บทนำ
เรามักจะคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นเพียงตรรกะล้วนๆ แต่การสอนคณิตศาสตร์ ค่านิยม ความมีประโยชน์ และการทำงานของคณิตศาสตร์นั้นเต็มไปด้วยความแตกต่างเล็กน้อย แล้วคณิตศาสตร์ "ดี" คืออะไร? ในปี พ.ศ. 2007 นักคณิตศาสตร์ เทอเรนซ์เต๋า ได้เขียนเรียงความเรื่อง แถลงการณ์ของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ที่ต้องการตอบคำถามนี้ ปัจจุบัน ในฐานะผู้ได้รับเหรียญ Fields รางวัลความก้าวหน้าสาขาคณิตศาสตร์ และทุน MacArthur Fellowship Tao เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ได้รับเกียรติและประสบความสำเร็จมากที่สุดคนหนึ่งที่ยังมีชีวิตอยู่ ในตอนนี้ เขาจะมาร่วมกับพิธีกรและเพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเรา สตีเว่น สโตรกัซ เพื่อทบทวนการสร้างคณิตศาสตร์ที่ดีอีกครั้ง
ฟังต่อ Apple Podcasts, Spotify, Google Podcast, Stitcher, TuneIn หรือแอปพอดแคสต์ที่คุณชื่นชอบ หรือคุณจะ สตรีมจาก ควอนตั้ม.
สำเนา
สตีเว่น สโตรแกตซ์: ย้อนกลับไปในเดือนตุลาคม 2007 ย้อนกลับไปเมื่อ iPhone รุ่นแรกยังคงเป็นสินค้ายอดนิยม และตลาดหุ้นก็อยู่ในจุดสูงสุดตลอดกาลก่อนเกิดภาวะเศรษฐกิจถดถอยครั้งใหญ่ Terence Tao ศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่ UCLA มุ่งมั่นที่จะตอบคำถาม คำถามที่นักคณิตศาสตร์ถกเถียงกันมานานแล้วว่า คณิตศาสตร์ที่ดีคืออะไรกันแน่?
มันเกี่ยวกับความเข้มงวดหรือเปล่า? ความสง่างาม? ยูทิลิตี้ในโลกแห่งความเป็นจริง? เทอร์รี่เขียนบทความที่รอบคอบและใจกว้างมาก ฉันบอกได้เลยว่าเป็นคนใจกว้าง เรียงความเกี่ยวกับทุกวิถีทางที่คณิตศาสตร์จะดีได้ แต่บัดนี้ กว่า 15 ปีต่อมา เราจำเป็นต้องคิดใหม่หรือไม่ว่าคณิตศาสตร์ที่ดีคืออะไร
ฉันชื่อ Steve Strogatz และนี่คือ "The Joy of Why" ซึ่งเป็นพอดแคสต์จาก นิตยสาร Quanta โดยที่ฉันและเจ้าภาพร่วมของฉัน Janna Levin ผลัดกันสำรวจคำถามที่ยังไม่มีคำตอบที่ใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในปัจจุบัน
(บทละคร)
วันนี้เพื่อทบทวนคำถามนิรันดร์เกี่ยวกับสิ่งที่ทำให้คณิตศาสตร์ดีคือ Terry Tao เอง ศาสตราจารย์เต่าได้ประพันธ์งานวิจัยมากกว่า 300 ฉบับเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์ที่หลากหลายอย่างน่าทึ่ง รวมถึงการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เชิงผสม ทฤษฎีจำนวน วิทยาศาสตร์ข้อมูล เมทริกซ์สุ่ม และอื่นๆ อีกมากมาย เขาได้รับการขนานนามว่าเป็น “โมสาร์ทแห่งคณิตศาสตร์” และในฐานะผู้ชนะรางวัล Fields Medal, รางวัล Breakthrough Prize สาขาคณิตศาสตร์, MacArthur Fellowship และรางวัลอื่นๆ อีกมากมาย ชื่อเล่นนี้สมควรได้รับอย่างแน่นอน
เทอร์รี่ ยินดีต้อนรับสู่ “The Joy of Why”
เทอเรนซ์ เทา: ยินดีที่ได้อยู่ที่นี่
สโตรแกตซ์: ฉันตื่นเต้นมากที่จะได้พูดคุยกับคุณเกี่ยวกับคำถามนี้ว่าอะไรที่ทำให้การวิจัยทางคณิตศาสตร์บางประเภทดี ฉันจำได้ค่อนข้างชัดเจนเมื่อพลิกผ่าน แถลงการณ์ของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ย้อนกลับไปในปี 2007 และมาพบกัน เรียงความของคุณเกี่ยวกับปัญหานี้ ที่คุณโพสเพื่อเรา เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนคิด แต่สำหรับคนที่อาจไม่คุ้นเคยมากนัก คุณช่วยบอกเราหน่อยได้ไหมว่าคุณพบคำถามนี้ได้อย่างไร คุณให้คำนิยามคณิตศาสตร์ที่ดีในสมัยนั้นว่าอย่างไร?
TAO: ใช่แล้ว. จริงๆ แล้วมันเป็นการชักชวน ดังนั้นบรรณาธิการของ แถลงการณ์ ในขณะนั้นขอให้ฉันร่วมเขียนบทความ ฉันคิดว่าฉันมีความคิดที่ไร้เดียงสามากว่าคณิตศาสตร์คืออะไรตอนเป็นนักเรียน ฉันมีความคิดแบบนี้ว่ามีสภาหนวดเคราบางประเภทที่จะคอยแจกแจงปัญหาให้ผู้คนต้องดำเนินการ และมันทำให้ฉันตกใจมากในฐานะนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา เมื่อรู้ว่าจริงๆ แล้ว ไม่มีหน่วยงานกลางที่จะแจกแจงปัญหาต่างๆ และผู้คนก็ทำการวิจัยด้วยตนเอง
ฉันยังคงพูดคุยและฟังว่านักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ พูดคุยกันอย่างไรเกี่ยวกับสิ่งที่พวกเขาพบว่าน่าตื่นเต้น และอะไรที่ทำให้พวกเขาตื่นเต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ และความจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์แต่ละคนมีวิธีการเข้าถึงคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน เช่น บางคนอาจนำไปใช้ บ้างก็ตามความงามทางสุนทรีย์ บ้างก็เพียงแก้ปัญหาเท่านั้น พวกเขาต้องการแก้ปัญหาและมุ่งเน้นไปที่งานที่ยากที่สุดและท้าทายที่สุด บางคนจะเน้นไปที่เทคนิค บางคนจะพยายามทำให้ทุกอย่างดูหรูหราที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
แต่สิ่งที่ทำให้ฉันทึ่งเมื่อฟังนักคณิตศาสตร์หลายๆ คนพูดถึงสิ่งที่พวกเขาพบว่ามีคุณค่าในวิชาคณิตศาสตร์ก็คือ แม้ว่าเราทุกคนจะมีอุดมคติที่แตกต่างกันออกไป ว่าคณิตศาสตร์ที่ดีควรมีหน้าตาเป็นอย่างไร แต่พวกเขาก็มักจะ มาบรรจบกันในสิ่งเดียวกัน
หากคณิตศาสตร์ชิ้นหนึ่งดีจริงๆ คนที่แสวงหาความงามก็จะข้ามผ่านมันไปในที่สุด คนที่ไล่ตามซึ่งเห็นคุณค่าของพลังทางเทคนิคหรือการใช้งานจะเข้ามาหามันในที่สุด
ยูจีน วิกเนอร์ มีบทความที่มีชื่อเสียงมากเกี่ยวกับ ประสิทธิผลทางคณิตศาสตร์อย่างไม่สมเหตุสมผล ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพเมื่อเกือบหนึ่งศตวรรษก่อน ซึ่งเขาเพิ่งสังเกตเห็นว่ามีหลายสาขาของคณิตศาสตร์ — ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตแบบรีแมนเนียน การศึกษาอวกาศโค้ง — ซึ่งในตอนแรกเป็นเพียงแบบฝึกหัดทางทฤษฎีล้วนๆ สำหรับนักคณิตศาสตร์ คุณรู้ไหมว่ากำลังพยายามพิสูจน์ สมมุติฐานคู่ขนานและอื่นๆ กลายเป็นสิ่งที่ไอน์สไตน์ ปัวน์กาเร และฮิลแบร์ตต้องการอธิบายคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอย่างชัดเจน และนั่นเป็นเพียงปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้น
ดังนั้น ไม่ใช่แค่คณิตศาสตร์เท่านั้น ที่นักคณิตศาสตร์ [สิ่งที่] พบว่าน่าสนใจทางสติปัญญา กลับกลายเป็นสิ่งสำคัญทางกายภาพ แต่แม้กระทั่งในวิชาคณิตศาสตร์ วิชาที่นักคณิตศาสตร์พบว่าดีเลิศก็สามารถให้ข้อมูลเชิงลึกได้เช่นกัน
สิ่งที่ฉันรู้สึกก็คือ มีคณิตศาสตร์ที่ดีอยู่บ้าง และระบบค่านิยมที่แตกต่างกันทั้งหมดของเราเป็นเพียงวิธีที่แตกต่างกันในการเข้าถึงสิ่งที่ดีตามวัตถุประสงค์นั้น
สโตรแกตซ์: น่าสนใจมาก. เนื่องจากเป็นคนประเภทที่มีแนวโน้มที่จะคิดอย่างสงบกับตัวเอง ฉันจึงอยากเห็นด้วย แม้ว่าฉันจะแปลกใจเล็กน้อยที่ได้ยินคุณพูดแบบนั้น เพราะฉันคิดว่าคุณจะไปที่ไหนในตอนแรก เหมือนกับว่ามีมุมมองที่แตกต่างกันมากมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ อย่างไรก็ตาม มันเป็นข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์ ที่เรามาบรรจบกันเพื่อตกลงกันว่าอะไรดีหรือไม่ดี แม้ว่าอย่างที่คุณพูด เรามาจากค่านิยมที่แตกต่างกันมากมายก็ตาม
TAO: ขวา. การบรรจบกันอาจต้องใช้เวลา คุณรู้ไหมว่า มีฟิลด์ต่างๆ มากมาย ตัวอย่างเช่น ที่จะดูดีกว่ามากเมื่อวัดด้วยเมตริกเดียวมากกว่าเมตริกอื่นๆ เหมือนว่าพวกเขาอาจมีแอปพลิเคชั่นมากมาย แต่การนำเสนอของพวกเขาน่าขยะแขยงมาก
(สโตรกัทซ์หัวเราะ)
หรือสิ่งที่หรูหรามากแต่ยังไม่ค่อยมีการใช้งานที่ดีมากนักในโลกแห่งความเป็นจริง แต่ฉันรู้สึกว่าในที่สุดมันก็จะมาบรรจบกัน
สโตรแกตซ์: ผมจะถามคุณเกี่ยวกับจุดติดต่อกับโลกแห่งความจริงนี้ มันเป็นความตึงเครียดที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ และอย่างที่รู้ๆ กัน ในฐานะเด็กๆ สมมติว่าเมื่อเราเรียนรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเป็นครั้งแรก คุณอาจคิดว่า ณ จุดนั้นสามเหลี่ยมเป็นของจริง วงกลมหรือเส้นตรงเป็นของจริง และพวกมันสามารถบอกคุณเกี่ยวกับรูปทรงสี่เหลี่ยมที่คุณเห็นได้ ในอาคารต่างๆ ในโลก หรือที่นักสำรวจจำเป็นต้องใช้รูปทรงเรขาคณิต และท้ายที่สุดแล้ว คำนี้มาจากการวัดโลก ใช่แล้ว “เรขาคณิต” จึงมีช่วงหนึ่งที่เรขาคณิตเป็นเชิงประจักษ์
แต่สิ่งที่ฉันอยากถามคุณต้องทำอย่างไรกับความคิดเห็นนั้น John von Neumann ทำ. ดังนั้น ฟอน นอยมันน์ สำหรับทุกคนที่ไม่คุ้นเคย ก็คือตัวเขาเองที่เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ และเขาได้แสดงความคิดเห็นนี้ในบทความนี้ “นักคณิตศาสตร์” เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์กับโลกเชิงประจักษ์ โลกแห่งความจริง ซึ่งเขาพูดคร่าวๆ ว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์มีต้นกำเนิดมาจากเชิงประจักษ์ แต่เมื่อถึงจุดหนึ่ง เมื่อคุณได้รับแนวคิดทางคณิตศาสตร์แล้ว วิชานั้นก็เริ่มดำเนินชีวิตไป เป็นเจ้าของ. แล้วมันก็เหมือนกับงานศิลปะที่สร้างสรรค์มากกว่า เกณฑ์ด้านสุนทรียศาสตร์มีความสำคัญ แต่เขาบอกว่านั่นทำให้เกิดอันตราย เมื่อวัตถุเริ่มห่างไกลจากแหล่งกำเนิดเชิงประจักษ์มากเกินไป เช่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรุ่นที่สองหรือสาม เขาบอกว่ามีโอกาสที่วัตถุนั้นจะต้องทนทุกข์ทรมานจากการผสมพันธุ์แบบนามธรรมมากเกินไป และอาจเสี่ยงต่อการเสื่อมสภาพ
มีความคิดเห็นเกี่ยวกับเรื่องนั้นบ้างไหม? ฉันหมายถึงว่าคณิตศาสตร์ต้องติดต่อกับแหล่งที่มาเชิงประจักษ์หรือไม่?
เทา: ใช่ ฉันคิดว่ามันต้องถูกต่อสายดิน เมื่อฉันพูดอย่างนั้น ตามเชิงประจักษ์ วิธีการต่างๆ ในการทำคณิตศาสตร์มาบรรจบกัน เพียงเพราะว่า สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อวิชานั้นมีสุขภาพดีเท่านั้น คุณรู้ไหมว่าข่าวดีก็คือโดยปกติแล้วจะเป็นเช่นนี้
ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ให้ความสำคัญกับการพิสูจน์แบบสั้นมากกว่าการพิสูจน์แบบยาว สิ่งอื่นๆ ทั้งหมดเท่าเทียมกัน แต่ใครๆ ก็สามารถจินตนาการได้ว่าผู้คนทำอะไรเกินขอบเขต และสาขาย่อยหนึ่งของคณิตศาสตร์ หมกมุ่นอยู่กับการพิสูจน์ให้สั้นที่สุดเท่าที่จะทำได้ และมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทเชิงลึกสองบรรทัดที่ทึบแสงอย่างยิ่ง และพวกเขาทำให้มันเป็นเหมือนการแข่งขัน และจากนั้นมันกลายเป็นเกมที่ลึกซึ้ง และแล้วคุณก็สูญเสียสัญชาตญาณไปทั้งหมด คุณอาจสูญเสียความเข้าใจที่ลึกซึ้งมากขึ้นเพราะคุณหมกมุ่นอยู่กับการพิสูจน์ทั้งหมดให้สั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ทีนี้ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นจริงในทางปฏิบัติ แต่นี่เป็นตัวอย่างเชิงทฤษฎี และฉันคิดว่าฟอน นอยมันน์ กำลังทำประเด็นที่คล้ายกัน
และในช่วงทศวรรษที่ 60 และ 70 มียุคของคณิตศาสตร์ ที่นามธรรมกำลังก้าวหน้าอย่างมาก ในการทำให้คณิตศาสตร์จำนวนมากง่ายขึ้นและรวมเป็นหนึ่งเดียว ซึ่งก่อนหน้านี้เป็นเชิงประจักษ์อย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิต ผู้คนกำลังตระหนักว่า ตัวเลข พหุนาม และวัตถุอื่นๆ อีกมากมาย ที่เคยแยกกันก่อนหน้านี้ คุณคงคิดว่าพวกมันเป็นสมาชิกของคลาสพีชคณิตเดียวกัน ในกรณีนี้คือวงแหวน
และมีความก้าวหน้าอย่างมากในวิชาคณิตศาสตร์ โดยการค้นหานามธรรมที่ถูกต้อง ไม่ว่าจะเป็นปริภูมิทอพอโลยีหรือปริภูมิเวกเตอร์ อะไรก็ตาม และการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยทั่วไป และนี่คือบางครั้งที่เราเรียกว่ายุคบูร์บากีในวิชาคณิตศาสตร์ และมันก็เบี่ยงเบนไปจากการถูกต่อสายดินเล็กน้อย
แน่นอนว่าเรามีตอน New Math ทั้งหมดในสหรัฐอเมริกา ซึ่งนักการศึกษาพยายามทำ สอนคณิตศาสตร์แบบบูร์บากิ และในที่สุดก็ตระหนักว่านั่นไม่ใช่การสอนที่เหมาะสมในระดับนั้น
แต่ตอนนี้ลูกตุ้มได้เหวี่ยงกลับไปไม่น้อยแล้ว เรามี — วิชานี้เติบโตขึ้นมาไม่น้อยแล้ว และทุกสาขาของคณิตศาสตร์ เรขาคณิต โทโพโลยี อะไรก็ตาม เรามีรูปแบบที่น่าพอใจ และเรารู้ว่านามธรรมที่ถูกต้องคืออะไร และตอนนี้สาขานี้กำลังมุ่งเน้นไปที่การเชื่อมต่อโครงข่ายและแอปพลิเคชันอีกครั้ง ตอนนี้มันเชื่อมต่อกับโลกแห่งความเป็นจริงมากขึ้น
ฉันหมายถึง ไม่ใช่แค่ฟิสิกส์ประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นการเชื่อมโยงแบบดั้งเดิม แต่คุณรู้ไหม วิทยาการคอมพิวเตอร์ วิทยาศาสตร์เพื่อชีวิต สังคมศาสตร์ คุณก็รู้ ด้วยการเพิ่มขึ้นของข้อมูลขนาดใหญ่ เกือบทุกระเบียบวินัยของมนุษย์ในปัจจุบันสามารถคำนวณได้ในระดับหนึ่ง
สโตรแกตซ์: ฉันสนใจคำที่คุณเพิ่งใช้เมื่อนาทีที่แล้วเกี่ยวกับ "ความเชื่อมโยง" มาก เพราะนั่นดูเหมือนเป็นจุดศูนย์กลางที่เราจะพูดคุยกัน เป็นสิ่งที่คุณพูดถึงในเรียงความของคุณที่นอกเหนือจากสิ่งเหล่านี้ สิ่งที่คุณเรียกว่าเกณฑ์ "ท้องถิ่น" เกี่ยวกับความสง่างาม หรือการประยุกต์ในโลกแห่งความเป็นจริง หรืออะไรก็ตาม ที่คุณพูดถึงแง่มุม "สากล" ของคณิตศาสตร์ที่ดี: คณิตศาสตร์ที่ดีเชื่อมโยงกับสิ่งอื่น คณิตศาสตร์ที่ดี
นั่นเกือบจะเป็นกุญแจสำคัญที่ทำให้ผลิตภัณฑ์ดี นั่นคือการบูรณาการเข้ากับส่วนอื่นๆ แต่มันน่าสนใจเพราะมันฟังดูเหมือนการใช้เหตุผลแบบวงกลม คณิตศาสตร์ที่ดีคือคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์ที่ดีอื่นๆ แต่มันเป็นแนวคิดที่ทรงพลังจริงๆ และฉันแค่สงสัยว่าคุณจะขยายความเพิ่มเติมอีกหน่อยได้ไหม
TAO: ใช่แล้ว ฉันหมายถึงว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องเกี่ยวกับอะไร สิ่งหนึ่งที่คณิตศาสตร์ทำคือมันสร้างการเชื่อมโยงที่เป็นพื้นฐานและเป็นพื้นฐาน แต่ไม่ชัดเจนหากคุณมองจากระดับผิวเผิน ตัวอย่างแรกๆ ของเรื่องนี้คือการประดิษฐ์พิกัดคาร์ทีเซียนของเดส์การตส์ซึ่งสร้างความเชื่อมโยงพื้นฐานระหว่างเรขาคณิต - การศึกษาจุดและเส้นและวัตถุอวกาศ - และตัวเลข, พีชคณิต
ตัวอย่างเช่น วงกลมที่คุณคิดได้ว่าเป็นวัตถุทางเรขาคณิต แต่คุณสามารถมองมันเป็นสมการได้เช่นกัน: x2 + y2 = 1 คือสมการของวงกลม ในเวลานั้น มันเป็นการเชื่อมต่อที่ปฏิวัติวงการมาก คุณรู้ไหมว่าชาวกรีกโบราณมองว่าทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเป็นเพียงวิชาที่ไม่ปะติดปะต่อกันเกือบทั้งหมด
แต่สำหรับเดการ์ตส์ มีความเชื่อมโยงพื้นฐานนี้เกิดขึ้น และตอนนี้มันก็ถูกทำให้เป็นภายในแล้ว คุณรู้ไหม วิธีที่เราสอนคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เรื่องน่าแปลกใจอีกต่อไปที่หากคุณมีปัญหาทางเรขาคณิต คุณจะโจมตีมันด้วยตัวเลข หรือหากคุณมีปัญหากับตัวเลขก็อาจโจมตีด้วยเรขาคณิตได้
อาจเป็นเพราะทั้งเรขาคณิตและตัวเลขเป็นแง่มุมของแนวคิดทางคณิตศาสตร์เดียวกัน เรามีสาขาทั้งหมดที่เรียกว่าเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ซึ่งไม่ใช่พีชคณิตหรือเรขาคณิต แต่เป็นวิชาที่เป็นเอกภาพเพื่อศึกษาวัตถุ ที่คุณสามารถคิดได้ว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิต เช่น เส้นและวงกลม และอื่นๆ หรือเป็นสมการ
แต่จริงๆ แล้ว มันเป็นการรวมตัวกันแบบองค์รวมของทั้งสองที่เราศึกษากัน และเมื่อตัวแบบมีความลึกมากขึ้น เราก็ได้ตระหนักว่านั่นเป็นพื้นฐานมากกว่าพีชคณิตหรือเรขาคณิตแยกกันในบางแง่ ดังนั้น ความเชื่อมโยงเหล่านี้ช่วยให้เราค้นพบคณิตศาสตร์ที่แท้จริง ซึ่งในขั้นต้น การศึกษาเชิงประจักษ์ของเรา เป็นเพียงมุมหนึ่งของวิชาเท่านั้น
มีคำอุปมาเรื่องช้างอันโด่งดังเรื่องนี้ ฉันลืมไปว่าถ้าคุณมี... มีชายตาบอดสี่คนและพวกเขาค้นพบช้างตัวหนึ่ง และหนึ่งในนั้นก็คลำขาช้างแล้วคิดว่า "โอ้ นี่มันหยาบมาก มันคงจะเป็นเหมือนต้นไม้หรืออะไรสักอย่าง”
และหนึ่งในนั้นก็รู้สึกถึงงวง และหลังจากนั้นไม่นาน พวกเขาก็เห็นว่ามีวัตถุช้างชิ้นเดียว ที่กำลังอธิบายสมมติฐานที่แยกจากกันทั้งหมดของพวกเขา ใช่แล้ว เราทุกคนต่างก็ตาบอดตั้งแต่แรก รู้ไหม เราแค่เฝ้าดูเงาบนถ้ำของเพลโต และตระหนักในภายหลังว่า--
สโตรแกตซ์: ว้าว คุณที่นี่มีปรัชญามาก นี่คือบางสิ่งบางอย่าง ฉันอดใจไม่ไหวแล้ว: หากคุณกำลังจะเริ่มพูดถึงช้างกับคนตาบอด นี่แสดงว่าคุณคิดว่าคณิตศาสตร์มีอยู่ข้างนอกนั่น มันเหมือนกับช้างและเราเป็นคนตาบอด... หรือ คุณ รู้ไหม เรากำลังพยายามมองเห็นบางสิ่งที่มีอยู่โดยไม่ขึ้นอยู่กับมนุษย์ นั่นคือสิ่งที่คุณเชื่อจริงๆเหรอ?
TAO: เมื่อคุณทำคณิตศาสตร์ได้ดี แบบว่า มันไม่ใช่แค่การผลักสัญลักษณ์ไปรอบๆ คุณรู้สึกเหมือนมีวัตถุจริงๆ บางอย่างที่คุณพยายามจะเข้าใจ และสมการทั้งหมดที่เรามีก็เป็นเพียงการประมาณค่านั้น หรือเงาเท่านั้น
คุณสามารถถกเถียงประเด็นทางปรัชญาว่าอะไรคือความเป็นจริงและอื่นๆ ได้ ฉันหมายถึงว่า สิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่คุณสามารถสัมผัสได้จริงๆ และยิ่งมีของจริงมากตามหลักคณิตศาสตร์ บางครั้งก็ยิ่งดูทางกายภาพน้อยลงเท่านั้น อย่างที่คุณพูด ในตอนแรก เรขาคณิตเป็นสิ่งที่จับต้องได้มากเกี่ยวกับวัตถุในอวกาศที่คุณทำได้ คุณสามารถสร้างวงกลม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ ได้
แต่ในเรขาคณิตสมัยใหม่ คุณรู้ไหม เราทำงานในมิติที่สูงกว่า เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบแยกส่วน โทโพโลยีแปลกประหลาดทุกประเภท และฉันหมายถึงว่าวัตถุยังคงสมควรได้รับการเรียกว่าเรขาคณิต แม้ว่าจะไม่มีการวัดโลกอีกต่อไปก็ตาม นิรุกติศาสตร์กรีกโบราณล้าสมัยมาก แต่ก็มีบางอย่างอยู่ที่นั่นอย่างแน่นอน ไม่ว่าคุณต้องการจะเรียกมันว่าจริงแค่ไหน แต่ฉันเดาว่าประเด็นก็คือ เพื่อจุดประสงค์ในการทำคณิตศาสตร์จริงๆ การเชื่อว่ามันเป็นเรื่องจริงจะช่วยให้ได้
สโตรแกตซ์: ใช่ มันไม่น่าสนใจเหรอ? มันทำ ดูเหมือนว่าเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งมากในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ฉันประทับใจกับบทความที่อาร์คิมิดีสเขียนถึงเพื่อนของเขา หรืออย่างน้อยก็เพื่อนร่วมงานอย่างเอราทอสเธเนส
เรากำลังพูดถึง 250 ปีก่อนคริสตกาล และเขาตั้งข้อสังเกต เขาค้นพบวิธีหาพื้นที่ของสิ่งที่เราเรียกว่าส่วนของพาราโบลา เขาหาพาราโบลา ตัดข้ามมันด้วยส่วนของเส้นตรงที่ทำมุมเฉียงกับแกนของพาราโบลา แล้วเขาก็หาพื้นที่นี้ เขาได้รับผลลัพธ์ที่สวยงามมาก แต่เขาพูดบางอย่างกับเอราทอสเทนีสว่า “ผลลัพธ์เหล่านี้มีอยู่ในตัวเลขมาตลอด” คุณรู้ไหมว่าพวกเขาอยู่ที่นั่น พวกเขาอยู่ที่นั่น พวกเขากำลังรอให้เขาค้นหา
ไม่ใช่ว่าเขาสร้างมันขึ้นมา มันไม่เหมือนบทกวี ฉันหมายความว่ามันน่าสนใจจริง ๆ ใช่ไหม? ศิลปินผู้ยิ่งใหญ่มากมาย ไมเคิลแองเจโลพูดถึงการปล่อยรูปปั้นออกจากหิน ราวกับว่ามันอยู่ในนั้นตั้งแต่แรก ดูเหมือนว่าคุณและนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนอื่นๆ คงจะเป็นเช่นนั้น อย่างที่คุณพูด มันมีประโยชน์มากที่จะเชื่อแนวคิดนี้ ว่าแนวคิดนี้รอเราอยู่ รอให้ผู้มีจิตใจที่ถูกต้องค้นพบมัน
TAO: ขวา. ฉันคิดว่าสิ่งหนึ่งที่แสดงให้เห็นก็คือ แนวคิดที่มักจะซับซ้อนมากในการอธิบาย เมื่อค้นพบครั้งแรก แนวคิดเหล่านั้นจะถูกทำให้ง่ายขึ้น ฉันหมายถึง บ่อยครั้งสาเหตุที่บางสิ่งดูลึกซึ้งหรือยากในตอนแรกก็คือคุณไม่มีสัญกรณ์ที่ถูกต้อง
ตัวอย่างเช่น ตอนนี้เรามีรูปแบบทศนิยมเพื่อจัดการกับตัวเลข ซึ่งสะดวกมาก แต่ในอดีต เรามีเลขโรมันแบบนี้แหละ แล้วยังมีระบบตัวเลขพื้นฐานอีก ซึ่งยากมากๆ ในการทำงานถ้าคุณต้องการทำคณิตศาสตร์
ยุคลิด องค์ประกอบคุณรู้ไหม — ข้อโต้แย้งบางส่วนในตำราโบราณเหล่านี้ เหมือนมีทฤษฎีบทหนึ่งในยุคลิด องค์ประกอบ ฉันคิดว่ามันเรียกว่า Bridge of Fools หรืออะไรสักอย่าง มันเหมือนกับข้อความที่ว่า ฉันคิดว่าข้อความนั้นเหมือนกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมฐานทั้งสองเท่ากัน แบบว่า นี่เป็นเหมือนการพิสูจน์สองบรรทัดในข้อความเรขาคณิตสมัยใหม่ ด้วยสัจพจน์ที่ถูกต้อง แต่ยุคลิดกลับมีวิธีการอันน่าสยดสยองเช่นนี้ และเป็นที่ที่นักเรียนเรขาคณิตในยุคคลาสสิกจำนวนมากเลิกเรียนคณิตศาสตร์โดยสิ้นเชิง
สโตรแกตซ์: จริง. (หัวเราะ)
TAO: แต่คุณรู้ไหม ตอนนี้เรามีวิธีที่ดีกว่ามากในการทำเช่นนั้น บ่อยครั้งที่ภาวะแทรกซ้อนที่เราเห็นในวิชาคณิตศาสตร์ มักเกิดจากข้อจำกัดของเราเอง และเมื่อเราโตขึ้น สิ่งต่างๆ ก็จะง่ายขึ้น และมันให้ความรู้สึกสมจริงมากขึ้นด้วยเหตุนั้น เราไม่เห็นสิ่งประดิษฐ์ เรากำลังมองเห็นสาระสำคัญ
สโตรแกตซ์: เอาล่ะ กลับไปที่เรียงความของคุณ: ตอนที่คุณเขียนตอนนั้น — ฉันหมายถึง นี่เป็นช่วงเริ่มต้นอาชีพของคุณ ไม่ใช่จุดเริ่มต้น แต่ยังอยู่ เหตุใดคุณจึงรู้สึกย้อนกลับไปว่าการพยายามนิยามว่าคณิตศาสตร์ที่ดีคืออะไรเป็นสิ่งสำคัญ
TAO: ฉันคิดว่า... ถึงจุดนั้น ฉันเริ่มให้คำแนะนำแก่นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาแล้ว และฉันก็สังเกตเห็นว่ามีความเข้าใจผิดอยู่บ้างว่าอะไรดีอะไรไม่ดี และฉันก็ยังได้พูดคุยกับนักคณิตศาสตร์ในสาขาต่างๆ ด้วย และสาขาที่คนๆ หนึ่งให้คุณค่าในทางคณิตศาสตร์ก็ดูแตกต่างจากคนอื่นๆ แต่อย่างไรก็ตาม เราทุกคนก็เรียนวิชาเดียวกันหมด
และบางครั้งอาจมีคนพูดอะไรบางอย่างที่ทำให้ฉันเข้าใจผิด เช่น "คณิตศาสตร์นี้ไม่มีการประยุกต์ ดังนั้นจึงไม่มีคุณค่า" หรือ “ข้อพิสูจน์นี้ซับซ้อนเกินไป จึงไม่มีคุณค่า” หรืออะไรสักอย่าง หรือในทางกลับกัน คุณรู้ไหมว่า “ข้อพิสูจน์นี้ง่ายเกินไป มันจึงไม่คุ้ม...” คุณก็รู้ เหมือนมีคนหัวสูงบางคน และอื่นๆ บางครั้งฉันก็เจอ
จากประสบการณ์ของผม คณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดเกิดขึ้นเมื่อผมเข้าใจมุมมองที่แตกต่าง วิธีคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่แตกต่างจากคนในสาขาอื่น และนำไปประยุกต์ใช้กับปัญหาที่ผมสนใจ ดังนั้นประสบการณ์ของฉันในการใช้คณิตศาสตร์อย่างเหมาะสม วิธีการใช้มัน จึงแตกต่างไปจากนี้มาก — แบบว่าเป็น “วิธีหนึ่งที่แท้จริงในการทำคณิตศาสตร์”
ฉันรู้สึกเหมือนจะต้องสร้างประเด็นนี้ขึ้นมา จริงๆ แล้วมีวิธีคณิตศาสตร์เป็นพหูพจน์ แต่ในขณะที่คณิตศาสตร์ยังคงเป็นหนึ่งเดียวกัน
สโตรแกตซ์: นั่นเปิดเผยมาก เพราะว่าฉันเคยสงสัย อย่างเช่น ในบทนำของฉัน ฉันพูดถึงสาขาต่างๆ มากมายของคณิตศาสตร์ที่คุณได้สำรวจไปแล้ว และฉันไม่ได้รวมบางสาขาด้วยซ้ำ เช่น ฉันจำได้เมื่อไม่กี่ปีก่อน งานของคุณเกี่ยวกับความลึกลับนี้ในพลศาสตร์ของไหล ว่าสมการบางอย่างที่เราคิดว่า ทำงานได้ดีในการประมาณการเคลื่อนที่ของน้ำและอากาศหรือไม่ ฉันไม่ต้องการที่จะลงรายละเอียดมากเกินไป แต่แค่จะบอกว่า นี่ไง ผู้คนคิดว่าคุณทำทฤษฎีจำนวนหรือการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และทันใดนั้น คุณก็กำลังถามคำถามเกี่ยวกับพลศาสตร์ของไหล ฉันหมายถึง, ฉันรู้แล้วว่ามันคือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย แต่ถึงกระนั้น ความสนใจในวงกว้างของคุณดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับความกว้างของคุณในการยอมรับข้อมูลเชิงลึกที่แตกต่างกัน แนวคิดอันมีคุณค่าที่แตกต่างจากวิธีต่างๆ ในการทำคณิตศาสตร์ที่ดี
TAO: ฉันลืมว่าใครพูด แต่มีนักคณิตศาสตร์อยู่สองประเภท มีเม่นและสุนัขจิ้งจอก สุนัขจิ้งจอกคือคนที่รู้ทุกเรื่องเพียงเล็กน้อย เม่นเป็นสัตว์ที่รู้สิ่งหนึ่งเป็นอย่างดี และไม่มีดีกว่ากัน พวกเขาเสริมซึ่งกันและกัน ฉันหมายถึงในทางคณิตศาสตร์ คุณต้องการคนที่เป็นผู้เชี่ยวชาญด้านโดเมนเชิงลึกจริงๆ ในสาขาย่อยเดียว และพวกเขารู้หัวข้อจากภายในสู่ภายนอก และคุณต้องการคนที่มองเห็นการเชื่อมต่อระหว่างสาขาหนึ่งกับอีกสาขาหนึ่ง ดังนั้นฉันจึงระบุตัวเองว่าเป็นสุนัขจิ้งจอก แต่ฉันทำงานกับเม่นจำนวนมาก งานที่ฉันภูมิใจที่สุดก็มักจะเป็นการร่วมงานกันแบบนั้น
สโตรแกตซ์: โอ้ใช่. พวกเขารู้ไหมว่าพวกเขาเป็นเม่น?
TAO: เอาล่ะ บทบาทเปลี่ยนไปตามกาลเวลา เช่น มีการร่วมงานอื่นๆ ที่ฉันเป็นเม่น และอีกคนเป็นสุนัขจิ้งจอก สิ่งเหล่านี้ไม่ถาวร คุณรู้ไหมว่าสิ่งเหล่านี้ไม่ได้อยู่ใน DNA ของคุณ
สโตรแกตซ์: อ่า เป็นประเด็นที่ดี เรารับได้ — เราสวมเสื้อคลุมได้ทั้งสองแบบ
แล้วตอนนั้นมีการตอบกลับเรียงความบ้างไหม? มีคนพูดอะไรกลับกับคุณบ้างไหม?
TAO: ฉันได้รับการตอบรับที่ค่อนข้างเป็นบวกโดยทั่วไป ฉันหมายถึง แถลงการณ์ของกลุ่มประเทศสมาชิกอาเซียน ฉันคิดว่าไม่ใช่สิ่งพิมพ์ที่แพร่หลายและแพร่หลายอย่างกว้างขวาง และฉันไม่ได้พูดอะไรที่ขัดแย้งเกินไป นอกจากนี้ โซเชียลมีเดียประเภทนี้ ฉันคิดว่าอาจมีบล็อกคณิตศาสตร์บางบล็อกที่หยิบมันขึ้นมา แต่ไม่มี Twitter ไม่มีอะไรที่จะทำให้มันกลายเป็นไวรัลได้
ใช่แล้ว ผมคิดว่าโดยทั่วไปแล้ว นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ใช้เวลาและทุนทางปัญญามากนักในการเก็งกำไร ฉันหมายถึง มีนักคณิตศาสตร์อีกคนโทรมา คิมมินยอง ผู้มีอุปมาอุปไมยที่ดีมาก สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้ว ความน่าเชื่อถือก็เหมือนกับสกุลเงิน เหมือนเงิน หากคุณพิสูจน์ทฤษฎีบทและแสดงให้เห็นว่าคุณรู้เรื่องนั้น คุณกำลังสะสมความน่าเชื่อถือในธนาคาร และเมื่อคุณมีสกุลเงินเพียงพอแล้ว คุณสามารถที่จะเก็งกำไรได้เล็กน้อยโดยการใช้หลักปรัชญาเล็กน้อยและพูดในสิ่งที่อาจเป็นจริง แทนที่จะพูดในสิ่งที่คุณสามารถพิสูจน์ได้จริง
แต่เรามีแนวโน้มที่จะระมัดระวัง และเราไม่ต้องการให้มีเงินเบิกเกินบัญชีในบัญชีธนาคารของเรา คุณรู้ไหม คุณไม่ต้องการให้งานเขียนส่วนใหญ่ของคุณเป็นการคาดเดา และต้องการเพียงร้อยละ 1 เท่านั้นที่จะพิสูจน์บางสิ่งบางอย่างจริงๆ
สโตรแกตซ์: พอสมควรเลย เอาล่ะ หลายปีผ่านไปตั้งแต่นั้นมา เรากำลังพูดเรื่องอะไรอยู่? เป็นเวลากว่า 15 ปีแล้ว
TAO: โอ้ เวลาช่างผ่านไปเร็วจริงๆ
สโตรแกตซ์: ความคิดเห็นของคุณเปลี่ยนไปไหม? มีอะไรที่เราจำเป็นต้องแก้ไขหรือไม่?
TAO: วัฒนธรรมของคณิตศาสตร์กำลังเปลี่ยนแปลงไปไม่น้อย ฉันมีมุมมองที่กว้างเกี่ยวกับคณิตศาสตร์อยู่แล้ว และตอนนี้ฉันก็มีมุมมองที่กว้างกว่านั้นอีก
ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมอย่างหนึ่งคือ การพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยยังคงเป็นข้อถกเถียงในปี 2007 มีการคาดเดาที่มีชื่อเสียงที่เรียกว่าการคาดเดาของเคปเลอร์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการบรรจุลูกบอลในพื้นที่สามมิติ และมีการบรรจุแบบมาตรฐาน ฉันคิดว่ามันเรียกว่าการบรรจุแบบลูกบาศก์กลางหรืออะไรทำนองนั้น ซึ่งเคปเลอร์คาดเดาว่าเป็นบรรจุภัณฑ์ที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
เรื่องนี้ได้รับการแก้ไขในที่สุด แต่ หลักฐานได้รับความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์อย่างมาก. มันค่อนข้างซับซ้อนและ [โทมัส] เฮลส์ในที่สุดก็สร้างภาษาคอมพิวเตอร์ทั้งหมดเพื่อตรวจสอบหลักฐานนี้อย่างเป็นทางการ แต่ก็ไม่ได้รับการยอมรับว่าเป็นข้อพิสูจน์จริงมานานหลายปี แต่มันแสดงให้เห็นว่าแนวคิดของการพิสูจน์ที่คุณต้องการความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์เพื่อตรวจสอบนั้นขัดแย้งกันเพียงใด
ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา มีตัวอย่างหลักฐานอื่นๆ อีกมากมายที่มนุษย์สามารถลดปัญหาที่ซับซ้อนให้เหลือเพียงสิ่งที่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ในการตรวจสอบ จากนั้นคอมพิวเตอร์ก็ดำเนินการตรวจสอบต่อไป เราได้พัฒนาแนวปฏิบัติเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้อย่างมีความรับผิดชอบ คุณรู้วิธีเผยแพร่โค้ดและข้อมูล ตลอดจนวิธีตรวจสอบและโอเพ่นซอร์สใหม่ๆ และอื่นๆ และตอนนี้ มีการยอมรับการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยอย่างกว้างขวาง
ตอนนี้ ฉันคิดว่าการเปลี่ยนแปลงทางวัฒนธรรมครั้งต่อไปจะเป็น จะยอมรับข้อพิสูจน์ที่สร้างโดย AI หรือไม่. ขณะนี้ เครื่องมือ AI ยังไม่ถึงระดับที่สามารถสร้างการพิสูจน์เพื่อพัฒนาปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้อย่างแท้จริง บางทีการบ้านในระดับปริญญาตรี ก็สามารถจัดการได้ แต่ค้นคว้าวิชาคณิตศาสตร์ ยังไม่ถึงระดับนั้น แต่เมื่อถึงจุดหนึ่ง เราจะเริ่มเห็นเอกสารที่ได้รับความช่วยเหลือจาก AI และจะมีการถกเถียงกัน
วิธีที่วัฒนธรรมของเราเปลี่ยนแปลงไปในทางใดทางหนึ่ง... ย้อนกลับไปในปี 2007 มีนักคณิตศาสตร์เพียงเศษเสี้ยวเท่านั้นที่จัดทำแบบพิมพ์ล่วงหน้าก่อนเผยแพร่ ผู้เขียนจะคอยเฝ้าดูงานพิมพ์ของตนอย่างอิจฉาริษยาจนกว่าจะได้รับแจ้งการยอมรับจากวารสาร แล้วพวกเขาก็อาจจะแบ่งปัน
แต่ตอนนี้ทุกคนก็เอาเอกสารไปใส่ เซิร์ฟเวอร์สาธารณะเช่น arXiv. มีความเปิดกว้างมากขึ้นในการใส่วิดีโอและโพสต์บนบล็อก เกี่ยวกับที่มาของแนวคิดในรายงานวิจัย เพราะผู้คนตระหนักดีว่านี่คือสิ่งที่ทำให้งานมีอิทธิพลและมีผลกระทบมากขึ้น หากคุณพยายามที่จะไม่เผยแพร่ผลงานของคุณและปกปิดมันไว้เป็นความลับ มันก็ไม่ได้สร้างความกระฉับกระเฉง
คณิตศาสตร์ได้กลายเป็น ร่วมมือกันมากขึ้น. คุณรู้ไหมว่า 50 ปีที่แล้ว ฉันจะบอกว่าบทความทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เขียนโดยผู้เขียนคนเดียว ตอนนี้ ส่วนใหญ่เป็นผู้เขียนสองหรือสามหรือสี่คนอย่างแน่นอน และเราเพิ่งเริ่มเห็นโครงการใหญ่ๆ เหมือนที่เราทำในสาขาวิทยาศาสตร์ เหมือนกับที่คนนับสิบหลายร้อยคนร่วมมือกัน นั่นยังเป็นเรื่องยากสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่จะทำ แต่ผมคิดว่าเราจะไปถึงจุดนั้นได้
ในขณะเดียวกัน เราก็มีความเป็นสหวิทยาการมากขึ้น เรากำลังทำงานร่วมกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ มากขึ้น เรากำลังทำงานระหว่างสาขาวิชาคณิตศาสตร์ และเนื่องจากอินเทอร์เน็ต เราจึงสามารถทำงานร่วมกับผู้คนทั่วโลกได้ ดังนั้น วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของเราจึงเปลี่ยนไปอย่างแน่นอน
ฉันหวังว่าในอนาคตเราจะสามารถใช้ประโยชน์จากชุมชนคณิตศาสตร์สมัครเล่นได้มากขึ้น ยังมีสาขาอื่นๆ เช่น ดาราศาสตร์ ซึ่งนักดาราศาสตร์ใช้ประโยชน์อย่างมากจากชุมชนดาราศาสตร์สมัครเล่น อย่างเช่น ดาวหางจำนวนมาก ถูกค้นพบโดยมือสมัครเล่น
แต่นักคณิตศาสตร์... คณิตศาสตร์มีบางพื้นที่ที่แยกจากกัน เช่น การเรียงต่อกัน การเรียงต่อกันสองมิติ และอาจค้นหาบันทึกที่เป็นจำนวนเฉพาะ มีสาขาวิชาคณิตศาสตร์บางสาขาที่มือสมัครเล่นมีส่วนร่วม และยินดีต้อนรับพวกเขา แต่มีอุปสรรคมากมาย ในด้านคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ คุณต้องการการฝึกอบรมและภูมิปัญญาภายในหรือภูมิปัญญาแบบเดิมๆ มากจนเราไม่สามารถรวบรวมแหล่งที่มาได้ แต่สิ่งนี้อาจมีการเปลี่ยนแปลงในอนาคต บางทีผลกระทบประการหนึ่งของ AI คือการอนุญาตให้นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นมีส่วนร่วมอย่างมีความหมายต่อคณิตศาสตร์
สโตรแกตซ์: น่าสนใจมาก.
[พักเพื่อแทรกโฆษณา]
สโตรแกตซ์: ดังนั้นมือสมัครเล่นอาจถามคำถามใหม่ๆ ที่ดีหรือช่วยในการสำรวจคำถามที่มีอยู่ให้ดีด้วยความช่วยเหลือจาก AI ก็ได้
TAO: มีหลายวิธีที่แตกต่างกัน — ใช่ ตัวอย่างเช่น ขณะนี้มีโครงการที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทใหญ่ในสิ่งเหล่านี้ที่เรียกว่าเป็นทางการ ผู้ช่วยพิสูจน์อย่างเป็นทางการซึ่งเป็นเหมือนภาษาคอมพิวเตอร์ที่สามารถตรวจสอบได้ 100% ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงหรือไม่ และได้รับการพิสูจน์หรือไม่ สิ่งนี้ทำให้เกิดการทำงานร่วมกันในวงกว้างทางคณิตศาสตร์ได้อย่างแท้จริง
ในอดีต ถ้าคุณร่วมมือกับคนอีก 10 คน เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท และแต่ละคนมีส่วนช่วยในขั้นตอน ทุกคนจะต้องตรวจสอบคณิตศาสตร์ของคนอื่นๆ ด้วย เพราะสิ่งที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็คือ ถ้าขั้นตอนหนึ่งมีข้อผิดพลาด ทุกอย่างอาจพังทลายได้
ดังนั้นคุณจำเป็นต้องมีความไว้วางใจ และดังนั้น -- เพราะเหตุนี้ สิ่งนี้จึงขัดขวาง เป็นการขัดขวางความร่วมมือขนาดใหญ่จริงๆ ในทางคณิตศาสตร์ แต่ปัจจุบันนี้ มีตัวอย่างที่ประสบความสำเร็จของทฤษฎีบทขนาดใหญ่จริงๆ ที่เกิดขึ้นอย่างเป็นทางการเมื่อมีชุมชนขนาดใหญ่ พวกเขาไม่ได้รู้จักกันทั้งหมด พวกเขาไม่ไว้วางใจซึ่งกันและกัน แต่พวกเขาสื่อสารผ่านการอัปโหลดไปยังที่เก็บ Github บางแห่งหรือ บางอย่าง เช่น การพิสูจน์แต่ละขั้นตอนในการโต้แย้ง และซอฟต์แวร์พิสูจน์อักษรอย่างเป็นทางการจะตรวจสอบทุกสิ่ง ดังนั้นคุณจึงไม่ต้องกังวลเรื่องความไว้วางใจ ดังนั้นเราจึงเปิดใช้งานรูปแบบใหม่ของการทำงานร่วมกัน ซึ่งเราไม่เคยเห็นมาก่อนจริงๆ
สโตรแกตซ์: มันน่าสนใจจริงๆ ที่ได้ยินนิมิตของคุณ เทอร์รี่ มันเป็นความคิดที่น่าสนใจ คุณไม่ได้ยินวลี “พลเมืองนักคณิตศาสตร์” คุณได้ยินเรื่องวิทยาศาสตร์พลเมือง แต่ทำไมไม่ฟังคณิตศาสตร์พลเมืองล่ะ
แต่ฉันแค่สงสัยว่ามีแนวโน้มใดบ้างที่คุณกังวล เช่น หลักฐานที่ใช้คอมพิวเตอร์ช่วยหรือหลักฐานที่สร้างโดย AI เราจะรู้หรือไม่ว่าผลลัพธ์บางอย่างเป็นจริงแต่เราจะไม่เข้าใจว่าทำไม?
TAO: นั่นคือปัญหา ฉันหมายถึงว่ามันเป็นปัญหาอยู่แล้วก่อนที่ AI จะมาถึงเสียอีก มีหลายสาขาที่เอกสารในหัวเรื่องยาวขึ้นเรื่อยๆ หลายร้อยหน้า และฉันหวังว่า AI จะสามารถช่วยให้ง่ายขึ้นได้จริง และสามารถอธิบายและพิสูจน์ได้
มีซอฟต์แวร์ทดลองอยู่แล้ว เช่น ถ้าคุณทำการพิสูจน์ที่เป็นทางการ คุณสามารถแปลงมันให้เป็นเอกสารเชิงโต้ตอบที่มนุษย์สามารถอ่านได้ โดยที่คุณมีหลักฐาน และคุณจะเห็นขั้นตอนระดับสูง และดูว่ามีประโยคหรือไม่ หากคุณไม่เข้าใจ คุณสามารถดับเบิลคลิกได้ และมันจะขยายเป็นขั้นตอนเล็กๆ เร็วๆ นี้ ฉันคิดว่าคุณคงมีแชทบอท AI นั่งอยู่ข้างๆ คุณในขณะที่คุณกำลังพิสูจน์หลักฐานได้ และพวกเขาสามารถถามคำถามและอธิบายแต่ละขั้นตอนได้ราวกับว่าพวกเขาเป็นผู้เขียน ฉันคิดว่าเราใกล้จะถึงเรื่องนั้นแล้ว
มีความกังวล. เราต้องเปลี่ยนวิธีการให้ความรู้แก่นักเรียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขณะนี้วิธีการมอบหมายการบ้านแบบดั้งเดิมและอื่นๆ อีกมากมาย เราเกือบจะถึงจุดที่เครื่องมือ AI เหล่านี้สามารถตอบคำถามข้อสอบมาตรฐานของเราได้ทันที ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องสอนทักษะใหม่ๆ ให้นักเรียน เช่น วิธีการตรวจสอบว่าผลลัพธ์ที่สร้างโดย AI นั้นถูกต้องหรือไม่ และวิธีรับความคิดเห็นที่สอง
และเราอาจเห็นการมาถึงของการทดลองทางคณิตศาสตร์มากขึ้น ดังนั้น คณิตศาสตร์จึงเป็นทฤษฎีเกือบทั้งหมด ในขณะที่วิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่มีทั้งองค์ประกอบทางทฤษฎีและการทดลอง ในที่สุดเราอาจมีผลลัพธ์ที่พิสูจน์ได้ด้วยคอมพิวเตอร์ในขั้นแรกเท่านั้น และอย่างที่คุณพูด เราไม่เข้าใจ แต่แล้วเมื่อเรามีข้อมูลที่ AI ซึ่งเป็นเครื่องพิสูจน์ที่สร้างโดยคอมพิวเตอร์จัดเตรียมไว้ให้แล้ว เราอาจจะทำการทดลองได้
ตอนนี้มีคณิตศาสตร์ทดลองนิดหน่อย ผู้คนทำการศึกษา เช่น ชุดข้อมูลขนาดใหญ่ของสิ่งต่างๆ เช่น เส้นโค้งรูปไข่ แต่มันอาจจะยิ่งใหญ่กว่านี้มากในอนาคต
สโตรแกตซ์: Gee คุณมีมุมมองในแง่ดีมาก ฟังดูเหมือนกับฉันเลย ไม่เหมือนยุคทองในอดีต ถ้าฉันได้ยินคุณถูกต้อง คุณคงคิดว่ายังมีเรื่องน่าตื่นเต้นอีกมากมายรออยู่ข้างหน้า
TAO: ใช่แล้ว เครื่องมือทางเทคโนโลยีใหม่ๆ มากมายช่วยเพิ่มศักยภาพได้อย่างมาก ฉันหมายถึงว่า AI โดยทั่วไปมีข้อดีและข้อเสียที่ซับซ้อนมากมาย และนอกเหนือจากวิทยาศาสตร์ ยังมีการหยุดชะงักที่อาจเกิดขึ้นมากมายต่อเศรษฐกิจ สิทธิในทรัพย์สินทางปัญญา และอื่นๆ แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันคิดว่าอัตราส่วนความดีต่อความเลวนั้นดีกว่าในด้านอื่นๆ หลายๆ ด้าน
และคุณรู้ไหมว่าอินเทอร์เน็ตได้เปลี่ยนวิธีที่เราทำคณิตศาสตร์จริงๆ ฉันทำงานร่วมกับผู้คนมากมายในสาขาต่างๆ ฉันไม่สามารถทำเช่นนี้ได้หากไม่มีอินเทอร์เน็ต ความจริงที่ว่าฉันสามารถเข้าวิกิพีเดียหรืออะไรก็ตาม และเริ่มเรียนวิชาใดวิชาหนึ่ง และฉันสามารถส่งอีเมลถึงใครก็ได้ และเราก็สามารถทำงานร่วมกันทางออนไลน์ได้ ถ้าฉันต้องทำสิ่งที่ล้าสมัยซึ่งฉันสามารถพูดคุยกับคนในแผนกของฉันเท่านั้น และใช้จดหมายทางไปรษณีย์สำหรับทุกสิ่งทุกอย่าง ฉันก็ไม่สามารถคำนวณแบบที่ฉันทำตอนนี้ได้
สโตรแกตซ์: ว้าว ได้เลย ฉันแค่ต้องขีดเส้นใต้สิ่งที่คุณเพิ่งพูด เพราะฉันไม่เคยคิดเลยว่าจะเป็นล้านปีที่จะได้ยินสิ่งนี้: Terry Tao อ่าน Wikipedia เพื่อเรียนคณิตศาสตร์?
TAO: เป็นจุดเริ่มต้น ฉันหมายความว่า ไม่ใช่วิกิพีเดียเสมอไป แต่เพียงเพื่อให้ได้คำหลัก จากนั้นฉันจะทำการค้นหาเฉพาะทางมากขึ้น เช่น มธ หรือฐานข้อมูลอื่นๆ แต่ใช่
สโตรแกตซ์: มันไม่ใช่การวิจารณ์ ฉันหมายถึงฉันทำสิ่งเดียวกัน ที่จริงแล้ว Wikipedia นั้นหากมีการวิพากษ์วิจารณ์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ใน Wikipedia บางทีอาจเป็นว่าบางครั้งมันก็สูงเกินไปสำหรับผู้อ่านเล็กน้อยฉันคิดว่ามันมีไว้สำหรับ ไม่เสมอ. ฉันหมายความว่ามันขึ้นอยู่กับ มันแตกต่างกันมากในแต่ละบทความ แต่นั่นก็แค่ตลก ฉันชอบได้ยินแบบนั้น
TAO: ฉันหมายถึง เครื่องมือเหล่านี้ คุณต้องสามารถตรวจสอบผลลัพธ์ได้ คุณรู้ไหม ฉันหมายถึง เหตุผลที่ฉันสามารถใช้วิกิพีเดียทำคณิตศาสตร์ได้ ก็เพราะฉันรู้คณิตศาสตร์มากพอที่จะได้กลิ่นว่าชิ้นหนึ่งของวิกิพีเดียในวิชาคณิตศาสตร์นั้นน่าสงสัยหรือไม่ คุณรู้ไหมว่ามันอาจจะได้รับแหล่งข้อมูลบางอย่างและหนึ่งในนั้นก็จะเป็นแหล่งที่ดีกว่าอีกแหล่งหนึ่ง และฉันรู้จักผู้เขียน และฉันก็มีความคิดว่าการอ้างอิงใดจะดีกว่าสำหรับฉัน ถ้าฉันใช้วิกิพีเดียเพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับวิชาที่ฉันไม่เคยมีประสบการณ์มาก่อน ฉันคิดว่ามันจะเป็นตัวแปรสุ่มมากกว่า
สโตรแกตซ์: เอาล่ะ เราได้พูดคุยกันมาบ้างแล้วเกี่ยวกับสิ่งที่ทำให้เกิดคณิตศาสตร์ที่ดี อนาคตที่เป็นไปได้สำหรับคณิตศาสตร์ที่ดีรูปแบบใหม่ แต่บางทีเราควรตอบคำถาม: ทำไมเรื่องนี้ถึงสำคัญ? เหตุใดคณิตศาสตร์จึงต้องดี
TAO: เอาล่ะ ก่อนอื่นเลย ฉันหมายถึง ทำไมเราถึงมีนักคณิตศาสตร์ด้วยล่ะ? เหตุใดสังคมจึงเห็นคุณค่าของนักคณิตศาสตร์และให้ทรัพยากรแก่เราเพื่อทำสิ่งที่เราทำ คุณรู้ไหมว่าเป็นเพราะเราให้คุณค่าบางอย่าง เราสามารถมีแอปพลิเคชันสู่โลกแห่งความเป็นจริงได้ มีความสนใจทางปัญญา และทฤษฎีบางทฤษฎีที่เราพัฒนาขึ้นในที่สุดก็สามารถให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับปรากฏการณ์อื่นๆ ได้
และคณิตศาสตร์ไม่ทั้งหมดมีค่าเท่ากัน ฉันหมายถึง คุณสามารถคำนวณเลขพายได้มากขึ้นเรื่อยๆ แต่เมื่อถึงจุดหนึ่ง คุณไม่ได้เรียนรู้อะไรเลย หัวข้อใดก็ตามจำเป็นต้องมีการตัดสินคุณค่าเพราะคุณต้องจัดสรรทรัพยากร มีคณิตศาสตร์มากมายอยู่ที่นั่น คุณต้องการเน้นย้ำและประชาสัมพันธ์และแจ้งให้ผู้อื่นทราบถึงความก้าวหน้าอะไรบ้าง และความก้าวหน้าใดบ้างที่ควรนั่งจดบันทึกเงียบๆ อยู่ที่ไหนสักแห่ง?
แม้ว่าคุณจะคิดว่าหัวข้อนั้นเป็นกลางโดยสิ้นเชิง และคุณรู้ไหมว่ามีเพียงจริงหรือเท็จ เราก็ยังต้องตัดสินใจเลือก รู้ไหม เพียงเพราะเวลาเป็นทรัพยากรที่มีจำกัด ความสนใจเป็นทรัพยากรที่มีจำกัด เงินเป็นทรัพยากรที่มีจำกัด ดังนั้นคำถามเหล่านี้จึงเป็นคำถามที่สำคัญเสมอ
สโตรแกตซ์: น่าสนใจที่คุณพูดถึงเกี่ยวกับการประชาสัมพันธ์ เพราะเป็นสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นคุณลักษณะที่โดดเด่นในงานของคุณ ซึ่งคุณได้ใช้ความพยายามอย่างมากในการทำให้คณิตศาสตร์เข้าถึงได้แบบสาธารณะผ่านบล็อกของคุณ ผ่านบทความต่างๆ ที่คุณ ฉันเขียนแล้ว ฉันจำได้ว่าเคยคุยกันเรื่องที่คุณเขียนไว้ นักวิทยาศาสตร์อเมริกัน เกี่ยวกับความเป็นสากลและแนวคิดนั้น เหตุใดการทำให้คณิตศาสตร์เข้าถึงได้และเข้าใจได้ต่อสาธารณะจึงเป็นเรื่องสำคัญ ฉันหมายถึงคุณกำลังพยายามทำอะไรอยู่?
TAO: มันเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ ในช่วงต้นอาชีพของฉัน เวิลด์ไวด์เว็บยังใหม่และนักคณิตศาสตร์เริ่มมีหน้าเว็บที่มีเนื้อหาหลากหลาย แต่ไม่มีไดเร็กทอรีกลางมากนัก ก่อน Google และอื่นๆ จริงๆ แล้วการค้นหาแหล่งข้อมูลส่วนบุคคลเป็นเรื่องยาก
ดังนั้นฉันจึงเริ่มทำ ไดเรกทอรีเล็กๆ บนหน้าเว็บของฉัน. และฉันก็จะสร้างหน้าเว็บสำหรับบทความของตัวเองด้วย และฉันก็จะแสดงความเห็นด้วย ในตอนแรก มันเป็นไปเพื่อผลประโยชน์ของฉันเองมากกว่า เช่นเดียวกับเครื่องมือขององค์กร เพียงเพื่อช่วยฉันค้นหาสิ่งต่างๆ ในฐานะที่เป็นผลพลอยได้ มันมีต่อสาธารณะ แต่ฉันเป็นผู้บริโภคหลักหรืออย่างน้อยฉันก็นึกถึงหน้าเว็บของตัวเอง
แต่ฉันจำได้ชัดเจนมาก มีอยู่ครั้งหนึ่งที่ฉันเขียนรายงานและวางไว้บนหน้าเว็บของฉัน และฉันมีหน้าย่อยเล็กๆ ที่เรียกว่า "มีอะไรใหม่" และฉันก็พูดว่า "นี่คือกระดาษ มีคำถามอยู่ในนั้นซึ่งฉันยังตอบไม่ได้ และฉันไม่รู้ว่าจะแก้ไขมันอย่างไร” และฉันเพิ่งแสดงความคิดเห็นนี้ และสองวันต่อมา ฉันได้รับอีเมลแจ้งว่า "โอ้ ฉันแค่ตรวจสอบหน้าแรกของคุณเท่านั้น" ฉันรู้คำตอบสำหรับเรื่องนี้ มีกระดาษที่จะแก้ปัญหาของคุณ”
และมันทำให้ฉันตระหนักก่อนอื่นว่ามีคนเข้าชมหน้าเว็บของฉันจริงๆ ซึ่งฉันไม่รู้จริงๆ แต่การมีปฏิสัมพันธ์กับชุมชนนั้นสามารถช่วยฉันตอบคำถามได้โดยตรง
มีกฎหมายนี้เรียกว่า กฎของเมตคาล์ฟในระบบเครือข่าย คุณก็รู้ถ้าคุณมี n ผู้คนและพวกเขาต่างก็คุยกัน มีเรื่องประมาณนี้ n2 การเชื่อมต่อระหว่างพวกเขา ดังนั้น ยิ่งมีผู้ชมจำนวนมากขึ้นและฟอรัมที่ทุกคนสามารถพูดคุยกับคนอื่นๆ ได้มากขึ้นเท่าใด คุณก็จะสามารถสร้างความสัมพันธ์ได้มากขึ้นและสิ่งดีๆ ก็สามารถเกิดขึ้นได้มากขึ้นเท่านั้น
ฉันหมายถึงในอาชีพของฉัน การค้นพบมากมายที่ฉันได้สร้างขึ้น หรือความสัมพันธ์ที่ฉันทำนั้นเป็นเพราะความสัมพันธ์ที่ไม่คาดคิด ประสบการณ์การทำงานทั้งหมดของฉันมีการเชื่อมต่อที่มากขึ้นเท่ากับมีสิ่งที่ดีขึ้นเกิดขึ้น
สโตรแกตซ์: ฉันคิดว่าตัวอย่างที่สวยงามของสิ่งที่คุณกำลังพูดถึง แต่ฉันอยากได้ยินคุณพูดถึงเรื่องนี้ ก็คือความเชื่อมโยงที่คุณสร้างขึ้นกับผู้คนในสายงานวิทยาศาสตร์ข้อมูลที่สนใจคำถามเกี่ยวกับการถ่ายภาพด้วยคลื่นสนามแม่เหล็กทางการแพทย์ , เอ็มอาร์ไอ. คุณช่วยเล่าเรื่องนั้นให้เราฟังหน่อยได้ไหม?
TAO: ผมคิดว่าน่าจะเป็นประมาณปี 2006 และ 2005 ฉันคิดว่า มีโครงการสหวิทยาการในมหาวิทยาลัยที่ UCLA อยู่ การวิเคราะห์ทางเรขาคณิตหลายสเกล หรืออะไรประมาณนั้น โดยที่พวกเขารวบรวมนักคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่สนใจในเรขาคณิตประเภทหลายสเกล ในแบบของมันเอง แล้ว คุณรู้ไหมว่าคนที่มีปัญหาประเภทข้อมูลที่เป็นรูปธรรมมาก
และฉันเพิ่งเริ่มทำงานกับปัญหาบางอย่างในทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม ดังนั้น ฉันจึงเป็นที่รู้จักในฐานะคนที่สามารถบิดเบือนเมทริกซ์ได้ และฉันก็ได้พบกับคนที่ฉันรู้จักแล้ว เอ็มมานูเอล กันเดสเพราะตอนนั้นเขาทำงานอยู่ประตูถัดไปที่คาลเทค และเขาและผู้ร่วมงานอีกคน จัสติน รอมเบิร์กพวกเขาได้ค้นพบปรากฏการณ์ที่ไม่ธรรมดานี้แล้ว
พวกเขากำลังดูภาพ MRI แต่ก็ช้ามาก ในการรวบรวมภาพร่างกายมนุษย์ที่มีความละเอียดสูงมากเพียงพอ หรือมากพอที่จะจับเนื้องอก หรือลักษณะสำคัญทางการแพทย์ใดๆ ที่คุณต้องการค้นหา มักจะใช้เวลาหลายนาที เนื่องจากต้องสแกนมุมต่างๆ เหล่านี้ทั้งหมด แล้วจึงสังเคราะห์ข้อมูล . และนี่เป็นปัญหา จริงๆ แล้ว เพราะอย่างเช่น เด็กๆ เล็กๆ แค่ต้องนั่งนิ่งๆ ในเครื่อง MRI เป็นเวลาสามนาที ก็ค่อนข้างเป็นปัญหา
พวกเขาจึงทดลองด้วยวิธีอื่น โดยใช้พีชคณิตเชิงเส้น พวกเขาหวังว่าจะได้รับการปรับปรุงประสิทธิภาพให้ดีขึ้น 10% และ 20% คุณรู้ไหมว่าภาพที่คมชัดขึ้นเล็กน้อยโดยการปรับแต่งอัลกอริธึมมาตรฐานเล็กน้อย
ดังนั้น อัลกอริธึมมาตรฐานจึงเรียกว่าการประมาณกำลังสองน้อยที่สุด และพวกเขากำลังทำอย่างอื่น เรียกว่า การย่อความแปรผันทั้งหมดให้เหลือน้อยที่สุด แต่เมื่อพวกเขาใช้งานซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ พวกเขาได้สร้างอิมเมจทดสอบขึ้นมาใหม่เกือบสมบูรณ์แบบ การปรับปรุงครั้งใหญ่ครั้งใหญ่ และพวกเขาไม่สามารถอธิบายเรื่องนี้ได้
แต่เอ็มมานูเอลอยู่ที่รายการนี้ และเรากำลังคุยกันเรื่องชาหรืออะไรสักอย่าง และเขาเพิ่งพูดถึงเรื่องนี้ และที่จริง ความคิดแรกของฉันคือ คุณต้องทำผิดพลาดในการคำนวณ ว่าสิ่งที่คุณพูดนั้นเป็นไปไม่ได้จริงๆ และฉันจำได้ว่าได้กลับบ้านในคืนนั้น และพยายามเขียนหลักฐานที่แท้จริงว่าสิ่งที่พวกเขาเห็นไม่สามารถเกิดขึ้นได้จริง และเมื่อผ่านไปได้ครึ่งทาง ฉันก็ตระหนักว่าฉันได้ตั้งสมมติฐานซึ่งไม่เป็นความจริง แล้วฉันก็รู้ว่ามันใช้งานได้จริง แล้วฉันก็รู้ว่าอะไรคือคำอธิบาย จากนั้นเราก็ทำงานร่วมกัน และเราพบคำอธิบายที่ดีจริงๆ และเราก็เผยแพร่สิ่งนั้น
และเมื่อเราทำเช่นนั้น ผู้คนก็ตระหนักว่ามีสถานการณ์อื่นๆ มากมายที่คุณต้องทำการวัดผล ซึ่งโดยปกติแล้วต้องใช้ข้อมูลจำนวนมาก และในบางกรณี คุณสามารถรับข้อมูลจำนวนน้อยกว่ามากและยังคงได้รับค่าที่สูงมาก การวัดความละเอียด
ยกตัวอย่างเช่น ในปัจจุบัน เครื่อง MRI สมัยใหม่ การสแกนที่เคยใช้เวลาสามนาที ตอนนี้สามารถใช้เวลา 30 วินาทีได้แล้ว เพราะซอฟต์แวร์นี้ อัลกอริธึมนี้มีการเดินสายแบบฮาร์ดโค้ดเข้าไปในเครื่องแล้ว
สโตรแกตซ์: มันเป็นเรื่องที่สวยงาม มันเป็นเรื่องราวที่ยอดเยี่ยมมาก ฉันหมายถึง พูดถึงคณิตศาสตร์ที่สำคัญ ที่กำลังเปลี่ยนแปลงชีวิต ในบริบทของการถ่ายภาพทางการแพทย์ ฉันชอบความบังเอิญของมันและการเปิดใจกว้างของคุณ เมื่อได้ยินแนวคิดนี้แล้วคิดว่า “นี่เป็นไปไม่ได้ ฉันสามารถพิสูจน์ได้” แล้วตระหนักได้ว่าไม่จริง มหัศจรรย์มากที่ได้เห็นคณิตศาสตร์สร้างผลกระทบเช่นนี้
โอเค ฉันคิดว่าฉันควรปล่อยคุณไปดีกว่า เทอร์รี่ เรารู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งที่ได้พูดคุยถึงแก่นแท้ของคณิตศาสตร์ที่ดีกับคุณ ขอบคุณมากที่มาร่วมงานกับเราในวันนี้
TAO: ใช่ ไม่ มันเป็นความสุข
[พักเพื่อแทรกโฆษณา]
สโตรแกตซ์: “The Joy of Why” เป็นพอดแคสต์จาก นิตยสาร Quantaสิ่งพิมพ์อิสระด้านบรรณาธิการที่ได้รับการสนับสนุนจากมูลนิธิไซมอนส์ การตัดสินใจให้ทุนโดยมูลนิธิไซมอนส์ไม่มีอิทธิพลต่อการเลือกหัวข้อ แขกรับเชิญ หรือการตัดสินใจของกองบรรณาธิการอื่นๆ ในพอดแคสต์นี้หรือใน นิตยสาร Quanta.
“The Joy of Why” ผลิตโดย พีอาร์เอ็กซ์ โปรดักชั่น. ทีมผู้ผลิตคือเคทลิน โฟลด์ส, ลิเวีย บร็อค, เจเนวีฟ สปอนเซอร์และเมอร์ริตต์ เจค็อบ ผู้อำนวยการสร้างบริหารของ PRX Productions คือ โจเซลิน กอนซาเลส โบสถ์มอร์แกนและเอ็ดวิน โอโชอาให้ความช่วยเหลือเพิ่มเติม จาก นิตยสาร Quanta, John Rennie และ Thomas Lin ให้คำแนะนำด้านบรรณาธิการ โดยได้รับการสนับสนุนจาก Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana และ Madison Goldberg
เพลงประกอบของเรามาจาก APM Music Julian Lin คิดชื่อพอดแคสต์ขึ้นมา ภาพปกตอนโดย Peter Greenwood และโลโก้ของเราโดย Jaki King และ Kristina Armitage ขอขอบคุณเป็นพิเศษสำหรับ Columbia Journalism School และ Burt Odom-Reed ที่ Cornell Broadcast Studios
ฉันเป็นเจ้าภาพของคุณ สตีฟ สโตรแกทซ์ หากคุณมีคำถามหรือความคิดเห็นใด ๆ สำหรับเรา กรุณาส่งอีเมลถึงเราได้ที่ . ขอบคุณสำหรับการฟัง.
- เนื้อหาที่ขับเคลื่อนด้วย SEO และการเผยแพร่ประชาสัมพันธ์ รับการขยายวันนี้
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai เพิ่มพลังให้กับตัวเอง เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตไอสตรีม. Web3 อัจฉริยะ ขยายความรู้ เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตESG. คาร์บอน, คลีนเทค, พลังงาน, สิ่งแวดล้อม แสงอาทิตย์, การจัดการของเสีย. เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตสุขภาพ เทคโนโลยีชีวภาพและข่าวกรองการทดลองทางคลินิก เข้าถึงได้ที่นี่.
- ที่มา: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :มี
- :เป็น
- :ไม่
- :ที่ไหน
- ][หน้า
- $ ขึ้น
- 1
- 10
- ลด 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 ปี
- a
- สามารถ
- เกี่ยวกับเรา
- เกี่ยวกับมัน
- บทคัดย่อ
- สิ่งที่เป็นนามธรรม
- AC
- การยอมรับ
- ได้รับการยอมรับ
- ยอมรับ
- สามารถเข้าถึงได้
- การเข้าถึง
- ลงชื่อเข้าใช้
- ข้าม
- ที่เกิดขึ้นจริง
- จริง
- Ad
- เพิ่มเติม
- ที่อยู่
- นำมาใช้
- ความก้าวหน้า
- สูง
- ความก้าวหน้า
- การกำเนิด
- แนะนำ
- หลังจาก
- อีกครั้ง
- อายุ
- มาแล้ว
- เห็นพ้อง
- ก่อน
- AI
- AI แชทบอท
- AIR
- เอไอเอส
- ขั้นตอนวิธี
- มีชีวิตอยู่
- ทั้งหมด
- จัดสรร
- อนุญาต
- เกือบจะ
- ตาม
- แล้ว
- ด้วย
- แม้ว่า
- เสมอ
- มือสมัครเล่น
- อเมริกัน
- ในหมู่
- จำนวน
- an
- การวิเคราะห์
- โบราณ
- และ
- อื่น
- คำตอบ
- ใด
- อีกต่อไป
- ทุกคน
- สิ่งใด
- นอกเหนือ
- app
- Apple
- การใช้งาน
- การประยุกต์ใช้
- ใกล้เข้ามา
- เหมาะสม
- เป็น
- AREA
- พื้นที่
- อาร์กิวเมนต์
- ข้อโต้แย้ง
- รอบ
- ศิลปะ
- บทความ
- บทความ
- ศิลปิน
- AS
- ถาม
- แง่มุม
- ด้าน
- ความช่วยเหลือ
- ข้อสมมติ
- ดาราศาสตร์
- At
- โจมตี
- ความสนใจ
- ผู้ฟัง
- ผู้เขียน
- ประพันธ์
- ผู้มีอำนาจ
- ผู้เขียน
- ใช้ได้
- ได้รับรางวัล
- แกน
- b
- กลับ
- ไม่ดี
- ธนาคาร
- บัญชีธนาคาร
- อุปสรรค
- ฐาน
- ขั้นพื้นฐาน
- BE
- สวยงาม
- ร้านเสริมสวยเกาหลี
- เพราะ
- กลายเป็น
- จะกลายเป็น
- สมควร
- รับ
- ก่อน
- เริ่ม
- การเริ่มต้น
- กำลัง
- สิ่งมีชีวิต
- เชื่อ
- ประโยชน์
- ที่ดีที่สุด
- ดีกว่า
- ระหว่าง
- ใหญ่
- ข้อมูลขนาดใหญ่
- ที่ใหญ่กว่า
- ที่ใหญ่ที่สุด
- บิต
- คนตาบอด
- บล็อก
- บล็อกโพสต์
- Blog
- ร่างกาย
- ทั้งสอง
- สาขา
- ความกว้าง
- ทำลาย
- ความก้าวหน้า
- สะพาน
- การนำ
- กว้าง
- ออกอากาศ
- ที่กว้างขึ้น
- บร็อค
- สร้าง
- แต่
- by
- การคำนวณ
- โทรศัพท์
- ที่เรียกว่า
- มา
- วิทยาเขต
- CAN
- เมืองหลวง
- ความก้าวหน้า
- กรณี
- กรณี
- จับ
- สาเหตุที่
- ถ้ำ
- ส่วนกลาง
- อำนาจกลาง
- ศตวรรษ
- บาง
- อย่างแน่นอน
- ท้าทาย
- โอกาส
- เปลี่ยนแปลง
- การเปลี่ยนแปลง
- เปลี่ยนแปลง
- chatbot
- การพูดคุย
- ตรวจสอบ
- การตรวจสอบ
- ทางเลือก
- โบสถ์
- วงกลม
- วงกลม
- กลม
- พลเมือง
- ชั้น
- ปิดหน้านี้
- ร่วมเป็นเจ้าภาพ
- รหัส
- ร่วมมือ
- การทำงานร่วมกัน
- ความร่วมมือ
- เพื่อนร่วมงาน
- รวบรวม
- โคลัมเบีย
- อย่างไร
- มา
- ดาวหาง
- มา
- ความเห็น
- ความเห็น
- ความคิดเห็น
- สินค้า
- สื่อสาร
- ชุมชน
- ส่วนประกอบ
- อย่างสมบูรณ์
- ซับซ้อน
- ซับซ้อน
- ภาวะแทรกซ้อน
- ส่วนประกอบ
- คำนวณ
- คอมพิวเตอร์
- วิทยาการคอมพิวเตอร์
- ซอฟแวร์คอมพิวเตอร์
- สร้างด้วยคอมพิวเตอร์
- คอมพิวเตอร์
- แนวคิด
- ความกังวลเกี่ยวกับ
- คอนกรีต
- การคาดเดา
- การเชื่อมต่อ
- การเชื่อมต่อ
- การเชื่อมต่อ
- เชื่อมต่อ
- อนุรักษ์นิยม
- ผู้บริโภค
- ติดต่อเรา
- เนื้อหา
- การประกวด
- สิ่งแวดล้อม
- สนับสนุน
- ก่อ
- แย้ง
- สะดวกสบาย
- ตามธรรมเนียม
- ลู่
- การลู่เข้า
- ตรงกันข้าม
- แปลง
- คอร์เนลล์
- มุม
- แก้ไข
- ได้
- สภา
- หลักสูตร
- ที่สร้างขึ้น
- ความคิดสร้างสรรค์
- สัตว์
- ความน่าเชื่อถือ
- เกณฑ์
- คำวิจารณ์
- ฝูงชน
- ด้านวัฒนธรรม
- วัฒนธรรม
- เงินตรา
- ตัด
- อันตราย
- ข้อมูล
- วิทยาศาสตร์ข้อมูล
- ชุดข้อมูล
- ฐานข้อมูล
- วัน
- การอภิปราย
- การตัดสินใจ
- ลึก
- ลึก
- กำหนด
- อย่างแน่นอน
- สาธิต
- แผนก
- ขึ้นอยู่กับ
- บรรยาย
- สมควรได้รับ
- รายละเอียด
- แน่นอน
- พัฒนา
- พัฒนา
- DID
- ต่าง
- ยาก
- ตัวเลข
- มิติ
- โดยตรง
- ไดเรกทอรี
- วินัย
- ค้นพบ
- ค้นพบ
- สนทนา
- พูดคุย
- การหยุดชะงัก
- เด่น
- ชัดถ้อยชัดคำ
- ดีเอ็นเอ
- do
- เอกสาร
- ทำ
- ไม่
- การทำ
- โดเมน
- Dont
- ประตู
- ลง
- ข้อเสีย
- พลศาสตร์
- แต่ละ
- ก่อน
- โลก
- เศรษฐกิจ
- บรรณาธิการ
- บทบรรณาธิการ
- สอน
- นักการศึกษา
- เอ็ดวิน
- ประสิทธิผล
- ที่มีประสิทธิภาพ
- ความพยายาม
- Einstein
- ทั้ง
- ช้าง
- รูปไข่
- อื่น
- อื่น ๆ
- อีเมล
- เพิ่มขีดความสามารถ
- ช่วยให้
- การเปิดใช้งาน
- พบ
- ปลาย
- พอ
- ทั้งหมด
- อย่างสิ้นเชิง
- ตอน
- เท่ากัน
- เท่ากับ
- สมการ
- ยุค
- ความผิดพลาด
- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
- เรียงความ
- แก่นแท้
- แม้
- ในที่สุด
- ทุกๆ
- ทุกคน
- ทุกคน
- ทุกอย่าง
- เผง
- การสอบ
- ตัวอย่าง
- ตัวอย่าง
- ตื่นเต้น
- น่าตื่นเต้น
- ผู้บริหารงาน
- ผู้อำนวยการผลิต
- การออกกำลังกาย
- ที่มีอยู่
- ที่มีอยู่
- แสดง
- ประสบการณ์
- การทดลอง
- ทดลอง
- การทดลอง
- ผู้เชี่ยวชาญ
- อธิบาย
- อธิบาย
- คำอธิบาย
- สำรวจ
- สำรวจ
- ขอบเขต
- อย่างยิ่ง
- ความจริง
- ธรรม
- อย่างเป็นธรรม
- ตก
- เท็จ
- คุ้นเคย
- มีชื่อเสียง
- ที่ยอดเยี่ยม
- ไกล
- ที่น่าสนใจ
- ที่ชื่นชอบ
- ลักษณะ
- รู้สึก
- รู้สึก
- มนุษย์
- รู้สึก
- สองสาม
- สนาม
- สาขา
- คิด
- ตัวเลข
- ในที่สุด
- หา
- หา
- ชื่อจริง
- ของเหลว
- พลศาสตร์ของของไหล
- โฟกัส
- โดยมุ่งเน้น
- สำหรับ
- เป็นทางการ
- เป็นทางการ
- ออกมา
- ฟอรั่ม
- พบ
- รากฐาน
- สี่
- จิ้งจอก
- เศษ
- เพื่อน
- ราคาเริ่มต้นที่
- พื้นฐาน
- การระดมทุน
- ตลก
- อนาคต
- เกม
- ให้
- General
- สร้าง
- รุ่น
- ใจกว้าง
- เรขาคณิต
- ได้รับ
- ได้รับ
- ได้รับ
- GitHub
- ให้
- Go
- ไป
- ไป
- โกลเด้น
- ดี
- งานที่ดี
- ได้
- สำเร็จการศึกษา
- ยิ่งใหญ่
- กรีก
- กรีนวูด
- สัตว์ประหลาดมีปีกเป็นนกอินทรี
- สายดิน
- ยาม
- เดา
- แขกผู้เข้าพัก
- คำแนะนำ
- มี
- ครึ่งทาง
- มือ
- เกิดขึ้น
- ที่เกิดขึ้น
- สิ่งที่เกิดขึ้น
- ที่เกิดขึ้น
- ยาก
- มี
- มี
- he
- แข็งแรง
- ได้ยิน
- การได้ยิน
- เม่น
- ช่วย
- การช่วยเหลือ
- จะช่วยให้
- โปรดคลิกที่นี่เพื่ออ่านรายละเอียดเพิ่มเติม
- จุดสูง
- ระดับสูง
- ความละเอียดสูง
- สูงกว่า
- เน้น
- พระองค์
- ตัวเขาเอง
- ของเขา
- ประวัติ
- แบบองค์รวม
- หน้าแรก
- หน้าแรก
- การบ้าน
- ที่เคารพ
- ความหวัง
- มีความหวัง
- หวัง
- เจ้าภาพ
- ร้อน
- สรุป ความน่าเชื่อถือของ Olymp Trade?
- ทำอย่างไร
- HTTPS
- ใหญ่
- อย่างมหาศาล
- เป็นมนุษย์
- มนุษย์สามารถอ่านได้
- ร้อย
- i
- ความคิด
- อุดมการณ์
- ความคิด
- แยกแยะ
- if
- ภาพ
- ภาพ
- ภาพ
- การถ่ายภาพ
- ส่งผลกระทบ
- มีประสิทธิภาพ
- สำคัญ
- เป็นไปไม่ได้
- การปรับปรุง
- in
- ความโน้มเอียง
- ประกอบด้วย
- รวมทั้ง
- อิสระ
- เป็นรายบุคคล
- มีอิทธิพล
- มีอิทธิพล
- โดยธรรมชาติ
- ในขั้นต้น
- ความเข้าใจ
- ข้อมูลเชิงลึก
- ทันที
- แบบบูรณาการ
- ทางปัญญา
- ทรัพย์สินทางปัญญา
- ตั้งใจว่า
- ปฏิสัมพันธ์
- การโต้ตอบ
- อยากเรียนรู้
- สนใจ
- น่าสนใจ
- อินเทอร์เน็ต
- เข้าไป
- บทนำ
- ปรีชา
- การประดิษฐ์
- iPhone
- เปลี่ยว
- IT
- ITS
- การสัมภาษณ์
- จอห์น
- การร่วม
- เข้าร่วมกับเรา
- ร่วม
- วารสาร
- วารสารศาสตร์
- ความปิติยินดี
- เพียงแค่
- เก็บไว้
- คีย์
- คำหลัก
- เด็ก
- ชนิด
- ชนิด
- พระมหากษัตริย์
- ทราบ
- ที่รู้จักกัน
- รู้
- ที่ดิน
- ภาษา
- ภาษา
- ใหญ่
- ขนาดใหญ่
- ที่มีขนาดใหญ่
- ต่อมา
- กฏหมาย
- เรียนรู้
- การเรียนรู้
- น้อยที่สุด
- น้อยลง
- ให้
- ชั้น
- ชีวิต
- วิทยาศาสตร์สิ่งมีชีวิต
- กดไลก์
- ข้อ จำกัด
- ถูก จำกัด
- lin
- Line
- เชิงเส้น
- เส้น
- การฟัง
- น้อย
- ชีวิต
- ตรรกะ
- โลโก้
- นาน
- อีกต่อไป
- ดู
- ดูเหมือน
- ที่ต้องการหา
- LOOKS
- สูญเสีย
- Lot
- จำนวนมาก
- ความรัก
- เครื่อง
- เครื่อง
- ทำ
- นิตยสาร
- ส่วนใหญ่
- ทำ
- ทำให้
- การทำ
- จัดการ
- หลาย
- ตลาด
- มาก
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- ในทางคณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- มดลูก
- ด้าน
- เรื่อง
- เป็นผู้ใหญ่
- อาจ..
- อาจจะ
- me
- หมายความ
- วัด
- การวัด
- ภาพบรรยากาศ
- ทางการแพทย์
- ภาพทางการแพทย์
- สมาชิก
- ผู้ชาย
- กล่าวถึง
- กล่าวถึง
- ครึ่ง
- เมตริก
- อาจ
- ล้าน
- จิตใจ
- ลดขนาด
- นาที
- นาที
- ความเข้าใจผิด
- ข้อผิดพลาด
- กิริยา
- ทันสมัย
- โหมด
- เงิน
- ข้อมูลเพิ่มเติม
- มอร์แกน
- มากที่สุด
- การเคลื่อนไหว
- MRI
- มาก
- ดนตรี
- ต้อง
- my
- ตนเอง
- ความลึกลับ
- ไร้เดียงสา
- ชื่อ
- จำเป็นต้อง
- จำเป็น
- ความต้องการ
- ค่า
- ไม่เคย
- ใหม่
- ข่าว
- ถัดไป
- ดี
- คืน
- ไม่
- ไม่
- ปกติ
- ไม่มีอะไร
- การประกาศ
- ตอนนี้
- นวงของภาษา
- จำนวน
- ตัวเลข
- วัตถุ
- วัตถุประสงค์
- วัตถุ
- ตั้งข้อสังเกต
- ชัดเจน
- โอโชอา
- ตุลาคม
- of
- มักจะ
- oh
- ถูก
- on
- ครั้งเดียว
- ONE
- คน
- ออนไลน์
- เพียง
- ทึบแสง
- โอเพนซอร์ส
- ความใจกว้าง
- ความคิดเห็น
- ในแง่ดี
- or
- อินทรีย์
- องค์กร
- อื่นๆ
- ผลิตภัณฑ์อื่นๆ
- ของเรา
- ออก
- เชย
- เอาท์พุต
- ด้านนอก
- เกิน
- ของตนเอง
- ห่อ
- แน่น
- หน้า
- กระดาษ
- เอกสาร
- Parallel
- เพียงบางส่วน
- ในสิ่งที่สนใจ
- โดยเฉพาะ
- ส่วน
- ผ่าน
- อดีต
- คน
- เปอร์เซ็นต์
- สมบูรณ์
- การปฏิบัติ
- ถาวร
- คน
- พีเตอร์
- ปรากฏการณ์
- กายภาพ
- วิทยาศาสตร์กายภาพ
- ทางร่างกาย
- ฟิสิกส์
- เลือก
- ชิ้น
- เพลโต
- เพลโตดาต้าอินเทลลิเจนซ์
- เพลโต
- เพลโตดาต้า
- กรุณา
- ความสุข
- พอดคาสต์
- Podcasting
- บทกวี
- จุด
- จุดชมวิว
- จุด
- ถูกวาง
- บวก
- เป็นไปได้
- โพสต์
- ที่มีศักยภาพ
- อำนาจ
- ที่มีประสิทธิภาพ
- การปฏิบัติ
- การปฏิบัติ
- อย่างแม่นยำ
- การเสนอ
- สวย
- ป้องกัน
- ก่อนหน้านี้
- ประถม
- สำคัญ
- ดั้งเดิม
- รางวัล
- ปัญหา
- ปัญหาที่เกิดขึ้น
- ผลิต
- ผู้ผลิต
- การผลิต
- โปรดักชั่น
- ศาสตราจารย์
- โครงการ
- ความคืบหน้า
- โครงการ
- อุดมสมบูรณ์
- พิสูจน์
- พิสูจน์
- อย่างถูกต้อง
- คุณสมบัติ
- สิทธิ์ในทรัพย์สิน
- การป้องกัน
- ภูมิใจ
- พิสูจน์
- ที่พิสูจน์แล้ว
- ให้
- ให้
- การให้
- พิสูจน์
- สาธารณะ
- สิ่งพิมพ์
- สาธารณชน
- ประกาศ
- การตีพิมพ์
- การประกาศ
- บริสุทธิ์
- หมดจด
- วัตถุประสงค์
- ไล่ตาม
- ใจเร่งเร้า
- ใส่
- ทำให้
- ควอนทามากาซีน
- คำถาม
- คำถาม
- เงียบ ๆ
- ทีเดียว
- สุ่ม
- ค่อนข้าง
- อัตราส่วน
- ผู้อ่าน
- จริง
- โลกแห่งความจริง
- ความจริง
- ตระหนักถึง
- ตระหนัก
- ตระหนักถึง
- จริงๆ
- เหตุผล
- ภาวะถดถอย
- บันทึก
- ลด
- การอ้างอิง
- เรียกว่า
- ที่เกี่ยวข้อง
- ความสัมพันธ์
- ความสัมพันธ์
- การปล่อย
- จำ
- ลบออก
- กรุ
- จำเป็นต้องใช้
- ต้อง
- การวิจัย
- ได้รับการแก้ไข
- เสียงสะท้อน
- ทรัพยากร
- แหล่งข้อมูล
- คำตอบ
- อย่างรับผิดชอบ
- ผล
- ผลสอบ
- เผยให้เห็น
- แก้ไขใหม่
- การปฏิวัติ
- ขวา
- สิทธิ
- แหวน
- ขึ้น
- บทบาท
- ลวก
- วิ่ง
- กล่าวว่า
- เดียวกัน
- กล่าว
- คำพูด
- พูดว่า
- การสแกน
- โรงเรียน
- วิทยาศาสตร์
- วิทยาศาสตร์
- ค้นหา
- ที่สอง
- วินาที
- เห็น
- เห็น
- ดูเหมือน
- ดูเหมือน
- ดูเหมือนว่า
- เห็น
- ส่วน
- เลือก
- การเลือก
- กำกับตนเอง
- ประโยค
- แยก
- เซิร์ฟเวอร์
- ชุดอุปกรณ์
- หลาย
- รูปร่าง
- Share
- เปลี่ยน
- สั้น
- น่า
- ด้าน
- คล้ายคลึงกัน
- ง่าย
- ที่เรียบง่าย
- ที่เรียบง่าย
- ลดความซับซ้อน
- ลดความซับซ้อน
- ตั้งแต่
- เดียว
- นั่ง
- นั่ง
- สถานการณ์
- ทักษะ
- ช้า
- มีขนาดเล็กกว่า
- กลิ่น
- So
- สังคม
- โซเชียลมีเดีย
- สังคม
- ซอฟต์แวร์
- การชักชวน
- แก้
- การแก้
- บาง
- อย่างใด
- บางคน
- บางสิ่งบางอย่าง
- บางครั้ง
- ค่อนข้าง
- บางแห่ง
- ในไม่ช้า
- แสวงหา
- เสียง
- แหล่ง
- แหล่งที่มา
- ช่องว่าง
- เกี่ยวกับอวกาศ
- พิเศษ
- เฉพาะ
- การเก็งกำไร
- เกี่ยวกับการพิจารณา
- ใช้จ่าย
- Spotify
- สี่เหลี่ยม
- สี่เหลี่ยม
- มาตรฐาน
- Stanford
- เริ่มต้น
- ข้อความที่เริ่ม
- ที่เริ่มต้น
- เริ่มต้น
- คำแถลง
- สหรัฐอเมริกา
- เข้าพัก
- ขั้นตอน
- ขั้นตอน
- สตีฟ
- ยังคง
- สต็อก
- ตลาดหลักทรัพย์
- หิน
- เรื่องราว
- ตรง
- ความก้าวหน้า
- นักเรียน
- นักเรียน
- การศึกษา
- สตูดิโอ
- ศึกษา
- การศึกษา
- หรือ
- ที่ประสบความสำเร็จ
- อย่างเช่น
- ชี้ให้เห็นถึง
- สนับสนุน
- ที่สนับสนุน
- พื้นผิว
- ประหลาดใจ
- น่าแปลกใจ
- พิรุธ
- สังเคราะห์
- ระบบ
- เอา
- ใช้เวลา
- การ
- คุย
- การพูดคุย
- พูดคุย
- แน่ชัด
- งาน
- ชา
- การเรียนการสอน
- ทีม
- วิชาการ
- เทคนิค
- เทคโนโลยี
- บอก
- มีแนวโน้ม
- เมตริกซ์
- ทดสอบ
- กว่า
- ขอบคุณ
- ที่
- พื้นที่
- พื้นที่
- ก้าวสู่อนาคต
- โลก
- ของพวกเขา
- พวกเขา
- ชุดรูปแบบ
- แล้วก็
- ตามทฤษฎี
- ทฤษฎี
- ที่นั่น
- ดังนั้น
- ล้อยางขัดเหล่านี้ติดตั้งบนแกน XNUMX (มม.) ผลิตภัณฑ์นี้ถูกผลิตในหลายรูปทรง และหลากหลายเบอร์ความแน่นหนาของปริมาณอนุภาคขัดของมัน จะทำให้ท่านได้รับประสิทธิภาพสูงในการขัดและการใช้งานที่ยาวนาน
- พวกเขา
- สิ่ง
- สิ่ง
- คิด
- คิด
- ที่สาม
- รุ่นที่สาม
- นี้
- แต่?
- คิดว่า
- สาม
- สามมิติ
- ตลอด
- เวลา
- ไปยัง
- ในวันนี้
- ร่วมกัน
- เกินไป
- เครื่องมือ
- เครื่องมือ
- หัวข้อ
- รวม
- แตะ
- แบบดั้งเดิม
- การฝึกอบรม
- เปลี่ยน
- ได้รับการรักษา
- ต้นไม้
- แนวโน้ม
- พยายาม
- จริง
- วางใจ
- ลอง
- พยายาม
- เนื้องอก
- การหมุน
- ผลัดกัน
- tweaking
- พูดเบาและรวดเร็ว
- สอง
- ชนิด
- ชนิด
- ยูซีแอล
- ขีดเส้นใต้
- เข้าใจ
- เข้าใจได้
- ความเข้าใจ
- เข้าใจ
- ไม่คาดฝัน
- ปึกแผ่น
- สหภาพ
- หน่วย
- พร้อมใจกัน
- จนกระทั่ง
- ผิดปกติ
- อัปโหลด
- เมื่อ
- ยูพีเอส
- us
- ใช้
- มือสอง
- มีประโยชน์
- การใช้
- มักจะ
- ประโยชน์
- นำไปใช้
- มีคุณค่า
- ความคุ้มค่า
- มูลค่า
- ความคุ้มค่า
- ตัวแปร
- ต่างๆ
- เปลี่ยนทิศทาง
- ตรวจสอบ
- มาก
- VET
- วิดีโอ
- รายละเอียด
- ดู
- ไวรัส
- วิสัยทัศน์
- ของ
- ที่รอ
- ต้องการ
- อยาก
- คือ
- ชม
- น้ำดื่ม
- ทาง..
- วิธี
- we
- สวมใส่
- เว็บ
- webp
- ยินดีต้อนรับ
- ยินดี
- ดี
- คือ
- อะไร
- ความหมายของ
- อะไรก็ตาม
- เมื่อ
- แต่ทว่า
- ว่า
- ที่
- ในขณะที่
- WHO
- ทั้งหมด
- ทำไม
- กว้าง
- อย่างกว้างขวาง
- แพร่หลาย
- ควง
- วิกิพีเดีย
- จะ
- ผู้ชนะ
- ภูมิปัญญา
- กับ
- ภายใน
- ไม่มี
- สงสัย
- คำ
- WordPress
- งาน
- ทำงาน
- การทำงาน
- ทำงาน
- โลก
- เวิร์ลไวด์เว็บ
- กังวล
- กังวล
- จะ
- ว้าว
- เขียน
- การเขียน
- เขียน
- ผิด
- เขียน
- ปี
- ใช่
- ยัง
- เธอ
- ของคุณ
- ลมทะเล