انکوڈنگ بلیک باکسز سے ڈیکوڈرز کی یونیورسل تعمیر

افلاطون کے ذریعہ دوبارہ شائع کیا گیا۔

فالونگ: 0

ساتوشی یوشیدا¹, اکی ہیتو سویڈا^1,2,3، اور میو موراؤ^1,4

¹ڈیپارٹمنٹ آف فزکس، گریجویٹ سکول آف سائنس، ٹوکیو یونیورسٹی، ہونگو 7-3-1، بنکیو-کو، ٹوکیو 113-0033، جاپان
²انفارمیٹکس ریسرچ ڈویژن کے اصول، نیشنل انسٹی ٹیوٹ آف انفارمیٹکس، 2-1-2 Hitotsubashi, Chiyoda-ku, Tokyo 101-8430, Japan
³شعبہ انفارمیٹکس، سکول آف ملٹی ڈسپلنری سائنسز، SOKENDAI (The Graduate University for Advanced Studies)، 2-1-2 Hitotsubashi, Chiyoda-ku, Tokyo 101-8430, Japan
⁴ٹرانس اسکیل کوانٹم سائنس انسٹی ٹیوٹ، ٹوکیو یونیورسٹی، بنکیو کو، ٹوکیو 113-0033، جاپان

اس کاغذ کو دلچسپ لگتا ہے یا اس پر بات کرنا چاہتے ہیں؟ SciRate پر تبصرہ کریں یا چھوڑیں۔.

خلاصہ

آئسومیٹری آپریشنز ان پٹ سسٹم کی کوانٹم معلومات کو بڑے آؤٹ پٹ سسٹم میں انکوڈ کرتے ہیں، جبکہ متعلقہ ڈی کوڈنگ آپریشن انکوڈنگ آئیسومیٹری آپریشن کا الٹا آپریشن ہوگا۔ ایک $d$-dimensional سسٹم سے $D$-dimensional سسٹم تک بلیک باکس کے طور پر انکوڈنگ آپریشن کو دیکھتے ہوئے، ہم isometry inversion کے لیے ایک عالمگیر پروٹوکول تجویز کرتے ہیں جو انکوڈنگ آپریشن کی متعدد کالوں سے ایک ڈیکوڈر بناتا ہے۔ یہ ایک امکانی لیکن قطعی پروٹوکول ہے جس کی کامیابی کا امکان $D$ سے آزاد ہے۔ $n$ qubits میں انکوڈ کردہ qubit ($d=2$) کے لیے، ہمارا پروٹوکول کسی بھی ٹوموگرافی پر مبنی یا وحدانی-ایمبیڈنگ کے طریقہ کار کے مقابلے میں نمایاں بہتری حاصل کرتا ہے، جو $D$-انحصار سے بچ نہیں سکتا۔ ہم ایک کوانٹم آپریشن پیش کرتے ہیں جو کسی بھی دیے گئے آئیسومیٹری آپریشن کی متعدد متوازی کالوں کو بے ترتیب متوازی یونٹری آپریشنز میں تبدیل کرتا ہے، ہر ایک طول $d$۔ ہمارے سیٹ اپ پر لاگو ہوتا ہے، یہ انکوڈ شدہ کوانٹم معلومات کو عالمی طور پر $D$-آزاد جگہ پر کمپریس کرتا ہے، جبکہ ابتدائی کوانٹم معلومات کو برقرار رکھتا ہے۔ اس کمپریسنگ آپریشن کو ایک وحدانی الٹا پروٹوکول کے ساتھ جوڑا جاتا ہے تاکہ isometry inversion کو مکمل کیا جا سکے۔ ہم isometry پیچیدہ کنجوگیشن اور isometry transposition کا تجزیہ کرکے اپنے isometry inversion Protocol اور معروف یونٹری inversion پروٹوکول کے درمیان ایک بنیادی فرق بھی دریافت کرتے ہیں۔ متوازی پروٹوکولز پر کامیابی کے امکان میں کسی بھی بہتری کے لیے سیمی ڈیفینیٹ پروگرامنگ کا استعمال کرتے ہوئے عام پروٹوکولز بشمول غیر معینہ وجہ کی ترتیب کو تلاش کیا جاتا ہے۔ ہمیں $d = 2$ اور $D = 3$ کے لیے یونیورسل آئیسومیٹری الٹنے کا ایک ترتیب وار "کامیابی یا ڈرا" پروٹوکول ملتا ہے، اس طرح ان پٹ آئسومیٹری آپریشن کی کالوں کی تعداد میں متوازی پروٹوکول کے مقابلے میں کامیابی کا امکان تیزی سے بہتر ہوتا ہے۔ کہا کیس.

نمایاں تصویر: یہ کام ایک کوانٹم سرکٹ پیش کرتا ہے جو ایک بلیک باکس انکوڈر کو متعلقہ ڈیکوڈر میں تبدیل کرتا ہے۔

► BibTeX ڈیٹا

@article{Yoshida2023universal, doi = {10.22331/q-2023-03-20-957}, url = {https://doi.org/10.22331/q-2023-03-20-957}، عنوان = {عالمگیر تعمیر انکوڈنگ بلیک باکسز سے ڈیکوڈرز}، مصنف = {یوشیدا، ساتوشی اور سویڈا، اکیہیٹو اور موراؤ، مائیو}، جرنل = {{کوانٹم}}، issn = {2521-327X}، پبلشر = {{Verein Zur F{“{ o}}rderung des Open Access Publizierens in den Quantenwissenschaften}}، جلد = {7}، صفحات = {957}، مہینہ = مارچ، سال = {2023} }

► حوالہ جات

ہے [1] ایم اے نیلسن اور آئی ایل چوانگ، کوانٹم کمپیوٹیشن اینڈ کوانٹم انفارمیشن، 10 واں ایڈیشن۔ (کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2010)۔
https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667

ہے [2] G. Chiribella, GM D'Ariano, اور MF Sacchi, Phys. Rev. A 72, 042338 (2005)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.72.042338

ہے [3] A. Bisio, G. Chiribella, GM D'Ariano, S. Facchini, and P. Perinotti, Phys. Rev. A 81, 032324 (2010a)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.81.032324

ہے [4] M. Sedlák, A. Bisio, اور M. Ziman, Phys. Rev. Lett. 122، 170502 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.170502

ہے [5] Y. Yang, R. Renner, اور G. Chiribella, Phys. Rev. Lett. 125، 210501 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.210501

ہے [6] M. Sedlák اور M. Ziman، Phys. Rev. A 102, 032618 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.102.032618

ہے [7] G. Chiribella, GM D'Ariano, اور P. Perinotti, Phys. Rev. Lett. 101، 180504 (2008a)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.180504

ہے [8] A. Bisio, GM D'Ariano, P. Perinotti, and M. Sedlak, Phys. لیٹ A 378، 1797 (2014)۔
https://doi.org/10.1016/j.physleta.2014.04.042

ہے [9] W. Dür، P. Sekatski، اور M. Skotiniotis، Phys. Rev. Lett. 114، 120503 (2015)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.114.120503

ہے [10] G. Chiribella, Y. Yang, اور C. Huang, Phys. Rev. Lett. 114، 120504 (2015)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.114.120504

ہے [11] ایم سلیمانفر اور وی کریم پور، فز۔ Rev. A 93, 012344 (2016)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.93.012344

ہے [12] M. Mičuda, R. Stárek, I. Straka, M. Miková, M. Sedlák, M. Ježek, and J. Fiurášek, Phys. Rev. A 93، 052318 (2016)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.93.052318

ہے [13] A. Bisio, G. Chiribella, GM D'Ariano, S. Facchini, and P. Perinotti, Phys. Rev. Lett. 102، 010404 (2009)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.010404

ہے [14] A. Bisio, G. Chiribella, GM D'Ariano, اور P. Perinotti, Phys. Rev. A 82, 062305 (2010b)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.82.062305

ہے [15] J. Miyazaki, A. Soeda, and M. Murao, Phys. Rev. Research 1, 013007 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevResearch.1.013007

ہے [16] جی چیریبیلا اور ڈی ایبلر، نیو جے فز۔ 18، 093053 (2016)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/18/9/093053

ہے [17] M. Navascués، Phys. Rev. X 8, 031008 (2018)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevX.8.031008

ہے [18] MT Quintino, Q. Dong, A. Shimbo, A. Soeda, and M. Murao, Phys. Rev. Lett. 123، 210502 (2019a)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.210502

ہے [19] MT Quintino, Q. Dong, A. Shimbo, A. Soeda, and M. Murao, Phys. Rev. A 100, 062339 (2019b)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.100.062339

ہے [20] MT Quintino اور D. Ebler، Quantum 6, 679 (2022)۔
https://doi.org/10.22331/q-2022-03-31-679

ہے [21] ایس ڈی بارٹلیٹ، ٹی روڈولف، آر ڈبلیو سپیکنز، اور پی ایس ٹرنر، نیو جے فز۔ 11، 063013 (2009)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/11/6/063013

ہے [22] M. Araújo, A. Feix, F. Costa, and Č. بروکنر، نیو جے فز۔ 16، 093026 (2014)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/16/9/093026

ہے [23] A. Bisio، M. Dall'Arno، اور P. Perinotti، Phys. Rev. A 94, 022340 (2016)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.94.022340

ہے [24] Q. Dong, S. Nakayama, A. Soeda, and M. Murao, arXiv:1911.01645 (2019)۔
آر ایکس سی: 1911.01645

ہے [25] ایس ملز، ایف اے پولاک، اور کے مودی، فز۔ Rev. A 98, 012108 (2018a)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.98.012108

ہے [26] S. Milz, FA Pollock, TP Le, G. Chiribella, and K. Modi, New J. Phys. 20، 033033 (2018b)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/aaafee

ہے [27] FA Pollock, C. Rodríguez-Rosario, T. Frauenheim, M. Paternostro, and K. Modi, Phys. Rev. Lett. 120، 040405 (2018a)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.120.040405

ہے [28] ایف اے پولاک اور کے مودی، کوانٹم 2، 76 (2018)۔
https://doi.org/10.22331/q-2018-07-11-76

ہے [29] FA Pollock, C. Rodríguez-Rosario, T. Frauenheim, M. Paternostro, and K. Modi, Phys. Rev. A 97, 012127 (2018b)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.97.012127

ہے [30] F. Sakuldee, S. Milz, FA Pollock, and K. Modi, J. Phys. A 51، 414014 (2018)۔
https://doi.org/10.1088/1751-8121/aabb1e

ہے [31] MR Jørgensen اور FA Pollock، Phys. Rev. Lett. 123، 240602 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.240602

ہے [32] P. Taranto, FA Pollock, S. Milz, M. Tomamichel, and K. Modi, Phys. Rev. Lett. 122، 140401 (2019a)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.140401

ہے [33] P. Taranto، S. Milz، FA Pollock، اور K. Modi، Phys. Rev. A 99, 042108 (2019b)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.99.042108

ہے [34] ایس ملز، ایم ایس کم، ایف اے پولاک، اور کے مودی، فز۔ Rev. Lett. 123، 040401 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.040401

ہے [35] S. Milz, D. Egloff, P. Taranto, T. Theurer, MB Plenio, A. Smirne, and SF Huelga, Phys. Rev. X 10, 041049 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevX.10.041049

ہے [36] ایس ملز اور کے مودی، پی آر ایکس کوانٹم 2، 030201 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.030201

ہے [37] C. Giarmatzi اور F. Costa، Quantum 5, 440 (2021)۔
https://doi.org/10.22331/q-2021-04-26-440

ہے [38] T. Theurer، D. Egloff، L. Zhang، اور MB Plenio، Phys. Rev. Lett. 122، 190405 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.190405

ہے [39] E. Chitambar اور G. Gour, Reviews of Modern Physics 91, 025001 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/RevModPhys.91.025001

ہے [40] جی گور اور اے ونٹر، فز۔ Rev. Lett. 123، 150401 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.150401

ہے [41] Z.-W. Liu and A. Winter, arXiv:1904.04201 (2019)۔
آر ایکس سی: 1904.04201

ہے [42] G. Gour and CM Scandolo, arXiv:2101.01552 (2021a)۔
آر ایکس سی: 2101.01552

ہے [43] جی گور اور سی ایم اسکینڈولو، فز۔ Rev. Lett. 125، 180505 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.180505

ہے [44] G. Gour and CM Scandolo, Physical Review A 103, 062422 (2021b)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.103.062422

ہے [45] Y. Liu اور X. Yuan، Phys. Rev. Research 2, 012035(R) (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevResearch.2.012035

ہے [46] X. Yuan, P. Zeng, M. Gao, and Q. Zhao, arXiv:2012.02781 (2020)۔
آر ایکس سی: 2012.02781

ہے [47] T. Theurer، S. Satyajit، اور MB Plenio، Phys. Rev. Lett. 125، 130401 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.130401

ہے [48] بی ریگولا اور آر تاکاگی، نیٹ۔ کمیون 12، 4411 (2021)۔
https://doi.org/10.1038/s41467-021-24699-0

ہے [49] ایس چن اور ای چتامبر، کوانٹم 4، 299 (2020)۔
https://doi.org/10.22331/q-2020-07-16-299

ہے [50] ایچ کرسٹ جانسن، جی چیریبیلا، ایس سالک، ڈی ایبلر، اور ایم ولسن، نیو جے فز۔ 22، 073014 (2020)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/ab8ef7

ہے [51] C.-Y. Hsieh, PRX Quantum 2, 020318 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.020318

ہے [52] G. Gour, PRX Quantum 2, 010313 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.010313

ہے [53] T. Altenkirch اور J. Grattage، 20 ویں سالانہ IEEE سمپوزیم آن لاجک ان کمپیوٹر سائنس (LICS' 05)، 249 (2005)۔
https://doi.org/10.1109/LICS.2005.1

ہے [54] ایم ینگ، کوانٹم پروگرامنگ کی بنیادیں (مورگن کافمین، 2016)۔

ہے [55] G. Chiribella, GM D'Ariano, and P. Perinotti, EPL (Europhysics Letters) 83, 30004 (2008b)۔
https://doi.org/10.1209/0295-5075/83/30004

ہے [56] G. Chiribella، GM D'Ariano، اور P. Perinotti، Phys. Rev. A 80, 022339 (2009)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.80.022339

ہے [57] D. Kretschmann اور RF Werner، Phys. Rev. A 72, 062323 (2005)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.72.062323

ہے [58] G. Gutoski اور J. Watrous، تھیوری آف کمپیوٹنگ (2007) پی پی 565-574 پر XNUMXویں سالانہ ACM سمپوزیم کی کارروائی میں۔
https://doi.org/10.1145/1250790.1250873

ہے [59] AW Harrow, A. Hassidim, and S. Lloyd, Phys. Rev. Lett. 103، 150502 (2009)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.150502

ہے [60] D. Gottesman, Phys. Rev. A 61، 042311 (2000)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.61.042311

ہے [61] ایم ایم وائلڈ، کوانٹم انفارمیشن تھیوری (کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2013)۔
https://doi.org/10.1017/CBO9781139525343

ہے [62] CH Bennett، IBM جرنل آف ریسرچ اینڈ ڈویلپمنٹ 17، 525 (1973)۔
https://doi.org/10.1147/rd.176.0525

ہے [63] S. Aaronson, D. Grier, and L. Schaeffer, arXiv:1504.05155 (2015)۔
آر ایکس سی: 1504.05155

ہے [64] M. Horodecki، PW Shor، اور MB Ruskai، Rev. Math. طبیعیات 15، 629 (2003)۔
https:///doi.org/10.1142/S0129055X03001709

ہے [65] ایم محسنی، اے ٹی رضاخانی، اور ڈی اے لیدار، فز۔ Rev. A 77, 032322 (2008)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.77.032322

ہے [66] ڈی گوٹسمین اور آئی ایل چوانگ، نیچر 402، 390 (1999)۔
https://doi.org/10.1038/46503

ہے [67] S. Ishizaka اور T. Hiroshima, Phys. Rev. Lett. 101، 240501 (2008)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.240501

ہے [68] M. Studziński, S. Strelchuk, M. Mozrzymas, اور M. Horodecki, Sci. Rep. 7, 10871 (2017)۔
https://doi.org/10.1038/s41598-017-10051-4

ہے [69] L. Gyongyosi اور S. Imre, Sci. Rep. 10, 11229 (2020)۔
https://doi.org/10.1038/s41598-020-67014-5

ہے [70] O. Oreshkov، F. Costa، اور Č. بروکنر، نیٹ۔ کمیون 3، 1092 (2012)۔
https://doi.org/10.1038/ncomms2076

ہے [71] G. Chiribella, GM D'Ariano, P. Perinotti, and B. Valiron, Phys. Rev. A 88، 022318 (2013)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.88.022318

ہے [72] M. Araújo, C. Branciard, F. Costa, A. Feix, C. Giarmatzi, and Č. بروکنر، نیو جے فز۔ 17، 102001 (2015)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/17/10/102001

ہے [73] J. Wechs، AA ایبٹ، اور C. Branciard، New J. Phys. 21، 013027 (2019)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/aaf352

ہے [74] A. Bisio اور P. Perinotti, Proceedings of the Royal Society A: ریاضی، طبعی اور انجینئرنگ سائنسز 475، 20180706 (2019)۔
https://doi.org/10.1098/rspa.2018.0706

ہے [75] W. Yokojima, MT Quintino, A. Soeda, and M. Murao, Quantum 5, 441 (2021)۔
https://doi.org/10.22331/q-2021-04-26-441

ہے [76] A. Vanrietvelde, H. Kristjánsson, and J. Barrett, Quantum 5, 503 (2021)۔
https://doi.org/10.22331/q-2021-07-13-503

ہے [77] اے ڈبلیو ہیرو، پی ایچ ڈی۔ مقالہ، میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی (2005)، arXiv:quant-ph/0512255۔
arXiv:quant-ph/0512255

ہے [78] ڈی بیکن، آئی ایل چوانگ، اور اے ڈبلیو ہیرو، فز۔ Rev. Lett. 97، 170502 (2006)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.97.170502

ہے [79] ایچ کرووی، کوانٹم 3، 122 (2019)۔
https://doi.org/10.22331/q-2019-02-14-122

ہے [80] Y. Yang, G. Chiribella, اور G. Adesso, Phys. Rev. A 90, 042319 (2014)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.90.042319

ہے [81] Q. Dong, MT Quintino, A. Soeda, and M. Murao, Phys. Rev. Lett. 126، 150504 (2021a)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.126.150504

ہے [82] MATLAB، ورژن 9.11.0 (R2021b) (The MathWorks Inc., Natick, Massachusetts, 2021)۔

ہے [83] https:///github.com/mtcq/unitary_inverse۔
https:///github.com/mtcq/unitary_inverse

ہے [84] M. گرانٹ اور S. Boyd، CVX: متلب سافٹ ویئر برائے نظم و ضبط محدب پروگرامنگ، ورژن 2.2، http:///cvxr.com/cvx (2020)۔
http:///cvxr.com/cvx

ہے [85] M. گرانٹ اور S. Boyd، سیکھنے اور کنٹرول میں حالیہ پیشرفت میں، کنٹرول اور انفارمیشن سائنسز میں لیکچر نوٹس، V. Blondel، S. Boyd، اور H. Kimura (Springer-Verlag Limited، 2008) pp. 95– 110، http:///stanford.edu/ boyd/graph_dcp.html۔
http:///stanford.edu/~boyd/graph_dcp.html

ہے [86] https://yalmip.github.io/download/۔
https://yalmip.github.io/download/

ہے [87] جے لوفبرگ، سی اے سی ایس ڈی کانفرنس کی کارروائی میں (تائی پے، تائیوان، 2004)۔
https:///doi.org/10.1109/CACSD.2004.1393890

ہے [88] https://blog.nus.edu.sg/mattohkc/softwares/sdpt3/۔
https://blog.nus.edu.sg/mattohkc/softwares/sdpt3/

ہے [89] K.-C. Toh، MJ Todd، اور RH Tütüncü، اصلاح کے طریقے اور سافٹ ویئر 11، 545 (1999)۔
https://doi.org/10.1080/10556789908805762

ہے [90] RH Tütüncü, K.-C. ٹوہ، اور ایم جے ٹوڈ، ریاضیاتی پروگرامنگ 95، 189 (2003)۔
https://doi.org/10.1007/s10107-002-0347-5

ہے [91] جے ایف سٹرم، آپٹیمائزیشن کے طریقے اور سافٹ ویئر 11، 625 (1999)۔
https://doi.org/10.1080/10556789908805766

ہے [92] M. ApS، MATLAB مینوئل کے لیے MOSEK آپٹیمائزیشن ٹول باکس۔ ورژن 9.3.6۔ (2021)۔
https:///docs.mosek.com/latest/toolbox/index.html

ہے [93] B. O'Donoghue, E. Chu, N. Parikh, and S. Boyd, SCS: Splitting conic solver, version 3.0.0, https:///github.com/cvxgrp/scs (2019)۔
https:///github.com/cvxgrp/scs

ہے [94] N. Johnston, QETLAB: کوانٹم اینگلمنٹ کے لیے ایک MATLAB ٹول باکس، ورژن 0.9، http:///qetlab.com (2016)۔
https://doi.org/10.5281/zenodo.44637
http://qetlab.com

ہے [95] https:///github.com/sy3104/isometry_inversion۔
https:///github.com/sy3104/isometry_inversion

ہے [96] https://opensource.org/licenses/MIT۔
https://opensource.org/licenses/MIT

ہے [97] M. Araújo، A. Feix، M. Navascués، اور Č. بروکنر، کوانٹم 1، 10 (2017)۔
https://doi.org/10.22331/q-2017-04-26-10

ہے [98] N. Iwahori، Symmetric Group اور General Linear Group کی نمائندگی کا نظریہ: Irreducible Characters, Young Diagrams and Decomposition of Tensor Spaces (Iwanami, 1978)۔

ہے [99] B. Sagan, The Symmetric Group: Representations, Combinatorial algorithms, and symmetric functions, Vol. 203 (اسپرنگر سائنس اینڈ بزنس میڈیا، 2001)۔

ہے [100] T. Kobayashi اور T. Oshima، Lie Groups and Representation Theory (Iwanami, 2005)

ہے [101] Q. Dong, MT Quintino, A. Soeda, and M. Murao, arXiv:2106.00034 (2021b)۔
آر ایکس سی: 2106.00034

کی طرف سے حوالہ دیا گیا

[1] نکی کائی ہانگ لی، کارنیلیا سپی، مارٹن ہیبین سٹریٹ، جولیو آئی ڈی وِسنٹ، اور باربرا کراؤس، "غیر معمولی مقامی الجھنوں کی تبدیلیوں کے ساتھ کثیر الجہتی ریاستوں کے خاندانوں کی شناخت"، آر ایکس سی: 2302.03139, (2023).

[2] ڈینیل ایبلر، Michał Horodecki، Marcin Marciniak، Tomasz Młynik، Marco Túlio Quintino، اور Michał Studziński، "وحدانی پیچیدہ کنجوجیشن کے لیے بہترین یونیورسل کوانٹم سرکٹس"، آر ایکس سی: 2206.00107, (2022).

مذکورہ بالا اقتباسات سے ہیں۔ SAO/NASA ADS (آخری بار کامیابی کے ساتھ 2023-03-21 02:56:46)۔ فہرست نامکمل ہو سکتی ہے کیونکہ تمام ناشرین مناسب اور مکمل حوالہ ڈیٹا فراہم نہیں کرتے ہیں۔

On Crossref کی طرف سے پیش خدمت کاموں کے حوالے سے کوئی ڈیٹا نہیں ملا (آخری کوشش 2023-03-21 02:56:45)۔

یہ مقالہ کوانٹم میں کے تحت شائع کیا گیا ہے۔ Creative Commons انتساب 4.0 انٹرنیشنل (CC BY 4.0) لائسنس کاپی رائٹ اصل کاپی رائٹ ہولڈرز جیسے مصنفین یا ان کے اداروں کے پاس رہتا ہے۔