Если вы следили за новостями математики в этом месяце, то знаете, что 35-летний теоретик чисел Джеймс Мейнард выиграл Медаль Поля — высшая честь для математика. Мейнард любит математические вопросы, которые «достаточно просты, чтобы их можно было объяснить старшекласснику, но достаточно сложны, чтобы поставить математиков в тупик на века». Quanta переправу, и один из этих простых вопросов звучит так: по мере продвижения по числовой прямой всегда должны быть простые числа, расположенные близко друг к другу?
Вы могли заметить, что математики одержимы простыми числами. Что их привлекает? Может быть, дело в том, что простые числа воплощают некоторые из самых фундаментальных математических структур и загадок. Простые числа отображают вселенную умножения, позволяя нам классифицировать и классифицировать каждое число с помощью уникальной факторизации. Но даже несмотря на то, что люди играли с простыми числами с самого начала умножения, мы до сих пор точно не знаем, где появятся простые числа, насколько они разбросаны или насколько близко они должны быть. Насколько нам известно, простые числа не следуют простой схеме.
Наше увлечение этими фундаментальными объектами привело к изобретению или открытию сотен различных типов простых чисел: простые числа Мерсенна (простые числа вида 2n − 1), сбалансированные простые числа (простые числа, являющиеся средними двух соседних простых чисел) и простые числа Софи Жермен (простое число p так что 2p + 1 тоже простое число), и это лишь некоторые из них.
Интерес к этим специальным простым числам вырос из игры с числами и открытия чего-то нового. Это также относится к «цифровым деликатным простым числам», недавнему дополнению к списку, которое привело к некоторым удивительным результатам по самому основному вопросу: насколько редкими или распространенными могут быть определенные виды простых чисел?
Чтобы разобраться в этом вопросе, давайте начнем с одного из первых интригующих фактов, которые узнает начинающий энтузиаст чисел: существует бесконечно много простых чисел. Евклид доказал это 2,000 лет назад, используя одно из самых известных доказательств от противного во всей истории математики. Он начал с того, что предположил, что существует только конечное число простых чисел, и вообразил, что все n из них в списке:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Затем он сделал кое-что умное: он подумал о числе $latexq=p_1, умноженное на p_2, умноженное на p_3, умноженное на p_n+1$.
Заметить, что q не может быть в списке простых чисел, потому что оно больше всего в списке. Итак, если существует конечный список простых чисел, это число q не может быть премьером. Но если q не простое число, оно должно делиться не на себя, а на 1. Это, в свою очередь, означает, что д должен делиться на какое-то простое число в списке, но из-за того, что q строится, разделяя q чем-либо в списке оставляет остаток 1. Таким образом, очевидно q не является ни простым, ни делящимся ни на одно простое число, что является противоречием, которое следует из предположения, что существует только конечное число простых чисел. Следовательно, чтобы избежать этого противоречия, на самом деле должно быть бесконечно много простых чисел.
Учитывая, что их бесконечно много, вы можете подумать, что простые числа всех видов легко найти, но одна из следующих вещей, которую узнает детектив по простым числам, — это то, насколько разбросанными могут быть простые числа. Простой результат о промежутках между последовательными простыми числами, называемых промежутками между простыми числами, говорит нечто совершенно неожиданное.
Среди первых 10 простых чисел — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 — вы можете увидеть пробелы, состоящие из одного или нескольких составных чисел (числа, которые не являются простыми, например, 4, 12). или 27). Вы можете измерить эти промежутки, подсчитав составные числа между ними: например, между 0 и 2 есть разрыв размером 3, между 1 и 3 и 5 и 5 есть разрыв размером 7, между 3 и 7 есть разрыв размером 11. и 24, и так далее. Самый большой пробел в этом списке состоит из пяти составных чисел — 25, 26, 27, 28 и 23 — между 29 и XNUMX.
Теперь о невероятном результате: промежутки Prime могут быть сколь угодно длинными. Это означает, что существуют последовательные простые числа, расположенные так далеко друг от друга, как вы можете себе представить. Возможно, так же невероятно, как легко этот факт доказать.
У нас уже есть простой промежуток длины 5 выше. Может ли быть один из длины 6? Вместо того, чтобы искать списки простых чисел в надежде найти одно, мы просто создадим его сами. Для этого мы воспользуемся функцией факториала, используемой в основных формулах подсчета: По определению, $latexn!=n раз (n-1) раз (n-2) раз … раз 3 раза 2 раза 1$, поэтому, например, $ латекс3!=3 раза 2 раза 1 = 6$ и $latex5!=5 раз 4 раза 3 раза 2 раза 1=120$.
Теперь давайте построим наш главный разрыв. Рассмотрим следующую последовательность последовательных чисел:
$латекс 7!+2$, $латекс7!+3$, $латекс 7!+4$, $латекс7!+5$, $латекс 7!+6$, $латекс 7!+7$.
Так как $latex7!=7 умножить на 6 умножить на 5 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 2 умножить на 1$, первое число в нашей последовательности, $latex7!+2$, делится на 2, что вы можете увидеть после небольшого разложения:
$latex7!+2=7 раз 6 раз 5 раз 4 раза 3 раза2 раза 1+2$
$латекс= 2(7 раз 6 раз 5 раз 4 раза 3 раза 1+1)$.
Точно так же второе число, $latex7!+3$, делится на 3, так как
$latex7!+3=7 раз 6 раз 5 раз 4 раза 3 раза2 раза 1+3$
$латекс= 3(7 раз 6 раз 5 раз 4 раза 2 раза 1+1)$.
Точно 7! + 4 делится на 4, 7! + 5 на 5, 7! + 6 на 6 и 7! + 7 на 7, получается 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 последовательность из шести последовательных составных чисел. У нас есть простой пробел, по крайней мере, 6.
Эту стратегию легко обобщить. Последовательность
$латексn!+2$, $латексn!+3$, $латексn!+4$, $латекс…$, $латексn!+n$.
представляет собой последовательность $latexn-1$ последовательных составных чисел, что означает, что для любого n, существует простой пробел длиной не менее $latexn-1$. Это показывает, что существуют сколь угодно длинные промежутки между простыми числами, и поэтому в списке натуральных чисел есть места, где ближайшие простые числа отстоят друг от друга на 100, 1,000 или даже 1,000,000,000 XNUMX XNUMX XNUMX чисел.
В этих результатах можно увидеть классическое напряжение. Существует бесконечно много простых чисел, но последовательные простые числа также могут находиться бесконечно далеко друг от друга. Более того, существует бесконечно много последовательных простых чисел, близких друг к другу. Около 10 лет назад новаторская работа Итана Чжана положила начало гонке, направленной на то, чтобы сократить разрыв и доказать гипотезу о простых числах-близнецах, которая утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся всего на 2. Гипотеза о простых числах-близнецах — одна из самых известные открытые вопросы математики, и Джеймс Мейнард внес значительный вклад в доказательство этого неуловимого результата.
Эта напряженность также присутствует в недавних результатах о так называемых цифровых деликатных простых числах. Чтобы получить представление о том, что это за числа и где они могут быть или не быть, подумайте над следующим странным вопросом: существует ли двузначное простое число, которое всегда становится составным при любом изменении его разряда единиц?
Чтобы почувствовать цифровую деликатность, давайте поиграем с числом 23. Мы знаем, что это простое число, но что произойдет, если вы измените его цифру? Ну, 20, 22, 24, 26 и 28 все четные и, следовательно, составные; 21 делится на 3, 25 делится на 5, а 27 делится на 9. Пока все хорошо. Но если вы замените цифру единиц на 9, вы получите 29, что по-прежнему является простым числом. Итак, 23 — это не то простое число, которое нам нужно.
А 37? Как мы видели выше, нам не нужно проверять четные числа или числа, оканчивающиеся на 5, поэтому мы просто проверим 31, 33 и 39. Поскольку 31 тоже простое число, 37 тоже не работает.
Такой номер вообще существует? Ответ положительный, но нам нужно пройти весь путь до 97, чтобы найти его: 97 — простое число, но 91 (делится на 7), 93 (делится на 3) и 99 (также делится на 3) составные. , наряду с четными числами и 95.
Простое число считается «деликатным», если при замене любой из его цифр на что-либо другое оно теряет свою «простоту» (или простоту, если использовать технический термин). Итак, мы видим, что 97 деликатно относится к цифре единиц — поскольку изменение этой цифры всегда дает составное число — но удовлетворяет ли 97 всем критериям цифровой деликатности? Ответ отрицательный, потому что если вы измените цифру десятков на 1, вы получите 17, простое число. (Обратите внимание, что 37, 47 и 67 также являются простыми числами.)
На самом деле не существует двузначного цифрового деликатного простого числа. Следующая таблица всех двузначных чисел с заштрихованными двузначными простыми числами показывает, почему.
Все числа в любой данной строке имеют одинаковую цифру десятков, и все числа в любом данном столбце имеют одну и ту же цифру единиц. Тот факт, что 97 является единственным заштрихованным числом в своей строке, отражает тот факт, что оно является деликатным в разряде единиц, но это не единственное простое число в своем столбце, что означает, что оно не является деликатным в разряде десятков.
Двузначное простое число с цифровой точностью должно быть единственным простым числом в своей строке и столбце. Как видно из таблицы, такого двузначного простого числа не существует. Как насчет деликатного в цифровом отношении трехзначного простого числа? Вот аналогичная таблица, показывающая расположение трехзначных простых чисел от 100 до 199, без составных чисел.
Здесь мы видим, что 113 находится в своем собственном ряду, что означает деликатность в разряде единиц. Но 113 не находится в отдельном столбце, поэтому некоторые изменения в разряде десятков (например, 0 для 103 или 6 для 163) приводят к появлению простых чисел. Поскольку число не появляется ни в своей строке, ни в своем столбце, мы быстро видим, что не существует трехзначного числа, которое гарантированно будет составным, если вы измените его цифру единиц или цифру десятков. Это означает, что не может быть трехзначного цифрового деликатного простого числа. Обратите внимание, что мы даже не проверяли цифру сотен. Чтобы быть по-настоящему деликатным с цифровой точки зрения, трехзначное число должно избегать простых чисел в трех направлениях в трехмерной таблице.
Существуют ли вообще деликатные в цифровом отношении простые числа? По мере того, как вы продвигаетесь дальше по числовой прямой, простые числа становятся все более редкими, что снижает вероятность их пересечения в строках и столбцах этих многомерных таблиц. Но в больших числах больше цифр, и каждая дополнительная цифра снижает вероятность того, что простое число окажется деликатным в цифровом отношении.
Если вы продолжите, вы обнаружите, что деликатные в цифровом отношении простые числа действительно существуют. Наименьший - 294,001 794,001. Если вы измените одну из его цифр, то полученное число — скажем, 284,001 505,447 или 584,141 604,171 — будет составным. И это еще не все: следующие несколько — 971,767 1,062,599; XNUMX XNUMX; XNUMX XNUMX; XNUMX XNUMX; и XNUMX XNUMX XNUMX. На самом деле они не останавливаются. Знаменитый математик Пауль Эрдёш доказал, что существует бесконечно много простых чисел с цифровой точностью. И это был только первый из многих удивительных результатов, связанных с этими любопытными числами.
Например, Эрдёш не просто доказал, что существует бесконечно много простых чисел с цифровой деликатностью: он доказал, что в любом основании существует бесконечно много простых чисел с цифровой деликатностью. Поэтому, если вы решите представлять свои числа в двоичном, троичном или шестнадцатеричном виде, вы все равно гарантированно найдете бесконечное количество простых чисел с цифровой точностью.
И простые в цифровом отношении простые числа не просто бесконечны: они составляют ненулевой процент всех простых чисел. Это означает, что если вы посмотрите на отношение количества простых чисел с цифровой деликатностью к общему количеству простых чисел, эта доля будет некоторым числом больше нуля. С технической точки зрения, «положительная пропорция» всех простых чисел сложна в цифровом отношении, как доказал в 2010 году медалист Филдса Теренс Тао. Сами простые числа не составляют положительную долю всех чисел, поскольку вы будете находить все меньше и меньше простых чисел. чем дальше вы идете по числовой прямой. Тем не менее, среди этих простых чисел вы будете по-прежнему находить деликатные в цифровом отношении простые числа достаточно часто, чтобы поддерживать отношение деликатных простых чисел к общему количеству простых чисел выше нуля.
Возможно, самым шокирующим открытием было результат с 2020 года о новой вариации этих странных чисел. Расслабив понятие о том, что такое цифра, математики переосмыслили представление числа: вместо того, чтобы думать о 97 как таковом, они вместо этого думали о нем как о начальных нулях:
… 0000000097.
Каждый начальный ноль можно рассматривать как цифру, и вопрос цифровой деликатности можно распространить на эти новые представления. Могут ли существовать «простые числа, чувствительные к цифровой обработке» — простые числа, которые всегда становятся составными, если изменить любую из цифр, включая любой из этих ведущих нулей? Благодаря работе математиков Майкла Филасеты и Джереми Саутвика мы знаем, что ответ, как ни удивительно, положительный. Мало того, что широко деликатные в цифровом отношении простые числа существуют, их бесконечно много.
Простые числа образуют бесконечную цепочку математических головоломок, с которыми могут играть профессионалы и энтузиасты. Возможно, мы никогда не разгадаем все их тайны, но вы можете рассчитывать на то, что математики будут постоянно открывать и изобретать новые виды простых чисел для изучения.
Упражнения
1. Каков самый большой разрыв между простыми числами от 2 до 101?
2. Чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел, Евклид предполагает, что существует конечное число простых чисел $latexq_1, p_2, p_3, …, p_n$, а затем показывает, что $latexq=p_1 умножить на p_2 умножить на p_3 умножить … умножить на p_n+1$ не делится ни на одно простое число в списке. Разве это не значит, что q должен быть премьер?
3. Известный результат теории чисел состоит в том, что всегда есть простое число между k и 2k (включительно). Это трудно доказать, но легко доказать, что всегда есть простое число между k и $latexq=p_1, умноженное на p_2, умноженное на p_3, умноженное на … умноженное на p_n+1$ (включительно), где $latexq_1, p_2, p_3, …, p_n$ — все простые числа, меньшие или равные k. Докажите это.
4. Сможете ли вы найти наименьшее простое число, состоящее из разрядов единиц и десятков, которое является деликатным в цифровом отношении? Это означает, что изменение разряда единиц или десятков всегда будет давать составное число. (Возможно, вы захотите написать компьютерную программу для этого!)
Сложная задача: можете ли вы найти наименьшее простое число, которое является деликатным с цифровой точки зрения при представлении в двоичном виде? Напомним, что в двоичной системе счисления по основанию 2 единственными цифрами являются 0 и 1, а каждое разрядное значение представляет собой степень числа 2. Например, 8 представляется как $latex1000_2$, поскольку $latex 8=1 умножить на 2^3 + 0. умножить на 2^2 + 0 раз на 2^1 + 0 раз на 2^0$, а 7 по основанию 2 равно $latex111_2$, поскольку $latex7=1 раз 2^2 + 1 раз 2^1 + 1 раз 2^0$.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 1:
Нажмите, чтобы увидеть ответ 2:
Нет. Рассмотрим первые шесть простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. В этом случае число q будет $латекс 2 раза 3 раза 5 раз 7 раз 11 раз 13 + 1 = 30,031 2$ . Это число не делится на 3, 5, 7, 11, 13 или 30,031, но это не простое число: 59 509 $ латекса = XNUMX умножить на XNUMX $. Обратите внимание, что у него есть простые множители, но все они больше, чем первые шесть простых чисел.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 3:
Если либо k or q мы закончили. Если q не простое, а составное, что означает, что оно делится на какое-то простое число, но мы уже знаем, что оно не делится ни на одно из первых n простые числа. Таким образом, оно должно делиться на простое число, большее первого n простых чисел, а так как это все простые числа, меньшие k, это простое число должно быть больше, чем k. Но это простое делит q, поэтому он должен быть меньше q, поэтому должно быть простое число между k и q.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 4:
Первое простое число, удовлетворяющее этому свойству, равно 2,459, поскольку числа 2,451, 2,453 и 2,457 составные (удовлетворяют критерию деликатной разрядности), а 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 и 2,499 — составные (удовлетворяют критерию деликатной разрядности). тонкий десятизначный критерий). Тем не менее, число 2,459 не является деликатным в цифровом отношении, потому что 2,659 — простое число, поэтому оно терпит неудачу, как только вы начинаете рассматривать цифру сотен. (Спасибо математику Джону Д. Куку за публикацию его деликатный цифровой код Python для поиска простых чисел.)
Нажмите, чтобы ответить на задачу:
$latex127=1111111_2$ является чувствительным в цифровом отношении, поскольку $latex126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111 и =2_63$ являются составными.
