Непрерывная мажорация в квантовом фазовом пространстве

Непрерывная мажорация в квантовом фазовом пространстве

Отметка времени: 24 мая 2023 г., 7:39
Исходный узел: 2674950

Захари Ван Херстратен1,2, Майкл Дж. Джаббур1,3,4и Николас Дж. Серф1

1Центр квантовой информации и коммуникаций, École polytechnique de Bruxelles, CP 165/59, Université libre de Bruxelles, 1050 Брюссель, Бельгия
2Wyant College of Optical Sciences, Аризонский университет, 1630 E. University Blvd., Тусон, AZ 85721, США
3DAMTP, Центр математических наук, Кембриджский университет, Кембридж CB3 0WA, Соединенное Королевство
4Кафедра физики Датского технического университета, 2800 Kongens Lyngby, Дания

Находите эту статью интересной или хотите обсудить? Scite или оставить комментарий на SciRate.

Абстрактные

Мы исследуем роль теории мажорации в квантовом фазовом пространстве. С этой целью мы ограничимся квантовыми состояниями с положительными функциями Вигнера и покажем, что непрерывная версия теории мажорации обеспечивает элегантный и очень естественный подход к исследованию теоретико-информационных свойств функций Вигнера в фазовом пространстве. После идентификации всех гауссовских чистых состояний как эквивалентных в точном смысле непрерывной мажорации, что можно понять в свете теоремы Хадсона, мы предполагаем фундаментальное соотношение мажорации: любая положительная функция Вигнера мажорируется функцией Вигнера гауссовского чистого состояния (особенно , бозонное вакуумное состояние или основное состояние гармонического осциллятора). Как следствие, любая вогнутая по Шуру функция функции Вигнера ограничена снизу значением, которое она принимает для вакуумного состояния. Это, в свою очередь, означает, что энтропия Вигнера ограничена снизу своим значением для вакуумного состояния, в то время как обратное, в частности, неверно. Наш главный результат состоит в том, чтобы доказать это фундаментальное соотношение мажорации для соответствующего подмножества вигнерово-положительных квантовых состояний, которые являются смесями трех нижних собственных состояний гармонического осциллятора. Кроме того, гипотеза также подтверждается числовыми данными. В заключение мы обсудим некоторые следствия этой гипотезы в контексте энтропийных соотношений неопределенностей в фазовом пространстве.

Популярное резюме

Принцип неопределенности — одно из самых захватывающих явлений в квантовой физике. Хотя может показаться естественным, что пары измеримых величин, таких как положение и импульс частицы, могут быть точно предсказаны одновременно, квантовая физика фактически запрещает это для некоммутирующих наблюдаемых. Гейзенберг и Кеннард сделали это точным, используя дисперсию любой измеримой величины, чтобы зафиксировать ее неопределенность. Спустя годы принцип неопределенности Гейзенберга был переформулирован путем обращения к энтропии как к подходящему средству количественной оценки неопределенности. Здесь мы вводим еще более сильную теоретико-информационную парадигму для понимания неопределенности квантовых переменных в фазовом пространстве, а именно теорию мажорации.

Эта математическая теория была разработана более века назад и использовалась во многих областях науки, от статистики до физики. Примечательно, что его стали применять в квантовой физике относительно недавно, где он показал себя как мощный подход к изучению квантовой запутанности. Таким образом, он никогда не использовался для характеристики непрерывных плотностей, описывающих квантовые переменные в фазовом пространстве, то есть функций Вигнера. Мы показываем, что непрерывная мажорация является подходящим инструментом для этого. Основная мысль нашей статьи касается утверждения, что функция Вигнера вакуумного состояния бозонной моды (т. е. основного состояния гармонического осциллятора) непрерывно мажорирует любую другую функцию Вигнера, делая ее менее неопределенной в смысле мажорации .

Хотя мы представляем и обсуждаем наши результаты в контексте квантовой оптики, они переносятся на любую каноническую пару и, следовательно, должны иметь значение в различных областях физики.

► Данные BibTeX

► Рекомендации

[1] GH Hardy, JE Littlewood и G. Pólya, «Неравенства». Издательство Кембриджского университета, 1934.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3605504

[2] А. В. Маршалл, И. Олкин и Б. С. Арнольд, "Неравенства: теория мажорации и ее приложения", том. 143. Спрингер, второе изд., 2011 г.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-68276-1

[3] Т. Андо, «Мажоризация, дважды стохастические матрицы и сравнение собственных значений», Приложение линейной алгебры. 118, 163–248 (1989).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(89)90580-6

[4] К. Мослер, «Майоризация показателей экономического неравенства», Линейная алгебра и ее приложения, 199, 91–114 (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(94)90343-3

[5] Т. ван Эрвен и П. Харремоэс, «Расхождение Реньи и мажорация», Международный симпозиум IEEE по теории информации, 2010 г., стр. 1335–1339, IEEE. 2010.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2010.5513784

[6] М. А. Алхейджи и Г. Смит, «Жесткая равномерная граница непрерывности для неоднозначности», на Международном симпозиуме IEEE по теории информации (ISIT) 2020 г., стр. 2270–2274. 2020.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT44484.2020.9174350

[7] М. Г. Джаббур и Н. Датта, «Точная равномерная граница непрерывности для условной энтропии Аримото-Реньи и ее расширение на классические квантовые состояния», IEEE Transactions on Information Theory 68, 2169–2181 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2022.3142812

[8] А. Хорн, «Двойно стохастические матрицы и диагональ матрицы вращения», Американский журнал математики, 76, 620–630 (1954).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2372705

[9] М.А. Нильсен, «Условия для класса преобразований запутанности», Physical Review Letters 83, 436 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.436

[10] М. А. Нильсен и Г. Видал, «Майоризация и взаимное преобразование двудольных состояний», Квантовая информация и вычисления, 1, 76–93 (2001).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC1.1-5

[11] М.А. Нильсен и Дж. Кемпе, «Разделимые состояния более неупорядочены глобально, чем локально», Physical Review Letters 86, 5184–5187 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.86.5184

[12] Т. Хиросима, «Мажоризационный критерий дистиллируемости двудольного квантового состояния», Physical Review Letters 91, 057902 (2003).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.057902

[13] З. Пухала, Л. Рудницкий и К. Жычковский, «Энтропийные отношения неопределенности мажоризации», Журнал физики A: Mathematical and Theoretical 46, 272002 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​27/​272002

[14] Л. Рудницкий, З. Пучала и К. Жычковский, «Энтропийные соотношения неопределенностей сильной мажорации», Physical Review A 89, 052115 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.052115

[15] Л. Рудницкий, «Майоризационный подход к энтропийным соотношениям неопределенностей для крупнозернистых наблюдаемых», Physical Review A 91, 032123 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.91.032123

[16] Ф. Брандао, М. Городецки, Н. Нг, Дж. Оппенгейм и С. Венер, «Вторые законы квантовой термодинамики», Труды Национальной академии наук, 112, 3275–3279 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1073 / pnas.1411728112

[17] Р. Гарсия-Патрон, К. Наваррете-Бенллок, С. Ллойд, Дж. Х. Шапиро и Н. Дж. Серф, «Подход теории мажоризации к гипотезе о минимальной энтропии канала Гаусса», Physical Review Letters 108, 110505 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.110505

[18] К. Н. Гагацос, О. Орешков и Н. Дж. Серф, «Отношения мажоризации и генерация запутывания в светоделителе», Physical Review A 87, 042307 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.87.042307

[19] Г. Де Пальма, Д. Тревизан и В. Джованнетти, «Пассивные состояния оптимизируют выход бозонных гауссовских квантовых каналов», IEEE Transactions on Information Theory 62, 2895–2906 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2016.2547426

[20] М. Г. Джаббур, Р. Гарсия-Патрон и Н. Дж. Серф, «Сохранение мажоризации гауссовских бозонных каналов», Новый журнал физики, 18, 073047 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073047

[21] М. Джаббур и Н. Дж. Серф, «Мажорация Фока в бозонных квантовых каналах с пассивной средой», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 105302 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aaf0d2

[22] У. Леонхардт, «Основная квантовая оптика: от квантовых измерений до черных дыр». Издательство Кембриджского университета, 2010.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511806117

[23] А. Герц, М. Г. Джаббур и Н. Дж. Серф, «Соотношения неопределенности энтропии и мощности: к жесткому неравенству для всех гауссовских чистых состояний», Журнал физики A: Mathematical and Theoretical 50, 385301 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 1751-8121 / aa852f

[24] А. Герц и Н. Дж. Серф, «Энтропийные соотношения неопределенностей с непрерывной переменной», Журнал физики A: Mathematical and Theoretical 52, 173001 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​ab03f3

[25] К. Видбрук, С. Пирандола, Р. Гарсия-Патрон, Н. Дж. Серф, Т. С. Ральф, Дж. Х. Шапиро и С. Ллойд, «Гауссова квантовая информация», Обзор современной физики, 84, 621–669 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.84.621

[26] З. Ван Херстратен и Н. Дж. Серф, «Квантовая энтропия Вигнера», Physical Review A 104, 042211 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.042211

[27] Ф. Дж. Наркович, «Распределения $hbar$-позитивного типа и приложения», Журнал математической физики, 30, 2565–2573 (1989).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.528537

[28] Т. Брокер и Р. Вернер, «Смешанные состояния с положительными функциями Вигнера», Журнал математической физики, 36, 62–75 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.531326

[29] Р.Л. Хадсон, «Когда плотность квази-вероятностей Вигнера неотрицательна?», Reports on Mathematical Physics 6, 249–252 (1974).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0034-4877(74)90007-X

[30] Ф. Сото и П. Клавери, «Когда функция Вигнера многомерных систем неотрицательна?» Журнал математической физики 24, 97–100 (1983).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.525607

[31] Ф. Дж. Наркович и Р. О'Коннелл, «Необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция фазового пространства была распределением Вигнера», Physical Review A 34, 1 (1986).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.34.1

[32] А. Мандилара, Э. Карпов и Н. Дж. Серф, «Распространение теоремы Хадсона на смешанные квантовые состояния», Physical Review A 79, 062302 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.062302

[33] А. Мандилара, Э. Карпов и Н. Серф, «Границы Гаусса для квантовых смешанных состояний с положительной функцией Вигнера», в Journal of Physics: Conference Series, vol. 254, с. 012011, Издательство ИОП. 2010.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​254/​1/​012011

[34] Л. Ван и М. Мадиман, «За пределами неравенства энтропийной мощности через перестановки», IEEE Transactions on Information Theory 60, 5116–5137 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2014.2338852

[35] GH Hardy, JE Littlewood, and G. Pólya, «Некоторые простые неравенства, которым удовлетворяют выпуклые функции», Вестник математики 58, 145–152 (1929).

[36] Х. Джо, «Упорядочивание зависимости для распределения k-кортежей с приложениями к лото-играм», Канадский статистический журнал, 15, 227–238 (1987).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3314913

[37] И. Шур, «Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen die Definanten», Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 22, 416–427 (1923).

[38] А. В. Робертс и Д. Е. Варберг, «Выпуклые функции». Академическая пресса, Нью-Йорк, 1973.
https:/​/​doi.org/​10.1016/​B978-0-444-89597-4.50013-5

[39] А. Реньи, «О мерах энтропии и информации», в материалах Четвертого симпозиума Беркли по математической статистике и вероятности, том 1: Вклад в теорию статистики, том. 4, стр. 547–562, University of California Press. 1961.

[40] Ю. Хе, А. Б. Хамза и Х. Крим, «Обобщенная мера расхождения для надежной регистрации изображений», IEEE Transactions on Signal Processing 51, 1211–1220 (2003).
https://​/​doi.org/​10.1109/​TSP.2003.810305

[41] Дж. В. Рифф, "Орбиты $L^1$-функций при дважды стохастических преобразованиях", Труды Американского математического общества, 117, 92–100 (1965).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 1994198

[42] Ф. Бахрами, С. М. Манджегани, С. Моейн, «Полудважды стохастические операторы и мажорация интегрируемых функций», Бюллетень Малазийского общества математических наук, 44, 693–703 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s40840-020-00971-2

[43] SM Manjegani и S. Moein, “Мажоризация и полудважды стохастические операторы на $ L^{1}(X)$”, Журнал неравенств и приложений, 2023, 1–20 (2023).
HTTPS: / / doi.org/ 10.1186 / s13660-023-02935-г

[44] И. Белыницкий-Бирула и Я. Мыцельский, "Соотношения неопределенностей для информационной энтропии в волновой механике", Сообщения по математической физике, 44, 129–132 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01608825

[45] А. Верль, «Общие свойства энтропии», Reviews of Modern Physics 50, 221 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.50.221

[46] Э. Х. Либ, «Доказательство энтропийной гипотезы Верля», в Неравенствах, стр. 359–365. Спрингер, 2002.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-55925-9_30

[47] Э. Х. Либ и Дж. П. Соловей, «Доказательство гипотезы об энтропии для блоховских когерентных спиновых состояний и ее обобщений», Acta Mathematica, 212, 379 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s11511-014-0113-6

[48] JR Johansson, PD Nation и F. Nori, «QuTiP: платформа Python с открытым исходным кодом для динамики открытых квантовых систем», Computer Physics Communications 183, 1760–1772 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2012.02.021

[49] К. Жычковский, П. Городецкий, А. Санпера и М. Левенштейн, «Объем множества сепарабельных состояний», Physical Review A 58, 883 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.58.883

Цитируется

[1] Нуно Коста Диас и Жоао Нуно Прата, «О недавней гипотезе З. Ван Херстратена и Н. Дж. Серфа о квантовой энтропии Вигнера», Arxiv: 2303.10531, (2023).

[2] Захари Ван Херстратен и Николас Дж. Серф, «Квантовая энтропия Вигнера», Физический обзор A 104 4, 042211 (2021).

[3] Мартин Герттнер, Тобиас Хаас и Йоханнес Нолл, «Обнаружение запутанности непрерывных переменных в фазовом пространстве с $Q$-распределением», Arxiv: 2211.17165, (2022).

Приведенные цитаты из САО / НАСА ADS (последнее обновление успешно 2023-05-24 23:55:18). Список может быть неполным, поскольку не все издатели предоставляют подходящие и полные данные о цитировании.

On Цитируемый сервис Crossref Данные о цитировании работ не найдены (последняя попытка 2023-05-24 23:55:17).

Эта статья опубликована в Quantum под Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) лицензия. Авторское право остается за первоначальными правообладателями, такими как авторы или их учреждения.

Отметка времени:

Больше от Квантовый журнал