اگر آپ اس مہینے ریاضی کی خبروں کو فالو کر رہے ہیں، تو آپ کو معلوم ہوگا کہ 35 سالہ نمبر تھیوریسٹ جیمز مینارڈ نے کامیابی حاصل کی۔ فیلڈز میڈل۔ - ایک ریاضی دان کے لیے سب سے بڑا اعزاز۔ مینارڈ کو ریاضی کے ایسے سوالات پسند ہیں جو "ایک ہائی اسکول کے طالب علم کو سمجھانے کے لیے کافی آسان ہیں لیکن ریاضی دانوں کو صدیوں تک سٹمپ کرنے کے لیے کافی مشکل ہیں،" Quanta رپورٹ کے مطابق، اور ان سادہ سوالوں میں سے ایک یہ ہے: جیسے جیسے آپ نمبر لائن کے ساتھ باہر جاتے ہیں، کیا ہمیشہ ایسے پرائم نمبرز ہونے چاہئیں جو ایک دوسرے کے قریب ہوں؟
آپ نے دیکھا ہوگا کہ ریاضی دانوں کو بنیادی نمبروں کا جنون ہے۔ ان کو کیا کھینچتا ہے؟ شاید یہ حقیقت ہے کہ بنیادی اعداد ریاضی کے کچھ بنیادی ڈھانچے اور اسرار کو مجسم کرتے ہیں۔ پرائمز ہمیں ایک منفرد فیکٹرائزیشن کے ساتھ ہر نمبر کی درجہ بندی اور درجہ بندی کرنے کی اجازت دے کر ضرب کی کائنات کا نقشہ بناتے ہیں۔ لیکن اگرچہ انسان ضرب کے آغاز سے ہی پرائمز کے ساتھ کھیل رہے ہیں، ہمیں ابھی تک قطعی طور پر یقین نہیں ہے کہ پرائمز کہاں ظاہر ہوں گے، وہ کتنے پھیلے ہوئے ہیں، یا انہیں کتنے قریب ہونا چاہیے۔ جہاں تک ہم جانتے ہیں، پرائم نمبرز کسی سادہ پیٹرن کی پیروی نہیں کرتے۔
ان بنیادی اشیاء کے ساتھ ہماری دلچسپی سینکڑوں مختلف قسم کے پرائمز کی ایجاد یا دریافت کا باعث بنی ہے: مرسین پرائمز (فارم 2 کے پرائمزn − 1)، متوازن پرائمز (پرائمز جو دو پڑوسی پرائمز کی اوسط ہیں)، اور سوفی جرمین پرائمز (ایک پرائمز) p اس طرح کہ 2p + 1 بھی پرائم ہے)، چند ناموں کے لیے۔
نمبروں کے ساتھ کھیلنے اور کچھ نیا دریافت کرنے سے ان خاص پرائمز میں دلچسپی بڑھی۔ یہ "ڈیجیٹل نازک پرائمز" کے بارے میں بھی سچ ہے، اس فہرست میں ایک حالیہ اضافہ جس کے نتیجے میں سب سے بنیادی سوالات کے بارے میں کچھ حیران کن نتائج سامنے آئے ہیں: مخصوص قسم کے پرائمز کتنے نایاب یا عام ہو سکتے ہیں؟
اس سوال کی تعریف کرنے کے لیے، آئیے پہلے دلچسپ حقائق میں سے ایک کے ساتھ شروع کریں جو ایک خواہش مند نمبر کے شوقین کو سیکھتا ہے: لامحدود طور پر بہت سے بنیادی اعداد ہیں۔ اقلید نے 2,000 سال پہلے ریاضی کی تمام تاریخ میں تضاد کے لحاظ سے مشہور ترین ثبوتوں میں سے ایک کا استعمال کرتے ہوئے یہ ثابت کیا۔ اس نے یہ فرض کر کے شروع کیا کہ صرف بہت سے پرائمز ہیں اور سب کا تصور کیا ہے۔ n ان میں سے ایک فہرست میں:
$lateexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
پھر اس نے کچھ ہوشیار کیا: اس نے نمبر کے بارے میں سوچا $latexq=p_1 گنا p_2 گنا p_3 گنا … بار p_n+1$۔
محسوس کرو اسے q پرائمز کی فہرست میں نہیں ہو سکتا، کیونکہ یہ فہرست میں موجود ہر چیز سے بڑا ہے۔ لہذا اگر پرائمز کی ایک محدود فہرست موجود ہے، تو یہ نمبر q پرائم نہیں ہو سکتا۔ لیکن اگر q اعظم نہیں ہے، اسے اپنے علاوہ کسی اور چیز سے قابل تقسیم ہونا چاہیے اور 1۔ اس کے نتیجے میں، اس کا مطلب یہ ہے۔ q ضروری ہے۔ فہرست میں کچھ پرائم کے ذریعے تقسیم کیا جا سکتا ہے، لیکن راستے کی وجہ سے q تعمیر کیا جاتا ہے، تقسیم کیا جاتا ہے q فہرست میں کسی بھی چیز سے 1 کا باقی رہ جاتا ہے۔ تو بظاہر q نہ تو پرائم ہے اور نہ ہی کسی پرائمز کے ذریعے تقسیم کیا جا سکتا ہے، جو کہ ایک تضاد ہے جس کا نتیجہ یہ ماننے سے ہوتا ہے کہ صرف بہت سے پرائمز ہیں۔ اس لیے اس تضاد سے بچنے کے لیے درحقیقت لامحدود بہت سے پرائمز ہونے چاہئیں۔
یہ دیکھتے ہوئے کہ ان میں سے بہت سارے ہیں، آپ کو لگتا ہے کہ ہر قسم کے پرائمز کو تلاش کرنا آسان ہے، لیکن اگلی چیزوں میں سے ایک جو ایک پرائم نمبر کا جاسوس سیکھتا ہے وہ یہ ہے کہ پرائمز کو کیسے پھیلایا جا سکتا ہے۔ لگاتار پرائم نمبرز کے درمیان خالی جگہوں کے بارے میں ایک سادہ نتیجہ، جسے پرائم گیپس کہتے ہیں، کافی حیران کن بات کہتا ہے۔
پہلے 10 بنیادی نمبروں میں سے — 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23 اور 29 — آپ ایسے خلا کو دیکھ سکتے ہیں جو ایک یا زیادہ جامع نمبروں پر مشتمل ہوں (وہ اعداد جو بنیادی نہیں ہیں، جیسے 4، 12 یا 27)۔ آپ ان فرقوں کو درمیان کے جامع نمبروں کو گن کر ناپ سکتے ہیں: مثال کے طور پر، 0 اور 2 کے درمیان سائز 3 کا فرق، 1 اور 3 اور 5 اور 5 دونوں کے درمیان سائز 7 کا فرق، 3 کے درمیان سائز 7 کا فرق اور 11، اور اسی طرح. اس فہرست میں سب سے بڑا پرائم گیپ پانچ جامع نمبروں پر مشتمل ہے — 24، 25، 26، 27 اور 28 — 23 اور 29 کے درمیان۔
اب ناقابل یقین نتیجہ کے لیے: پرائم گیپس من مانی طور پر طویل ہو سکتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ جہاں تک آپ تصور کر سکتے ہیں لگاتار پرائم نمبرز موجود ہیں۔ شاید اتنا ہی ناقابل یقین ہے کہ اس حقیقت کو ثابت کرنا کتنا آسان ہے۔
ہمارے پاس پہلے سے ہی اوپر کی لمبائی 5 کا بنیادی فرق ہے۔ کیا لمبائی 6 میں سے ایک ہو سکتی ہے؟ ایک تلاش کرنے کی امید میں پرائمز کی فہرستیں تلاش کرنے کے بجائے، ہم اسے خود بنائیں گے۔ ایسا کرنے کے لیے ہم بنیادی گنتی کے فارمولوں میں استعمال ہونے والے فیکٹریل فنکشن کا استعمال کریں گے: تعریف کے مطابق، $latexn!=n times(n-1) اوقات (n-2) اوقات … اوقات 3 گنا 2 گنا 1$، مثال کے طور پر $ latex3!=3 گنا 2 گنا 1 = 6$ اور $latex5!=5 گنا 4 گنا 3 گنا 2 گنا 1=120$۔
اب آئیے اپنا بنیادی فرق بنائیں۔ لگاتار نمبروں کی درج ذیل ترتیب پر غور کریں:
$latex 7!+2$، $latex7!+3$، $latex 7!+4$، $latex7!+5$، $latex 7!+6$، $latex 7!+7$۔
چونکہ $latex7!=7 گنا 6 گنا 5 گنا 4 گنا 3 گنا 2 گنا 1$، ہماری ترتیب میں پہلا نمبر، $latex7!+2$، 2 سے تقسیم ہوتا ہے، جسے آپ تھوڑی بہت فیکٹرنگ کے بعد دیکھ سکتے ہیں:
$latex7!+2=7 گنا 6 گنا 5 گنا 4 گنا 3 گنا 2 گنا 1+2$
$لیٹیکس = 2(7 گنا 6 گنا 5 گنا 4 گنا 3 گنا 1+1)$۔
اسی طرح، دوسرا نمبر، $latex7!+3$، 3 سے قابل تقسیم ہے۔
$latex7!+3=7 گنا 6 گنا 5 گنا 4 گنا 3 گنا 2 گنا 1+3$
$لیٹیکس = 3(7 گنا 6 گنا 5 گنا 4 گنا 2 گنا 1+1)$۔
اسی طرح، 7! + 4 4، 7 سے قابل تقسیم ہے! + 5 از 5، 7! + 6 از 6، اور 7! + 7 بائی 7، جس سے 7 بنتا ہے! +2، 7! +3، 7! + 4، 7! +5، 7! +6، 7! + 7 لگاتار چھ مرکب نمبروں کا ایک سلسلہ۔ ہمارے پاس کم از کم 6 کا پرائم گیپ ہے۔
اس حکمت عملی کو عام کرنا آسان ہے۔ ترتیب
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$۔
$latexn-1$ لگاتار جامع نمبروں کا ایک سلسلہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ، کسی بھی n، کم از کم $latexn-1$ کی لمبائی کے ساتھ ایک بنیادی فرق ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ من مانی طور پر لمبے پرائم گیپس ہیں، اور اسی طرح قدرتی اعداد کی فہرست کے ساتھ ساتھ ایسی جگہیں ہیں جہاں قریب ترین پرائمز 100، یا 1,000، یا یہاں تک کہ 1,000,000,000 نمبروں کے علاوہ ہیں۔
ان نتائج میں ایک کلاسک تناؤ دیکھا جا سکتا ہے۔ لامحدود طور پر بہت سے بنیادی اعداد ہیں، پھر بھی لگاتار پرائمز بھی لامحدود حد تک الگ ہو سکتے ہیں۔ مزید یہ کہ لامحدود طور پر بہت سے مسلسل پرائمز ہیں جو ایک دوسرے کے قریب ہیں۔ تقریباً 10 سال پہلے یتانگ ژانگ کے اہم کام نے خلا کو ختم کرنے اور جڑواں پرائمز کے قیاس کو ثابت کرنے کی دوڑ شروع کی، جو اس بات پر زور دیتا ہے کہ پرائمز کے لاتعداد جوڑے ہیں جن میں صرف 2 کا فرق ہے۔ ریاضی میں مشہور کھلے سوالات، اور جیمز مینارڈ نے اس مضحکہ خیز نتیجہ کو ثابت کرنے کے لیے اپنی اہم شراکت کی ہے۔
یہ تناؤ نام نہاد ڈیجیٹل ڈیلیکیٹ پرائمز کے بارے میں حالیہ نتائج میں بھی موجود ہے۔ یہ سمجھنے کے لیے کہ یہ اعداد کیا ہیں اور کہاں ہو سکتے ہیں یا نہیں، کچھ لمحے کے لیے مندرجہ ذیل عجیب سوال پر غور کریں: کیا کوئی دو ہندسوں کا بنیادی نمبر ہے جو اپنے ہندسوں میں کسی بھی تبدیلی کے ساتھ ہمیشہ جامع ہو جاتا ہے؟
ڈیجیٹل نزاکت کا احساس حاصل کرنے کے لیے، آئیے 23 نمبر کے ساتھ کھیلیں۔ ہم جانتے ہیں کہ یہ ایک پرائم ہے، لیکن اگر آپ اس کے ہندسے کو تبدیل کرتے ہیں تو کیا ہوگا؟ ٹھیک ہے، 20، 22، 24، 26 اور 28 سب برابر ہیں، اور اس طرح مرکب؛ 21 کو 3 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، 25 کو 5 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، اور 27 کو 9 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ ابھی تک، بہت اچھا ہے۔ لیکن اگر آپ ان کے ہندسے کو 9 میں تبدیل کرتے ہیں، تو آپ کو 29 ملے گا، جو کہ اب بھی ایک پرائم ہے۔ لہذا 23 اس قسم کا پرائم نہیں ہے جس کی ہم تلاش کر رہے ہیں۔
37 کے بارے میں کیا ہے؟ جیسا کہ ہم نے اوپر دیکھا، ہمیں 5 پر ختم ہونے والے جفت نمبروں یا نمبروں کو چیک کرنے کی زحمت کرنے کی ضرورت نہیں ہے، لہذا ہم صرف 31، 33 اور 39 کو چیک کریں گے۔ چونکہ 31 بھی پرائم ہے، اس لیے 37 بھی کام نہیں کرتا ہے۔
کیا ایسی تعداد بھی موجود ہے؟ جواب ہاں میں ہے، لیکن ہمیں اسے تلاش کرنے کے لیے 97 تک جانا پڑے گا: 97 ایک پرائم ہے، لیکن 91 (7 سے تقسیم)، 93 (3 سے تقسیم) اور 99 (3 سے بھی تقسیم) سب مرکب ہیں۔ ، یکساں نمبر اور 95 کے ساتھ۔
ایک بنیادی نمبر "نازک" ہے اگر، جب آپ اس کے ہندسوں میں سے کسی ایک کو کسی اور چیز میں تبدیل کرتے ہیں، تو یہ اپنی "پرائمنیس" (یا تکنیکی اصطلاح کو استعمال کرنے کے لیے) کھو دیتا ہے۔ اب تک ہم دیکھتے ہیں کہ 97 ایک ہندسے میں نازک ہے - چونکہ اس ہندسے کو تبدیل کرنے سے ہمیشہ ایک جامع نمبر پیدا ہوتا ہے - لیکن کیا 97 ڈیجیٹل طور پر نازک ہونے کے پورے معیار کو پورا کرتا ہے؟ جواب نہیں ہے، کیونکہ اگر آپ دس کے ہندسے کو 1 میں تبدیل کرتے ہیں تو آپ کو 17 ملے گا، ایک پرائم۔ (نوٹ کریں کہ 37، 47 اور 67 تمام پرائمز بھی ہیں۔)
درحقیقت، کوئی دو عدد ڈیجیٹل طور پر نازک پرائم نہیں ہے۔ تمام دو ہندسوں کے نمبروں کی درج ذیل جدول، جس میں دو ہندسوں کے پرائمز سایہ دار ہیں، دکھاتا ہے کہ کیوں۔
کسی بھی قطار میں تمام نمبروں کا دسیوں کا ہندسہ ایک جیسا ہوتا ہے، اور کسی بھی کالم کے تمام نمبروں کا ہندسہ ایک جیسا ہوتا ہے۔ یہ حقیقت کہ 97 اس کی قطار میں واحد سایہ دار نمبر ہے اس حقیقت کی عکاسی کرتا ہے کہ یہ ایک ہندسے میں نازک ہے، لیکن یہ اپنے کالم میں واحد پرائم نہیں ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ دسیوں کے ہندسے میں نازک نہیں ہے۔
ڈیجیٹل طور پر نازک دو ہندسوں کا پرائم اپنی قطار اور کالم میں واحد پرائم ہونا چاہیے۔ جیسا کہ جدول سے پتہ چلتا ہے، ایسا کوئی دو ہندسوں والا پرائم موجود نہیں ہے۔ ڈیجیٹل طور پر نازک تین ہندسوں کے پرائم کے بارے میں کیا خیال ہے؟ یہاں ایک ایسی ہی جدول ہے جس میں 100 اور 199 کے درمیان تین ہندسوں کے پرائمز کی ترتیب کو دکھایا گیا ہے، جس میں جامع اعداد کو چھوڑ دیا گیا ہے۔
یہاں ہم دیکھتے ہیں کہ 113 اپنی قطار میں ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ ایک ہندسے میں نازک ہے۔ لیکن 113 اپنے کالم میں نہیں ہے، اس لیے دسیوں کے ہندسے میں کچھ تبدیلیاں (جیسے 0 کے لیے 103 یا 6 کے لیے 163) پرائمز پیدا کرتی ہیں۔ چونکہ کوئی نمبر اس کی اپنی قطار اور اس کے اپنے کالم دونوں میں ظاہر نہیں ہوتا ہے، اس لیے ہم جلدی سے دیکھتے ہیں کہ کوئی بھی تین ہندسوں والا نمبر نہیں ہے جس کے جامع ہونے کی ضمانت دی گئی ہو اگر آپ اس کے ہندسے یا دسیوں کے ہندسے کو تبدیل کرتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ کوئی تین ہندسوں والا ڈیجیٹل ڈیلیکیٹ پرائم نہیں ہو سکتا۔ غور کریں کہ ہم نے سینکڑوں کا ہندسہ بھی چیک نہیں کیا۔ صحیح معنوں میں ڈیجیٹل طور پر نازک ہونے کے لیے، تین ہندسوں کے نمبر کو تین جہتی جدول میں تین سمتوں میں پرائمز سے بچنا ہوگا۔
کیا ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز بھی موجود ہیں؟ جیسے جیسے آپ نمبر لائن پر آگے بڑھتے ہیں پرائمز اسپرسر ہوتے جاتے ہیں، جس کی وجہ سے ان ہائی ڈائمینشنل ٹیبلز کی قطاروں اور کالموں میں راستے عبور کرنے کا امکان کم ہوتا ہے۔ لیکن بڑی تعداد میں زیادہ ہندسے ہوتے ہیں، اور ہر اضافی ہندسہ پرائم کے ڈیجیٹل طور پر نازک ہونے کے امکانات کو کم کرتا ہے۔
اگر آپ جاری رکھیں گے تو آپ کو پتہ چل جائے گا کہ ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز موجود ہیں۔ سب سے چھوٹا 294,001 ہے۔ جب آپ اس کے ہندسوں میں سے کسی ایک کو تبدیل کرتے ہیں، تو آپ کو ملنے والا نمبر — 794,001، یا 284,001 — جامع ہوگا۔ اور مزید ہیں: اگلے چند ہیں 505,447؛ 584,141; 604,171; 971,767; اور 1,062,599۔ درحقیقت وہ باز نہیں آتے۔ مشہور ریاضی دان پال ایرڈس نے ثابت کیا کہ ڈیجیٹل طور پر بہت سے نازک پرائمز لامحدود ہیں۔ اور یہ ان متجسس نمبروں کے بارے میں بہت سے حیران کن نتائج میں سے صرف پہلا تھا۔
مثال کے طور پر، Erdős نے صرف یہ ثابت نہیں کیا کہ ڈیجیٹل طور پر بہت سے نازک پرائمز ہیں: اس نے ثابت کیا کہ کسی بھی بنیاد میں لامحدود طور پر بہت سے ڈیجیٹل نازک پرائمز ہوتے ہیں۔ لہذا اگر آپ بائنری، ٹرنری یا ہیکسا ڈیسیمل میں اپنے نمبروں کی نمائندگی کرنے کا انتخاب کرتے ہیں، تو آپ اب بھی لامحدود ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز تلاش کرنے کی ضمانت دیتے ہیں۔
اور ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز صرف لامحدود نہیں ہیں: وہ تمام بنیادی نمبروں کا غیر صفر فیصد پر مشتمل ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر آپ ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز کی تعداد اور مجموعی طور پر پرائمز کی تعداد کے تناسب کو دیکھیں تو یہ حصہ صفر سے کچھ بڑا ہے۔ تکنیکی لحاظ سے، تمام پرائمز کا ایک "مثبت تناسب" ڈیجیٹل طور پر نازک ہوتا ہے، جیسا کہ فیلڈز میڈلسٹ ٹیرینس تاؤ نے 2010 میں ثابت کیا تھا۔ پرائمز خود تمام نمبروں کا مثبت تناسب نہیں بناتے ہیں، کیونکہ آپ کو کم اور کم پرائمز ملیں گے۔ آپ نمبر لائن کے ساتھ جتنا دور جائیں گے۔ پھر بھی ان پرائمز میں سے، آپ کو ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز ملتے رہیں گے تاکہ نازک پرائمز اور کل پرائمز کے تناسب کو صفر سے اوپر رکھا جا سکے۔
شاید سب سے چونکا دینے والی دریافت ایک تھی۔ 2020 سے نتیجہ ان عجیب نمبروں کی ایک نئی تبدیلی کے بارے میں۔ ہندسہ کیا ہے اس تصور کو آرام دیتے ہوئے، ریاضی دانوں نے ایک عدد کی نمائندگی کا از سر نو تصور کیا: بجائے خود 97 کے بارے میں سوچنے کے، اس کے بجائے انہوں نے اس کے بارے میں سوچا کہ اس میں صفر ہے:
… 0000000097۔
ہر ایک صفر کو ایک ہندسے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اور ڈیجیٹل نزاکت کے سوال کو ان نئی نمائندگیوں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ کیا وہاں "وسیع پیمانے پر ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز" موجود ہو سکتے ہیں - پرائم نمبرز جو ہمیشہ جامع ہو جاتے ہیں اگر آپ ہندسوں میں سے کسی کو تبدیل کرتے ہیں، بشمول ان میں سے کوئی بھی صفر۔ ریاضی دانوں مائیکل فلاسیٹا اور یرمیاہ ساؤتھ وِک کے کام کا شکریہ، ہم جانتے ہیں کہ حیرت انگیز طور پر جواب ہاں میں ہے۔ نہ صرف بڑے پیمانے پر ڈیجیٹل طور پر نازک پرائمز موجود ہیں، بلکہ ان میں سے بہت سے لامحدود ہیں۔
پرائم نمبرز پیشہ ور افراد اور شوقین افراد کے ساتھ کھیلنے کے لیے ریاضیاتی پہیلیاں کا ایک لامحدود تار بناتے ہیں۔ ہم ان کے تمام اسرار کو کبھی نہیں کھول سکتے ہیں، لیکن آپ ریاضی دانوں پر بھروسہ کر سکتے ہیں کہ وہ مسلسل دریافت کرنے اور دریافت کرنے کے لیے نئی قسم کے پرائمز ایجاد کریں۔
مشقیں
1. 2 سے 101 پرائمز میں سب سے بڑا پرائم گیپ کیا ہے؟
2۔ یہ ثابت کرنے کے لیے کہ لامحدود بہت سے پرائمز ہیں، یوکلڈ فرض کرتا ہے کہ بہت سے پرائمز ہیں $lateexp_1, p_2, p_3, …, p_n$، اور پھر ظاہر کرتا ہے کہ $latexq=p_1 گنا p_2 گنا p_3 گنا … اوقات p_n+1$ isn فہرست میں کسی بھی پرائم سے قابل تقسیم نہیں ہے۔ کیا اس کا یہ مطلب نہیں؟ q پرائم ہونا ضروری ہے؟
3. نمبر تھیوری میں ایک مشہور نتیجہ یہ ہے کہ درمیان ہمیشہ ایک پرائم ہوتا ہے۔ k اور 2k (شامل) یہ ثابت کرنا مشکل ہے، لیکن یہ ثابت کرنا آسان ہے کہ اس کے درمیان ہمیشہ ایک پرائم ہوتا ہے۔ k اور $latexq=p_1 گنا p_2 گنا p_3 گنا … بار p_n+1$ (شامل)، جہاں $lateexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ تمام پرائمز اس سے کم یا برابر ہیں k. ثابت کرو.
4. کیا آپ سب سے چھوٹی پرائم نمبر تلاش کر سکتے ہیں جو عدد اور دسیوں ہندسوں میں ڈیجیٹل طور پر نازک ہے؟ اس کا مطلب یہ ہے کہ دسیوں یا دسیوں کے ہندسے کو تبدیل کرنے سے ہمیشہ ایک جامع نمبر پیدا ہوتا ہے۔ (شاید آپ ایسا کرنے کے لیے کمپیوٹر پروگرام لکھنا چاہیں!)
چیلنج کا مسئلہ: کیا آپ سب سے چھوٹی پرائم نمبر تلاش کر سکتے ہیں جو بائنری میں ظاہر ہونے پر ڈیجیٹل طور پر نازک ہو؟ یاد رکھیں کہ بائنری، یا بیس 2 میں، صرف ہندسے 0 اور 1 ہیں، اور ہر جگہ کی قدر 2 کی طاقت کو ظاہر کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، 8 کو $latex1000_2$ کے طور پر دکھایا جاتا ہے، کیونکہ $latex 8=1 گنا 2^3 + 0 اوقات 2^2 + 0 گنا 2^1 + 0 گنا 2^0$، اور بیس 7 میں 2 ہے $latex111_2$، چونکہ $latex7=1 times2^2 + 1 گنا 2^1 + 1 گنا 2^0$ ہے۔
جواب 1 کے لیے کلک کریں:
جواب 2 کے لیے کلک کریں:
نمبر۔ پہلے چھ پرائمز پر غور کریں: 2، 3، 5، 7، 11 اور 13۔ اس صورت میں نمبر q $لیٹیکس 2 گنا 3 گنا 5 گنا 7 گنا 11 گنا 13 + 1 = 30,031$ ہوگا۔ یہ 2، 3، 5، 7، 11 یا 13 سے تقسیم نہیں ہے، لیکن یہ کوئی پرائم نہیں ہے: یہ $لیٹیکس 30,031 = 59 ضرب 509$ کے طور پر فیکٹر کرتا ہے۔ غور کریں کہ اس کے بنیادی عوامل ہیں، لیکن وہ سب پہلے چھ پرائمز سے بڑے ہیں۔
جواب 3 کے لیے کلک کریں:
اگر یا تو k or q ہم نے مکمل کر لیا ہے۔ اگر q یہ پرائم نہیں ہے یہ کمپوزیٹ ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ کسی پرائم نمبر سے قابل تقسیم ہے، لیکن ہم پہلے ہی جانتے ہیں کہ یہ پہلی نمبر میں سے کسی سے بھی قابل تقسیم نہیں ہے۔ n پرائمز اس طرح اسے پہلے سے بڑے پرائم سے قابل تقسیم ہونا چاہیے۔ n پرائمز، اور چونکہ یہ تمام پرائمز اس سے کم ہیں۔ k، یہ پرائم اس سے بڑا ہونا چاہیے۔ k. لیکن یہ پرائم تقسیم کرتا ہے۔ q، لہذا یہ اس سے کم ہونا چاہئے۔ q، تو اس کے درمیان ایک پرائم ہونا ضروری ہے۔ k اور q.
جواب 4 کے لیے کلک کریں:
اس خاصیت کو مطمئن کرنے والا پہلا پرائم 2,459 ہے، کیونکہ 2,451، 2,453 اور 2,457 تمام مرکب ہیں (نازک والے ہندسوں کے معیار کو پورا کرنے والے) اور 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479 composite اور 2,489 نازک دسیوں ہندسوں کا معیار)۔ پھر بھی 2,499 ڈیجیٹل طور پر نازک نہیں ہے، کیونکہ 2,459 پرائم ہے، لہذا جب آپ سینکڑوں ہندسوں پر غور کرنا شروع کر دیتے ہیں تو یہ ناکام ہو جاتا ہے۔ (ریاضی دان جان ڈی کک کی اشاعت کے لیے ان کا شکریہ ڈیجیٹل طور پر نازک پرائم فائنڈنگ ازگر کوڈ.)
چیلنج کے مسئلے کے جواب کے لیے کلک کریں:
$latex127=1111111_2$ ڈیجیٹل طور پر نازک ہے، کیونکہ $latex 126=1111110_2$، $latex125=1111101_2$، $latex123=1111011_2$، $latex119=1110111_2$، $111=1101111_$late، $2_95$، $1011111_2$latex=$63_0111111$، =2_XNUMX$ سبھی جامع ہیں۔
