Prizadevanje za dekodiranje Mandelbrotove množice, slavni matematični fraktal | Revija Quanta

Sredi osemdesetih let prejšnjega stoletja, tako kot kasetofoni Walkman in pobarvane srajce, je bila hrošču podobna silhueta kompleta Mandelbrot povsod.

Študenti so ga nalepili na stene študentskih sob po vsem svetu. Matematiki so prejeli na stotine pisem, nestrpnih prošenj za izpise kompleta. (V odgovor so nekateri izdelali kataloge s ceniki; drugi so njegove najbolj osupljive značilnosti zbrali v knjige.) Bolj tehnično podkovani oboževalci bi se lahko obrnili na izdajo revije iz avgusta 1985. Scientific American. Na naslovnici se je Mandelbrotov niz razkril v ognjenih viticah, njegova meja pa je gorela; notri so bila natančna navodila za programiranje, v katerih je bilo podrobno opisano, kako lahko bralci ustvarijo ikonično sliko zase.

Do takrat so te vitice svoj doseg razširile tudi daleč onkraj matematike, v na videz nepovezane kotičke vsakdanjega življenja. V naslednjih nekaj letih bo komplet Mandelbrot navdihnil najnovejše slike Davida Hockneyja in najnovejše skladbe več glasbenikov – skladbe v stilu fuge v Bachovem slogu. Pojavil se bo na straneh leposlovja Johna Updika in vodil, kako je literarni kritik Hugh Kenner analiziral poezijo Ezre Pounda. Postala bi predmet psihedeličnih halucinacij in priljubljenega dokumentarca, ki ga je pripovedoval veliki znanstvenofantastični Arthur C. Clarke.

Mandelbrotov niz je posebne oblike, s fraktalnim obrisom. Z računalnikom povečajte nazobčane meje prizorišča in naleteli boste na doline morskih konjičkov in parade slonov, spiralne galaksije in nevronom podobne filamente. Ne glede na to, kako globoko raziskujete, boste vedno videli skorajšnje kopije originalnega kompleta – neskončno, vrtoglavo kaskado samopodobnosti.

Ta samopodobnost je bila osrednji element knjižne uspešnice Jamesa Gleicka Chaos, ki je zacementiral mesto Mandelbrotovega sklopa v popularni kulturi. "V njem je bilo vesolje idej," je zapisal Gleick. "Sodobna filozofija umetnosti, utemeljitev nove vloge eksperimentiranja v matematiki, način, kako kompleksne sisteme predstaviti široki javnosti."

Mandelbrotov niz je postal simbol. Predstavljal je potrebo po novem matematičnem jeziku, boljšem načinu za opisovanje fraktalne narave sveta okoli nas. Ponazarja, kako globoka zapletenost se lahko pojavi iz najpreprostejših pravil – podobno kot življenje samo. (»To je torej pravo sporočilo upanja,« John Hubbard, eden prvih matematikov, ki je preučeval množico, je v videoposnetku iz leta 1989 dejal, »da biologijo morda res lahko razumemo na enak način, kot je mogoče razumeti te slike.«) V Mandelbrotovi množici sta red in kaos živela v harmoniji; determinizem in svobodno voljo bi bilo mogoče uskladiti. Neki matematik se je spomnil, da je kot najstnik naletel na niz in ga videl kot metaforo za zapleteno mejo med resnico in lažjo.

Mandelbrotov niz je bil povsod, dokler ni bil več.

V desetletju se je zdelo, da je izginilo. Matematiki so prešli na druge predmete, javnost pa na druge simbole. Danes, le 40 let po odkritju, je fraktal postal kliše, mejni kič.

Toda peščica matematikov tega ni hotela pustiti. Svoja življenja so posvetili odkrivanju skrivnosti Mandelbrotovega niza. Zdaj mislijo, da so končno na robu tega, da to resnično razumejo.

Njuna zgodba je zgodba o raziskovanju, eksperimentiranju - in o tem, kako tehnologija oblikuje naš način razmišljanja in vprašanja, ki si jih zastavljamo o svetu.

Lovci na glave

Oktobra 2023 se je 20 matematikov z vsega sveta zbralo v majhni opečnati stavbi na mestu, kjer je bila nekoč danska vojaška raziskovalna baza. Oporišče, zgrajeno v poznih 1800. stoletjih sredi gozda, je bilo skrito v fjordu na severozahodni obali najbolj naseljenega danskega otoka. Star torpedo je stražil vhod. Stene so krasile črno-bele fotografije, na katerih so bili mornariški častniki v uniformah, čolni, postavljeni v doku, in testiranja podmornic v teku. Tri dni, ko je silovit veter švigal vodo zunaj oken v peneče bele kape, je skupina poslušala vrsto pogovorov, večinoma sta jih vodila dva matematika z univerze Stony Brook v New Yorku: Miša Ljubič in Dima Dudko.

Med občinstvom delavnice so bili nekateri najbolj neustrašni raziskovalci Mandelbrotove skupine. Blizu spredaj je sedel Mitsuhiro Shishikura Univerze v Kjotu, ki je v devetdesetih letih prejšnjega stoletja dokazal, da je meja nabora tako zapletena, kot je sploh lahko. Nekaj ​​sedežev je bilo več Hiroyuki Inou, ki je skupaj s Shishikuro razvil pomembne tehnike za preučevanje posebej odmevne regije Mandelbrotovega sklopa. V zadnji vrsti je bil Wolf Jung, ustvarjalec Mandelove programske opreme za matematike za interaktivno raziskovanje Mandelbrotove množice. Prisotni so bili tudi Arnaud Chéritat Univerze v Toulousu, Carsten Petersen Univerze Roskilde (ki je organiziral delavnico) in več drugih, ki so pomembno prispevali k matematikovemu razumevanju Mandelbrotove množice.

In za tablo sta stala Ljubič, največji svetovni strokovnjak za to temo, in Dudko, eden njegovih najtesnejših sodelavcev. Skupaj z matematiki Jeremy Kahn in Alex Kapiamba, so si prizadevali dokazati dolgoletno domnevo o geometrijski strukturi Mandelbrotove množice. Ta domneva, znana kot MLC, je zadnja ovira v desetletja dolgem iskanju karakterizacije fraktala, da bi ukrotili njegovo zapleteno divjino.

Z izdelavo in izostritvijo zmogljivega nabora orodij so se matematiki borili za nadzor nad geometrijo »skoraj vsega v Mandelbrotovem nizu« Caroline Davis univerze Indiana - razen nekaj preostalih primerov. "Misha in Dima ter Jeremy in Alex so kot lovci na glave, ki poskušajo izslediti te zadnje."

Lyubich in Dudko sta bila na Danskem, da bi druge matematike obvestila o nedavnem napredku pri dokazovanju MLC in tehnikah, ki sta jih razvila za to. Zadnjih 20 let so se tukaj zbirali raziskovalci na delavnicah, posvečenih razpakiranju rezultatov in metod na področju kompleksne analize, matematični študiji vrst števil in funkcij, ki se uporabljajo za ustvarjanje Mandelbrotove množice.

Bila je nenavadna postavitev: matematiki so vse svoje obroke pojedli skupaj ter se pogovarjali in smejali ob pivu do zgodnjih ur. Ko so se končno odločili za spanje, so se umaknili v pograde ali posteljice v majhnih sobah, ki so jih delili v drugem nadstropju objekta. (Ob našem prihodu so nam rekli, naj zgrabimo rjuhe in prevleke za blazine s kupa in jih odnesemo gor, da si postlamo postelje.) V nekaterih letih se obiskovalci konference pogumno zaplavajo v mrzli vodi; pogosteje se potepajo po gozdu. Toda večinoma ni treba početi ničesar razen matematike.

Običajno, mi je povedal eden od udeležencev, delavnica pritegne veliko mlajših matematikov. Toda tokrat ni bilo tako - morda zato, ker je bila sredina semestra, ali, kot je ugibal, zaradi tega, kako težka je bila snov. Priznal je, da se je v tistem trenutku počutil nekoliko prestrašenega glede možnosti govora pred tolikšnimi velikani tega področja.

Toda glede na to, da večina matematikov na širšem področju kompleksne analize ne dela več neposredno na Mandelbrotovem nizu, zakaj bi celotno delavnico posvetili MLC?

Mandelbrotova množica je več kot le fraktal, in ne le v metaforičnem smislu. Služi kot nekakšen glavni katalog dinamičnih sistemov - vseh različnih načinov, na katere se lahko točka premika skozi prostor v skladu s preprostim pravilom. Da bi razumeli ta glavni katalog, moramo prečkati veliko različnih matematičnih pokrajin. Mandelbrotova množica ni globoko povezana le z dinamiko, ampak tudi s teorijo števil, topologijo, algebraično geometrijo, teorijo skupin in celo fiziko. »Na čudovit način sodeluje z ostalo matematiko,« je rekel Sabyasachi Mukherjee z Inštituta za temeljne raziskave Tata v Indiji.

Da bi dosegli napredek na MLC, so morali matematiki razviti prefinjen nabor tehnik - kar Chéritat imenuje "močna filozofija." Ta orodja so pritegnila veliko pozornosti. Danes predstavljajo osrednji steber širšega preučevanja dinamičnih sistemov. Izkazalo se je, da so ključni za reševanje množice drugih problemov - problemov, ki nimajo nobene zveze z Mandelbrotovim nizom. MLC so spremenili iz nišnega vprašanja v eno najglobljih in najpomembnejših odprtih domnev na tem področju.

Lyubich, matematik, ki je nedvomno najbolj odgovoren za oblikovanje te "filozofije" v njeno sedanjo obliko, stoji pokončno in naravnost ter tiho govori. Ko drugi matematiki na delavnici pristopijo k njemu, da bi razpravljali o konceptu ali postavili vprašanje, zapre oči in pozorno posluša, njegove goste obrvi pa nagubane. Odgovarja previdno, z ruskim naglasom.

Hitro pa se tudi začne glasno, toplo nasmejati in se hitro šali. Velikodušen je s svojim časom in nasveti. "Resnično je vzgojil kar nekaj generacij matematikov," je dejal Mukherjee, eden od Lyubichovih nekdanjih podoktorjev in pogost sodelavec. Kot pravi, vsakdo, ki ga zanima preučevanje kompleksne dinamike, preživi nekaj časa v Stony Brooku in se uči od Lyubicha. "Misha ima to vizijo, kako naj se lotimo določenega projekta ali kaj naj pogledamo naslednje," je dejal Mukherjee. »V mislih ima to veliko sliko. In to z veseljem deli z ljudmi.”

Prvič Lyubich čuti, da lahko vidi to veliko sliko v celoti.

Borci za nagrado

Mandelbrotov niz se je začel z nagrado.

Leta 1915 je Francoska akademija znanosti, motivirana z nedavnim napredkom pri proučevanju funkcij, objavila natečaj: čez tri leta bo ponudila glavno nagrado 3,000 frankov za delo na procesu ponavljanja – prav tistem procesu, ki bi kasneje ustvarite Mandelbrotov niz.

Iteracija je ponavljajoča se uporaba pravila. Vstavite številko v funkcijo, nato pa izhod uporabite kot naslednji vnos. Nadaljujte s tem in opazujte, kaj se zgodi čez čas. Ko nadaljujete s ponavljanjem svoje funkcije, lahko številke, ki jih dobite, hitro narastejo proti neskončnosti. Lahko pa jih vleče proti eni številki, kot se železni opilki premikajo proti magnetu. Ali pa na koncu skakljajo med istima številkama, ali tri, ali tisoč, v stabilni orbiti, iz katere ne morejo nikoli pobegniti. Ali pa skačete od ene številke do druge brez rime ali razloga, po kaotični, nepredvidljivi poti.

Francoska akademija in matematiki širše so imeli še en razlog za zanimanje za iteracijo. Proces je imel pomembno vlogo pri preučevanju dinamičnih sistemov - sistemov, kot je rotacija planetov okoli sonca ali tok turbulentnega toka, sistemov, ki se sčasoma spreminjajo v skladu z določenim nizom pravil.

Nagrada je navdihnila dva matematika, da sta razvila povsem novo področje študija.

Prvi je bil Pierre Fatou, ki bi bil v drugem življenju morda mornar (družinska tradicija), če ne bi bilo njegovega slabega zdravja. Namesto tega je nadaljeval kariero v matematiki in astronomiji in do leta 1915 je že dokazal več pomembnih rezultatov v analizi. Potem je bil tu Gaston Julia, obetaven mlad matematik, rojen v Alžiriji pod francosko okupacijo, katerega študij je prekinila prva svetovna vojna in njegov vpoklic v francosko vojsko. Pri 22 letih se je po hudi poškodbi kmalu po nastopu službe – do konca življenja je nosil usnjen trak čez obraz, potem ko zdravniki niso mogli popraviti škode – vrnil k matematiki in se lotil nekaj delo, ki bi ga prijavil za nagrado Akademije iz bolniške postelje.

Nagrada je motivirala tako Fatouja kot Julijo, da sta preučila, kaj se zgodi, ko ponavljate funkcije. Delala sta neodvisno, vendar sta na koncu prišla do zelo podobnih odkritij. Njihovi rezultati so se toliko prekrivali, da še zdaj ni vedno jasno, kako dodeliti zasluge. (Julia je bila bolj družabna in je bila zato deležna več pozornosti. Na koncu je dobil nagrado; Fatou se sploh ni prijavil.) Zaradi tega dela danes veljata za ustanovitelja področja kompleksne dinamike.

»Kompleksno«, ker sta Fatou in Julia ponavljala funkcije kompleksnih števil – števil, ki združujejo znano realno število s tako imenovanim imaginarnim številom (kratnik i, simbol, ki ga matematiki uporabljajo za označevanje kvadratnega korena iz −1). Medtem ko so realna števila lahko postavljena kot točke na premici, so kompleksna števila prikazana kot točke na ravnini, takole:

Fatou in Julia sta ugotovila, da lahko ponavljanje celo preprostih zapletenih funkcij (kar ni paradoks na področju matematike!) vodi do bogatega in zapletenega vedenja, odvisno od vašega izhodišča. Začeli so dokumentirati ta vedenja in jih geometrijsko predstavljati.

Potem pa je njihovo delo za pol stoletja zbledelo v temi. »Ljudje sploh niso vedeli, kaj naj iščejo. Bili so omejeni glede vprašanj, ki naj jih sploh postavijo,« je dejal Artur Avila, profesor na Univerzi v Zürichu.

To se je spremenilo, ko je računalniška grafika v sedemdesetih letih prejšnjega stoletja postala zrela.

Do takrat si je matematik Benoît Mandelbrot pridobil sloves akademskega diletanta. Med delom v IBM-ovem raziskovalnem centru severno od New Yorka se je ukvarjal z mnogimi različnimi področji, od ekonomije do astronomije. Ko je bil leta 1974 imenovan za sodelavca IBM-a, je imel še več svobode pri izvajanju neodvisnih projektov. Odločil se je, da bo uporabil precejšnjo računalniško moč centra, da bi kompleksno dinamiko prevzel iz stanja mirovanja.

Sprva je Mandelbrot uporabljal računalnike za ustvarjanje vrst oblik, ki sta jih preučevala Fatou in Julia. Slike so kodirale informacije o tem, kdaj bi začetna točka, ko bi jo ponavljali, pobegnila v neskončnost in kdaj bi bila ujeta v kak drug vzorec. Risbe Fatouja in Julije izpred 60 let so bile videti kot grozdi krogov in trikotnikov - toda računalniško ustvarjene slike, ki jih je naredil Mandelbrot, so bile videti kot zmaji in metulji, zajci in katedrale in glave cvetače, včasih celo nepovezani oblaki prahu. Do takrat je Mandelbrot že skoval besedo "fraktal" za oblike, ki so bile videti podobne v različnih merilih; beseda je priklicala pojem nove vrste geometrije - nekaj razdrobljenega, razdrobljenega ali zlomljenega.

Slike, ki so se pojavljale na njegovem računalniškem zaslonu - danes znane kot Julijine množice - so bile nekaj najlepših in najbolj zapletenih primerov fraktalov, kar jih je Mandelbrot kdaj videl.

Delo Fatouja in Julije se je osredotočilo na geometrijo in dinamiko vsakega od teh nizov (in njihovih ustreznih funkcij) posebej. Toda računalniki so Mandelbrotu omogočili razmišljanje o celotni družini funkcij hkrati. Vse bi lahko kodiral v podobo, ki bi nosila njegovo ime, čeprav ostaja predmet razprave, ali je bil dejansko prvi, ki jo je odkril.

Mandelbrotov niz obravnava najpreprostejše enačbe, ki še vedno naredijo nekaj zanimivega, ko jih ponovimo. To so kvadratne funkcije oblike f(z) = z² + c. Popravite vrednost c — lahko je poljubno kompleksno število. Če ponovite enačbo, ki se začne z z = 0 in ugotovite, da števila, ki jih ustvarite, ostanejo majhna (ali omejena, kot pravijo matematiki), potem c je v Mandelbrotovem nizu. Če po drugi strani ponavljate in ugotovite, da vaše številke sčasoma začnejo rasti proti neskončnosti, potem c ni v Mandelbrotovem nizu.

Preprosto je pokazati te vrednosti c blizu ničle so v nizu. In podobno preprosto je pokazati te velike vrednosti c niso. Toda kompleksna števila upravičijo svoje ime: meja niza je veličastno zapletena. Ni očitnega razloga za spremembo c z majhnimi količinami bi moralo povzročiti, da še naprej prestopate mejo, a ko jo približate, se prikažejo neskončne količine podrobnosti.

Še več, Mandelbrotov niz deluje kot zemljevid Julijinih nizov, kot je razvidno iz spodnje interaktivne slike. Izberite vrednost c v Mandelbrotovem nizu. Ustrezen niz Julia bo povezan. Toda če zapustite Mandelbrotov niz, potem bo ustrezen Julijin niz odklopljen prah.