Bu ay matematik haberlerini takip ediyorsanız, 35 yaşındaki sayı teorisyeni James Maynard'ın bir ödül kazandığını biliyorsunuzdur. Alanlar Madalyası - bir matematikçi için en yüksek onur. Maynard, "bir lise öğrencisine açıklanacak kadar basit, ancak yüzyıllarca matematikçileri şaşırtacak kadar zor" olan matematik sorularını sever. Kuantum rapor, ve bu basit sorulardan biri şudur: Sayı doğrusunda ilerlerken, her zaman birbirine yakın asal sayılar olmak zorunda mı?
Matematikçilerin asal sayılara takıntılı olduğunu fark etmiş olabilirsiniz. Onları çeken nedir? Belki de asal sayıların matematiğin en temel yapılarından ve gizemlerinden bazılarını içerdiği gerçeğidir. Asal sayılar, her sayıyı benzersiz bir çarpanlara ayırma ile sınıflandırmamıza ve kategorilere ayırmamıza izin vererek çarpma evreninin haritasını çıkarır. Ancak insanlar çarpmanın başlangıcından beri asal sayılarla oynuyor olsa da, asalların nerede ortaya çıkacağından, ne kadar yayılmış olduklarından veya ne kadar yakın olmaları gerektiğinden hala tam olarak emin değiliz. Bildiğimiz kadarıyla asal sayılar basit bir model izlemez.
Bu temel nesnelere olan hayranlığımız, yüzlerce farklı türde asal sayının icadına veya keşfine yol açmıştır: Mersenne asalları (2 biçimindeki asallar).n − 1), dengeli asal sayılar (iki komşu asal sayının ortalaması olan asal sayılar) ve Sophie Germain asal sayıları (bir asal sayı) p öyle ki 2p + 1 de asaldır), birkaç isim.
Bu özel asal sayılara olan ilgi, sayılarla oynamaktan ve yeni bir şey keşfetmekten kaynaklandı. Bu, listeye yeni eklenen ve en temel sorular hakkında bazı şaşırtıcı sonuçlara yol açan “dijital açıdan hassas asal sayılar” için de geçerlidir: Belirli türdeki asal sayılar ne kadar nadir veya yaygın olabilir?
Bu soruyu anlamak için, hevesli bir sayı meraklısının öğrendiği ilk ilginç gerçeklerden biriyle başlayalım: Sonsuz sayıda asal sayı vardır. Öklid bunu 2,000 yıl önce tüm matematik tarihinin çelişkili en ünlü kanıtlarından birini kullanarak kanıtladı. Sadece sonlu sayıda asal sayı olduğunu varsayarak ve hepsini hayal ederek başladı. n bunlardan bir listede:
$lateks_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Sonra akıllıca bir şey yaptı: $lateksq=p_1 çarpı p_2 çarpı p_3 çarpı … çarpı p_n+1$ sayısını düşündü.
Dikkat edin q asal sayılar listesinde olamaz, çünkü listedeki her şeyden daha büyüktür. Sonlu bir asal liste varsa, bu sayı q asal olamaz. Ama eğer q asal değildir, kendisinden ve 1'den başka bir şeye bölünebilir olmalıdır. Bu da şu anlama gelir: q gerekir listedeki bazı asal sayılara bölünebilir, ancak yol nedeniyle q inşa edilir, bölünür q Listedeki herhangi bir şey tarafından 1'in kalanını bırakır. q ne asaldır ne de herhangi bir asal sayıya bölünebilir; bu, yalnızca sonlu sayıda asal sayı olduğunu varsaymaktan kaynaklanan bir çelişkidir. Bu nedenle, bu çelişkiden kaçınmak için aslında sonsuz sayıda asal sayı olmalıdır.
Sonsuz sayıda olduğu göz önüne alındığında, her türden asal sayıların bulunmasının kolay olduğunu düşünebilirsiniz, ancak bir asal sayı dedektifinin öğrendiği sonraki şeylerden biri, asalların ne kadar yayılmış olabileceğidir. Asal boşluklar olarak adlandırılan ardışık asal sayılar arasındaki boşluklarla ilgili basit bir sonuç, oldukça şaşırtıcı bir şey söylüyor.
İlk 10 asal sayı (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29) arasında bir veya daha fazla bileşik sayıdan (4, 12 gibi asal olmayan sayılar) oluşan boşluklar görebilirsiniz. veya 27). Bu boşlukları aradaki bileşik sayıları sayarak ölçebilirsiniz: Örneğin, 0 ile 2 arasında 3 büyüklüğünde bir boşluk, hem 1 ile 3 arasında hem de 5 ile 5 arasında 7 büyüklüğünde bir boşluk, 3 arasında 7 büyüklüğünde bir boşluk var. ve 11, vb. Bu listedeki en büyük asal boşluk, 24 ile 25 arasındaki beş bileşik sayıdan (26, 27, 28, 23 ve 29) oluşur.
Şimdi inanılmaz sonuç için: Asal boşluklar keyfi olarak uzun olabilir. Bu, hayal edebileceğiniz kadar uzakta ardışık asal sayıların var olduğu anlamına gelir. Belki de bu gerçeği kanıtlamanın ne kadar kolay olduğu kadar inanılmaz.
Zaten yukarıda 5 uzunluğunda bir asal boşluğumuz var. Uzunluk 6 olabilir mi? Bir tane bulma umuduyla asal listeleri aramak yerine, onu kendimiz oluşturacağız. Bunu yapmak için temel sayma formüllerinde kullanılan faktör fonksiyonunu kullanacağız: Tanım olarak, $latexn!=n kere(n-1) kere (n-2) kere … kere 3 kere 2 kere 1$, yani örneğin $ latex3!=3 kere 2 kere 1 = 6$ ve $latex5!=5 kere 4 kere 3 kere 2 kere 1=120$.
Şimdi asal boşluğumuzu oluşturalım. Aşağıdaki ardışık sayı dizisini göz önünde bulundurun:
$lateks 7!+2$, $lateks7!+3$, $lateks 7!+4$, $lateks7!+5$, $lateks 7!+6$, $lateks 7!+7$.
$lateks7!=7 çarpı 6 çarpı 5 çarpı 4 çarpı 3 çarpı2 çarpı 1$ olduğundan, dizimizdeki ilk sayı olan $latex7!+2$ 2'ye bölünebilir, bunu biraz çarpanlara ayırdıktan sonra görebilirsiniz:
$lateks7!+2=7 kere 6 kere 5 kere 4 kere 3 kere2 kere 1+2$
$lateks= 2(7 kere 6 kere 5 kere 4 kere 3 kere 1+1)$.
Benzer şekilde, ikinci sayı olan $lateks7!+3$ 3'e bölünebilir, çünkü
$lateks7!+3=7 kere 6 kere 5 kere 4 kere 3 kere2 kere 1+3$
$lateks= 3(7 kere 6 kere 5 kere 4 kere2 kere 1+1)$.
Aynı şekilde 7! + 4, 4, 7 ile bölünebilir! + 5'e 5, 7! + 6'ya 6 ve 7! + 7'ye 7, bu da 7 yapar! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 ardışık altı bileşik sayı dizisi. En az 6'lık bir asal boşluğumuz var.
Bu stratejinin genelleştirilmesi kolaydır. Sekans
$lateks!+2$, $lateks!+3$, $lateks!+4$, $lateks…$, $lateks!+n$.
$latexn-1$ ardışık bileşik sayıların bir dizisidir; bu, herhangi bir n, en az $lateks-1$ uzunluğunda bir asal boşluk var. Bu, rasgele uzun asal boşluklar olduğunu ve doğal sayılar listesinde en yakın asal sayıların 100 veya 1,000 veya hatta 1,000,000,000 sayı olduğu yerler olduğunu gösterir.
Bu sonuçlarda klasik bir gerilim görülebilir. Sonsuz sayıda asal sayı vardır, ancak ardışık asal sayılar birbirinden sonsuz derecede uzak olabilir. Dahası, birbirine yakın sonsuz sayıda ardışık asal sayı vardır. Yaklaşık 10 yıl önce Yitang Zhang'ın çığır açan çalışması, farkı kapatmak ve sadece 2 farkla sonsuz sayıda asal sayı çifti olduğunu iddia eden ikiz asal varsayımını kanıtlamak için bir yarış başlattı. matematikteki ünlü açık sorular ve James Maynard bu zor sonucu kanıtlamaya yönelik kendi önemli katkılarını yaptı.
Bu gerilim, dijital olarak hassas olan asal sayılarla ilgili son sonuçlarda da mevcuttur. Bu sayıların ne olduğu ve nerede olabileceği veya nerede olabileceği hakkında bir fikir edinmek için, şu garip soruyu düşünmek için bir dakikanızı ayırın: Birler basamağında herhangi bir değişiklikle her zaman bileşik hale gelen iki basamaklı bir asal sayı var mıdır?
Dijital incelik için bir fikir edinmek için 23 sayısıyla oynayalım. Asal olduğunu biliyoruz, ancak birler basamağını değiştirirseniz ne olur? 20, 22, 24, 26 ve 28'in hepsi çifttir ve dolayısıyla bileşiktir; 21 3'e bölünebilir, 25 5'e bölünebilir ve 27 9'a bölünebilir. Buraya kadar çok iyi. Ancak birler basamağını 9 olarak değiştirirseniz, 29 elde edersiniz, ki bu hala asaldır. Yani 23 aradığımız türde bir asal değil.
37'ye ne dersin? Yukarıda gördüğümüz gibi, çift sayıları veya 5 ile biten sayıları kontrol etmekle uğraşmamıza gerek yok, bu yüzden sadece 31, 33 ve 39'u kontrol edeceğiz. 31 de asal olduğu için 37 de çalışmaz.
Böyle bir sayı gerçekten var mı? Cevap evet, ama onu bulmak için 97'ye kadar gitmemiz gerekiyor: 97 bir asal sayıdır, ancak 91 (7'ye bölünebilir), 93 (3'e bölünebilir ve 99 (3'e bölünebilir) hepsi bileşiktir. , çift sayılar ve 95 ile birlikte.
Bir asal sayı, basamaklarından herhangi birini başka bir şeyle değiştirdiğinizde "asallığını" (veya teknik terimi kullanırsak asallığını) kaybederse "hassas" sayıdır. Şimdiye kadar 97'nin birler basamağında hassas olduğunu görüyoruz - çünkü bu basamağı değiştirmek her zaman bir bileşik sayı üretir - ancak 97 dijital olarak hassas olma kriterlerinin tamamını karşılıyor mu? Cevap hayır, çünkü onlar basamağını 1'e değiştirirseniz 17, asal sayı elde edersiniz. (37, 47 ve 67'nin de asal sayılar olduğuna dikkat edin.)
Aslında, iki basamaklı dijital olarak hassas bir asal sayı yoktur. İki basamaklı asal sayıların gölgeli olduğu tüm iki basamaklı sayıların aşağıdaki tablosu nedenini gösterir.
Herhangi bir satırdaki tüm sayılar aynı onlar basamağına sahiptir ve herhangi bir sütundaki tüm sayılar aynı birler basamağına sahiptir. 97'nin kendi satırındaki tek gölgeli sayı olması, birler basamağında hassas olduğunu yansıtır, ancak sütunundaki tek asal sayı değildir, yani onlar basamağında hassas değildir.
Dijital olarak hassas iki basamaklı bir asal, satırındaki ve sütunundaki tek asal sayı olmalıdır. Tablonun gösterdiği gibi, böyle iki basamaklı bir asal yoktur. Dijital olarak hassas üç basamaklı bir asal sayıya ne dersiniz? 100 ile 199 arasındaki üç basamaklı asal sayıların düzenini gösteren, bileşik sayıların çıkarıldığı benzer bir tablo.
Burada 113'ün kendi satırında olduğunu görüyoruz, yani birler basamağında hassas. Ancak 113 kendi sütununda değildir, bu nedenle onlar basamağında yapılan bazı değişiklikler (0 için 103 veya 6 için 163 gibi) asal sayılar üretir. Hiçbir sayı hem kendi satırında hem de kendi sütununda görünmediğinden, birler basamağını veya onlar basamağını değiştirirseniz bileşik olması garanti edilen üç basamaklı bir sayı olmadığını hemen görürüz. Bu, üç basamaklı dijital olarak hassas bir asal sayı olamayacağı anlamına gelir. Yüzler basamağını bile kontrol etmediğimize dikkat edin. Gerçekten dijital olarak hassas olması için, üç basamaklı bir sayının üç boyutlu bir tabloda üç yönde asallardan kaçınması gerekir.
Dijital olarak hassas asal sayılar var mı? Sayı doğrusunda ilerledikçe, asal sayılar daha seyrek olma eğilimindedir, bu da onların bu yüksek boyutlu tabloların satır ve sütunlarındaki yolları geçme olasılıklarını azaltır. Ancak daha büyük sayıların daha fazla basamağı vardır ve her bir ek basamak, bir asalın dijital olarak hassas olma olasılığını azaltır.
Devam ederseniz, dijital olarak hassas asal sayıların var olduğunu keşfedeceksiniz. En küçüğü 294,001'dir. Rakamlarından birini değiştirdiğinizde, elde ettiğiniz sayı - örneğin 794,001 veya 284,001 - bileşik olacaktır. Ve dahası da var: Sonraki birkaç tanesi 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; ve 1,062,599. Aslında durmuyorlar. Ünlü matematikçi Paul Erdős, dijital olarak hassas sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtladı. Ve bu, bu ilginç sayılarla ilgili birçok şaşırtıcı sonucun yalnızca ilkiydi.
Örneğin, Erdős sadece sonsuz sayıda dijital hassas asal sayı olduğunu kanıtlamadı: Herhangi bir tabanda sonsuz sayıda dijital hassas asal sayı olduğunu kanıtladı. Bu nedenle, sayılarınızı ikili, üçlü veya onaltılı olarak temsil etmeyi seçerseniz, yine de sonsuz sayıda dijital olarak hassas asal sayı bulmanız garanti edilir.
Ve dijital olarak hassas asal sayılar sadece sonsuz değildir: Tüm asal sayıların sıfırdan farklı bir yüzdesini oluştururlar. Bu, dijital olarak hassas asal sayıların toplam asal sayısına oranına bakarsanız, bu kesrin sıfırdan büyük bir sayı olduğu anlamına gelir. Teknik açıdan bakıldığında, Fields madalyası sahibi Terence Tao'nun 2010'da kanıtladığı gibi, tüm asal sayıların "pozitif oranı" dijital olarak hassastır. Asal sayıların kendileri tüm sayıların pozitif bir oranını oluşturmaz, çünkü giderek daha az asal sayı bulacaksınız. sayı doğrusunda ne kadar uzağa giderseniz. Yine de bu asal sayılar arasında, hassas asal sayıların toplam asal sayılara oranını sıfırın üzerinde tutmaya yetecek kadar sıklıkla dijital olarak hassas asal sayılar bulmaya devam edeceksiniz.
Belki de en şok edici keşif, 2020 sonucu bu garip sayıların yeni bir varyasyonu hakkında. Bir rakamın ne olduğu kavramını gevşeterek, matematikçiler bir sayının temsilini yeniden tasarladılar: 97'yi tek başına düşünmek yerine, bunun yerine baştaki sıfırları olduğunu düşündüler:
… 0000000097.
Baştaki her sıfır bir rakam olarak düşünülebilir ve dijital incelik sorunu bu yeni temsillere genişletilebilir. Baştaki sıfırlardan herhangi biri de dahil olmak üzere, basamaklardan herhangi birini değiştirirseniz her zaman bileşik hale gelen "dijital açıdan hassas asal sayılar" olabilir mi? Matematikçiler Michael Filaseta ve Jeremiah Southwick'in çalışmaları sayesinde, cevabın şaşırtıcı bir şekilde evet olduğunu biliyoruz. Yalnızca dijital olarak hassas asal sayılar mevcut olmakla kalmaz, aynı zamanda sonsuz sayıda vardır.
Asal sayılar, profesyonellerin ve meraklıların oynaması için sonsuz bir matematiksel bulmaca dizisi oluşturur. Tüm gizemlerini asla çözemeyebiliriz, ancak keşfedilecek yeni asal türlerini sürekli olarak keşfetmek ve icat etmek için matematikçilere güvenebilirsiniz.
Egzersizler
1. 2'den 101'e kadar olan asal sayılar arasındaki en büyük asal boşluk nedir?
2. Sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtlamak için, Öklid sonlu sayıda asal sayı olduğunu varsayar $lateks_1, p_2, p_3, …, p_n$ ve sonra $latexq=p_1 çarpı p_2 çarpı p_3 çarpı … çarpı p_n+1$ olduğunu gösterir. Listedeki herhangi bir asal sayıya bölünemez. bu şu anlama gelmiyor mu q asal olmak zorunda mı
3. Sayı teorisindeki ünlü bir sonuç, aralarında her zaman bir asal sayının bulunmasıdır. k ve 2k (dahil). Bunu kanıtlamak zordur, ancak her zaman arasında bir asal olduğunu kanıtlamak kolaydır. k ve $latexq=p_1 çarpı p_2 çarpı p_3 çarpı … çarpı p_n+1$ (dahil), burada $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, küçük veya eşit asal sayıların tümü k. Kanıtla.
4. Sayısal olarak hassas olan en küçük asal sayıyı bulabilir misiniz? Bu, birler veya onlar basamağının değiştirilmesinin her zaman bir bileşik sayı üreteceği anlamına gelir. (Bunu yapmak için bir bilgisayar programı yazmak isteyebilirsiniz!)
Zorluk Problem: İkili olarak temsil edildiğinde dijital olarak hassas olan en küçük asal sayıyı bulabilir misiniz? İkili sistemde veya taban 2'de yalnızca basamakların 0 ve 1 olduğunu ve her basamak değerinin 2'nin gücünü temsil ettiğini hatırlayın. Örneğin, $lateks 8=1000 çarpı 2^8 + 1 olduğundan, 2 $lateks3_0$ olarak temsil edilir. çarpı 2^2 + 0 çarpı 2^1 + 0 çarpı 2^0$ ve taban 7'deki 2 $latex111_2$'dır, çünkü $latex7=1 çarpı2^2 + 1 çarpı 2^1 + 1 çarpı 2^0$.
Cevap 1 için tıklayınız:
Cevap 2 için tıklayınız:
Hayır. İlk altı asal sayıyı göz önünde bulundurun: 2, 3, 5, 7, 11 ve 13. Bu durumda sayı q $lateks 2 çarpı 3 çarpı 5 çarpı 7 çarpı 11 çarpı13 + 1 = 30,031$ olur. Bu 2, 3, 5, 7, 11 veya 13'e bölünemez, ancak asal sayı değildir: $lateks 30,031 = 59 çarpı 509$ olarak çarpanlara ayrılır. Asal çarpanları olduğuna dikkat edin, ancak hepsi ilk altı asal sayıdan daha büyüktür.
Cevap 3 için tıklayınız:
Eğer ikisinden biri k or q işimiz bitti. Eğer q asal değildir, bileşiktir, yani bir asal sayıya bölünebilir, ancak birincinin hiçbirine bölünemeyeceğini zaten biliyoruz. n asal sayılar. Bu nedenle birinciden daha büyük bir asal sayıya bölünebilmesi gerekir. n asal sayılar ve bunların hepsi asal sayılar olduğundan k, bu asal daha büyük olmalı k. Ama bu asal böler q, bu yüzden daha az olmalıdır q, yani arasında bir asal olmalı k ve q.
Cevap 4 için tıklayınız:
Bu özelliği sağlayan ilk asal sayı 2,459'dur, çünkü 2,451, 2,453 ve 2,457'nin tümü bileşik (hassas olanlar hanesi kriterini sağlayan) ve 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 ve 2,499'un tümü bileşik (sağlayıcı) olduğundan hassas onlarca hane kriteri). Yine de 2,459 dijital olarak hassas değildir, çünkü 2,659 asaldır, bu nedenle yüzler basamağını düşünmeye başladığınızda başarısız olur. (Matematikçi John D. Cook'a makalesini yayınladığı için teşekkürler. dijital olarak hassas asal bulma Python kodu.)
Meydan Okumaya Cevap İçin Tıklayınız:
$latex127=1111111_2$ dijital olarak hassastır, çünkü $lateks 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111_2$ ve $latex63 =0111111_2$ tümü bileşiktir.
