Удивительно простая математика, лежащая в основе загадочных матчей | Журнал Кванта

Это игра чемпионата Лиги воображаемой математики, в которой команда «Алгебра Атланты» встретится с командой «Перекрестные произведения Каролины». Эти две команды не играли друг с другом в этом сезоне, но ранее в этом году «Атланта» победила «Бруклин Биссекторс» со счетом 10:5, а «Бруклин» победил «Каролину» со счетом 7:3. Дает ли это нам какое-то представление о том, кто возьмет титул?

Ну, вот одна мысль. Если Атланта обыграет Бруклин, то Атланта лучше, чем Бруклин, а если Бруклин обыграет Каролину, то Бруклин лучше Каролины. Итак, если Атланта лучше, чем Бруклин, а Бруклин лучше, чем Каролина, то Атланта должна быть лучше, чем Каролина, и выиграть чемпионат.

Если вы играете в соревновательные игры или занимаетесь спортом, вы знаете, что предсказать исход матча никогда не бывает так просто. Но с чисто математической точки зрения этот аргумент имеет некоторую привлекательность. Он использует важную математическую идею, известную как транзитивность, знакомое свойство, которое позволяет нам создавать строки сравнений между отношениями. Транзитивность — одно из тех математических свойств, которые настолько фундаментальны, что вы можете их даже не заметить.

Например, равенство чисел транзитивно. Это означает, что если мы знаем, что a = b и b = c, мы можем сделать вывод, что a = c. Отношение «больше чем» также является транзитивным: для действительных чисел, если a > b и b > c, то a > c. Когда отношения транзитивны, мы можем сравнивать и комбинировать их, создавая упорядоченность объектов. Если Анна выше Бенджи, а Бенджи выше Карла, то мы можем упорядочить этих троих по росту: A, B, C. Транзитивность также лежит в основе нашего наивного аргумента о том, что если A лучше, чем B и B лучше, чем C, то A лучше, чем C.

Транзитивность присутствует в равенстве, конгруэнтности, сходстве и даже параллелизме. Это часть всей нашей базовой математики, что делает ее особенно интересной с математической точки зрения, когда ее нет. Когда аналитики ранжируют команды, экономисты изучают потребительские предпочтения или граждане голосуют за предпочтительных кандидатов, отсутствие транзитивности может привести к неожиданным результатам. Чтобы лучше понять системы такого типа, математики уже более 50 лет изучают «непереходные игральные кости». Недавняя статья Этому пониманию способствовало онлайн-математическое сотрудничество, известное как проект Polymath. Чтобы получить представление о том, как выглядит и ощущается нетранзитивность, давайте создадим собственную лигу и поиграем.

В нашей новой математической лиге игроки соревнуются, подбрасывая монеты и сравнивая результаты. Скажем, игрок A имеет монету с номером 10 на одной стороне и цифрой 6 на другой, и игрок Bмонета имеет номера 8 и 3. Мы предполагаем, что монеты честные — то есть каждая сторона появляется с одинаковой вероятностью при подбрасывании монет — и мы представим числа на монетах следующим образом.

В игре игроки подбрасывают свои монеты, и победителем становится тот, у кого на монете окажется большее число. Кто победит, когда A играет B?

Конечно, это зависит. Иногда A победит, иногда B Выиграет. Но это нетрудно увидеть A предпочтительнее победить B. Есть четыре варианта развития событий в игре. A победы в трех из них.

Итак, в игре A против B, A имеет 75% шанс на победу.

Теперь C приходит и бросает вызов B к игре. CУ монеты 5 на одной стороне и 4 на другой. И снова есть четыре возможности.

Здесь B и C каждый выиграет два из четырех матчей, то есть каждый из них выиграет 50% игр. B и C совпадают поровну.

Чего вы ожидаете, если A и C играть? Хорошо, A обычно бьет Bи B равномерно сочетается с C, поэтому кажется разумным ожидать, что A вероятно, будет предпочтительнее C.

Но A больше, чем любимый. A доминирует C, выигрывая в 100% случаев.

Это может показаться удивительным, но математически нетрудно понять, почему это происходит. Cчисла находятся между Bх, так что C победит в любое время B переворачивает их меньшее число. Но Cоба номера указаны ниже Aх, так что C никогда не выиграет этот матч. Этот пример не нарушает идею транзитивности, но показывает, что все может быть сложнее, чем просто A > B > C. Небольшое изменение в нашей игре показывает, насколько она может быть сложнее.

Наши конкуренты быстро устают от игры с подбрасыванием двусторонней монеты, поскольку ее легко полностью понять математически (подробнее см. В упражнениях в конце статьи), поэтому лига решает перейти на трехсторонние монеты. (Одним из преимуществ участия в воображаемой математической лиге является то, что возможно все.)

Вот A и Bмонеты России:

Кому отдается предпочтение в игре между A и B? Ну, есть три исхода для Aподбрасывание монеты и три за B, что приводит к девяти возможным исходам игры, которые мы можем легко составить на графике.

Снова предположив, что все исходы равновероятны, A ударов B в пяти из девяти исходов. Это означает A должен выигрывать $latex frac{5}{9} примерно в 55 % случаев, поэтому A выступает против B.

Чувствуя себя немного расстроенным из-за своих перспектив, B проблемы C к игре. Cномера показаны ниже. Тебе нравится Bшансы?

Опять же, в игре девять возможных исходов. B против C, поэтому мы можем просто перечислить их.

Мы это видим B выглядит неплохо против C. В пяти из девяти возможных исходов B побеждает. Так B выступает против C.

Не очень C теперь нужно играть A. С A предпочтение против B и B предпочтение против C, какой шанс C должны победить? Как оказалось, неплохой вариант.

В пяти из девяти возможных исходов здесь C ударов A, Это значит, что C выступает против A, хотя Aвыступает против B и B выступает против C.

Это пример нетранзитивной системы. Говоря более техническим языком, отношение «предпочтение против» в нашей игре не является транзитивным: A выступает против Bи B выступает против C, Но A не обязательно выступает против C.

Мы не часто видим это в математике, но такое поведение не удивит любителей спорта. Если «Гиганты» победят «Иглз», а «Иглз» победят «Ковбоев», «Ковбои» все равно вполне смогут победить «Гигантов». На результат отдельной игры влияет множество факторов. Команды могут стать лучше с практикой или застопориться, если не будут внедрять инновации. Игроки могут менять команды. Такие детали, как место проведения игры — дома или на выезде — или то, как недавно играли команды, могут повлиять на то, кто выиграет, а кто проиграет.

Но этот простой пример показывает, что у такого рода нетранзитивности есть и чисто математические причины. И это чисто математическое соображение имеет что-то общее с реальными ограничениями конкуренции: матчами.

Вот цифры для A, B и C.

Когда мы рассматриваем их рядом, легче понять, почему в этой ситуации возникает нетранзитивность. Хотя B предпочтительнее победить C, Cдва средне-высоких числа — 7 и 6 — дают им преимущество над A который B не имеет. Несмотря на то A выступает против B и B выступает против C, C совпадает с A лучше, чем B делает. Это похоже на то, как спортивная команда-аутсайдер может хорошо противостоять более сильному сопернику, потому что этой команде сложно справиться с ее стилем игры или потому, что игрок или тренер дает им преимущество против этого конкретного противника.

Тот факт, что спорт непереходен, отчасти делает его интересным и захватывающим. Ведь если A ударов B и B ударов C, C не собирается просто проиграть из-за транзитивности, когда они столкнутся с A. На соревнованиях всякое может случиться. Как сказали многие комментаторы после разочарования: «Вот почему они играют в эту игру».

И именно поэтому мы играем с математикой. Чтобы найти то, что весело, увлекательно и удивительно. Все может случиться.

Упражнения

1. Предположим, что два игрока играют в игру с двусторонней монетой, и все четыре числа на двух монетах различны. По сути, существует только шесть возможных сценариев того, кто победит и как часто. Кто они такие?

2. В описанном выше сценарии трехсторонней игры найдите другую трехстороннюю монету для C так что B по-прежнему выступает против C и C по-прежнему выступает против A.

3. Докажите, что в игре с двусторонней монетой невозможно присутствие трёх игроков. A, B, C такой, что A выступает против B, B выступает против Cи C выступает против A.

Исправление: 26 января 2024
На двух ранее опубликованных рисунках показаны неверно обозначенные матчи между игроками A и C и B и C. Цифры были исправлены.