Om du har följt matematiknyheterna den här månaden vet du att den 35-årige talteoretikern James Maynard vann en Fields Medalj — den högsta utmärkelsen för en matematiker. Maynard gillar matematiska frågor som "är enkla nog att förklara för en gymnasieelev men svåra nog att stöta på matematiker i århundraden." Quanta rapporterade, och en av de enkla frågorna är denna: När du går ut längs tallinjen, måste det alltid finnas primtal som ligger nära varandra?
Du kanske har märkt att matematiker är besatta av primtal. Vad drar in dem? Kanske är det det faktum att primtal förkroppsligar några av matematikens mest grundläggande strukturer och mysterier. Primtal kartlägger multiplikationsuniversum genom att tillåta oss att klassificera och kategorisera varje tal med en unik faktorisering. Men även om människor har lekt med primtal sedan multiplikationens gryning, är vi fortfarande inte exakt säkra på var primtal kommer att dyka upp, hur utspridda de är eller hur nära de måste vara. Så vitt vi vet följer primtal inget enkelt mönster.
Vår fascination för dessa grundläggande föremål har lett till uppfinningen, eller upptäckten, av hundratals olika typer av primtal: Mersenne primtal (primtal av formen 2)n − 1), balanserade primtal (primtal som är medeltalet av två angränsande primtal) och Sophie Germain primtal (ett primtal p så att 2p + 1 är också primtal), för att nämna några.
Intresset för dessa speciella primtal växte genom att leka med siffror och upptäcka något nytt. Det är också sant för "digitalt känsliga primtal", ett nyligen tillägg till listan som har lett till några överraskande resultat om de mest grundläggande frågorna: Hur sällsynta eller vanliga kan vissa typer av primtal vara?
För att uppskatta denna fråga, låt oss börja med en av de första spännande fakta som en blivande sifferentusiast lär sig: Det finns oändligt många primtal. Euklid bevisade detta för 2,000 XNUMX år sedan genom att använda ett av de mest kända bevisen genom motsägelse i hela matematikhistorien. Han började med att anta att det bara finns ändligt många primtal och föreställde sig alla n av dem i en lista:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Sedan gjorde han något smart: Han tänkte på talet $latexq=p_1 gånger p_2 gånger p_3 gånger ... gånger p_n+1$.
Lägg märke till att q kan inte vara med på listan över primtal, eftersom den är större än allt på listan. Så om det finns en ändlig lista med primtal, detta nummer q kan inte vara prime. Men om q är inte ett primtal, det måste vara delbart med något annat än sig själv och 1. Det betyder i sin tur att q måste vara delbar med något primtal på listan, men på grund av sättet q är konstruerad, delande q av något på listan lämnar en rest av 1. Så tydligen q är varken primtal eller delbart med något primtal, vilket är en motsägelse som beror på att det bara finns ändligt många primtal. Därför, för att undvika denna motsägelse, måste det faktiskt finnas oändligt många primtal.
Med tanke på att det finns oändligt många av dem kan man tycka att primtal av alla slag är lätta att hitta, men en av de nästa sakerna som en primtalsdetektiv lär sig är hur utspridda primtalen kan vara. Ett enkelt resultat om mellanrummen mellan på varandra följande primtal, kallade primtalsluckor, säger något ganska överraskande.
Bland de första 10 primtalen — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och 29 — kan du se luckor som består av ett eller flera sammansatta tal (tal som inte är primtal, som 4, 12 eller 27). Du kan mäta dessa luckor genom att räkna de sammansatta siffrorna däremellan: Det finns till exempel ett gap på storlek 0 mellan 2 och 3, ett gap på storlek 1 mellan både 3 och 5 och 5 och 7, ett gap på storlek 3 mellan 7 och 11, och så vidare. Det största primtalsgapet på denna lista består av de fem sammansatta talen - 24, 25, 26, 27 och 28 - mellan 23 och 29.
Nu till det otroliga resultatet: Prime-luckor kan vara godtyckligt långa. Det betyder att det finns på varandra följande primtal så långt ifrån varandra som du kan föreställa dig. Kanske lika otroligt är hur lätt detta faktum är att bevisa.
Vi har redan ett prime gap på längd 5 ovan. Kan det finnas en med längd 6? Istället för att söka på listor med primtal i hopp om att hitta en, bygger vi den bara själva. För att göra det använder vi den faktoriella funktionen som används i grundläggande räkneformler: Per definition, $latexn!=n gånger(n-1) gånger (n-2) gånger … gånger 3 gånger 2 gånger 1$, så till exempel $ latex3!=3 gånger 2 gånger 1 = 6$ och $latex5!=5 gånger 4 gånger 3 gånger 2 gånger 1=120$.
Låt oss nu bygga vårt främsta gap. Tänk på följande sekvens av på varandra följande nummer:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Eftersom $latex7!=7 gånger 6 gånger 5 gånger 4 gånger 3 gånger 2 gånger 1$, är det första talet i vår sekvens, $latex7!+2$, delbart med 2, vilket du kan se efter lite factoring:
$latex7!+2=7 gånger 6 gånger 5 gånger 4 gånger 3 gånger 2 gånger 1+2$
$latex= 2(7 gånger 6 gånger 5 gånger 4 gånger 3 gånger 1+1)$.
På samma sätt är det andra talet, $latex7!+3$, delbart med 3, eftersom
$latex7!+3=7 gånger 6 gånger 5 gånger 4 gånger 3 gånger 2 gånger 1+3$
$latex= 3(7 gånger 6 gånger 5 gånger 4 gånger2 gånger 1+1)$.
Likaså 7! + 4 är delbart med 4, 7! + 5 gånger 5, 7! + 6 gånger 6 och 7! + 7 gånger 7, vilket gör 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 en sekvens av sex på varandra följande sammansatta tal. Vi har ett primtal gap på minst 6.
Denna strategi är lätt att generalisera. Sekvensen
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
är en sekvens av $latexn-1$ på varandra följande sammansatta tal, vilket betyder att för alla n, det finns ett primtal gap med en längd på minst $latexn-1$. Detta visar att det finns godtyckligt långa primtalsluckor, och så längs listan över naturliga tal finns det platser där de närmaste primtalen är 100, eller 1,000 1,000,000,000 eller till och med XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX tal från varandra.
En klassisk spänning kan ses i dessa resultat. Det finns oändligt många primtal, men på varandra följande primtal kan också vara oändligt långt ifrån varandra. Dessutom finns det oändligt många på varandra följande primtal som ligger nära varandra. För ungefär 10 år sedan startade Yitang Zhangs banbrytande arbete en kapplöpning för att överbrygga klyftan och bevisa tvillingprimtalsförmodan, som hävdar att det finns oändligt många par av primtal som skiljer sig med bara 2. Tvillingprimtalsförmodan är en av de mest berömda öppna frågor i matematik, och James Maynard har gjort sina egna betydande bidrag för att bevisa detta svårfångade resultat.
Denna spänning finns också i de senaste resultaten om så kallade digitalt känsliga primtal. För att få en känsla av vad dessa siffror är och var de kan finnas eller inte, ägna en stund åt att fundera över följande märkliga fråga: Finns det ett tvåsiffrigt primtal som alltid blir sammansatt med någon förändring av dess ensiffra?
För att få en känsla för digital delikatess, låt oss leka med siffran 23. Vi vet att det är ett primtal, men vad händer om du ändrar dess siffra? Tja, 20, 22, 24, 26 och 28 är alla jämna och därmed sammansatta; 21 är delbart med 3, 25 är delbart med 5 och 27 är delbart med 9. Så långt har det gått bra. Men om du ändrar ensiffran till en 9:a får du 29, vilket fortfarande är ett primtal. Så 23 är inte den typ av prime vi letar efter.
Vad sägs om 37? Som vi såg ovan behöver vi inte bry oss om att kolla jämna tal eller nummer som slutar på 5, så vi kollar bara 31, 33 och 39. Eftersom 31 också är primtal fungerar inte 37 heller.
Finns en sådan siffra ens? Svaret är ja, men vi måste gå hela vägen upp till 97 för att hitta det: 97 är ett primtal, men 91 (delbart med 7), 93 (delbart med 3) och 99 (även delbart med 3) är alla sammansatta , tillsammans med de jämna talen och 95.
Ett primtal är "känsligt" om det, när du ändrar någon av dess siffror till något annat, förlorar sin "primeness" (eller primalitet, för att använda den tekniska termen). Hittills ser vi att 97 är känsligt i ensiffran - eftersom ändring av den siffran alltid ger ett sammansatt nummer - men uppfyller 97 de fullständiga kriterierna för att vara digitalt känslig? Svaret är nej, för om du ändrar tiotalssiffran till 1 får du 17, ett primtal. (Lägg märke till att 37, 47 och 67 också är primtal.)
I själva verket finns det inget tvåsiffrigt digitalt känsligt primtal. Följande tabell över alla tvåsiffriga tal, med tvåsiffriga primtal skuggade, visar varför.
Alla siffror i en given rad har samma tiotal, och alla siffror i en given kolumn har samma etttal. Det faktum att 97 är det enda skuggade talet i sin rad återspeglar det faktum att det är känsligt i ensiffran, men det är inte det enda primtal i sin kolumn, vilket betyder att det inte är känsligt i tiotalssiffran.
Ett digitalt känsligt tvåsiffrigt primtal måste vara det enda primtal i dess rad och kolumn. Som tabellen visar finns inget sådant tvåsiffrigt primtal. Vad sägs om ett digitalt känsligt tresiffrigt primtal? Här är en liknande tabell som visar layouten för de tresiffriga primtalen mellan 100 och 199, med sammansatta tal utelämnade.
Här ser vi att 113 är i sin egen rad, vilket betyder att det är känsligt i ettornas siffra. Men 113 finns inte i sin egen kolumn, så vissa ändringar av tiotalssiffran (som till 0 för 103 eller till 6 för 163) ger primtal. Eftersom inget nummer förekommer i både sin egen rad och sin egen kolumn ser vi snabbt att det inte finns något tresiffrigt tal som garanterat är sammansatt om du ändrar dess ettor- eller tiotalssiffra. Det betyder att det inte kan finnas något tresiffrigt digitalt känsligt primtal. Lägg märke till att vi inte ens kollade hundratalsiffran. För att vara riktigt digitalt känslig skulle ett tresiffrigt tal behöva undvika primtal i tre riktningar i en tredimensionell tabell.
Finns det ens digitalt känsliga primtal? När du går längre ut på tallinjen tenderar primtalen att bli glesare, vilket gör dem mindre benägna att korsa vägar i raderna och kolumnerna i dessa högdimensionella tabeller. Men större siffror har fler siffror, och varje ytterligare siffra minskar sannolikheten för att ett primtal är digitalt känsligt.
Om du fortsätter kommer du att upptäcka att det finns digitalt känsliga primtal. Den minsta är 294,001 794,001. När du ändrar en av dess siffror kommer numret du får - säg 284,001 505,447 eller 584,141 604,171 - att vara sammansatt. Och det finns fler: De närmaste är 971,767 1,062,599; XNUMX; XNUMX; XNUMX; och XNUMX. Faktum är att de inte slutar. Den berömda matematikern Paul Erdős bevisade att det finns oändligt många digitalt känsliga primtal. Och det var bara det första av många överraskande resultat om dessa märkliga siffror.
Till exempel bevisade Erdős inte bara att det finns oändligt många digitalt känsliga primtal: Han bevisade att det finns oändligt många digitalt känsliga primtal i vilken bas som helst. Så om du väljer att representera dina tal i binära, ternära eller hexadecimala, kommer du fortfarande garanterat att hitta oändligt många digitalt känsliga primtal.
Och digitalt känsliga primtal är inte bara oändliga: De utgör en procentandel som inte är noll av alla primtal. Detta betyder att om du tittar på förhållandet mellan antalet digitalt känsliga primtal och antalet primtal totalt, så är denna bråkdel ett antal större än noll. I tekniska termer är en "positiv andel" av alla primtal digitalt känsliga, vilket Fields-medaljören Terence Tao bevisade 2010. Själva primtalen utgör inte en positiv andel av alla tal, eftersom du kommer att hitta färre och färre primtal. ju längre ut kommer du längs tallinjen. Men bland dessa primtal kommer du att fortsätta hitta digitalt känsliga primtal tillräckligt ofta för att hålla förhållandet mellan känsliga primtal och totala primtal över noll.
Den kanske mest chockerande upptäckten var en resultat från 2020 om en ny variant av dessa konstiga siffror. Genom att lätta på begreppet vad en siffra är, ombildade matematiker representationen av ett tal: Istället för att tänka på 97 av sig själv, tänkte de istället på att det hade inledande nollor:
... 0000000097.
Varje inledande nolla kan ses som en siffra, och frågan om digital känslighet kan utvidgas till dessa nya representationer. Kan det finnas "vida digitalt känsliga primtal" - primtal som alltid blir sammansatta om du ändrar någon av siffrorna, inklusive någon av de inledande nollorna? Tack vare matematikerna Michael Filasetas och Jeremiah Southwicks arbete vet vi att svaret, överraskande nog, är ja. Det finns inte bara mycket digitalt känsliga primtal, utan det finns oändligt många av dem.
Primtal bildar en oändlig rad matematiska pussel för proffs och entusiaster att leka med. Vi kanske aldrig reder ut alla deras mysterier, men du kan lita på att matematiker ständigt upptäcker och uppfinner nya typer av primtal att utforska.
övningar
1. Vilket är det största primtalsgapet bland primtalen från 2 till 101?
2. För att bevisa att det finns oändligt många primtal, antar Euklid att det finns ändligt många primtal $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, och visar sedan att $latexq=p_1 gånger p_2 gånger p_3 gånger … gånger p_n+1$ isn är inte delbart med något primtal på listan. Betyder inte detta det q måste vara prime?
3. Ett känt resultat inom talteorin är att det alltid finns ett primtal mellan k och 2k (inklusive). Detta är svårt att bevisa, men det är lätt att bevisa att det alltid finns ett primtal mellan k och $latexq=p_1 gånger p_2 gånger p_3 gånger … gånger p_n+1$ (inklusive), där $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ är alla primtal mindre än eller lika med k. Bevisa det.
4. Kan du hitta det minsta primtal som är digitalt känsligt i ettor och tiosiffror? Detta innebär att ändring av ettor eller tiotal alltid kommer att ge ett sammansatt tal. (Du kanske vill skriva ett datorprogram för att göra detta!)
Utmaningsproblem: Kan du hitta det minsta primtal som är digitalt känsligt när det representeras i binärt? Kom ihåg att i binär eller bas 2 är de enda siffrorna 0 och 1, och varje platsvärde representerar en potens av 2. Till exempel representeras 8 som $latex1000_2$, eftersom $latex 8=1 gånger 2^3 + 0 gånger 2^2 + 0 gånger 2^1 + 0 gånger 2^0$, och 7 i bas 2 är $latex111_2$, eftersom $latex7=1 gånger2^2 + 1 gånger 2^1 + 1 gånger 2^0$.
Klicka för svar 1:
Klicka för svar 2:
Nej. Tänk på de första sex primtalen: 2, 3, 5, 7, 11 och 13. I det här fallet talet q skulle vara $latex 2 gånger 3 gånger 5 gånger 7 gånger 11 gånger13 + 1 = 30,031 2 $ . Detta är inte delbart med 3, 5, 7, 11, 13 eller 30,031, men det är inte ett primtal: det räknas som $latex 59 509 = XNUMX gånger XNUMX $. Lägg märke till att den har primtalsfaktorer, men de är alla större än de första sex primtalen.
Klicka för svar 3:
Om antingen k or q är prime vi är klara. Om q är inte primtal, det är sammansatt, vilket betyder att det är delbart med något primtal, men vi vet redan att det inte är delbart med någon av de första n primtal. Det måste alltså vara delbart med ett primtal som är större än det första n primtal, och eftersom dessa är alla primtal mindre än k, måste detta primtal vara större än k. Men denna primtal skiljer sig q, så det måste vara mindre än q, så det måste finnas ett primtal mellan k och q.
Klicka för svar 4:
Det första primtal som uppfyller den här egenskapen är 2,459 2,451, eftersom 2,453 2,457, 2,409 2,419 och 2,429 2,439 alla är sammansatta (uppfyller kriteriet för känsliga siffror) och 2,449 2,469, 2,479 2,489, 2,499 2,459, 2,659 XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX och XNUMX, det känsliga tiotalskriteriet). Ändå är XNUMX XNUMX inte digitalt känsligt, eftersom XNUMX XNUMX är prime, så det misslyckas när du börjar överväga hundratalssiffran. (Tack till matematikern John D. Cook för att han publicerade sin digitalt känslig prime-finding Python-kod.)
Klicka för svar på utmaningsproblem:
$latex127=1111111_2$ är digitalt känsligt, eftersom $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111_1101111$, $latex2_95$, $latex=1011111_2$, $latex63_0111111$2$, $XNUMXxXNUMX$, $XNUMXx$XNUMX$, $latexXNUMX_XNUMX$, $latex =XNUMX_XNUMX$ är alla sammansatta.
