1دہلم سینٹر فار کمپلیکس کوانٹم سسٹمز، فری یونیورسٹی برلن، 14195 برلن، جرمنی
2انسٹی ٹیوٹ فار انٹیگریٹڈ سرکٹس، جوہانس کیپلر یونیورسٹی لنز، آسٹریا
3سینٹر فار کوانٹم کمپیوٹیشن اینڈ کمیونیکیشن ٹیکنالوجی، سینٹر فار کوانٹم سافٹ ویئر اینڈ انفارمیشن، یونیورسٹی آف ٹیکنالوجی سڈنی، NSW 2007، آسٹریلیا
4Helmholtz-Zentrum Berlin für Materialien und Energie, Hahn-Meitner-Platz 1, 14109 Berlin, Germany
اس کاغذ کو دلچسپ لگتا ہے یا اس پر بات کرنا چاہتے ہیں؟ SciRate پر تبصرہ کریں یا چھوڑیں۔.
خلاصہ
کوانٹم سمولیشن، کوانٹم کمپیوٹرز پر کوانٹم پروسیسز کا تخروپن، کنڈینسڈ میٹر فزکس، کوانٹم کیمسٹری، اور میٹریل سائنس میں مسائل کے موثر تخروپن کے لیے آگے کا راستہ تجویز کرتا ہے۔ اگرچہ کوانٹم سمولیشن الگورتھم کی اکثریت تعییناتی ہے، خیالات کے ایک حالیہ اضافے نے یہ ظاہر کیا ہے کہ بے ترتیب ہونے سے الگورتھمک کارکردگی کو بہت فائدہ پہنچ سکتا ہے۔ اس کام میں، ہم کوانٹم سمولیشن کے لیے ایک اسکیم متعارف کراتے ہیں جو ایک طرف بے ترتیب کمپائلنگ کے فوائد اور اعلیٰ ترتیب والے ملٹی پروڈکٹ فارمولوں کو یکجا کرتی ہے، جیسا کہ وہ مثال کے طور پر لکیری-کمبی نیشن-آف-یونٹریز (LCU) الگورتھم یا کوانٹم ایرر میں استعمال ہوتے ہیں۔ تخفیف، دوسری طرف. ایسا کرتے ہوئے، ہم بے ترتیب نمونے لینے کا ایک فریم ورک تجویز کرتے ہیں جس کے قابل پروگرام کوانٹم سمیلیٹروں کے لیے مفید ہونے کی امید ہے اور اس کے مطابق دو نئے ملٹی پروڈکٹ فارمولہ الگورتھم پیش کرتے ہیں۔ ہمارا فریم ورک معیاری LCU طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ملٹی پروڈکٹ فارمولوں کے نفاذ کے لیے درکار فراموشی طول و عرض کی ضرورت کو روکنے کے ذریعے سرکٹ کی گہرائی کو کم کرتا ہے، اسے خاص طور پر ابتدائی کوانٹم کمپیوٹرز کے لیے مفید بناتا ہے جو مکمل کارکردگی کے بجائے کوانٹم سسٹمز کی حرکیات کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ کوانٹم مرحلے کا تخمینہ ہمارے الگورتھم ایک نقلی غلطی حاصل کرتے ہیں جو سرکٹ کی گہرائی کے ساتھ تیزی سے سکڑ جاتی ہے۔ ان کے کام کاج کی تصدیق کرنے کے لیے، ہم کارکردگی کی سخت حدود کے ساتھ ساتھ بے ترتیب نمونے لینے کے طریقہ کار کے ارتکاز کو بھی ثابت کرتے ہیں۔ ہم ہیملٹونیوں کی کئی جسمانی طور پر معنی خیز مثالوں کے لیے نقطہ نظر کے کام کا مظاہرہ کرتے ہیں، بشمول فرمیونک نظام اور سچدیو–ی–کیتایو ماڈل، جس کے لیے یہ طریقہ کوشش میں ایک سازگار پیمانہ فراہم کرتا ہے۔
نمایاں تصویر: مشاہداتی اشیاء کی حرکیات کا اندازہ لگانے کے لیے متعارف کرائے گئے بے ترتیب نمونے لینے کے فریم ورک کا جائزہ۔ اہمیت کے نمونے لینے کے لیے ملٹی پروڈکٹ فارمولہ تیار کرنے کے بعد، ہم اپنے کام کے الگورتھم 1 کو ایک سادہ، بے ترتیب انداز میں نافذ کرنے کے لیے چلا سکتے ہیں۔ اگرچہ یہ جائزہ پہلے سے ہی وقت کے ارتقاء کے لیے اس کے استعمال اور قابل مشاہدہ کی حرکیات کا اندازہ لگانے کی طرف اشارہ کرتا ہے، یہ نتائج عام کثیر پروڈکٹ فارمولوں پر لاگو ہوتے ہیں۔
مقبول خلاصہ
لیکن ایک نیا کلیدی جزو ہے جو یہاں داخل ہوتا ہے جو کوانٹم کئی باڈی سسٹمز کی نقل کرنے کے کام کو آسان بناتا ہے: یہ بے ترتیب پن ہے۔ ہر رن میں درست نتیجہ کی طرف لے جانے کے لیے الگورتھم سے پوچھنا بہت زیادہ ہے۔ اس کے بجائے، صرف اوسط پر درست ہونا وسائل کے لحاظ سے بہت زیادہ موثر ہے۔
نتیجتاً، ہم تصادفی طور پر گیٹس لگانے کی تجویز پیش کرتے ہیں، اوسطاً اعلیٰ ترتیب والی اسکیموں کے لیے درکار مطلوبہ سپرپوزیشنز پیدا کرتے ہوئے، زیادہ درست نفاذ کو جنم دیتے ہیں۔ ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ یہ بے ترتیب تالیف زیادہ درست، اعلیٰ ترتیب والی اسکیموں کے فوائد کو برقرار رکھتے ہوئے پیچیدہ کوانٹم سرکٹس کی ضرورت سے گریز کرتی ہے۔
یہ کام نئی تکنیکوں کو متعارف کرایا ہے جو کوانٹم سمیلیٹروں کو قابل عمل کوانٹم آلات کے درمیانی نظام میں پہلے سے ہی قابل عمل بناتی ہے۔ اس طرح یہ قریبی اور درمیانی مدت کے آلات کے لیے زیادہ موزوں ہے۔ اس کی تقابلی سادگی کی وجہ سے، ہماری اسکیم قابل پروگرام کوانٹم سمیلیٹرز پر بھی لاگو ہو سکتی ہے۔ ترقی یافتہ فریم ورک کے اندر، نئے طریقوں کے لیے بہت زیادہ امکانات ہیں، مثال کے طور پر، زمینی ریاستوں کا تعین کرنے کے زیادہ موثر طریقے۔
► BibTeX ڈیٹا
► حوالہ جات
ہے [1] A. Acín, I. Bloch, H. Buhrman, T. Calarco, C. Eichler, J. Eiser, D. Esteve, N. Gisin, SJ Glaser, F. Jelezko, S. Kuhr, M. Lewenstein, MF Riedel, PO Schmidt, R. Thew, A. Wallraff, I. Walmsley, and FK Wilhelm. "کوانٹم ٹیکنالوجیز روڈ میپ: ایک یورپی کمیونٹی ویو"۔ نیو جے فز 20، 080201 (2018)۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/aad1ea
ہے [2] ایس لائیڈ۔ "یونیورسل کوانٹم سمیلیٹر"۔ سائنس 273، 1073–1078 (1996)۔
https://doi.org/10.1126/science.273.5278.1073
ہے [3] D. Aharonov اور A. Ta-Shma. "اڈیبیٹک کوانٹم اسٹیٹ جنریشن اور شماریاتی صفر علم"۔ arXiv:quant-ph/0301023۔ (2003)۔
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/0301023
arXiv:quant-ph/0301023
ہے [4] DW Berry, G. Ahokas, R. Cleve, and BC Sanders. "ویرل ہیملٹونیوں کی تقلید کے لیے موثر کوانٹم الگورتھم"۔ کمیون ریاضی طبیعیات 270، 359–371 (2007)۔
https:///doi.org/10.1007/s00220-006-0150-x
ہے [5] N. Wiebe, D. Berry, P. Høyer, اور BC Sanders. "آرڈرڈ آپریٹر کے ایکسپونینشلز کی ہائی آرڈر ڈکمپوزیشنز"۔ J. طبیعیات A 43، 065203 (2010)۔
https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/6/065203
ہے [6] N. Wiebe، DW Berry، P. Høyer، اور BC Sanders۔ "کوانٹم کمپیوٹر پر کوانٹم ڈائنامکس کی نقل کرنا"۔ J. طبیعیات A 44، 445308 (2011)۔
https://doi.org/10.1088/1751-8113/44/44/445308
ہے [7] ڈی پولن، اے کیری، آر سوما، اور ایف ورسٹریٹ۔ "وقت پر منحصر ہیملٹونیوں کا کوانٹم تخروپن اور ہلبرٹ اسپیس کا آسان وہم"۔ طبیعیات Rev. Lett. 106، 170501 (2011)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.170501
ہے [8] M. Kliesch, T. Barthel, C. Gogolin, M. Kastoryano, اور J. Eisert. "Disipative کوانٹم چرچ-Turing تھیوریم"۔ طبیعیات Rev. Lett. 107، 120501 (2011)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.120501
ہے [9] R. Sweke, M. Sanz, I. Sinayskiy, F. Petruccione, and E. Solano. "متعدد باڈی نان مارکوویئن ڈائنامکس کا ڈیجیٹل کوانٹم سمولیشن"۔ طبیعیات Rev. A 94, 022317 (2016)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.94.022317
ہے [10] AM Childs, D. Maslov, Y. Nam, NJ Ross, and Y. Su. "کوانٹم سپیڈ اپ کے ساتھ پہلے کوانٹم سمولیشن کی طرف"۔ PNAS 115, 9456–9461 (2018)۔
https://doi.org/10.1073/pnas.1801723115
ہے [11] AM Childs, Y. Su, MC Tran, N. Wiebe, and S. Zhu. "کمیوٹیٹر اسکیلنگ کے ساتھ ٹراٹر کی غلطی کا نظریہ"۔ طبیعیات Rev. X 11, 011020 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevX.11.011020
ہے [12] AM Childs اور Y. Su. "مصنوعات کے فارمولوں کے ذریعے تقریباً بہترین جالی نقلی"۔ طبیعیات Rev. Lett. 123، 050503 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.050503
ہے [13] اے ایم چائلڈز اور این ویبی۔ "وحدانی کارروائیوں کے لکیری امتزاج کا استعمال کرتے ہوئے ہیملٹونین تخروپن"۔ کوانٹ Inf. کمپ 12، 901–924 (2012)۔
https://doi.org/10.26421/QIC12.11-12-1
ہے [14] GH Low, V. Kliuchnikov, اور N. Wiebe. "اچھی طرح سے کنڈیشنڈ ملٹی پروڈکٹ ہیملٹونین سمولیشن"۔ arXiv:1907.11679۔ (2019)۔
https://doi.org/10.48550/arXiv.1907.11679
آر ایکس سی: 1907.11679
ہے [15] ڈی ڈبلیو بیری، اے ایم چائلڈز، اور آر کوٹھاری۔ "تمام پیرامیٹرز پر تقریبا زیادہ سے زیادہ انحصار کے ساتھ ہیملٹونین تخروپن"۔ 2015 IEEE 56 ویں سالانہ سمپوزیم آن کمپیوٹر سائنس کی بنیادیں (2015)۔
https:///doi.org/10.1109/focs.2015.54
ہے [16] ڈی ڈبلیو بیری، اے ایم چائلڈز، آر کلیو، آر کوٹھاری، اور آر ڈی سوما۔ "ویرل ہیملٹونین کی تقلید کے لیے درستگی میں نمایاں بہتری"۔ تھیوری آف کمپیوٹنگ (2014) پر چھیالیسویں سالانہ ACM سمپوزیم کی کارروائی۔
https://doi.org/10.1145/2591796.2591854
ہے [17] ڈی ڈبلیو بیری، اے ایم چائلڈز، آر کلیو، آر کوٹھاری، اور آر ڈی سوما۔ "چھوٹی ہوئی ٹیلر سیریز کے ساتھ ہیملٹن کی حرکیات کی نقل کرنا"۔ طبیعیات Rev. Lett. 114، 090502 (2015)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.114.090502
ہے [18] جی ایچ لو اور آئی ایل چوانگ۔ "ہیملٹونین تخروپن بذریعہ کوئبٹائزیشن"۔ کوانٹم 3، 163 (2019)۔
https://doi.org/10.22331/q-2019-07-12-163
ہے [19] S. Endo, Z. Cai, SC Benjamin, اور X. Yuan. "ہائبرڈ کوانٹم کلاسیکل الگورتھم اور کوانٹم غلطی کی تخفیف"۔ J. طبیعیات Soc جاپ 90، 032001 (2021)۔
https://doi.org/10.7566/JPSJ.90.032001
ہے [20] ای ٹی کیمبل۔ "وحدت کو ملا کر کوانٹم کمپیوٹنگ کے لیے گیٹ کی مختصر ترتیب"۔ طبیعیات Rev. A 95, 042306 (2017)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.95.042306
ہے [21] ای ٹی کیمبل۔ "تیز ہیملٹونین تخروپن کے لئے بے ترتیب کمپائلر"۔ طبیعیات Rev. Lett. 123، 070503 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.070503
ہے [22] AM Childs, A. Ostrander, and Y. Su. "رینڈمائزیشن کے ذریعے تیز تر کوانٹم سمولیشن"۔ کوانٹم 3، 182 (2019)۔
https://doi.org/10.22331/q-2019-09-02-182
ہے [23] Y. Ouyang، DR White، اور ET Campbell۔ تالیف از اسٹاکسٹک ہیملٹنین اسپارسیفیکیشن۔ کوانٹم 4, 235 (2020)۔
https://doi.org/10.22331/q-2020-02-27-235
ہے [24] C.-F. چن، H.-Y. ہوانگ، R. Kueng، اور JA Tropp. "بے ترتیب مصنوعات کے فارمولوں کے لیے ارتکاز"۔ PRX کوانٹم 2، 040305 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.040305
ہے [25] J. پریسکل۔ "NISQ دور میں کوانٹم کمپیوٹنگ اور اس سے آگے"۔ کوانٹم 2، 79 (2018)۔
https://doi.org/10.22331/q-2018-08-06-79
ہے [26] ایم سوزوکی۔ "فریکٹل پاتھ کا عمومی نظریہ متعدد باڈی تھیوریز اور شماریاتی طبیعیات کے اطلاق کے ساتھ جڑتا ہے"۔ جے ریاضی طبیعیات 32، 400–407 (1991)۔
https://doi.org/10.1063/1.529425
ہے [27] S. Blanes، F. Casas، اور J. Ros. "سمپلیکٹک انٹیگریٹرز کا ایکسٹراپولیشن"۔ سیل میچ ڈائن Astr. 75، 149–161 (1999)۔
https://doi.org/10.1023/A:1008364504014
ہے [28] ایس اے چن۔ "ملٹی پروڈکٹ کی تقسیم اور Runge-Kutta-Nyström انٹیگریٹرز"۔ سیل میچ ڈائن Astr. 106، 391–406 (2010)۔
https://doi.org/10.1007/s10569-010-9255-9
ہے [29] ایچ یوشیدا۔ "ہائی آرڈر سمپلیکٹک انٹیگریٹرز کی تعمیر"۔ طبیعیات کے خطوط A 150، 262–268 (1990)۔
https://doi.org/10.1016/0375-9601(90)90092-3
ہے [30] ڈبلیو ہوفڈنگ۔ "باؤنڈڈ بے ترتیب متغیرات کی رقم کے لیے امکانی عدم مساوات"۔ جے ایم اسٹیٹ گدا 58، 13–30 (1963)۔
https://doi.org/10.1080/01621459.1963.10500830
ہے [31] Q. شینگ "قطعی تقسیم کے ذریعہ لکیری جزوی تفریق مساوات کو حل کرنا"۔ IMA جرنل آف عددی تجزیہ 9، 199–212 (1989)۔
https://doi.org/10.1093/imanum/9.2.199
ہے [32] TA Bespalova اور O. Kyriienko. "توانائی کی پیمائش اور زمینی ریاست کی تیاری کے لیے ہیملٹونین آپریٹر کا تخمینہ"۔ PRX کوانٹم 2، 030318 (2021)۔
https:///doi.org/10.1103/PRXQuantum.2.030318
ہے [33] H.-Y ہوانگ، R. Kueng، اور J. Preskill. "بہت کم پیمائشوں سے کوانٹم سسٹم کی بہت سی خصوصیات کی پیش گوئی کرنا"۔ نیچر فز۔ 16، 1050–1057 (2020)۔
https://doi.org/10.1038/s41567-020-0932-7
ہے [34] ایل لی کیم۔ "تقسیم کے مقامی طور پر غیر علامتی طور پر عام خاندان۔ تقسیم کے خاندانوں کے لیے کچھ قربت اور نظریہ تخمینہ اور جانچ کے مفروضوں میں ان کا استعمال"۔ یونیورسٹی کیلیفورنیا پبلی شماریات 3، 37–98 (1960)۔
ہے [35] ایف ایس وی بازان۔ "یونٹ ڈسک میں نوڈس کے ساتھ مستطیل وینڈرمونڈ میٹرکس کی کنڈیشنگ"۔ سیام جے میٹ ایک. ایپ 21، 679–693 (2000)۔
https:///doi.org/10.1137/S0895479898336021
ہے [36] MEA El-Mikkawy. "عمومی وینڈرمونڈ میٹرکس کا واضح الٹا"۔ اپل ریاضی کمپ 146، 643–651 (2003)۔
https://doi.org/10.1016/S0096-3003(02)00609-4
ہے [37] ڈی ای ناتھ۔ کمپیوٹر پروگرامنگ کا فن: بنیادی الگورتھم۔ کمپیوٹر سائنس اور انفارمیشن پروسیسنگ میں ایڈیسن-ویزلی سیریز میں نمبر v. 1-2۔ ایڈیسن ویسلی۔ (1973)۔ بعد کے ایڈیشن.
ہے [38] آر ببش، ڈی ڈبلیو بیری، اور ایچ نیوین۔ "سچدیو-ی-کیتایو ماڈل کا کوانٹم سمولیشن بذریعہ غیر متناسب کیوبیٹائزیشن"۔ طبیعیات Rev. A 99, 040301 (2019)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.99.040301
ہے [39] JR McClean, NC Rubin, KJ Sung, ID Kivlichan, X. Bonet-Monroig, Y. Cao, C. Dai, ES Fried, C. Gidney, B. Gimby, P. Gokhale, T. Häner, T. Hardikar, V . Havlíček, O. Higgott, C. Huang, J. Izaac, Z. Jiang, X. Liu, S. McArdle, M. Neeley, T. O'Brien, B. O'Gorman, I. O'fidan, MD Radin, J. Romero, NPD Sawaya, B. Senjean, K. Setia, S. Sim, DS Steiger, M. Steudtner, Q. Sun, W. Sun, D. Wang, F. Zhang, and R. Babbush. "اوپن فرمیون: کوانٹم کمپیوٹرز کے لیے الیکٹرانک ڈھانچہ پیکج"۔ کوانٹ ایس سی ٹیک 5، 034014 (2020)۔
https:///doi.org/10.1088/2058-9565/ab8ebc
ہے [40] S. Trotzky, Y.-A. چن، اے فلیسچ، آئی پی میک کلوچ، یو سکولوک، جے ایسرٹ، اور آئی بلوچ۔ "ایک الگ تھلگ مضبوطی سے منسلک ایک جہتی بوس گیس میں توازن کی طرف نرمی کی جانچ کرنا"۔ نیچر فز۔ 8، 325–330 (2012)۔
https://doi.org/10.1038/nphys2232
ہے [41] A. Parra-Rodriguez, P. Lougovski, L. Lamata, E. Solano, اور M. Sanz. "ڈیجیٹل اینالاگ کوانٹم کمپیوٹیشن"۔ طبیعیات Rev. A 101, 022305 (2020)۔
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.101.022305
ہے [42] R. Sweke, P. Boes, N. Ng, C. Sparaciari, J. Eisert, اور M. Goihl. "سائنسی CO2nduct اقدام کے ذریعے تحقیق سے متعلق گرین ہاؤس گیسوں کے اخراج کی شفاف رپورٹنگ"۔ کمیونیکیشن فزکس 5 (2022)۔
https://doi.org/10.1038/s42005-022-00930-2
کی طرف سے حوالہ دیا گیا
[1] اینڈریو ایم چائلڈز، یوآن سو، من سی ٹران، ناتھن ویبی، اور شوچن زو، "ٹروٹر ایرر کا نظریہ"، آر ایکس سی: 1912.08854.
[2] نیٹلی کلوکو، الیسنڈرو روگیرو، اور مارٹن جے سیویج، "معیاری ماڈل فزکس اور ڈیجیٹل کوانٹم انقلاب: انٹرفیس کے بارے میں خیالات"، طبیعیات میں پیش رفت پر رپورٹس 85 6, 064301 (2022).
[3] ٹرائے جے سیول اور کرسٹوفر ڈیوڈ وائٹ، "مانا اور تھرملائزیشن: پروبنگ دی فزیبلٹی آف کلفورڈ ہیملٹونین سمولیشن"، آر ایکس سی: 2201.12367.
[4] Robert I. McLachlan، "Tuning Symplectic Integrators آسان اور قابل قدر ہے"، کمپیوٹیشنل فزکس میں مواصلات 31 3, 987 (2022).
[5] یونگڈان یانگ، بنگ-نان لو، اور ینگ لی، "شور کوانٹم کمپیوٹر پر کم ہونے والی خرابی کے ساتھ تیز رفتار کوانٹم مونٹی کارلو"، PRX کوانٹم 2 4، 040361 (2021).
Xiantao Li، "کوانٹم فیز تخمینہ الگورتھم کے لیے کچھ غلطی کا تجزیہ"، جرنل آف فزکس ایک ریاضی کا جنرل 55 32, 325303 (2022).
[7] Chi-Fang Chen، Hsin-Yuan Huang، Richard Kueng، اور Joel A. Tropp، "Concentration for Random Product Formulas"، PRX کوانٹم 2 4، 040305 (2021).
[8] جیکب واٹکنز، ناتھن ویبی، الیسنڈرو روگیرو، اور ڈین لی، "وقت پر منحصر ہیملٹونین سمولیشن ڈسکریٹ کلاک کنسٹرکشن کا استعمال کرتے ہوئے"، آر ایکس سی: 2203.11353.
[9] Mingxia Huo اور Ying Li، "تصوراتی وقت کی خامی سے بچنے والا مونٹی کارلو کوانٹم سمولیشن"، آر ایکس سی: 2109.07807.
[10] Zhicheng Zhang، Qisheng Wang، اور Mingsheng Ying، "Hamiltonian Simulation کے لیے متوازی کوانٹم الگورتھم"، آر ایکس سی: 2105.11889.
[11] لنگنگ لاؤ اور ڈین ای براؤن، "2QAN: ایک کوانٹم کمپائلر برائے 2-لوکل کوبٹ ہیملٹنین سمولیشن الگورتھم"، آر ایکس سی: 2108.02099.
[12] Changhao Yi، "بڑے ٹراٹر قدم کے ساتھ ڈیجیٹل اڈیبیٹک تخروپن کی کامیابی"، جسمانی جائزہ A 104 5, 052603 (2021).
[13] Yi Hu, Fanxu Meng, Xiaojun Wang, Tian Luan, Yulong Fu, Zaichen Zhang, Xianchao Zhang, and Xutao Yu, "قریب مدتی کوانٹم سمولیشن کے لیے لالچی الگورتھم پر مبنی سرکٹ آپٹیمائزیشن"، کوانٹم سائنس اور ٹیکنالوجی 7 4, 045001 (2022).
[14] میتھیو ہیگن اور ناتھن ویبی، "کمپوزٹ کوانٹم سمولیشنز"، آر ایکس سی: 2206.06409.
مذکورہ بالا اقتباسات سے ہیں۔ SAO/NASA ADS (آخری بار کامیابی کے ساتھ 2022-09-19 22:19:07)۔ فہرست نامکمل ہو سکتی ہے کیونکہ تمام ناشرین مناسب اور مکمل حوالہ ڈیٹا فراہم نہیں کرتے ہیں۔
On Crossref کی طرف سے پیش خدمت کاموں کے حوالے سے کوئی ڈیٹا نہیں ملا (آخری کوشش 2022-09-19 22:19:05)۔
یہ مقالہ کوانٹم میں کے تحت شائع کیا گیا ہے۔ Creative Commons انتساب 4.0 انٹرنیشنل (CC BY 4.0) لائسنس کاپی رائٹ اصل کاپی رائٹ ہولڈرز جیسے مصنفین یا ان کے اداروں کے پاس رہتا ہے۔
