ไพร์มจำนวนนับไม่ถ้วนจะห่างกันอย่างไม่สิ้นสุดได้อย่างไร

หากคุณติดตามข่าวคณิตศาสตร์ในเดือนนี้ คุณจะรู้ว่าเจมส์ เมย์นาร์ด นักทฤษฎีตัวเลขอายุ 35 ปี ชนะรางวัล เหรียญสนาม - เกียรติสูงสุดสำหรับนักคณิตศาสตร์ เมย์นาร์ดชอบคำถามคณิตศาสตร์ที่ “ง่ายพอที่จะอธิบายให้นักเรียนมัธยมปลายฟังได้ แต่ยากพอที่จะทำให้นักคณิตศาสตร์ต้องตกตะลึงมานานหลายศตวรรษ” ควอนตั้ม รายงานและหนึ่งในคำถามง่ายๆ เหล่านั้นก็คือ เมื่อคุณเลื่อนออกไปตามเส้นจำนวน จะต้องมีจำนวนเฉพาะที่อยู่ใกล้กันเสมอหรือไม่

คุณอาจสังเกตเห็นว่านักคณิตศาสตร์หมกมุ่นอยู่กับจำนวนเฉพาะ อะไรดึงดูดพวกเขา? อาจเป็นความจริงที่ว่าจำนวนเฉพาะรวบรวมโครงสร้างและความลึกลับที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะทำแผนที่จักรวาลของการคูณโดยอนุญาตให้เราจำแนกและจัดหมวดหมู่ทุกจำนวนด้วยการแยกตัวประกอบเฉพาะ แม้ว่ามนุษย์จะเล่นกับจำนวนเฉพาะตั้งแต่เริ่มการคูณ เรายังไม่แน่ใจแน่ชัดว่าจำนวนเฉพาะจะปรากฏขึ้นที่ใด กระจายออกไปเพียงใด หรือจะต้องอยู่ใกล้กันเพียงใด เท่าที่เราทราบ จำนวนเฉพาะไม่เป็นไปตามรูปแบบง่ายๆ

ความหลงใหลในวัตถุพื้นฐานเหล่านี้นำไปสู่การประดิษฐ์หรือค้นพบจำนวนเฉพาะหลายร้อยชนิด: Mersenne primes (จำนวนเฉพาะของรูปแบบ 2ⁿ − 1), ไพรม์ที่สมดุล (ไพรม์ที่เป็นค่าเฉลี่ยของไพรม์ที่อยู่ใกล้เคียงสองตัว) และจำนวนเฉพาะของโซฟี เจอร์เมน (ไพรม์หนึ่งตัว p เช่นนั้น 2p +1 เป็นจำนวนเฉพาะด้วย) เป็นต้น

ความสนใจในช่วงเวลาพิเศษเหล่านี้เกิดขึ้นจากการเล่นกับตัวเลขและค้นพบสิ่งใหม่ นั่นเป็นความจริงเช่นกันสำหรับ "จำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัล" ซึ่งเป็นการเพิ่มล่าสุดในรายการที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจเกี่ยวกับคำถามพื้นฐานที่สุด: จำนวนเฉพาะบางประเภทสามารถหายากหรือพบได้บ่อยเพียงใด

เพื่อขอบคุณสำหรับคำถามนี้ เรามาเริ่มด้วยข้อเท็จจริงที่น่าสนใจข้อแรกที่ผู้หลงใหลในตัวเลขได้เรียนรู้ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนมากนับไม่ถ้วน Euclid พิสูจน์เรื่องนี้เมื่อ 2,000 ปีที่แล้วโดยใช้หนึ่งในข้อพิสูจน์ที่มีชื่อเสียงที่สุดโดยมีข้อขัดแย้งในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ทั้งหมด เขาเริ่มด้วยการสันนิษฐานว่ามีเพียงจำนวนเฉพาะจำนวนมากและจินตนาการทั้งหมด n ของพวกเขาในรายการ:

$latex_1, p_2, p_3, …, p_n$

จากนั้นเขาก็ทำสิ่งที่ฉลาด: เขาคิดเกี่ยวกับตัวเลข $latexq=p_1 คูณ p_2 คูณ p_3 คูณ … คูณ p_n+1$

สังเกตว่า q ไม่สามารถอยู่ในรายการจำนวนเฉพาะได้ เพราะมันใหญ่กว่าทุกอย่างในรายการ ดังนั้นหากมีรายการจำนวนเฉพาะที่มีอยู่จริง จำนวนนี้ q ไม่สามารถเป็นนายกได้ แต่ถ้า q ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ มันต้องหารด้วยอย่างอื่นที่ไม่ใช่ตัวมันเอง และ 1. นี่หมายความว่า คิวต้อง หารด้วยจำนวนเฉพาะในรายการ แต่เพราะวิธี q ถูกสร้างแบ่ง q โดยอะไรก็ตามในรายการเหลือ 1 อย่าง ชัดเจนเลย q ไม่เป็นจำนวนเฉพาะหรือหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ไม่ได้ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งที่เกิดจากการสมมติว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนจำกัดเท่านั้น ดังนั้น เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งนี้ อันที่จริงแล้วต้องมีจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน

เนื่องจากมีจำนวนจำนวนนับไม่ถ้วน คุณอาจคิดว่าจำนวนเฉพาะทุกชนิดหาได้ง่าย แต่สิ่งต่อไปที่นักสืบจำนวนเฉพาะเรียนรู้ก็คือการกระจายจำนวนเฉพาะออกไปได้อย่างไร ผลลัพธ์ง่ายๆ เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่อยู่ติดกัน เรียกว่าช่องว่างเฉพาะ บอกบางสิ่งที่น่าประหลาดใจทีเดียว

ในบรรดาจำนวนเฉพาะ 10 ตัวแรก — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 และ 29 — คุณจะเห็นช่องว่างที่ประกอบด้วยตัวเลขประกอบตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป (ตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เช่น 4, 12 หรือ 27) คุณสามารถวัดช่องว่างเหล่านี้ได้โดยการนับจำนวนประกอบระหว่าง: ตัวอย่างเช่น มีช่องว่างขนาด 0 ระหว่าง 2 และ 3 ช่องว่างขนาด 1 ระหว่างทั้ง 3 และ 5 และ 5 และ 7 ช่องว่างขนาด 3 ระหว่าง 7 และ 11 เป็นต้น ช่องว่างเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดในรายการนี้ประกอบด้วยตัวเลขห้าตัว ได้แก่ 24, 25, 26, 27 และ 28 ระหว่าง 23 ถึง 29

สำหรับผลลัพธ์ที่น่าเหลือเชื่อ: ช่องว่างที่สำคัญอาจยาวได้ตามอำเภอใจ ซึ่งหมายความว่ามีจำนวนเฉพาะที่อยู่ติดกันห่างกันมากที่สุดเท่าที่คุณจะจินตนาการได้ บางทีสิ่งที่น่าเหลือเชื่อก็คือความง่ายในการพิสูจน์ความจริงข้อนี้

เรามีช่องว่างเฉพาะของความยาว 5 ด้านบนแล้ว มีแบบยาว 6 มั้ยคะ แทนที่จะค้นหารายการของจำนวนเฉพาะด้วยความหวังว่าจะพบ เราจะสร้างมันขึ้นมาเอง ในการทำเช่นนั้น เราจะใช้ฟังก์ชันแฟกทอเรียลที่ใช้ในสูตรการนับพื้นฐาน: ตามคำจำกัดความ $latexn!=n ครั้ง(n-1) ครั้ง (n-2) ครั้ง … คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1$ ตัวอย่างเช่น $ latex3!=3 ครั้ง 2 ครั้ง 1 = 6$ และ $latex5!=5 ครั้ง 4 ครั้ง 3 ครั้ง 2 ครั้ง 1=120$

ตอนนี้ มาสร้างช่องว่างที่สำคัญของเรากัน พิจารณาลำดับของตัวเลขที่ต่อเนื่องกันต่อไปนี้:

$ลาเท็กซ์ 7!+2$, $ลาเท็กซ์7!+3$, $ลาเท็กซ์ 7!+4$, $latex7!+5$, $ลาเท็กซ์ 7!+6$, $ลาเท็กซ์ 7!+7$

ตั้งแต่ $latex7!=7 คูณ 6 คูณ 5 คูณ 4 คูณ 3 ครั้ง2 คูณ 1$ ตัวเลขแรกในลำดับของเรา $latex7!+2$ หารด้วย 2 ลงตัว ซึ่งคุณสามารถเห็นหลังจากแฟคตอริ่งเล็กน้อย:

$latex7!+2=7 ครั้ง 6 ครั้ง 5 ครั้ง 4 ครั้ง 3 ครั้ง2 ครั้ง 1+2$
$latex= 2(7 คูณ 6 คูณ 5 คูณ 4 คูณ 3 คูณ 1+1)$

ในทำนองเดียวกัน จำนวนที่สอง $latex7!+3$ หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจาก

$latex7!+3=7 ครั้ง 6 ครั้ง 5 ครั้ง 4 ครั้ง 3 ครั้ง2 ครั้ง 1+3$
$latex= 3(7 คูณ 6 คูณ 5 คูณ 4 คูณ2 คูณ 1+1)$

ในทำนองเดียวกัน 7! + 4 หารด้วย 4, 7 ลงตัว! + 5 คูณ 5, 7! + 6 คูณ 6 และ 7! +7 คูณ 7 ซึ่งทำให้ 7! +2! +7! +3! +7! +4! + 7 ลำดับของตัวเลขประกอบหกตัวติดต่อกัน เรามีช่องว่างเฉพาะอย่างน้อย 5

กลยุทธ์นี้ง่ายต่อการสรุป ลำดับ

$ลาเท็กซ์!+2$, $ลาเท็กซ์!+3$, $ลาเท็กซ์!+4$, $ลาเท็กซ์…$, $ลาเท็กซ์!+n$

เป็นลำดับของตัวเลขประกอบต่อเนื่อง $latexn-1$ ซึ่งหมายความว่า สำหรับใดๆ nมีช่องว่างสำคัญที่มีความยาวอย่างน้อย $latexn-1$ นี่แสดงว่ามีช่องว่างเฉพาะที่ยาวตามอำเภอใจ ดังนั้นในรายการของตัวเลขธรรมชาติ มีจุดที่จำนวนเฉพาะที่ใกล้เคียงที่สุดคือ 100 หรือ 1,000 หรือแม้แต่ 1,000,000,000 ตัวเลขห่างกัน

ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นความตึงเครียดแบบคลาสสิก มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากเป็นอนันต์ แต่จำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกันก็สามารถแยกจากกันได้อย่างไม่จำกัด ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีจำนวนเฉพาะที่อยู่ติดกันมากมายนับไม่ถ้วนที่อยู่ใกล้กัน ประมาณ 10 ปีที่แล้ว ผลงานที่ก้าวล้ำของ Yitang Zhang ได้เริ่มต้นการแข่งขันเพื่อปิดช่องว่างและพิสูจน์การคาดเดาของจำนวนเฉพาะคู่ ซึ่งยืนยันว่ามีจำนวนเฉพาะคู่จำนวนนับไม่ถ้วนที่แตกต่างกันเพียงแค่ 2 คู่ การคาดเดาของจำนวนเฉพาะคู่เป็นหนึ่งในจำนวนที่มากที่สุด คำถามเปิดที่มีชื่อเสียงในวิชาคณิตศาสตร์ และ James Maynard ได้มีส่วนสำคัญในการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เข้าใจยากนี้ด้วยตัวเขาเอง

ความตึงเครียดนี้ยังมีอยู่ในผลลัพธ์ล่าสุดเกี่ยวกับไพรม์ที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลที่เรียกว่า เพื่อให้เข้าใจว่าตัวเลขเหล่านี้คืออะไรและอยู่ที่ใด ให้ใช้เวลาสักครู่เพื่อไตร่ตรองคำถามแปลก ๆ ต่อไปนี้: มีจำนวนเฉพาะสองหลักที่มักจะประกอบกับการเปลี่ยนแปลงใดๆ กับหลักหลักหรือไม่

เพื่อให้เข้าใจถึงความละเอียดอ่อนทางดิจิทัล มาลองเล่นกับตัวเลข 23 กัน เรารู้ว่ามันเป็นจำนวนเฉพาะ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเปลี่ยนหลักหนึ่ง 20, 22, 24, 26 และ 28 ทั้งหมดเท่ากันและประกอบเข้าด้วยกัน 21 หารด้วย 3 ลงตัว 25 ลงตัวด้วย 5 และ 27 หารด้วย 9 ลงตัว แต่ถ้าคุณเปลี่ยนหลักหลักเป็น 9 คุณจะได้ 29 ซึ่งยังคงเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น 23 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะที่เรากำลังมองหา

37 แล้วไง? ดังที่เราเห็นข้างต้น เราไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเลขคู่หรือตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5 ดังนั้นเราจะตรวจสอบ 31 33 และ 39 เนื่องจาก 31 เป็นจำนวนเฉพาะ 37 ก็ใช้ไม่ได้เช่นกัน

ตัวเลขดังกล่าวมีอยู่จริงหรือไม่? คำตอบคือ ใช่ แต่เราต้องไปให้ถึง 97 เพื่อหามัน: 97 เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ 91 (หารด้วย 7) ลงตัว 93 (หารด้วย 3) และ 99 (หารด้วย 3) ลงตัว พร้อมกับเลขคู่และ 95

จำนวนเฉพาะจะ "ละเอียดอ่อน" หากเมื่อคุณเปลี่ยนหลักใดหลักหนึ่งเป็นอย่างอื่น หมายเลข "สำคัญ" ของมันจะหายไป (หรือความเป็นอันดับหนึ่ง เพื่อใช้ศัพท์เทคนิค) จนถึงตอนนี้เราพบว่า 97 นั้นละเอียดอ่อนในหลักหนึ่ง เนื่องจากการเปลี่ยนหลักนั้นทำให้เกิดจำนวนประกอบเสมอ แต่ 97 นั้นตรงตามเกณฑ์ทั้งหมดของการละเอียดอ่อนทางดิจิทัลหรือไม่ คำตอบคือไม่ เพราะถ้าคุณเปลี่ยนหลักสิบเป็น 1 คุณจะได้ 17 เป็นจำนวนเฉพาะ (สังเกตว่า 37, 47 และ 67 เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดด้วย)

อันที่จริง ไม่มีไพรม์ที่ละเอียดอ่อนแบบดิจิทัลสองหลัก ตารางต่อไปนี้ของตัวเลขสองหลักทั้งหมด พร้อมแรเงาจำนวนเฉพาะสองหลัก แสดงว่าเหตุใด

ตัวเลขทั้งหมดในแถวใดแถวหนึ่งมีหลักสิบเหมือนกัน และตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์ที่ระบุมีหลักเดียวกัน ความจริงที่ว่า 97 เป็นตัวเลขที่แรเงาเพียงตัวเดียวในแถวนั้น สะท้อนถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามันละเอียดอ่อนในหลักหลัก แต่ก็ไม่ใช่จำนวนเฉพาะตัวเดียวในคอลัมน์ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขหลักสิบนั้นไม่ละเอียดอ่อน

จำนวนเฉพาะสองหลักที่มีความละเอียดอ่อนทางดิจิทัลจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวในแถวและคอลัมน์ ตามที่ตารางแสดง ไม่มีจำนวนเฉพาะสองหลักดังกล่าว แล้วไพรม์สามหลักที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลล่ะ ต่อไปนี้คือตารางที่คล้ายกันซึ่งแสดงเลย์เอาต์ของจำนวนเฉพาะสามหลักระหว่าง 100 ถึง 199 โดยละเว้นตัวเลขประกอบ

ที่นี่เราจะเห็นว่า 113 อยู่ในแถวของมันเอง ซึ่งหมายความว่ามันละเอียดอ่อนในหลักหนึ่ง แต่ 113 ไม่ได้อยู่ในคอลัมน์ของตัวเอง ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงบางอย่างในหลักสิบ (เช่น 0 สำหรับ 103 หรือ 6 สำหรับ 163) ทำให้เกิดจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่มีตัวเลขปรากฏทั้งในแถวและคอลัมน์ของตัวมันเอง เราจึงเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าไม่มีตัวเลขสามหลักที่รับประกันว่าจะรวมกันถ้าคุณเปลี่ยนหลักหนึ่งหรือหลักสิบ ซึ่งหมายความว่าจะไม่มีไพรม์ที่ละเอียดอ่อนแบบดิจิทัลสามหลักไม่ได้ สังเกตว่าเราไม่ได้ตรวจสอบหลักร้อยด้วยซ้ำ เพื่อให้มีความละเอียดอ่อนทางดิจิทัลอย่างแท้จริง ตัวเลขสามหลักจะต้องหลีกเลี่ยงจำนวนเฉพาะในสามทิศทางในตารางสามมิติ

ไพรม์ที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลมีอยู่จริงหรือไม่? เมื่อคุณไปไกลกว่านั้นบนเส้นจำนวน จำนวนเฉพาะมีแนวโน้มที่จะเบาบางลง ซึ่งทำให้มีโอกาสน้อยที่จะข้ามเส้นทางในแถวและคอลัมน์ของตารางที่มีมิติสูงเหล่านี้ แต่จำนวนที่มากกว่าจะมีจำนวนหลักมากกว่า และตัวเลขเพิ่มเติมแต่ละหลักจะลดโอกาสที่จำนวนเฉพาะจะมีความละเอียดอ่อนทางดิจิทัล

หากคุณทำต่อไป คุณจะพบว่าไพรม์ที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลนั้นมีอยู่จริง น้อยที่สุดคือ 294,001 เมื่อคุณเปลี่ยนหนึ่งในหลัก ตัวเลขที่คุณได้รับ 794,001 พูด หรือ 284,001 จะถูกประกอบเข้าด้วยกัน และยังมีอีกมากมาย: สองสามรายการถัดไปคือ 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; และ 1,062,599. ในความเป็นจริงพวกเขาไม่หยุด นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง Paul Erdős ได้พิสูจน์ว่ามีไพรม์ที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลมากมายนับไม่ถ้วน และนั่นเป็นเพียงผลแรกที่น่าประหลาดใจเกี่ยวกับตัวเลขที่น่าสงสัยเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น Erdős ไม่เพียงแต่พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลจำนวนมาก: เขาพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลมากมายในฐานใดๆ ดังนั้น หากคุณเลือกที่จะแสดงตัวเลขของคุณในรูปแบบเลขฐานสอง ไตรภาค หรือเลขฐานสิบหก คุณยังคงรับประกันว่าจะพบจำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลจำนวนมากอย่างไม่จำกัด

และจำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลไม่ได้เป็นเพียงอนันต์เท่านั้น พวกมันประกอบด้วยเปอร์เซ็นต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของจำนวนเฉพาะทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าหากคุณดูอัตราส่วนของจำนวนเฉพาะของจำนวนเฉพาะทางดิจิทัลต่อจำนวนเฉพาะทั้งหมด เศษส่วนนี้จะเป็นจำนวนที่มากกว่าศูนย์ ในแง่เทคนิค “สัดส่วนที่เป็นบวก” ของจำนวนเฉพาะทั้งหมดมีความละเอียดอ่อนทางดิจิทัล ดังที่ Terence Tao ผู้ชนะรางวัล Fields ได้รับการพิสูจน์ในปี 2010 จำนวนเฉพาะของตัวเองไม่ได้ประกอบขึ้นเป็นสัดส่วนที่เป็นบวกของตัวเลขทั้งหมด เนื่องจากคุณจะพบจำนวนเฉพาะน้อยลงเรื่อยๆ ยิ่งไกลออกไปตามเส้นจำนวน แต่ในบรรดาจำนวนเฉพาะเหล่านั้น คุณจะยังคงพบจำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนแบบดิจิทัลอยู่บ่อยครั้งเพียงพอที่จะรักษาอัตราส่วนของจำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนต่อจำนวนเฉพาะทั้งหมดให้สูงกว่าศูนย์

บางทีการค้นพบที่น่าตกใจที่สุดคือ ผลลัพธ์ตั้งแต่ปี 2020 เกี่ยวกับรูปแบบใหม่ของตัวเลขแปลก ๆ เหล่านี้ นักคณิตศาสตร์ได้จินตนาการถึงการแทนค่าของตัวเลขด้วยการผ่อนคลายแนวคิดที่ว่าตัวเลขคืออะไร แทนที่จะคิดเกี่ยวกับ 97 ด้วยตัวเอง พวกเขากลับคิดว่ามันมีเลขศูนย์นำหน้า:

… 0000000097.

ศูนย์นำหน้าแต่ละศูนย์สามารถคิดได้ว่าเป็นตัวเลข และสามารถขยายคำถามเกี่ยวกับความละเอียดอ่อนทางดิจิทัลไปยังการแสดงข้อมูลใหม่เหล่านี้ได้ จะมี "จำนวนเฉพาะที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลอย่างกว้างขวาง" หรือไม่ — จำนวนเฉพาะที่มักจะประกอบกันหากคุณเปลี่ยนตัวเลขใดๆ รวมถึงเลขศูนย์นำหน้าเหล่านั้นด้วย ขอบคุณงานของนักคณิตศาสตร์ Michael Filaseta และ Jeremiah Southwick เรารู้ว่าคำตอบที่น่าประหลาดใจคือใช่ ไม่เพียงแต่ไพรม์ที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลมีอยู่ทั่วไปเท่านั้น แต่ยังมีไพรม์จำนวนมากอีกด้วย

หมายเลขเฉพาะสร้างชุดปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับมืออาชีพและผู้ที่ชื่นชอบการเล่นด้วย เราอาจไม่เคยไขความลึกลับทั้งหมดของพวกเขา แต่คุณสามารถวางใจให้นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบและคิดค้นช่วงเวลาใหม่ๆ ที่จะสำรวจอย่างต่อเนื่อง

การออกกำลังกาย

1. อะไรคือช่องว่างเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดระหว่างจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ถึง 101?

2. เพื่อพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด Euclid ถือว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนมากอย่างจำกัด $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ แล้วแสดงว่า $latexq=p_1 คูณ p_2 คูณ p_3 ครั้ง … คูณ p_n+1$ ไม่ใช่ หารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ในรายการไม่ได้ นี่ไม่ได้หมายความว่า q ต้องไพรม์?

3. ผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีจำนวนคือมีเฉพาะระหว่าง k และ 2k (รวม) มันยากที่จะพิสูจน์ แต่มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่ามีเฉพาะระหว่าง k และ $latexq=p_1 คูณ p_2 คูณ p_3 ครั้ง … คูณ p_n+1$ (รวม) โดยที่ $latexq_1, p_2, p_3, …, p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ k. พิสูจน์สิ.

4. คุณสามารถหาจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดที่มีความละเอียดอ่อนทางดิจิทัลในตัวเลขและหลักสิบได้หรือไม่? ซึ่งหมายความว่าการเปลี่ยนหลักหรือหลักสิบจะทำให้เกิดตัวเลขประกอบเสมอ (คุณอาจต้องการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อทำสิ่งนี้!)

ปัญหาท้าทาย: คุณสามารถหาจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดที่ละเอียดอ่อนทางดิจิทัลเมื่อแสดงเป็นเลขฐานสองได้หรือไม่ โปรดจำไว้ว่าในเลขฐานสองหรือฐาน 2 มีเพียงตัวเลขเดียวคือ 0 และ 1 และค่าหลักแต่ละตำแหน่งแทนกำลัง 2 ตัวอย่างเช่น 8 จะแสดงเป็น $latex1000_2$ เนื่องจาก $latex 8=1 คูณ 2^3 + 0 คูณ 2^2 + 0 คูณ 2^1 + 0 คูณ 2^0$ และ 7 ในฐาน 2 คือ $latex111_2$ เนื่องจาก $latex7=1 ครั้ง2^2 + 1 คูณ 2^1 + 1 คูณ 2^0$

คลิกเพื่อตอบ 1:

คลิกเพื่อตอบ 2:

คลิกเพื่อตอบ 3:

คลิกเพื่อตอบ 4:

คลิกเพื่อตอบปัญหาท้าทาย: