگیٹس: واپس اکتوبر 2007 میں، جب پہلی نسل کا آئی فون اب بھی ایک گرم شے تھا اور سٹاک مارکیٹ عظیم کساد بازاری سے پہلے ہر وقت بلندی پر تھی، UCLA میں ریاضی کے پروفیسر ٹیرنس تاؤ، ایک سوال کا جواب دینے کے لیے پرعزم تھے۔ سوال جو ریاضی دانوں کے درمیان طویل عرصے سے زیر بحث تھا: اچھی ریاضی کیا ہے؟
کیا یہ سختی کے بارے میں ہے؟ خوبصورتی؟ حقیقی دنیا کی افادیت؟ ٹیری نے بہت سوچ سمجھ کر اور فیاض لکھا، میں یہاں تک کہ کھلے دل سے کہوں گا، ان تمام طریقوں کے بارے میں مضمون لکھوں گا جن سے ریاضی اچھا ہو سکتا ہے۔ لیکن اب، 15 سال بعد، کیا ہمیں دوبارہ سوچنے کی ضرورت ہے کہ اچھی ریاضی کیا ہے؟
میں Steve Strogatz ہوں، اور یہ ہے "The Joy of Why," سے ایک پوڈ کاسٹ کوتاٹا میگزین جہاں میری شریک میزبان، جنا لیون، اور میں آج ریاضی اور سائنس کے سب سے بڑے جواب طلب سوالات کو تلاش کرتے ہیں۔
(تھیم کھیلتا ہے۔)
آج یہاں اس ابدی سوال پر دوبارہ غور کرنے کے لیے جو ریاضی کو اچھا بناتا ہے خود ٹیری تاؤ ہیں۔ پروفیسر تاؤ نے ریاضی کے حیرت انگیز طور پر وسیع پیمانے پر 300 سے زیادہ تحقیقی مقالے تصنیف کیے ہیں جن میں ہارمونک تجزیہ، جزوی تفریق مساوات، امتزاج، نمبر تھیوری، ڈیٹا سائنس، بے ترتیب میٹرکس اور بہت کچھ شامل ہے۔ اسے "ریاضی کا موزارٹ" کہا جاتا ہے۔ اور فیلڈز میڈل، ریاضی میں ایک پیش رفت پرائز، میک آرتھر فیلوشپ اور بہت سے دوسرے ایوارڈز کے فاتح کے طور پر، یہ مانیکر یقیناً لائق تحسین ہے۔
ٹیری، "کیوں کی خوشی" میں خوش آمدید۔
TERENCE TAO: یہاں آ کر خوشی ہوئی۔
اسٹروگیٹز: میں آپ سے اس سوال کے بارے میں بات کرنے کے قابل ہونے پر بہت پرجوش ہوں کہ یہ کیا چیز ہے جو کچھ قسم کی ریاضی کی تحقیق کو اچھی بناتی ہے۔ میں بہت واضح طور پر کے ذریعے flipping یاد کر سکتے ہیں امریکن میتھ سوسائٹی کا بلیٹن 2007 میں واپس آ رہا ہے اس مسئلے کے بارے میں آپ کا مضمون جو آپ نے ہمارے لیے پیش کیا ہے۔ یہ ایسی چیز ہے جس کے بارے میں تمام ریاضی دان سوچتے ہیں۔ لیکن وہاں کے لوگوں کے لیے جو شاید اتنے واقف نہ ہوں، کیا آپ ہمیں بتا سکتے ہیں، آپ اس سوال پر کیسے اترے؟ آپ نے اس وقت اچھی ریاضی کی وضاحت کیسے کی؟
ٹی اے او: ٹھیک ہے، ہاں۔ یہ دراصل ایک التجا تھی۔ تو کے ایڈیٹر بلٹین اس وقت مجھ سے ایک مضمون لکھنے کو کہا تھا۔ مجھے لگتا ہے کہ مجھے ایک طالب علم کے طور پر ریاضی کیا ہے اس کے بارے میں بہت سادہ خیال تھا۔ مجھے ایک طرح کا یہ خیال تھا کہ سرمئی داڑھیوں کی کسی قسم کی کونسل ہے جو لوگوں کو کام کرنے کے لیے مسائل کا سامنا کرے گی۔ اور یہ ایک گریجویٹ طالب علم کے طور پر میرے لیے ایک قسم کا صدمہ تھا، یہ سمجھ کر کہ مسائل کو حل کرنے کے لیے اصل میں یہ مرکزی اتھارٹی نہیں تھی، اور لوگوں نے خود ہدایت کی تحقیق کی۔
میں باتوں میں جاتا رہا اور سنتا رہا کہ دوسرے ریاضی دان کس طرح اس بارے میں بات کرتے ہیں کہ انہیں کیا دلچسپ لگتا ہے اور کیا چیز انہیں ریاضی کے بارے میں پرجوش بناتی ہے، اور یہ حقیقت کہ ہر ریاضی دان کا ریاضی تک پہنچنے کا الگ طریقہ ہے۔ جیسے، کچھ ایپلی کیشنز کا پیچھا کریں گے، کچھ جمالیاتی خوبصورتی کے ذریعے، کچھ صرف مسئلہ حل کرنے کے ذریعے۔ وہ ایک مسئلہ حل کرنا چاہتے تھے اور وہ سب سے مشکل، سب سے مشکل کاموں پر توجہ مرکوز کریں گے۔ کچھ تکنیک پر توجہ مرکوز کریں گے؛ کچھ چیزوں کو ہر ممکن حد تک خوبصورت بنانے کی کوشش کریں گے۔
لیکن جب ان مختلف ریاضی دانوں میں سے بہت سے لوگوں کو اس بات کے بارے میں بات کرتے ہوئے سن کر مجھے حیرت ہوئی کہ وہ ریاضی میں کیا قیمتی سمجھتے ہیں، وہ یہ ہے کہ، اگرچہ ہم سب کے مختلف نظریات تھے کہ اچھی ریاضی کیسی ہونی چاہیے، وہ ہر طرح کا رجحان رکھتے ہیں۔ ایک ہی چیز سے ملنا.
اگر ریاضی کا ایک ٹکڑا واقعی اچھا ہے، جو لوگ خوبصورتی کا پیچھا کرتے ہیں وہ آخر کار اس کے پار ہو جائیں گے۔ وہ لوگ جو تعاقب کرتے ہیں، جو قدر کرتے ہیں، آپ جانتے ہیں، تکنیکی طاقت یا ایپلی کیشنز آخر کار اس پر اتریں گے۔
یوجین وگنر پر ایک بہت مشہور مضمون تھا۔ ریاضی کی غیر معقول تاثیر تقریباً ایک صدی قبل فزیکل سائنسز میں، جہاں اس نے ابھی مشاہدہ کیا تھا کہ ریاضی کے شعبے ہیں - مثال کے طور پر، ریمانین جیومیٹری، خمیدہ جگہ کا مطالعہ - جو ابتدا میں ریاضی دانوں کے لیے محض ایک خالصتاً نظریاتی مشق تھی، آپ جانتے ہیں، ثابت کرنے کی کوشش کر رہے تھے۔ متوازی تقلید وغیرہ، بالکل وہی نکلا جو آئن سٹائن اور پوئنکارے اور ہلبرٹ کو عمومی اضافیت کی ریاضی کو بیان کرنے کے لیے درکار تھا۔ اور یہ صرف ایک رجحان ہے جو اس وقت ہوتا ہے.
لہذا یہ صرف ریاضی ہی نہیں ہے، ریاضی دانوں کو فکری طور پر دلچسپ لگتا ہے کہ وہ جسمانی طور پر اہم ہے۔ لیکن ریاضی کے اندر بھی، ایسے مضامین جو ریاضی دانوں کو خوبصورت لگتے ہیں وہ بھی گہری بصیرت فراہم کرتے ہیں۔
مجھے ایسا لگتا ہے کہ، آپ جانتے ہیں، وہاں کچھ افلاطونی اچھی ریاضی موجود ہے، اور ہمارے تمام مختلف ویلیو سسٹم اس مقصدی اچھی چیزوں تک رسائی کے مختلف طریقے ہیں۔
اسٹروگیٹز: یہ بہت دلچسپ ہے۔ ایک قسم کا شخص ہونے کے ناطے جو خود افلاطونی سوچ کی طرف مائل ہے، مجھے اس سے اتفاق کرنے کا لالچ ہے۔ اگرچہ میں آپ کو یہ کہتے ہوئے سن کر قدرے حیران ہوں، کیونکہ میں نے سوچا ہوگا کہ آپ کہاں جا رہے ہیں شروع میں ایسا لگتا تھا، جیسے، اس کے بارے میں بہت سے مختلف نقطہ نظر ہیں۔ یہ ایک دلچسپ حقیقت ہے، اگرچہ، ایک تجرباتی حقیقت کی طرح، کہ ہم اس بات پر متفق ہو جاتے ہیں کہ کیا اچھا ہے یا کیا اچھا نہیں، حالانکہ جیسا کہ آپ کہتے ہیں، ہم اس پر بہت سی مختلف اقدار سے آتے ہیں۔
ٹی اے او: ٹھیک ہے۔ اتحاد میں وقت لگ سکتا ہے۔ آپ جانتے ہیں، اس لیے یقینی طور پر فیلڈز ہیں، مثال کے طور پر، جہاں وہ دوسروں کے مقابلے میں ایک میٹرک کے حساب سے بہت بہتر نظر آتے ہیں۔ جیسا کہ شاید ان کے پاس بہت ساری ایپلی کیشنز ہیں، لیکن ان کی پیشکش انتہائی ناگوار ہے، آپ جانتے ہیں۔
(اسٹروگیٹز ہنستا ہے)
یا ایسی چیزیں جو بہت خوبصورت ہیں لیکن حقیقی دنیا میں ابھی تک بہت ساری اچھی ایپلی کیشنز نہیں ہیں۔ لیکن مجھے لگتا ہے کہ آخر کار یہ مل جائے گا۔
اسٹروگیٹز: ٹھیک ہے، میں آپ سے حقیقی دنیا کے ساتھ رابطے کے اس نقطہ کے بارے میں پوچھتا ہوں۔ یہ ریاضی میں ایک دلچسپ تناؤ ہے۔ اور، آپ جانتے ہیں، چھوٹے بچوں کے طور پر، آئیے کہتے ہیں، جب ہم پہلی بار جیومیٹری کے بارے میں سیکھتے ہیں، تو آپ اس وقت سوچ سکتے ہیں کہ مثلث حقیقی ہیں، یا دائرے یا سیدھی لکیریں حقیقی ہیں، اور یہ کہ وہ آپ کو مستطیل شکلوں کے بارے میں بتا سکتے ہیں جو آپ دیکھتے ہیں۔ دنیا کی عمارتوں میں، یا سروے کرنے والوں کو جیومیٹری استعمال کرنے کی ضرورت ہے۔ اور سب کے بعد، لفظ زمین کی پیمائش سے آتا ہے، ٹھیک ہے، "جیومیٹری." اور اس طرح، ایک وقت تھا جب جیومیٹری تجرباتی تھی۔
لیکن جو میں آپ سے پوچھنا چاہتا تھا اس کا تعلق ایک تبصرہ سے ہے۔ جان وان نیومن بنایا لہذا وان نیومن، کسی کے لیے جو واقف نہیں، خود ایک عظیم ریاضی دان تھے۔ اور اس نے اس مضمون میں یہ تبصرہ کیا، "ریاضی دان"ریاضی اور تجرباتی دنیا کے درمیان تعلق کے بارے میں، حقیقی دنیا، جہاں وہ تقریباً کہتے ہیں کہ ریاضی کے خیالات تجربات سے پیدا ہوتے ہیں، لیکن یہ کہ کسی وقت، ایک بار جب آپ کو ریاضیاتی نظریات مل جاتے ہیں، تو یہ موضوع اپنی زندگی کو اپنانا شروع کر دیتا ہے۔ اپنے اور پھر یہ ایک تخلیقی فن کی طرح ہے۔ جمالیاتی معیار اہم ہو جاتا ہے۔ لیکن وہ کہتا ہے کہ اس سے خطرہ ہے۔ کہ جب کوئی مضمون اپنے تجرباتی ماخذ سے بہت دور ہونا شروع ہو جاتا ہے، جیسا کہ خاص طور پر اس کی دوسری یا تیسری نسل میں، تو وہ کہتا ہے کہ اس بات کا امکان ہے کہ موضوع بہت زیادہ تجریدی نسل کشی کا شکار ہو سکتا ہے اور یہ انحطاط کے خطرے میں ہے۔
اس کے بارے میں کوئی خیال؟ میرا مطلب ہے، کیا ریاضی کو اپنے تجرباتی ماخذ کے ساتھ رابطے میں رہنا ہوگا؟
TAO: ہاں، مجھے لگتا ہے کہ اسے گراؤنڈ کرنا ضروری ہے۔ جب میں یہ کہتا ہوں کہ، تجرباتی طور پر، ریاضی کرنے کے یہ تمام مختلف طریقے آپس میں مل جاتے ہیں، تو یہ صرف اس وجہ سے ہے - یہ تب ہوتا ہے جب مضمون صحت مند ہو۔ تو، آپ جانتے ہیں، اچھی خبر یہ ہے کہ عام طور پر ایسا ہوتا ہے۔
لیکن، مثال کے طور پر، ریاضی دان لمبے ثبوتوں پر مختصر ثبوت کو اہمیت دیتے ہیں، باقی تمام چیزیں برابر ہیں۔ لیکن کوئی تصور کرسکتا ہے کہ لوگ حد سے گزر رہے ہیں اور، جیسا کہ، ریاضی کا ایک ذیلی فیلڈ ثبوتوں کو ممکنہ حد تک مختصر بنانے اور گہرے نظریات کے یہ انتہائی مبہم دو لائن ثبوت رکھنے کا جنون ہے۔ اور وہ اسے اس طرح کا مقابلہ بناتے ہیں، اور پھر یہ اس طرح کا ابتر کھیل بن جاتا ہے اور پھر آپ تمام وجدان کھو دیتے ہیں۔ آپ شاید گہری سمجھ سے محروم ہو جائیں کیونکہ آپ اپنے تمام ثبوتوں کو جتنا ممکن ہو سکے مختصر کرنے کے جنون میں مبتلا ہیں۔ اب، عملی طور پر ایسا نہیں ہوتا ہے۔ لیکن یہ ایک نظریاتی مثال کی طرح ہے، اور میرے خیال میں وون نیومن اسی طرح کی بات کر رہے تھے۔
اور ساٹھ اور ستر کی دہائیوں میں، جیسا کہ، ریاضی کا ایک دور تھا جہاں تجرید بہت ساری ریاضی کو آسان اور یکجا کرنے میں بہت بڑی پیش رفت کر رہا تھا جو پہلے بہت تجرباتی تھا۔ خاص طور پر الجبرا میں، لوگ محسوس کر رہے تھے، آپ جانتے ہیں، اعداد اور کثیر الثانیات اور بہت سی دوسری اشیاء جن کو پہلے الگ الگ سمجھا جاتا تھا، آپ سب ان کو ایک ہی الجبری کلاس کے ارکان کے طور پر سوچ سکتے ہیں، اس صورت میں ایک انگوٹھی۔
اور ریاضی میں کافی ترقی درست تجرید کو تلاش کرکے کی جا رہی تھی، آپ جانتے ہیں، چاہے وہ ٹاپولوجیکل اسپیس ہو یا ویکٹر اسپیس، جو بھی ہو، اور تھیومز کو بڑی عمومیت میں ثابت کر رہا تھا۔ اور بعض اوقات یہی ہوتا ہے جسے ہم ریاضی میں بورباکی دور کہتے ہیں۔ اور یہ گراؤنڈ ہونے سے تھوڑا بہت دور ہو گیا۔
یقیناً ہمارے پاس ریاستوں میں ریاضی کا پورا واقعہ تھا، جہاں ماہرین تعلیم نے کوشش کی۔ بورباکی انداز میں ریاضی پڑھائیں۔ اور آخر کار احساس ہوا کہ اس سطح پر یہ مناسب درس گاہ نہیں ہے۔
لیکن اب پینڈولم کافی پیچھے ہٹ گیا ہے۔ ہمارے پاس ایک قسم ہے — مضمون کافی حد تک پختہ ہو چکا ہے اور ریاضی، جیومیٹری، ٹوپولوجی، جو بھی ہو، ہمارے پاس ایک طرح کی تسلی بخش رسمی شکلیں ہیں اور ہم جانتے ہیں کہ صحیح تجرید کیا ہیں۔ اور اب میدان ایک بار پھر باہمی رابطوں اور ایپلی کیشنز پر توجہ مرکوز کر رہا ہے۔ یہ اب حقیقی دنیا سے بہت زیادہ جڑ رہا ہے۔
میرا مطلب ہے، نہ صرف فزکس کی قسم، جو ایک روایتی تعلق ہے، بلکہ، آپ جانتے ہیں، کمپیوٹر سائنس، لائف سائنسز، سوشل سائنسز، آپ جانتے ہیں۔ بڑے اعداد و شمار کے عروج کے ساتھ، اب تقریباً کسی بھی انسانی نظم کو کسی حد تک ریاضی کیا جا سکتا ہے۔
اسٹروگیٹز: مجھے اس لفظ میں بہت دلچسپی ہے جو آپ نے "انٹر کنکشنز" کے بارے میں صرف ایک منٹ پہلے استعمال کیا تھا کیونکہ یہ ہمارے لیے بحث کرنے کے لیے ایک مرکزی نقطہ لگتا ہے۔ یہ وہ چیز ہے جس کا آپ اپنے مضمون میں ذکر کرتے ہیں کہ، ان کے ساتھ، جسے آپ خوبصورتی کے بارے میں "مقامی" معیار کہتے ہیں، یا حقیقی دنیا کی ایپلی کیشنز، یا کچھ بھی، آپ اچھی ریاضی کے اس "عالمی" پہلو کا ذکر کرتے ہیں: کہ اچھی ریاضی دوسرے سے جڑتی ہے۔ اچھی ریاضی.
یہ اس کی کلید ہے جو اسے اچھا بناتی ہے، کہ یہ دوسرے حصوں کے ساتھ مربوط ہے۔ لیکن یہ دلچسپ ہے کیونکہ یہ تقریباً سرکلر استدلال کی طرح لگتا ہے: اچھی ریاضی وہ ریاضی ہے جو دوسری اچھی ریاضی سے جڑتی ہے۔ لیکن یہ واقعی ایک طاقتور آئیڈیا ہے، اور میں سوچ رہا ہوں کہ کیا آپ اس پر تھوڑا سا مزید توسیع کر سکتے ہیں۔
ٹی اے او: ہاں، تو، میرا مطلب ہے، ریاضی کس چیز کے بارے میں ہے — ریاضی جو کچھ کرتا ہے وہ یہ ہے کہ یہ ایسے کنکشن بناتا ہے جو بہت بنیادی اور بنیادی ہوتے ہیں، لیکن اگر آپ اسے صرف سطحی سطح سے دیکھیں تو واضح نہیں۔ اس کی ایک بہت ہی ابتدائی مثال ڈیکارٹس کی کارٹیشین کوآرڈینیٹ کی ایجاد ہے جس نے جیومیٹری - پوائنٹس اور لائنوں اور مقامی اشیاء کا مطالعہ - اور اعداد، الجبرا کے درمیان ایک بنیادی تعلق قائم کیا۔
لہذا، مثال کے طور پر، ایک دائرہ جسے آپ جیومیٹرک آبجیکٹ کے طور پر سوچ سکتے ہیں، لیکن آپ اسے ایک مساوات کے طور پر بھی سوچ سکتے ہیں: x2 + y2 = 1 ایک دائرے کی مساوات ہے۔ اس وقت، یہ ایک بہت انقلابی کنکشن تھا. آپ جانتے ہیں، قدیم یونانیوں نے نمبر تھیوری اور جیومیٹری کو تقریباً مکمل طور پر منقطع مضامین کے طور پر دیکھا۔
لیکن ڈیکارٹس کے ساتھ یہ بنیادی تعلق تھا۔ اور اب یہ اندرونی ہے؛ آپ جانتے ہیں، جس طرح سے ہم ریاضی پڑھاتے ہیں۔ اب یہ حیرت کی بات نہیں ہے کہ اگر آپ کو ہندسی مسئلہ ہے، تو آپ اس پر نمبروں سے حملہ کرتے ہیں۔ یا اگر آپ کو اعداد کا مسئلہ ہے تو آپ جیومیٹری سے اس پر حملہ کر سکتے ہیں۔
یہ کسی حد تک ہے کیونکہ جیومیٹری اور اعداد دونوں ایک ہی ریاضیاتی تصور کے پہلو ہیں۔ ہمارے پاس الجبری جیومیٹری کہلانے والی ایک پوری فیلڈ ہے، جو نہ تو الجبرا ہے اور نہ ہی جیومیٹری، لیکن یہ ایک متحد موضوع ہے جس کا مطالعہ کرنے والی اشیاء کو آپ یا تو ہندسی شکلیں، جیسے لکیریں اور دائرے وغیرہ، یا مساوات کے طور پر سوچ سکتے ہیں۔
لیکن واقعی، یہ ان دونوں کا ایک جامع اتحاد ہے جس کا ہم مطالعہ کرتے ہیں۔ اور جیسے جیسے موضوع گہرا ہوا ہے، ہم نے محسوس کیا ہے کہ یہ کچھ طریقوں سے الگ الگ الجبرا یا جیومیٹری سے کہیں زیادہ بنیادی ہے۔ لہذا، یہ کنکشنز ہمیں اس طرح کی حقیقی ریاضی کو دریافت کرنے میں مدد کر رہے ہیں جو ابتدائی طور پر، کسی نہ کسی طرح، ہمارے تجرباتی مطالعہ ہمیں صرف موضوع کا ایک گوشہ فراہم کرتے ہیں۔
ہاتھی کی یہ مشہور تمثیل ہے، میں کہاں بھول جاتا ہوں، کہ اگر آپ کے پاس… چار اندھے ہیں، اور وہ ایک ہاتھی کو دریافت کرتے ہیں۔ اور ان میں سے ایک ہاتھی کی ٹانگ محسوس کرتا ہے اور وہ سوچتا ہے، "اوہ، یہ، یہ بہت کچا ہے۔ یہ درخت یا کسی اور چیز کی طرح ہونا چاہیے۔
اور ان میں سے ایک سونڈ محسوس کرتا ہے، اور یہ بہت بعد میں ہے کہ وہ دیکھتے ہیں کہ ایک ہاتھی کی چیز ہے جو ان کے تمام الگ الگ مفروضوں کی وضاحت کر رہی ہے۔ ہاں، تو ہم سب ابتدائی طور پر اندھے ہیں، آپ جانتے ہیں۔ ہم صرف افلاطون کے غار پر سائے دیکھ رہے ہیں اور بعد میں ہی احساس ہوا -
اسٹروگیٹز: واہ، آپ یہاں بہت فلسفیانہ ہیں۔ یہ کچھ ہے۔ میں اب مزاحمت نہیں کر سکتا: اگر آپ ہاتھی اور نابینا لوگوں کے بارے میں بات کرنا شروع کر رہے ہیں، تو اس سے پتہ چلتا ہے کہ آپ کے خیال میں ریاضی باہر ہے — کہ یہ ہاتھی کی طرح ہے اور ہم اندھے ہیں… یا، آپ جان لیں، ہم کسی ایسی چیز کو دیکھنے کی کوشش کر رہے ہیں جو انسانوں سے آزاد ہو۔ کیا واقعی آپ کو یہی یقین ہے؟
ٹی اے او: جب آپ اچھی ریاضی کرتے ہیں، جیسے، یہ صرف علامتوں کو آگے بڑھانا نہیں ہے۔ آپ کو ایسا محسوس ہوتا ہے کہ کوئی اصل چیز ہے جسے آپ سمجھنے کی کوشش کر رہے ہیں، اور ہمارے پاس موجود تمام مساواتیں صرف اس کے قریب قریب ہیں، یا سائے ہیں۔
آپ فلسفیانہ نکتہ پر بحث کر سکتے ہیں کہ حقیقت کیا ہے وغیرہ۔ میرا مطلب ہے، یہ وہ چیزیں ہیں جنہیں آپ حقیقت میں چھو سکتے ہیں، اور جتنی زیادہ حقیقی چیزیں ریاضی کے لحاظ سے حاصل ہوتی ہیں، بعض اوقات وہ اتنی ہی کم جسمانی لگتی ہیں۔ جیسا کہ آپ نے کہا، جیومیٹری ابتدائی طور پر، آپ جانتے ہیں، جسمانی خلاء میں موجود اشیاء کے بارے میں ایک بہت ہی ٹھوس چیز تھی جو آپ کر سکتے تھے - آپ جانتے ہیں، آپ حقیقت میں ایک دائرہ اور ایک مربع وغیرہ بنا سکتے ہیں۔
لیکن جدید جیومیٹری میں، آپ جانتے ہیں، ہم اعلیٰ جہتوں میں کام کرتے ہیں۔ ہم مجرد جیومیٹریوں کے بارے میں بات کر سکتے ہیں۔ اور، میرا مطلب ہے، موضوع اب بھی جیومیٹری کہلانے کا مستحق ہے، حالانکہ اب زمین کی پیمائش نہیں کی جا رہی ہے۔ قدیم یونانی etymology بہت پرانی ہے لیکن یہ ہے، لیکن وہاں ضرور کچھ ہے. چاہے - آپ اسے کتنا حقیقی کہنا چاہتے ہیں۔ لیکن میرا اندازہ ہے کہ نقطہ یہ ہے کہ حقیقت میں ریاضی کرنے کے مقصد سے، یہ یقین کرنے میں مدد کرتا ہے کہ یہ حقیقی ہے۔
اسٹروگیٹز: ہاں، کیا یہ دلچسپ نہیں ہے؟ یہ کرتا ہے. ایسا لگتا ہے کہ یہ وہ چیز ہے جو ریاضی کی تاریخ میں بہت گہری ہے۔ مجھے آرکیمیڈیز کے ایک مضمون نے اپنے دوست، یا کم از کم ساتھی، Eratosthenes کو لکھا تھا۔
اب ہم بات کر رہے ہیں، جیسے، 250 BC اور وہ تبصرہ کرتا ہے، اس نے اس علاقے کو تلاش کرنے کا ایک طریقہ دریافت کیا ہے جسے ہم پیرابولا کا حصہ کہتے ہیں۔ وہ ایک پیرابولا لے رہا ہے، وہ اسے ایک لکیر کے حصے کے ساتھ کاٹتا ہے جو پیرابولا کے محور کے ایک ترچھے زاویے پر ہوتا ہے، اور وہ اس علاقے کا پتہ لگاتا ہے۔ اسے بہت خوبصورت نتیجہ ملتا ہے۔ لیکن وہ Eratosthenes سے کچھ کہتا ہے جیسے، "یہ نتائج تمام اعداد و شمار میں شامل تھے۔" آپ جانتے ہیں، جیسے، وہ وہاں موجود ہیں۔ وہ وہاں ہیں۔ وہ صرف اس کے ڈھونڈنے کا انتظار کر رہے ہیں۔
ایسا نہیں ہے کہ اس نے انہیں پیدا کیا ہو۔ یہ شاعری کی طرح نہیں ہے۔ میرا مطلب ہے، یہ دلچسپ ہے، اصل میں، ہے نا؟ کہ بہت سارے عظیم فنکاروں - مائیکل اینجیلو نے مجسمے کو پتھر سے نکالنے کے بارے میں بات کی، آپ جانتے ہیں، گویا یہ وہاں سے شروع ہونے والا ہے۔ اور ایسا لگتا ہے کہ آپ اور بہت سے دوسرے عظیم ریاضی دانوں کے پاس ہے - جیسا کہ آپ کہتے ہیں، اس خیال پر یقین کرنا بہت مفید ہے، کہ یہ ہمارے لیے انتظار کر رہا ہے، صحیح ذہنوں کے اس کو دریافت کرنے کا انتظار کر رہا ہے۔
ٹی اے او: ٹھیک ہے۔ ٹھیک ہے، میرے خیال میں اس کا ایک مظہر یہ ہے کہ وہ خیالات جن کی وضاحت کرنے کے لیے اکثر بہت پیچیدہ ہوتے ہیں جب وہ پہلی بار دریافت ہوتے ہیں، وہ آسان ہو جاتے ہیں۔ میرا مطلب ہے، آپ جانتے ہیں، اکثر وجہ یہ ہے کہ شروع میں کوئی چیز بہت گہری یا مشکل نظر آتی ہے، یہ ہے کہ آپ کے پاس صحیح اشارے نہیں ہیں۔
مثال کے طور پر، ہمارے پاس اب اعشاریہ اشارے ہیں تاکہ نمبروں کو ہیرا پھیری کر سکیں، اور یہ بہت آسان ہے۔ لیکن ماضی میں، آپ کو معلوم ہے، ہمارے پاس رومن ہندسوں کی طرح تھا اور پھر اس سے بھی زیادہ قدیم نمبر سسٹم تھے جن کے ساتھ کام کرنا واقعی، واقعی مشکل تھا اگر آپ ریاضی کرنا چاہتے ہیں۔
یوکلڈ کا عناصر, آپ جانتے ہیں — ان قدیم متون میں سے کچھ دلائل۔ جیسے، یوکلڈ میں ایک نظریہ ہے۔ عناصر میرے خیال میں اسے پل آف فولز یا کچھ اور کہا جاتا ہے۔ یہ اس بیان کی طرح ہے کہ، میرے خیال میں بیان ایک آئوسیلس مثلث کی طرح ہے، دو بنیادی زاویے برابر ہیں۔ جیسا کہ، یہ جدید ہندسی متن میں دو سطری ثبوت کی طرح ہے، آپ جانتے ہیں، صحیح محور کے ساتھ۔ لیکن یوکلڈ کے پاس ایسا کرنے کا یہ خوفناک طریقہ تھا۔ اور یہ وہ جگہ تھی جہاں کلاسیکی دور میں جیومیٹری کے بہت سے طلباء نے ریاضی کو مکمل طور پر ترک کر دیا تھا۔
اسٹروگیٹز: سچ ہے۔ (ہںستی)
ٹی اے او: لیکن، آپ جانتے ہیں، اب ہمارے پاس ایسا کرنے کا بہت بہتر طریقہ ہے۔ لہذا اکثر ہم ریاضی میں جو پیچیدگیاں دیکھتے ہیں وہ ہماری اپنی حدود کے نمونے ہوتے ہیں۔ اور، اس طرح، جیسے جیسے ہم بالغ ہوتے ہیں، آپ جانتے ہیں، چیزیں آسان ہوتی جاتی ہیں۔ اور اس کی وجہ سے یہ زیادہ حقیقی محسوس ہوتا ہے۔ ہم نمونے نہیں دیکھ رہے ہیں۔ ہم جوہر دیکھ رہے ہیں۔
اسٹروگیٹز: ٹھیک ہے، تو اپنے مضمون کی طرف واپس جا رہا ہوں: جب آپ نے اسے لکھا تھا، اس وقت — میرا مطلب ہے، یہ آپ کے کیرئیر کا بہت اوائل تھا، بالکل آغاز نہیں، لیکن پھر بھی۔ اس وقت آپ نے کیوں محسوس کیا کہ اچھی ریاضی کی وضاحت کرنے کی کوشش کرنا ضروری ہے؟
ٹی اے او: میرے خیال میں… تو اس وقت تک، میں نے پہلے ہی گریجویٹ طلباء کو مشورہ دینا شروع کر دیا تھا، اور میں دیکھ رہا تھا کہ، آپ جانتے ہیں کہ، کیا اچھا ہے اور کیا نہیں، کے بارے میں کچھ غلط فہمیاں تھیں۔ اور میں مختلف شعبوں میں ریاضی دانوں سے بھی بات کر رہا تھا، اور ریاضی میں کسی کے شعبے کی قدر دوسروں سے مختلف لگ رہی تھی۔ لیکن پھر بھی، کسی نہ کسی طرح ہم سب ایک ہی مضمون کا مطالعہ کر رہے تھے۔
اور کبھی کبھی کوئی ایسی بات کہتا جس نے مجھے غلط طریقے سے رگڑ دیا، آپ جانتے ہیں، جیسے، "اس ریاضی کا کوئی اطلاق نہیں ہے، اس لیے اس کی کوئی قیمت نہیں ہے۔" یا "یہ ثبوت بہت پیچیدہ ہے؛ لہذا اس کی کوئی قیمت نہیں ہے،" یا کچھ اور۔ یا اس کے برعکس، آپ جانتے ہیں، "یہ ثبوت بہت آسان ہے؛ لہذا یہ قابل نہیں ہے…” آپ جانتے ہیں۔ جیسے، کچھ، جیسے، طرح طرح کی بدتمیزی اور اسی طرح، کبھی کبھی میں سامنا کروں گا.
اور میرے تجربے میں، بہترین ریاضی اس وقت آئی جب میں نے ایک مختلف نقطہ نظر کو سمجھا، ریاضی کے بارے میں مختلف فیلڈ میں کسی سے سوچنے کا ایک مختلف طریقہ اور اسے اس مسئلے پر لاگو کیا جس کی مجھے پرواہ تھی۔ اور اس طرح ریاضی کو صحیح طریقے سے استعمال کرنے کا طریقہ، اس کو چلانے کا طریقہ، ان سے بہت مختلف تھا - "ریاضی کرنے کا ایک حقیقی طریقہ"۔
مجھے ایسا لگا جیسے یہ نکتہ کسی نہ کسی طرح طے کیا جائے۔ کہ ریاضی کرنے کا واقعی ایک جمع طریقہ ہے، لیکن جب کہ ریاضی اب بھی متحد ہے۔
اسٹروگیٹز: یہ بہت ہی افشا کرنے والی بات ہے، کیونکہ میں نے سوچا تھا، آپ جانتے ہیں، جیسے، میں نے اپنے تعارف میں ریاضی کی بہت سی مختلف شاخوں کا ذکر کیا ہے جنہیں آپ نے دریافت کیا ہے، اور میں نے کچھ کو شامل بھی نہیں کیا۔ جیسا کہ، مجھے ابھی چند سال پہلے یاد ہے، سیال حرکیات میں اس اسرار کے بارے میں آپ کا کام، اس بارے میں کہ آیا کچھ مساوات جو ہمارے خیال میں پانی اور ہوا کی حرکات کا اندازہ لگانے میں اچھا کام کرتی ہیں۔ میں زیادہ تفصیلات میں نہیں جانا چاہتا، لیکن صرف یہ کہنا چاہتا ہوں کہ آپ یہاں ہیں، لوگ سوچتے ہیں کہ آپ نمبر تھیوری یا ہارمونک تجزیہ کر رہے ہیں، اور اچانک آپ فلوڈ ڈائنامکس کے سوالات پر کام کر رہے ہیں۔ میرا مطلب ہے، مجھے احساس ہے کہ یہ جزوی تفریق مساوات ہے۔ لیکن پھر بھی، آپ کی دلچسپی کی وسعت کا تعلق آپ کی مختلف بصیرت کو قبول کرنے کی وسعت سے ہے، اچھی ریاضی کرنے کے تمام مختلف طریقوں سے مختلف قیمتی خیالات۔
ٹی اے او: میں بھول جاتا ہوں کہ یہ کس نے کہا، لیکن ریاضی دان دو طرح کے ہوتے ہیں۔ ہیج ہاگ اور لومڑیاں ہیں۔ لومڑی وہ ہے جو ہر چیز کے بارے میں تھوڑا سا جانتا ہے۔ ہیج ہاگ ایک ایسی مخلوق ہے جو ایک چیز کو اچھی طرح جانتی ہے۔ اور نہ ہی دوسرے سے بہتر ہے۔ وہ ایک دوسرے کی تکمیل کرتے ہیں۔ میرا مطلب ہے، ریاضی میں، آپ کو ایسے لوگوں کی ضرورت ہے جو ایک ذیلی فیلڈ میں واقعی گہرے ڈومین کے ماہر ہوں، اور وہ کسی موضوع کو اندر سے جانتے ہوں۔ اور آپ کو ایسے لوگوں کی ضرورت ہے جو ایک فیلڈ اور دوسرے کے درمیان کنکشن دیکھ سکیں۔ لہذا میں یقینی طور پر ایک لومڑی کے طور پر شناخت کرتا ہوں، لیکن میں بہت سارے ہیج ہاگ کے ساتھ کام کرتا ہوں۔ مجھے جس کام پر سب سے زیادہ فخر ہے وہ اکثر اس طرح کا تعاون ہوتا ہے۔
اسٹروگیٹز: ارے ہان. کیا وہ سمجھتے ہیں کہ وہ ہیج ہاگ ہیں؟
ٹی اے او: ٹھیک ہے، وقت کے ساتھ کردار بدلتے رہتے ہیں۔ جیسے، دوسرے تعاون بھی ہیں جہاں میں ہیج ہاگ ہوں اور کوئی اور لومڑی ہے۔ یہ مستقل نہیں ہیں - آپ جانتے ہیں، یہ آپ کے ڈی این اے میں نہیں ہیں۔
اسٹروگیٹز: آہ، اچھی بات ہے۔ ہم اپنا سکتے ہیں - ہم دونوں چادریں پہن سکتے ہیں۔
ٹھیک ہے، کیا اس وقت مضمون کا جواب تھا؟ کیا لوگوں نے آپ سے کچھ کہا؟
ٹی اے او: مجھے عمومی طور پر کافی مثبت جواب ملا۔ میرا مطلب ہے، the AMS کا بلیٹن میرے خیال میں ایک بہت بڑی، وسیع پیمانے پر گردش کرنے والی اشاعت نہیں ہے۔ اور یہ بھی کہ، میں نے واقعی کچھ زیادہ متنازعہ نہیں کہا۔ اس کے علاوہ، اس قسم کا پیشگی سوشل میڈیا، لہذا، مجھے لگتا ہے کہ شاید کچھ ریاضی کے بلاگز ہیں جنہوں نے اسے اٹھایا، لیکن کوئی ٹویٹر نہیں تھا۔ اسے وائرل کرنے کے لیے کچھ نہیں تھا۔
ہاں، میں یہ بھی سوچتا ہوں، عام طور پر، ریاضی دان اپنا زیادہ وقت اور فکری سرمایہ قیاس آرائیوں پر خرچ نہیں کرتے۔ میرا مطلب ہے، ایک اور ریاضی دان کو بلایا گیا ہے۔ من ہیونگ کم جس کے پاس یہ بہت اچھا استعارہ تھا کہ، ریاضی دانوں کے نزدیک ساکھ کرنسی کی طرح ہے، پیسے کی طرح۔ اگر آپ نظریات کو ثابت کرتے ہیں اور آپ یہ ظاہر کرتے ہیں کہ آپ اس موضوع کو جانتے ہیں، تو آپ بینک میں اعتبار کی یہ کرنسی کسی نہ کسی طرح جمع کر رہے ہیں۔ اور ایک بار جب آپ کے پاس کافی کرنسی ہو جائے تو، آپ تھوڑا سا فلسفیانہ ہو کر اور یہ کہہ کر کہ آپ حقیقت میں کیا ثابت کر سکتے ہیں اس کے بجائے کیا سچ ہو سکتا ہے، تھوڑا سا قیاس کرنے کے متحمل ہو سکتے ہیں۔
لیکن ہم قدامت پسند ہوتے ہیں، اور ہم اپنے بینک اکاؤنٹ میں اوور ڈرافٹ نہیں چاہتے ہیں۔ آپ جانتے ہیں، آپ نہیں چاہتے کہ آپ کی زیادہ تر تحریر قیاس آرائی پر مبنی ہو اور حقیقت میں کچھ ثابت کرنے کے لیے صرف ایک فیصد کی طرح ہو۔
اسٹروگیٹز: بہتر ہے. تو، ٹھیک ہے. تو، اس کے بعد بہت سے سال گزر چکے ہیں. ہم کیا بات کر رہے ہیں؟ یہ 15 سال سے زیادہ ہے۔
ٹی اے او: اوہ ہاں، وقت اڑتا ہے۔
اسٹروگیٹز: کیا آپ کی رائے بدل گئی ہے؟ کیا ہمیں نظر ثانی کرنے کی ضرورت ہے؟
ٹی اے او: ٹھیک ہے، ریاضی کا کلچر کافی حد تک بدل رہا ہے۔ میں پہلے ہی ریاضی کے بارے میں وسیع نظریہ رکھتا تھا، اور اب میرے پاس اس سے بھی زیادہ وسیع نظریہ ہے۔
لہذا، ایک بہت ہی ٹھوس مثال یہ ہے: 2007 میں کمپیوٹر کی مدد سے ثبوت اب بھی متنازعہ تھے۔ کیپلر کنجیکٹور نامی ایک مشہور قیاس تھا، جو تین جہتی جگہ میں یونٹ گیندوں کو پیک کرنے کے سب سے موثر طریقے سے متعلق ہے۔ اور ایک معیاری پیکنگ ہے، میرے خیال میں اسے کیوبک سنٹرل پیکنگ یا کچھ اور کہا جاتا ہے، جس کے بارے میں کیپلر نے اندازہ لگایا تھا کہ یہ سب سے بہتر ہے۔
یہ بالآخر حل ہو گیا، لیکن ثبوت بہت کمپیوٹر کی مدد سے تھا. یہ کافی پیچیدہ تھا، اور [تھامس] ہیلزبالآخر اس خاص ثبوت کی باضابطہ تصدیق کے لیے ایک پوری کمپیوٹر لینگویج بنائی، لیکن اسے کئی سالوں تک حقیقی ثبوت کے طور پر قبول نہیں کیا گیا۔ لیکن اس نے واضح کیا کہ اس ثبوت کا تصور کتنا متنازعہ تھا جس کی تصدیق کے لیے آپ کو کمپیوٹر کی مدد کی ضرورت تھی۔
اس کے بعد کے سالوں میں، ثبوتوں کی بہت سی دوسری مثالیں موجود ہیں جہاں انسان کسی پیچیدہ مسئلے کو کسی ایسی چیز تک کم کر سکتا ہے جس کی تصدیق کے لیے اب بھی کمپیوٹر کی ضرورت ہوتی ہے۔ اور پھر کمپیوٹر آگے بڑھ کر اس کی تصدیق کرتا ہے۔ ہم نے اس کو ذمہ داری سے کرنے کے طریقے کے بارے میں طرح طرح کے تیار کیے ہیں۔ آپ جانتے ہیں کہ کوڈ اور ڈیٹا کیسے شائع کیا جائے اور چیک کرنے کے طریقے اور نئی اوپن سورس چیزیں وغیرہ۔ اور اب، کمپیوٹر کی مدد سے ثبوتوں کی وسیع پیمانے پر قبولیت ہے۔
اب، میرے خیال میں، اگلی ثقافتی تبدیلی ہوگی۔ آیا AI سے تیار کردہ ثبوتوں کو قبول کیا جائے گا۔. ابھی، AI ٹولز اس سطح پر نہیں ہیں جہاں وہ ریاضی کے مسائل کو واقعی آگے بڑھانے کے لیے ثبوت پیدا کر سکیں۔ ہو سکتا ہے کہ انڈرگریجویٹ سطح کے ہوم ورک اسائنمنٹس، وہ ایک طرح سے انتظام کر سکتے ہیں، لیکن ریاضی کی تحقیق کریں، وہ ابھی اس سطح پر نہیں ہیں۔ لیکن کسی وقت، ہم AI کی مدد سے کاغذات سامنے آتے دیکھنا شروع کریں گے اور اس پر بحث ہوگی۔
جس طرح سے ہماری ثقافت کچھ طریقوں سے بدل گئی ہے… 2007 میں، ریاضی دانوں کے صرف ایک حصے نے اشاعت سے پہلے اپنے پرنٹس دستیاب کرائے تھے۔ مصنفین حسد کے ساتھ اپنے پری پرنٹس کی حفاظت کریں گے جب تک کہ انہیں جریدے سے قبولیت کی اطلاع نہ مل جائے۔ اور پھر وہ بانٹ سکتے ہیں۔
لیکن اب ہر کوئی اپنے کاغذات لگاتا ہے۔ عوامی سرور جیسے arXiv. ویڈیوز اور بلاگ پوسٹس ڈالنے کے لیے بہت زیادہ کھلا پن ہے، اس بارے میں کہ کاغذ کے خیالات کہاں سے آتے ہیں۔ کیونکہ لوگ سمجھتے ہیں کہ یہی چیز کام کو زیادہ بااثر اور زیادہ اثر انگیز بناتی ہے۔ اگر آپ اپنے کام کی تشہیر نہ کرنے اور اس کے بارے میں بہت خفیہ رہنے کی کوشش کرتے ہیں، تو اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔
ریاضی بن گیا ہے۔ بہت زیادہ تعاون پر مبنی. آپ جانتے ہیں، 50 سال پہلے، میں یہ کہوں گا کہ ریاضی کے زیادہ تر پرچے واحد مصنف تھے۔ اب یقیناً اکثریت دو یا تین یا چار مصنفین کی ہے۔ اور ہم ابھی واقعی بڑے پروجیکٹس کو دیکھنا شروع کر رہے ہیں جیسے ہم سائنس میں کرتے ہیں، آپ جانتے ہیں، دسیوں کی طرح، سینکڑوں لوگ تعاون کرتے ہیں۔ یہ اب بھی ریاضی دانوں کے لیے مشکل ہے، لیکن مجھے لگتا ہے کہ ہم وہاں پہنچ جائیں گے۔
بیک وقت، ہم بہت زیادہ بین الضابطہ بن رہے ہیں۔ ہم دوسرے علوم کے ساتھ بہت زیادہ کام کر رہے ہیں۔ ہم ریاضی کے شعبوں کے درمیان کام کر رہے ہیں۔ اور انٹرنیٹ کی وجہ سے، ہم دنیا بھر کے لوگوں کے ساتھ تعاون کر سکتے ہیں۔ لہذا، جس طرح سے ہم ریاضی کرتے ہیں وہ یقینی طور پر بدل رہا ہے۔
مجھے امید ہے کہ مستقبل میں، ہم شوقیہ ریاضی کی کمیونٹی کو مزید استعمال کرنے کے قابل ہو جائیں گے۔ فلکیات جیسے دیگر شعبے بھی ہیں، جہاں ماہرین فلکیات شوقیہ فلکیات کی کمیونٹی کا بہت زیادہ استعمال کرتے ہیں، جیسے کہ آپ جانتے ہیں، بہت سارے دومکیت، مثال کے طور پر، شوقیہ افراد پائے جاتے ہیں۔
لیکن ریاضی دان… ریاضی کے کچھ الگ تھلگ شعبے ہیں جیسے جیسے، ٹائلنگ، دو جہتی ٹائلنگ، اور شاید بنیادی نمبروں میں ریکارڈ تلاش کرنا۔ ریاضی کے کچھ بہت ہی منتخب شعبے ہیں جہاں شوقیہ حصہ ڈالتے ہیں، اور ان کا خیرمقدم کیا جاتا ہے۔ لیکن اس میں بہت سی رکاوٹیں ہیں۔ ریاضی کے زیادہ تر شعبوں میں، آپ کو اتنی تربیت اور اندرونی یا روایتی حکمت کی ضرورت ہوتی ہے کہ ہم چیزوں کو جمع نہیں کر سکتے۔ لیکن یہ مستقبل میں بدل سکتا ہے۔ ہوسکتا ہے کہ AI کا ایک اثر یہ ہوگا کہ شوقیہ ریاضی دانوں کو ریاضی میں معنی خیز حصہ ڈالنے کی اجازت دی جائے۔
اسٹروگیٹز: یہ بہت دلچسپ ہے۔
[اشتہار داخل کرنے کے لیے وقفہ]
اسٹروگیٹز: تو امیچرز، AIs کی مدد سے، یا تو نئے سوالات پوچھ سکتے ہیں جو اچھے ہیں یا موجودہ سوالات کی اچھی تلاش میں مدد کر سکتے ہیں، اس قسم کی چیز؟
ٹی اے او: بہت سے مختلف طریقے ہیں - ہاں۔ لہذا، مثال کے طور پر، اب ان چیزوں میں بڑے نظریات کے ثبوت کو باقاعدہ بنانے کے منصوبے ہیں جنہیں کہا جاتا ہے۔ رسمی ثبوت معاونینجو کہ کمپیوٹر کی زبانوں کی طرح ہیں جو 100% تصدیق کر سکتی ہیں کہ کوئی نظریہ درست ہے یا نہیں اور — ثابت ہے یا نہیں۔ یہ دراصل ریاضی میں بڑے پیمانے پر تعاون کو قابل بناتا ہے۔
لہذا ماضی میں، اگر آپ ایک تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے 10 دوسرے لوگوں کے ساتھ تعاون کرتے ہیں، اور ہر ایک ایک قدم کا حصہ ڈالتا ہے، تو ہر ایک کو باقی سب کی ریاضی کی تصدیق کرنی ہوگی۔ کیونکہ ریاضی کے بارے میں بات یہ ہے کہ اگر ایک قدم میں غلطی ہو جائے تو پوری چیز بکھر سکتی ہے۔
لہذا آپ کو اعتماد کی ضرورت ہے، اور اسی لیے — اس لیے یہ روکتا ہے، یہ واقعی ریاضی میں بڑے پیمانے پر تعاون کو روکتا ہے۔ لیکن اب وہاں موجود ہیں، واقعی بڑے نظریات کے باضابطہ ہونے کی کامیاب مثالیں موجود ہیں جہاں ایک بہت بڑی کمیونٹی ہے، وہ سب ایک دوسرے کو نہیں جانتے، وہ سب ایک دوسرے پر بھروسہ نہیں کرتے، لیکن وہ کچھ گیتھب ریپوزٹری پر اپ لوڈ کرنے کے ذریعے بات چیت کرتے ہیں یا کچھ، جیسے، دلیل میں انفرادی اقدامات کے انفرادی ثبوت۔ اور رسمی ثبوت سافٹ ویئر ہر چیز کی تصدیق کرتا ہے، اور اس لیے آپ کو اعتماد کے بارے میں فکر کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ لہذا ہم تعاون کے نئے طریقوں کو فعال کر رہے ہیں، جو ہم نے ماضی میں نہیں دیکھا۔
اسٹروگیٹز: آپ کا وژن سننا واقعی دلچسپ ہے، ٹیری۔ یہ ایک دلچسپ سوچ ہے۔ آپ نے "شہری ریاضی دان" کا جملہ نہیں سنا ہے۔ آپ نے شہری سائنس کے بارے میں سنا ہے، لیکن شہری ریاضی کیوں نہیں؟
لیکن میں صرف سوچ رہا ہوں، کیا کوئی ایسے رجحانات ہیں جن کے بارے میں آپ پریشان ہیں، مثال کے طور پر، کمپیوٹر سے معاون ثبوت یا AI سے تیار کردہ ثبوت؟ کیا ہم جان لیں گے کہ کچھ نتائج درست ہیں، لیکن ہم کیوں نہیں سمجھیں گے؟
ٹی اے او: تو یہ ایک مسئلہ ہے۔ میرا مطلب ہے، یہ AI کی آمد سے پہلے ہی ایک مسئلہ ہے۔ لہذا، بہت سے شعبے ایسے ہیں جہاں ایک مضمون کے پرچے لمبے اور لمبے ہوتے جا رہے ہیں، سینکڑوں صفحات۔ اور مجھے امید ہے کہ AI حقیقت میں اس کے برعکس آسان بنانے میں مدد کر سکتا ہے اور یہ وضاحت کے ساتھ ساتھ ثابت بھی کر سکتا ہے۔
اس لیے پہلے سے ہی تجرباتی سافٹ ویئر موجود ہے جہاں، جیسے، اگر آپ کوئی ایسا ثبوت لیتے ہیں جسے باقاعدہ بنا دیا گیا ہو، تو آپ اسے حقیقت میں ایک انٹرایکٹو انسانی پڑھنے کے قابل دستاویز میں تبدیل کر سکتے ہیں، جہاں آپ کے پاس ثبوت موجود ہے اور آپ اعلیٰ سطحی اقدامات کو دیکھتے ہیں اور اگر کوئی جملہ ہے۔ آپ نہیں سمجھتے کہ آپ اس پر ڈبل کلک کر سکتے ہیں، اور یہ چھوٹے مراحل میں پھیل جائے گا۔ جلد ہی مجھے لگتا ہے کہ جب آپ ثبوت سے گزر رہے ہوں گے تو آپ کو ایک AI چیٹ بوٹ بھی اپنے ساتھ بیٹھا ہو گا، اور وہ سوالات لے سکتے ہیں اور وہ ہر قدم کی وضاحت کر سکتے ہیں گویا وہ مصنف ہیں۔ مجھے لگتا ہے کہ ہم پہلے ہی اس کے بہت قریب ہیں۔
خدشات ہیں۔ ہمیں اپنے طلباء کو تعلیم دینے کے طریقے کو تبدیل کرنا ہوگا، خاص طور پر اب جب کہ ہوم ورک تفویض کرنے کے ہمارے بہت سے روایتی طریقے وغیرہ، ہم تقریباً اس مقام پر ہیں جہاں یہ AI ٹولز ہمارے بہت سے معیاری امتحانی سوالات کے فوری طور پر جواب دے سکتے ہیں۔ اور اس طرح، ہمیں اپنے طلباء کو نئی مہارتیں سکھانے کی ضرورت ہے، جیسے کہ AI سے تیار کردہ آؤٹ پٹ درست ہے یا نہیں اور دوسری رائے کیسے حاصل کی جائے۔
اور ہم ریاضی کے لیے زیادہ تجرباتی پہلو کی آمد دیکھ سکتے ہیں، آپ جانتے ہیں۔ لہذا، ریاضی تقریبا مکمل طور پر نظریاتی ہے، جبکہ زیادہ تر علوم میں نظریاتی اور تجرباتی دونوں جزو ہوتے ہیں۔ ہمارے پاس بالآخر ایسے نتائج ہو سکتے ہیں جو پہلے صرف کمپیوٹرز سے ثابت ہوتے ہیں اور جیسا کہ آپ کہتے ہیں، ہم نہیں سمجھتے۔ لیکن پھر ایک بار جب ہمارے پاس ڈیٹا ہو جائے جو AI، کمپیوٹر سے تیار کردہ ثبوت فراہم کرتا ہے، تو ہم تجربات چلانے کے قابل ہو سکتے ہیں۔
ابھی تھوڑا سا تجرباتی ریاضی ہے۔ لوگ مطالعہ کرتے ہیں، جیسے، مختلف چیزوں کے بڑے ڈیٹا سیٹ، بیضوی منحنی خطوط، کہتے ہیں۔ لیکن یہ مستقبل میں بہت بڑا ہو سکتا ہے۔
اسٹروگیٹز: جی، آپ کا نقطہ نظر بہت پرامید ہے، یہ مجھے لگتا ہے۔ ایسا نہیں ہے جیسے سنہری دور ماضی میں ہے۔ اگر میں آپ کو صحیح سن رہا ہوں، تو آپ کو لگتا ہے کہ آگے بہت ساری دلچسپ چیزیں ہیں۔
ٹی اے او: جی ہاں، بہت سے نئے تکنیکی آلات بہت بااختیار ہیں۔ میرا مطلب ہے، عام طور پر AI میں بہت سے پیچیدہ اتار چڑھاؤ ہوتے ہیں۔ اور سائنس سے باہر، معیشت، دانشورانہ املاک کے حقوق وغیرہ میں بہت زیادہ ممکنہ رکاوٹ ہے۔ لیکن ریاضی کے اندر، میرے خیال میں اچھے اور برے کا تناسب بہت سے دوسرے شعبوں سے بہتر ہے۔
اور، آپ جانتے ہیں، انٹرنیٹ نے واقعی ہمارے ریاضی کے طریقے کو بدل دیا ہے۔ میں بہت سے لوگوں کے ساتھ بہت سے مختلف شعبوں میں تعاون کرتا ہوں۔ میں انٹرنیٹ کے بغیر یہ نہیں کر سکتا تھا۔ حقیقت یہ ہے کہ میں ویکیپیڈیا یا کچھ بھی پر جا سکتا ہوں اور ایک مضمون سیکھنا شروع کر سکتا ہوں، اور میں کسی کو ای میل کر سکتا ہوں، اور ہم آن لائن تعاون کر سکتے ہیں۔ اگر مجھے پرانے اسکول کی چیزیں کرنی پڑیں جہاں میں صرف اپنے محکمہ کے لوگوں سے بات کر سکتا ہوں اور باقی ہر چیز کے لیے فزیکل میل کا استعمال کر سکتا ہوں، تو میں وہ ریاضی نہیں کر سکتا جو میں اب کرتا ہوں۔
اسٹروگیٹز: واہ، ٹھیک ہے۔ مجھے آپ نے ابھی جو کہا ہے اس کی نشاندہی کرنا ہے، کیونکہ میں نے ایک ملین سالوں میں کبھی نہیں سوچا تھا کہ میں یہ سننے جا رہا ہوں: ٹیری تاؤ ریاضی سیکھنے کے لیے ویکیپیڈیا پڑھتے ہیں؟
ٹی اے او: ایک نقطہ آغاز کے طور پر۔ میرا مطلب ہے، یہ ہمیشہ ویکیپیڈیا نہیں ہوتا ہے، بلکہ صرف مطلوبہ الفاظ حاصل کرنے کے لیے، اور پھر میں مزید خصوصی تلاش کروں گا، کہو، ریاضی اسکائ نیت یا کوئی اور ڈیٹا بیس۔ لیکن ہاں۔
اسٹروگیٹز: یہ تنقید نہیں ہے۔ میرا مطلب ہے، میں بھی ایسا ہی کرتا ہوں۔ ویکیپیڈیا دراصل ہے، اگر ویکیپیڈیا پر ریاضی پر کوئی تنقید ہوتی ہے، تو شاید یہ ہے کہ بعض اوقات یہ قارئین کے لیے تھوڑا بہت ترقی یافتہ ہوتا ہے جس کے لیے اس کا مقصد ہے، میرے خیال میں۔ ہمیشہ نہیں. میرا مطلب ہے، یہ منحصر ہے. یہ مضمون سے مضمون میں بہت مختلف ہوتا ہے۔ لیکن یہ صرف مضحکہ خیز ہے۔ مجھے یہ سننا پسند ہے۔
ٹی اے او: میرا مطلب ہے، یہ ٹولز، آپ کو آؤٹ پٹ کی جانچ کرنے کے قابل ہونا پڑے گا۔ آپ جانتے ہیں، تو، میرا مطلب ہے، میں ریاضی کرنے کے لیے ویکیپیڈیا کا استعمال کرنے کی وجہ یہ ہے کہ میں پہلے سے ہی اتنی ریاضی جانتا ہوں کہ اگر میں ریاضی میں ویکیپیڈیا کا کوئی ٹکڑا مشکوک ہے یا نہیں۔ آپ جانتے ہیں، اسے کچھ ذرائع مل سکتے ہیں اور ان میں سے ایک دوسرے سے بہتر ذریعہ بننے والا ہے۔ اور میں مصنفین کو جانتا ہوں، اور مجھے اندازہ ہے کہ کون سا حوالہ میرے لیے بہتر ہوگا۔ اگر میں کسی ایسے موضوع کے بارے میں جاننے کے لیے ویکیپیڈیا کا استعمال کرتا ہوں جس کا مجھے کوئی تجربہ نہیں تھا، تو میرے خیال میں یہ ایک بے ترتیب متغیر ہوگا۔
اسٹروگیٹز: ٹھیک ہے، تو ہم اس بارے میں کافی بات کر رہے ہیں کہ وہ کیا چیز ہے جو اچھی ریاضی بناتی ہے، نئی قسم کی اچھی ریاضی کا ممکنہ مستقبل۔ لیکن شاید ہمیں اس سوال کو حل کرنا چاہئے: اس سے بھی فرق کیوں پڑتا ہے؟ ریاضی کا اچھا ہونا کیوں ضروری ہے؟
ٹی اے او: ٹھیک ہے، تو، سب سے پہلے، میرا مطلب ہے، ہمارے پاس ریاضی دان ہی کیوں ہیں؟ معاشرہ ریاضی دانوں کی قدر کیوں کرتا ہے اور ہمیں وہ کرنے کے لیے وسائل دیتا ہے جو ہم کرتے ہیں؟ آپ جانتے ہیں، اس کی وجہ یہ ہے کہ ہم کچھ قدر فراہم کرتے ہیں۔ ہمارے پاس حقیقی دنیا میں درخواستیں ہو سکتی ہیں۔ فکری دلچسپی ہے، اور کچھ نظریات جو ہم تیار کرتے ہیں بالآخر دوسرے مظاہر کی بصیرت فراہم کرتے ہیں۔
اور تمام ریاضی یکساں قدر کی نہیں ہے۔ میرا مطلب ہے، آپ pi کے زیادہ سے زیادہ ہندسوں کی گنتی کر سکتے ہیں، لیکن کسی وقت، آپ کچھ نہیں سیکھتے۔ کسی بھی موضوع کو کسی قدر قیمتی فیصلے کی ضرورت ہوتی ہے کیونکہ آپ کو وسائل مختص کرنے ہوتے ہیں۔ وہاں بہت زیادہ ریاضی ہے۔ آپ کن پیشرفتوں کو اجاگر کرنا اور اس کی تشہیر کرنا چاہتے ہیں اور دوسرے لوگوں کو بتانا چاہتے ہیں، اور کون سی چیزیں شاید کسی جریدے پر خاموشی سے بیٹھی رہیں؟
یہاں تک کہ اگر آپ کسی موضوع کے بارے میں سوچتے ہیں کہ وہ مکمل طور پر معروضی ہے اور، آپ جانتے ہیں، صرف صحیح یا غلط ہے، ہمیں پھر بھی انتخاب کرنا ہوگا۔ آپ جانتے ہیں، صرف اس لیے کہ وقت ایک محدود وسیلہ ہے۔ توجہ ایک محدود وسیلہ ہے۔ پیسہ ایک محدود وسیلہ ہے۔ لہذا، یہ ہمیشہ اہم سوالات ہیں.
اسٹروگیٹز: ٹھیک ہے، دلچسپ بات یہ ہے کہ آپ نے تشہیر کے بارے میں ذکر کیا ہے، کیونکہ یہ وہ چیز ہے جو میرے خیال میں آپ کے کام کی ایک مخصوص خصوصیت ہے، جسے آپ نے اپنے بلاگ کے ذریعے، مختلف مضامین کے ذریعے ریاضی کو عوامی طور پر قابل رسائی بنانے کے لیے کافی کوششیں کی ہیں۔ لکھا ہے. مجھے یاد ہے کہ آپ نے اس پر بحث کی تھی۔ امریکی سائنسدان آفاقیت اور اس خیال کے بارے میں۔ ریاضی کو عوامی طور پر قابل رسائی اور قابل فہم بنانا کیوں ضروری ہے؟ میرا مطلب ہے، یہ کیا ہے جو آپ کرنے کی کوشش کر رہے ہیں؟
ٹی اے او: یہ ایک طرح سے باضابطہ طور پر ہوا۔ میرے کیریئر کے اوائل میں، ورلڈ وائڈ ویب ابھی بھی بہت نیا تھا، اور ریاضی دانوں نے مختلف مواد کے ساتھ ویب صفحات رکھنے شروع کیے، لیکن مرکزی ڈائریکٹری زیادہ نہیں تھی۔ گوگل اور اس سے پہلے، انفرادی وسائل کو تلاش کرنا دراصل مشکل تھا۔
لہذا، میں نے قسم بنانا شروع کر دیا میرے ویب پیج پر چھوٹی ڈائریکٹریز. اور میں اپنے کاغذات کے لیے ویب پیجز بھی بناؤں گا، اور میں کچھ کمنٹری بھی کروں گا۔ شروع میں، یہ میرے اپنے فائدے کے لیے زیادہ تھا، صرف ایک تنظیمی ٹول کے طور پر، صرف چیزوں کو تلاش کرنے میں میری مدد کرنا۔ ایک ضمنی پروڈکٹ کے طور پر، یہ عوام کے لیے دستیاب تھا، لیکن میں بنیادی صارف کی طرح تھا، یا کم از کم میں نے اپنے ویب صفحات کے بارے میں سوچا۔
لیکن مجھے بہت واضح طور پر یاد ہے، ایک وقت تھا جب میں نے ایک کاغذ لکھا تھا اور میں نے اسے اپنے ویب پیج پر ڈال دیا تھا، اور میرے پاس ایک چھوٹا ذیلی صفحہ تھا جس کا نام تھا "نیا کیا ہے؟" اور میں نے صرف کہا، "یہ رہا ایک کاغذ۔ اس میں ایک سوال ہے جس کا میں ابھی تک جواب نہیں دے سکا، اور مجھے نہیں معلوم کہ اسے کیسے حل کیا جائے۔" اور میں نے ابھی یہ تبصرہ کیا ہے۔ اور پھر جیسے دو دن بعد، مجھے ایک ای میل موصول ہوئی جس میں کہا گیا تھا، "اوہ، میں ابھی آپ کا ہوم پیج چیک کر رہا تھا۔ میں اس کا جواب جانتا ہوں۔ ایک کاغذ ہے جو آپ کا مسئلہ حل کر دے گا۔‘‘
اور اس نے مجھے احساس دلایا، سب سے پہلے، کہ لوگ دراصل میرے ویب پیج پر جا رہے تھے، جس کے بارے میں میں واقعی میں نہیں جانتا تھا۔ لیکن کمیونٹی کے ساتھ یہ تعامل واقعی ہو سکتا ہے - ٹھیک ہے، یہ میرے سوالات کو براہ راست حل کرنے میں میری مدد کر سکتا ہے۔
اس قانون کا نام ہے۔ نیٹ ورکنگ میں میٹکاف کا قانون یہ، آپ جانتے ہیں، اگر آپ کے پاس ہے n لوگ، اور وہ سب ایک دوسرے سے بات کرتے ہیں۔ n2 ان کے درمیان روابط. اور اس طرح، سامعین جتنا بڑا ہوگا اور فورم جتنا بڑا ہوگا جہاں ہر کوئی ہر ایک سے بات کر سکتا ہے، آپ جتنے زیادہ ممکنہ رابطے بنا سکتے ہیں اور اتنی ہی اچھی چیزیں ہو سکتی ہیں۔
میرا مطلب ہے، میرے کیریئر میں، میں نے جو دریافتیں کی ہیں، یا میں نے جو کنکشن بنائے ہیں وہ ایک غیر متوقع تعلق کی وجہ سے ہیں۔ میرے کیریئر کا پورا تجربہ اس طرح کا رہا ہے کہ زیادہ سے زیادہ کنکشنز ہونے کے برابر ہیں۔
اسٹروگیٹز: میرے خیال میں آپ جس چیز کا ذکر کر رہے ہیں اس کی ایک خوبصورت مثال ہے، لیکن میں آپ کو اس کے بارے میں بات کرتے ہوئے سننا پسند کروں گا، یہ وہ کنکشن ہیں جو آپ نے ڈیٹا سائنس میں لوگوں کے ساتھ بنائے ہیں جو طبی گونج امیجنگ سے متعلق سوالات میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ ، ایم آر آئی۔ کیا آپ ہمیں اس کہانی کے بارے میں کچھ بتا سکتے ہیں؟
ٹی اے او: تو، یہ 2006، 2005 کے بارے میں تھا، میرے خیال میں۔ لہذا، یہاں UCLA کے کیمپس میں ایک بین الضابطہ پروگرام تھا، میرے خیال میں، ملٹی اسکیل جیومیٹرک تجزیہ، یا اس طرح کی کوئی چیز، جہاں وہ خالص ریاضی دانوں کو اکٹھا کر رہے تھے جو اپنے طور پر ملٹی اسکیل قسم کی جیومیٹری میں دلچسپی رکھتے تھے، اور پھر، آپ جانتے ہیں، جن لوگوں کو ڈیٹا ٹائپ کے بہت ہی ٹھوس مسائل تھے۔
اور میں نے ابھی بے ترتیب میٹرکس تھیوری میں کچھ مسائل پر کام کرنا شروع کیا تھا، اس لیے میں کسی ایسے شخص کے طور پر جانا جاتا تھا جو میٹرکس میں ہیرا پھیری کر سکتا تھا۔ اور میں ایک ایسے شخص سے ملا جس کو میں پہلے سے جانتا تھا، ایمانوئل کینڈیز، کیونکہ اس وقت وہ کالٹیک میں بالکل اگلے دروازے پر کام کرتا تھا۔ اور وہ اور ایک اور ساتھی، جسٹن رومبرگ، انہوں نے یہ غیر معمولی واقعہ دریافت کیا تھا۔
لہذا وہ ایم آر آئی کی تصاویر کو دیکھ رہے تھے، لیکن وہ بہت سست ہیں۔ انسانی جسم کی کافی واقعی ہائی ریزولوشن امیج جمع کرنے کے لیے، یا ٹیومر کو پکڑنے کے لیے کافی ہے، یا آپ جو بھی طبی لحاظ سے اہم فیچر تلاش کرنا چاہتے ہیں، اس میں اکثر کئی منٹ لگتے ہیں کیونکہ انہیں ان تمام مختلف زاویوں کو اسکین کرنا پڑتا ہے اور پھر ڈیٹا کی ترکیب کرنا ہوتی ہے۔ . اور یہ ایک مسئلہ تھا، اصل میں، کیونکہ چھوٹے بچوں کا، مثال کے طور پر، MRI مشین میں صرف تین منٹ تک بیٹھنا کافی مشکل تھا۔
لہذا وہ کچھ لکیری الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے، ایک مختلف طریقے سے تجربہ کر رہے تھے۔ وہ 10%، 20% بہتر کارکردگی میں بہتری کی امید کر رہے تھے۔ آپ جانتے ہیں، معیاری الگورتھم کو تھوڑا سا موافقت کرکے ایک قدرے تیز تصویر۔
لہذا معیاری الگورتھم کو کم سے کم مربعوں کا تخمینہ کہا جاتا تھا، اور وہ کچھ اور کر رہے تھے، جسے کل تغیر کم سے کم کہا جاتا ہے۔ لیکن پھر جب انہوں نے کمپیوٹر سافٹ ویئر چلایا تو انہیں اپنی ٹیسٹ امیج کی تقریباً مکمل تعمیر نو کی طرح مل گیا۔ بڑے پیمانے پر، بڑے پیمانے پر بہتری۔ اور وہ اس کی وضاحت نہ کر سکے۔
لیکن ایمانوئل اس پروگرام میں تھا، اور ہم چائے یا کچھ اور پر گپ شپ کر رہے تھے۔ اور اس نے ابھی اس کا تذکرہ کیا ہے اور درحقیقت، میرا پہلا خیال یہ تھا کہ آپ نے اپنے حساب کتاب میں غلطی کی ہوگی، کہ آپ جو کہہ رہے ہیں وہ حقیقت میں ممکن نہیں ہے۔ اور مجھے یاد ہے کہ اس رات گھر واپس جا رہا تھا اور ایک حقیقی ثبوت لکھنے کی کوشش کر رہا تھا کہ جو کچھ وہ دیکھ رہے تھے وہ حقیقت میں نہیں ہو سکتا۔ اور پھر آدھے راستے میں، مجھے احساس ہوا کہ میں نے ایک مفروضہ بنا لیا ہے جو درست نہیں تھا۔ اور پھر میں نے محسوس کیا کہ اصل میں یہ کام کر سکتا ہے۔ اور پھر میں نے سوچا کہ اس کی کیا وضاحت ہو سکتی ہے۔ اور پھر ہم نے مل کر کام کیا، اور ہمیں حقیقت میں ایک اچھی وضاحت ملی اور ہم نے اسے شائع کیا۔
اور ایک بار جب ہم نے یہ کر لیا، لوگوں نے محسوس کیا کہ بہت سی دوسری صورتیں ہیں جہاں آپ کو پیمائش کرنی پڑتی ہے جس کے لیے عام طور پر بہت سارے ڈیٹا کی ضرورت ہوتی ہے، اور کچھ معاملات میں آپ بہت کم ڈیٹا لے سکتے ہیں اور پھر بھی بہت زیادہ قرارداد کی پیمائش.
لہذا اب، جدید ایم آر آئی مشینیں، مثال کے طور پر - ایک اسکین جس میں تین منٹ لگتے تھے اب 30 سیکنڈ لگ سکتے ہیں کیونکہ یہ سافٹ ویئر، یہ الگورتھم ہارڈ وائرڈ ہے، اب مشینوں میں ہارڈ کوڈڈ ہے۔
اسٹروگیٹز: یہ ایک خوبصورت کہانی ہے، یہ بہت اچھی کہانی ہے۔ میرا مطلب ہے، طبی امیجنگ کے اس تناظر میں، اہم ریاضی کے بارے میں بات کریں جو زندگیوں کو بدل رہی ہے۔ مجھے اس کی بے تکلفی اور آپ کی کھلی ذہنیت پسند ہے، آپ جانتے ہیں کہ اس خیال کو سننا اور پھر سوچنا، "یہ ناممکن ہے، میں اسے ثابت کر سکتا ہوں۔" اور پھر احساس، نہیں، اصل میں۔ ریاضی کو اس طرح کا اثر ڈالتے ہوئے دیکھنا لاجواب ہے۔
ٹھیک ہے، ٹھیک ہے، مجھے لگتا ہے کہ میں تمہیں چھوڑ دوں، ٹیری۔ آپ کے ساتھ اچھے ریاضی کے جوہر پر گفتگو کرتے ہوئے بہت خوشی ہوئی۔ آج ہمارے ساتھ شامل ہونے کا بہت بہت شکریہ۔
ٹی اے او: ہاں، نہیں، یہ خوشی کی بات ہے۔
[اشتہار داخل کرنے کے لیے وقفہ]
اسٹروگیٹز: "کیوں کی خوشی" سے ایک پوڈ کاسٹ ہے۔ کوتاٹا میگزین، ایک ادارتی طور پر آزاد اشاعت جو سائمنز فاؤنڈیشن کے ذریعہ تعاون یافتہ ہے۔ سائمنز فاؤنڈیشن کے فنڈز کے فیصلوں کا اس پوڈ کاسٹ میں یا اس میں عنوانات، مہمانوں یا دیگر ادارتی فیصلوں کے انتخاب پر کوئی اثر نہیں ہوتا ہے۔ کوتاٹا میگزین.
"کیوں کی خوشی" کی طرف سے تیار کیا جاتا ہے PRX پروڈکشنز. پروڈکشن ٹیم Caitlin Faulds، Livia Brock، Genevieve Sponsler اور Merritt Jacob ہیں۔ PRX پروڈکشن کے ایگزیکٹو پروڈیوسر جوسلین گونزالز ہیں۔ مورگن چرچ اور ایڈون اوچووا نے اضافی مدد فراہم کی۔ سے کوتاٹا میگزین، جان رینی اور تھامس لن نے ادارتی رہنمائی فراہم کی، جس میں Matt Carlstrom، Samuel Velasco، Nona Griffin، Arleen Santana اور Madison Goldberg کے تعاون سے۔
ہمارا تھیم میوزک اے پی ایم میوزک سے ہے۔ جولین لن پوڈ کاسٹ کا نام لے کر آیا۔ ایپی سوڈ آرٹ پیٹر گرین ووڈ کا ہے اور ہمارا لوگو جیکی کنگ اور کرسٹینا آرمیٹیج کا ہے۔ Cornell Broadcast Studios میں Columbia Journalism School اور Burt Odom-Reed کا خصوصی شکریہ۔
میں آپ کا میزبان ہوں، سٹیو سٹروگیٹز۔ اگر آپ کے پاس ہمارے لئے کوئی سوالات یا تبصرے ہیں، تو براہ کرم ہمیں ای میل کریں۔ . سننے کے لیے شکریہ.
- SEO سے چلنے والا مواد اور PR کی تقسیم۔ آج ہی بڑھا دیں۔
- پلیٹو ڈیٹا ڈاٹ نیٹ ورک ورٹیکل جنریٹو اے آئی۔ اپنے آپ کو بااختیار بنائیں۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹوآئ اسٹریم۔ ویب 3 انٹیلی جنس۔ علم میں اضافہ۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ای ایس جی۔ کاربن، کلین ٹیک، توانائی ، ماحولیات، شمسی، ویسٹ مینجمنٹ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ہیلتھ۔ بائیوٹیک اینڈ کلینیکل ٹرائلز انٹیلی جنس۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- ماخذ: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- : ہے
- : ہے
- : نہیں
- :کہاں
- ][p
- $UP
- 1
- 10
- 15 سال
- 15٪
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 سال
- a
- قابلیت
- ہمارے بارے میں
- اس کے بارے میں
- خلاصہ
- تجری
- AC
- قبولیت
- مقبول
- قبول کرنا
- قابل رسائی
- تک رسائی حاصل
- اکاؤنٹ
- کے پار
- اصل
- اصل میں
- Ad
- ایڈیشنل
- پتہ
- اپنانے
- آگے بڑھانے کے
- اعلی درجے کی
- ترقی
- آمد
- مشورہ
- کے بعد
- پھر
- عمر
- پہلے
- اتفاق
- آگے
- AI
- اے آئی چیٹ بوٹ
- AIR
- AIS
- یلگورتم
- زندہ
- تمام
- مختص
- کی اجازت
- تقریبا
- ساتھ
- پہلے ہی
- بھی
- اگرچہ
- ہمیشہ
- شوکیا
- امریکی
- کے درمیان
- رقم
- an
- تجزیہ
- قدیم
- اور
- ایک اور
- جواب
- کوئی بھی
- اب
- کسی
- کچھ
- علاوہ
- اپلی کیشن
- ایپل
- ایپلی کیشنز
- درخواست دینا
- قریب
- مناسب
- کیا
- رقبہ
- علاقوں
- دلیل
- دلائل
- ارد گرد
- فن
- مضمون
- مضامین
- آرٹسٹ
- AS
- پوچھنا
- پہلو
- پہلوؤں
- اسسٹنس
- مفروضہ
- ھگول سائنس
- At
- حملہ
- توجہ
- سامعین
- مصنف
- تحریر
- اتھارٹی
- مصنفین
- دستیاب
- ایوارڈ
- محور
- b
- واپس
- برا
- بینک
- بینک اکاؤنٹ
- راہ میں حائل رکاوٹیں
- بیس
- بنیادی
- BE
- خوبصورت
- خوبصورتی
- کیونکہ
- بن
- ہو جاتا ہے
- بننے
- رہا
- اس سے پہلے
- شروع کریں
- شروع
- کیا جا رہا ہے
- مخلوق
- یقین ہے کہ
- فائدہ
- BEST
- بہتر
- کے درمیان
- بگ
- بگ ڈیٹا
- بڑا
- سب سے بڑا
- بٹ
- اندھے
- بلاگ
- بلاگ مراسلات
- بلاگز
- جسم
- دونوں
- شاخیں
- چوڑائی
- توڑ
- پیش رفت
- پل
- آ رہا ہے
- وسیع
- نشر
- وسیع
- بروک
- تعمیر
- لیکن
- by
- حساب سے
- فون
- کہا جاتا ہے
- آیا
- کیمپس
- کر سکتے ہیں
- دارالحکومت
- کیریئر کے
- کیس
- مقدمات
- پکڑو
- وجوہات
- گفا
- مرکزی
- مرکزی اتھارٹی
- صدی
- کچھ
- یقینی طور پر
- چیلنج
- موقع
- تبدیل
- تبدیل کر دیا گیا
- تبدیل کرنے
- چیٹ بٹ
- چیٹنگ
- چیک کریں
- جانچ پڑتال
- انتخاب
- چرچ
- سرکل
- حلقوں
- سرکلر
- شہری
- طبقے
- کلوز
- شریک میزبان
- کوڈ
- تعاون
- تعاون
- تعاون
- ساتھی
- جمع
- کولمبیا
- کس طرح
- آتا ہے
- دومکیت
- آنے والے
- تبصرہ
- تفسیر
- تبصروں
- شے
- ابلاغ
- کمیونٹی
- مکمل
- مکمل طور پر
- پیچیدہ
- پیچیدہ
- پیچیدگی
- جزو
- کمپیوٹنگ
- کمپیوٹر
- کمپیوٹر سائنس
- کمپیوٹر سافٹ ویئر
- کمپیوٹر سے تیار کردہ
- کمپیوٹر
- تصور
- اندراج
- ٹھوس
- قیاس
- مربوط
- کنکشن
- کنکشن
- جڑتا
- قدامت پرستی
- صارفین
- رابطہ کریں
- مواد
- مقابلہ
- سیاق و سباق
- شراکت
- معاون
- متنازعہ
- آسان
- روایتی
- تقارب
- کنورجنس
- اس کے برعکس
- تبدیل
- cornell
- کونے
- درست
- سکتا ہے
- کونسل
- کورس
- بنائی
- تخلیقی
- پرانی
- اعتبار
- معیار
- تنقید
- بھیڑ
- ثقافتی
- ثقافت
- کرنسی
- کمی
- خطرے
- اعداد و شمار
- ڈیٹا سائنس
- ڈیٹا سیٹ
- ڈیٹا بیس
- دن
- بحث
- فیصلے
- گہری
- گہرے
- وضاحت
- ضرور
- مظاہرہ
- شعبہ
- انحصار کرتا ہے
- بیان
- مستحق ہے
- تفصیلات
- کا تعین
- ترقی
- ترقی یافتہ
- DID
- مختلف
- مشکل
- ہندسے
- طول و عرض
- براہ راست
- ڈائریکٹریز
- نظم و ضبط
- دریافت
- دریافت
- بات چیت
- بات چیت
- خلل
- مخصوص
- واضح طور پر
- ڈی این اے
- do
- دستاویز
- کرتا
- نہیں کرتا
- کر
- ڈومین
- نہیں
- دروازے
- نیچے
- نیچے کی طرف
- حرکیات
- ہر ایک
- ابتدائی
- زمین
- معیشت کو
- ایڈیٹر
- اداریاتی
- تعلیم
- اساتذہ
- ایڈون
- تاثیر
- ہنر
- کوشش
- آئنسٹائن
- یا تو
- ہاتھی
- بیضوی
- اور
- ورنہ
- ای میل
- بااختیار بنانے
- کے قابل بناتا ہے
- کو فعال کرنا
- تصادم
- آخر
- کافی
- پوری
- مکمل
- پرکرن
- برابر
- برابر
- مساوات
- دور
- خرابی
- خاص طور پر
- مضمون نویسی
- جوہر
- بھی
- آخر میں
- ہر کوئی
- سب
- سب
- سب کچھ
- بالکل
- امتحان
- مثال کے طور پر
- مثال کے طور پر
- بہت پرجوش
- دلچسپ
- ایگزیکٹو
- ایگزیکٹو پروڈیوسر
- ورزش
- موجودہ
- موجود ہے
- توسیع
- تجربہ
- تجرباتی
- استعمال
- تجربات
- ماہرین
- وضاحت
- کی وضاحت
- وضاحت
- وضاحت کی
- ایکسپلور
- حد تک
- انتہائی
- حقیقت یہ ہے
- منصفانہ
- کافی
- گر
- جھوٹی
- واقف
- مشہور
- بہت اچھا
- دور
- دلچسپ
- پسندیدہ
- نمایاں کریں
- محسوس
- محسوس ہوتا ہے
- ساتھی
- خرابی
- چند
- میدان
- قطعات
- سمجھا
- اعداد و شمار
- آخر
- مل
- تلاش
- پہلا
- سیال
- سیال حرکیات۔
- توجہ مرکوز
- توجہ مرکوز
- کے لئے
- رسمی طور پر
- باضابطہ طور پر
- آگے
- فورم
- ملا
- فاؤنڈیشن
- چار
- لومڑی
- کسر
- دوست
- سے
- بنیادی
- فنڈنگ
- عجیب
- مستقبل
- کھیل ہی کھیل میں
- دی
- جنرل
- پیدا
- نسل
- بے لوث
- ستادوستی
- حاصل
- ملتا
- حاصل کرنے
- GitHub کے
- دے دو
- Go
- جاتا ہے
- جا
- گولڈن
- اچھا
- بہت اعلی
- گوگل
- ملا
- چلے
- عظیم
- يونانی
- Greenwood کے
- گرفن
- گول
- گارڈ
- اندازہ ہے
- مہمانوں
- رہنمائی
- تھا
- آدھی رات
- ہاتھ
- ہو
- ہوا
- ہو رہا ہے۔
- ہوتا ہے
- ہارڈ
- ہے
- ہونے
- he
- صحت مند
- سن
- سماعت
- ہیج ہاگ
- مدد
- مدد
- مدد کرتا ہے
- یہاں
- ہائی
- اعلی سطحی
- بهترین ریزولوشن
- اعلی
- نمایاں کریں
- اسے
- خود
- ان
- تاریخ
- کلی
- ہوم پیج (-)
- ہوم پیج
- گھر کا کام
- قابل قدر
- امید ہے کہ
- امید
- امید کر
- میزبان
- HOT
- کس طرح
- کیسے
- HTTPS
- بھاری
- بھاری
- انسانی
- انسانی پڑھنے کے قابل
- سینکڑوں
- i
- خیال
- نظریات
- خیالات
- شناخت
- if
- تصویر
- تصاویر
- تصور
- امیجنگ
- اثر
- مؤثر
- اہم
- ناممکن
- بہتری
- in
- مائل
- شامل
- سمیت
- آزاد
- انفرادی
- اثر و رسوخ
- بااثر
- ذاتی، پیدائشی
- ابتدائی طور پر
- بصیرت
- بصیرت
- فوری طور پر
- ضم
- دانشورانہ
- املاک دانش
- ارادہ
- بات چیت
- انٹرایکٹو
- دلچسپی
- دلچسپی
- دلچسپ
- انٹرنیٹ
- میں
- تعارف
- انترجشتھان
- آلودگی
- فون
- الگ الگ
- IT
- میں
- ایوب
- جان
- شمولیت
- ہمارے ساتھ شامل ہونا
- کے ساتھ گفتگو
- جرنل
- صحافت
- خوشی
- صرف
- رکھی
- کلیدی
- مطلوبہ الفاظ
- بچوں
- بچے
- قسم
- بادشاہ
- جان
- جانا جاتا ہے
- جانتا ہے
- لینڈ
- زبان
- زبانیں
- بڑے
- بڑے پیمانے پر
- بڑے
- بعد
- قانون
- جانیں
- سیکھنے
- کم سے کم
- کم
- دو
- سطح
- زندگی
- زندگی سائنس
- کی طرح
- حدود
- لمیٹڈ
- لن
- لائن
- لکیری
- لائنوں
- سن
- تھوڑا
- زندگی
- منطقی
- علامت (لوگو)
- لانگ
- اب
- دیکھو
- کی طرح دیکھو
- تلاش
- دیکھنا
- کھو
- بہت
- لاٹوں
- محبت
- مشین
- مشینیں
- بنا
- میگزین
- اکثریت
- بنا
- بناتا ہے
- بنانا
- انتظام
- بہت سے
- مارکیٹ
- بڑے پیمانے پر
- ریاضی
- ریاضیاتی
- ریاضی طور پر
- ریاضی
- میٹرکس
- میٹ
- معاملہ
- عقلمند و سمجھدار ہو
- مئی..
- شاید
- me
- مطلب
- ماپا
- پیمائش
- میڈیا
- طبی
- طبی عکس زنی
- اراکین
- مرد
- ذکر
- ذکر کیا
- کے ساتھ
- میٹرک۔
- شاید
- دس لاکھ
- ذہنوں
- کم سے کم
- منٹ
- منٹ
- غلط تصورات
- غلطی
- طریقوں
- جدید
- طریقوں
- قیمت
- زیادہ
- مورگن
- سب سے زیادہ
- حرکات
- یمآرآئ
- بہت
- موسیقی
- ضروری
- my
- خود
- اسرار
- بولی
- نام
- ضرورت ہے
- ضرورت
- ضروریات
- نہ ہی
- کبھی نہیں
- نئی
- خبر
- اگلے
- اچھا
- رات
- نہیں
- اور نہ ہی
- عام طور پر
- کچھ بھی نہیں
- نوٹیفیکیشن
- اب
- Nuance ہم
- تعداد
- تعداد
- اعتراض
- مقصد
- اشیاء
- مشاہدہ
- واضح
- OCHOA
- اکتوبر
- of
- اکثر
- oh
- ٹھیک ہے
- on
- ایک بار
- ایک
- والوں
- آن لائن
- صرف
- مبہم
- اوپن سورس
- اوپنپن
- رائے
- امید
- or
- نامیاتی طور پر
- تنظیمی
- دیگر
- دیگر
- ہمارے
- باہر
- فرسودہ
- پیداوار
- باہر
- پر
- خود
- پیک
- پیک
- صفحات
- کاغذ.
- کاغذات
- متوازی
- جزوی
- خاص طور پر
- خاص طور پر
- حصے
- منظور
- گزشتہ
- لوگ
- فیصد
- کامل
- کارکردگی
- مستقل
- انسان
- پیٹر
- رجحان
- جسمانی
- طبعی علوم
- جسمانی طورپر
- طبعیات
- اٹھایا
- ٹکڑا
- پلاٹا
- افلاطون ڈیٹا انٹیلی جنس
- افلاطون کی
- پلیٹو ڈیٹا
- مہربانی کرکے
- خوشی
- podcast
- پوڈکاسٹنگ
- شاعری
- پوائنٹ
- نقطہ نظر
- پوائنٹس
- درپیش
- مثبت
- ممکن
- مراسلات
- ممکنہ
- طاقت
- طاقتور
- پریکٹس
- طریقوں
- ٹھیک ہے
- پریزنٹیشن
- خوبصورت
- روکتا ہے
- پہلے
- پرائمری
- وزیر اعظم
- آدم
- انعام
- مسئلہ
- مسائل
- تیار
- پروڈیوسر
- پیداوار
- پروڈکشنز
- ٹیچر
- پروگرام
- پیش رفت
- منصوبوں
- قابل عمل
- ثبوت
- ثبوت
- مناسب طریقے سے
- جائیداد
- جائیداد کے حقوق
- محفوظ
- فخر
- ثابت کریں
- ثابت
- فراہم
- فراہم
- فراہم کرنے
- ثابت
- عوامی
- اشاعت
- عوامی طور پر
- شائع
- شائع
- پبلشنگ
- پاک
- خالص
- مقصد
- پیچھا کرنا
- دھکیلنا
- ڈال
- رکھتا ہے
- کوانٹا میگزین
- سوال
- سوالات
- خاموشی سے
- بہت
- بے ترتیب
- بلکہ
- تناسب
- قارئین
- اصلی
- حقیقی دنیا
- حقیقت
- احساس
- احساس ہوا
- احساس کرنا
- واقعی
- وجہ
- کساد بازاری
- ریکارڈ
- کو کم
- حوالہ
- کہا جاتا ہے
- متعلقہ
- تعلقات
- تناسب
- جاری
- یاد
- ہٹا دیا گیا
- ذخیرہ
- ضرورت
- کی ضرورت ہے
- تحقیق
- حل کیا
- گونج
- وسائل
- وسائل
- جواب
- ذمہ داری سے
- نتیجہ
- نتائج کی نمائش
- انکشاف
- نظر ثانی
- انقلابی
- ٹھیک ہے
- حقوق
- رنگ
- اضافہ
- کردار
- تقریبا
- رن
- کہا
- اسی
- کا کہنا ہے کہ
- یہ کہہ
- کا کہنا ہے کہ
- اسکین
- سکول
- سائنس
- سائنس
- تلاش کریں
- دوسری
- سیکنڈ
- دیکھنا
- دیکھ کر
- لگتا ہے
- لگ رہا تھا
- لگتا ہے
- دیکھا
- حصے
- منتخب
- انتخاب
- خود ہدایت
- سزا
- علیحدہ
- سرورز
- سیٹ
- کئی
- سائز
- سیکنڈ اور
- منتقل
- مختصر
- ہونا چاہئے
- کی طرف
- اسی طرح
- سادہ
- سادہ
- آسان
- آسان بنانے
- آسان بنانا
- بعد
- ایک
- بیٹھ
- بیٹھنا
- حالات
- مہارت
- سست
- چھوٹے
- بو
- So
- سماجی
- سوشل میڈیا
- سوسائٹی
- سافٹ ویئر کی
- التجا
- حل
- حل کرنا۔
- کچھ
- کسی طرح سے
- کسی
- کچھ
- کبھی کبھی
- کچھ بھی نہیں
- کہیں
- اسی طرح
- کوشش کی
- آواز
- ماخذ
- ذرائع
- خلا
- مقامی
- خصوصی
- خصوصی
- قیاس
- نمائش
- خرچ
- Spotify
- چوک میں
- چوکوں
- معیار
- اسٹینفورڈ
- شروع کریں
- شروع
- شروع
- شروع ہوتا ہے
- بیان
- امریکہ
- رہنا
- مرحلہ
- مراحل
- سٹیو
- ابھی تک
- اسٹاک
- اسٹاک مارکیٹ
- پتھر
- کہانی
- براہ راست
- ترقی
- طالب علم
- طلباء
- مطالعہ
- اسٹوڈیوز
- مطالعہ
- مطالعہ
- موضوع
- کامیاب
- اس طرح
- پتہ چلتا ہے
- حمایت
- تائید
- سطح
- حیران کن
- حیرت انگیز
- مشکوک
- synthesize
- سسٹمز
- لے لو
- لیتا ہے
- لینے
- بات
- بات کر
- مذاکرات
- ٹھوس
- کاموں
- چائے
- پڑھانا
- ٹیم
- ٹیکنیکل
- تکنیک
- تکنیکی
- بتا
- کیا کرتے ہیں
- دہلی
- ٹیسٹ
- سے
- شکریہ
- کہ
- ۔
- علاقہ
- مستقبل
- دنیا
- ان
- ان
- موضوع
- تو
- نظریاتی
- نظریہ
- وہاں.
- لہذا
- یہ
- وہ
- بات
- چیزیں
- لگتا ہے کہ
- سوچنا
- تھرڈ
- تیسری نسل
- اس
- اگرچہ؟
- سوچا
- تین
- تین جہتی
- کے ذریعے
- وقت
- کرنے کے لئے
- آج
- مل کر
- بھی
- کے آلے
- اوزار
- موضوعات
- کل
- چھو
- روایتی
- ٹریننگ
- تبدیل
- علاج کیا
- درخت
- رجحانات
- کوشش کی
- سچ
- بھروسہ رکھو
- کوشش
- کی کوشش کر رہے
- ٹیومر
- ٹرننگ
- دیتا ہے
- tweaking
- ٹویٹر
- دو
- قسم
- اقسام
- ucla
- اجاگر
- سمجھ
- فہم
- افہام و تفہیم
- سمجھا
- غیر متوقع
- متحد
- یونین
- یونٹ
- متحدہ
- جب تک
- غیر معمولی
- اپ لوڈ کرنا
- صلی اللہ علیہ وسلم
- UPS
- us
- استعمال کی شرائط
- استعمال کیا جاتا ہے
- مفید
- کا استعمال کرتے ہوئے
- عام طور پر
- کی افادیت
- استعمال
- قیمتی
- قیمت
- قابل قدر
- اقدار
- متغیر
- مختلف
- وی آر۔
- اس بات کی تصدیق
- بہت
- VET
- ویڈیوز
- لنک
- دیکھا
- وائرل
- نقطہ نظر
- کے
- انتظار کر رہا ہے
- چاہتے ہیں
- چاہتے تھے
- تھا
- دیکھ
- پانی
- راستہ..
- طریقوں
- we
- پہننے
- ویب
- ویبپی
- آپ کا استقبال ہے
- خیر مقدم کیا
- اچھا ہے
- تھے
- کیا
- کیا ہے
- جو کچھ بھی
- جب
- جبکہ
- چاہے
- جس
- جبکہ
- ڈبلیو
- پوری
- کیوں
- وسیع
- بڑے پیمانے پر
- وسیع پیمانے پر
- چلائیں
- وکیپیڈیا
- گے
- فاتح
- حکمت
- ساتھ
- کے اندر
- بغیر
- سوچ
- لفظ
- WordPress
- کام
- کام کیا
- کام کر
- کام
- دنیا
- ورلڈ وائڈ ویب
- فکر مند
- فکر
- گا
- زبردست
- لکھنا
- تحریری طور پر
- لکھا
- غلط
- لکھا ہے
- سال
- جی ہاں
- ابھی
- آپ
- اور
- زیفیرنیٹ