La câteva minute după o discuție din 2018 la Universitatea din Michigan, Ian Tobasco luă o bucată mare de hârtie și o mototolește într-o minge de haos aparent dezordonată. A ridicat-o pentru ca publicul să o vadă, l-a strâns pentru o măsură bună, apoi l-a întins din nou.
„Primesc o masă sălbatică de pliuri care ies la iveală și acesta este puzzle-ul”, a spus el. „Ce selectează acest model dintr-un alt model, mai ordonat?”
Apoi a ridicat o a doua bucată mare de hârtie – aceasta pre-împăturită într-un model faimos de paralelograme origami cunoscut sub numele de Miura-ori – și a apăsat-o. Forța pe care a folosit-o pe fiecare foaie de hârtie a fost aproximativ aceeași, a spus el, dar rezultatele nu ar fi putut fi mai diferite. Miura-ori a fost împărțit cu grijă în regiuni geometrice; mingea mototolită era o mizerie de linii zimțate.
„Ai senzația că aceasta”, a spus el, arătând spre aranjamentul împrăștiat de cute de pe foaia mototolită, „este doar o versiune dezordonată aleatorie a asta”. Îi arătă Miura-ori îngrijită și ordonată. „Dar nu ne-am pus degetul dacă este sau nu adevărat.”
Realizarea acestei conexiuni ar necesita nimic mai puțin decât stabilirea regulilor matematice universale ale modelelor elastice. Tobasco a lucrat la asta de ani de zile, studiind ecuațiile care descriu materiale elastice subțiri - chestii care răspund la o deformare încercând să revină la forma sa originală. Împingeți un balon suficient de tare și se va forma un model de stele radiale; scoateți degetul și se vor netezi din nou. Strângeți o minge de hârtie mototolită și se va extinde atunci când o eliberați (deși nu se va desface complet). Inginerii și fizicienii au studiat modul în care aceste modele apar în anumite circumstanțe, dar unui matematician acele rezultate practice sugerează o întrebare mai fundamentală: este posibil să înțelegem, în general, ce selectează un model mai degrabă decât altul?
În ianuarie 2021, Tobasco a publicat o hartie care a răspuns afirmativ la această întrebare — cel puțin în cazul unei foi netede, curbe și elastice presate în plan (o situație care oferă o modalitate clară de a explora întrebarea). Ecuațiile sale prezic modul în care ridurile aparent aleatorii conțin domenii „ordonate”, care au un model repetat, identificabil. Și a co-scris o lucrare, publicată luna trecută, care arată o nouă teorie fizică, bazată pe matematică riguroasă, care ar putea prezice modele în scenarii realiste.
În special, munca lui Tobasco sugerează că încrețirea, în numeroasele sale forme, poate fi văzută ca soluție la o problemă geometrică. „Este o bucată frumoasă de analiză matematică”, a spus Stefan Mueller al Centrului Hausdorff pentru Matematică al Universității din Bonn din Germania.
Prezintă elegant, pentru prima dată, regulile matematice – și o nouă înțelegere – din spatele acestui fenomen comun. „Rolul matematicii aici nu a fost să demonstreze o presupunere pe care fizicienii au făcut-o deja”, a spus Robert Kohn, un matematician la Institutul Courant al Universității din New York și consilierul școlii postuniversitare de la Tobasco, „ci mai degrabă pentru a oferi o teorie în care anterior nu exista o înțelegere sistematică”.
A se intinde
Scopul dezvoltării unei teorii a ridurilor și a modelelor elastice este unul vechi. În 1894, într-o recenzie în Natură, matematicianul George Greenhill a subliniat diferența dintre teoreticieni („Ce trebuie să gândim?”) și aplicațiile utile pe care le-ar putea descoperi („Ce trebuie să facem?”).
În secolele al XIX-lea și al XX-lea, oamenii de știință au făcut progrese în mare parte în privința celui din urmă, studiind problemele care implică ridurile în anumite obiecte care sunt deformate. Exemplele timpurii includ problema forjarii plăcilor metalice netede, curbate pentru navele maritime și încercarea de a conecta formarea munților cu încălzirea scoarței terestre.
Mai recent, matematicienii și fizicienii și-au extins efortul de a conecta teoria și observația la o gamă largă de situații de încrețire, geometrii și materiale. „Acest lucru se întâmplă în ultimii 10 ani, când facem mai întâi experimente și apoi încercăm să găsim teoria pentru a le înțelege”, a spus matematicianul. Dominic Vella de la Universitatea din Oxford. „Abia recent am început să avem o înțelegere adecvată.”
Au existat etape interesante. În 2015, Pedro Reis, inginer mecanic la Institutul de Tehnologie din Massachusetts, legile fizice descrise pentru modelele geometrice care se formează pe bilele de siliciu dezumflate. Munca sa a conectat aceste riduri de grosimea straturilor interioare și exterioare ale materialului elastic. Reis a remarcat, de asemenea, că ridurile, în loc să fie considerate defecte, ar putea oferi oportunități de a proiecta noi comportamente mecanice. Apoi, în 2017, Vella a condus analiza a instabilităților de încrețire ale unei pelicule elastice subțiri sub presiune, care caracterizează modul în care numărul de riduri s-a modificat în funcție de adâncimea picăturii inițiale și de alte detalii specifice.
Dar aceste evoluții au rezolvat încă doar părți ale problemei. Pentru o înțelegere matematică mai generală a modului în care se formează ridurile, a fost necesară o abordare diferită. Tobasco ar fi cel care o va duce mai departe.
Urmărind Curiozitatea
Când era mai tânăr, Tobasco s-a gândit că va merge în ingineria aerospațială. A absolvit Universitatea din Michigan în 2011, cu o diplomă de licență în domeniu, dar până în acel moment fusese deja atras să se gândească profund la raționamentul matematic și la sistemele fizice. A obținut un doctorat în matematică, dar dă vina pe Joey Paulsen, un fizician acum la Universitatea Syracuse, pentru că l-a pus pe calea specifică a ridurilor.
Mai devreme în cariera lui Paulsen, când studia proprietățile materialelor neobișnuite, el a învățat să fabrice și să analizeze filme de polimer ultra-subțiri folosind o tehnică numită spin coating. Mai întâi ar crea un material lichid special care conține urme de polimer dizolvat; apoi punea materialul pe o farfurie care se învârte. Cea mai mare parte a lichidului se va evapora, în timp ce polimerul se răspândește la o grosime uniformă înainte de a se solidifica. Odată ce a avut propriul său laborator la Syracuse, Paulsen a învățat cum să adapteze stratul de acoperire prin rotație pentru a crea filme curbate - precum coji de țestoasă ultra-subțire.
Într-o zi, el a așezat unele dintre aceste filme curbate deasupra apei neplate și a fotografiat cum s-au așezat la suprafață. „A fost pur motivat de curiozitate”, a spus el. Imaginile i-au atras atenția lui Tobasco la o întâlnire informală cu Paulsen în 2017.
„Au arătat că poți obține aceste modele aleatoare de riduri dezordonate - când ai făcut experimentul de două ori, ai obținut două modele diferite”, a spus Tobasco, care este acum profesor asistent la Universitatea din Illinois, Chicago. „Voiam să văd dacă pot găsi o modalitate derivabilă [de a prezice acele modele] din elasticitate, care să includă forma cochiliei. Și că modelul nu s-ar schimba de la o coajă la alta.”
Modelele de încrețire sunt configurații cu cea mai mică energie posibilă. Adică, pe măsură ce pelicula subțire se așează pe o suprafață plană, se transformă până când găsește aranjamentul ridurilor, dezordonat sau nu, care necesită cea mai mică cantitate de energie pentru a se menține. „Puteți organiza modelele în funcție de cantitatea de energie care este stocată atunci când [modelul] se manifestă”, a spus Tobasco.
Condus de acel principiu călăuzitor, el a izolat câteva caracteristici ale filmului care s-au dovedit a fi cele care îi selectează modelul, inclusiv o măsură a formei numită curbura lui Gaussiană. O suprafață cu curbură Gaussiană pozitivă se îndoaie de ea însăși, ca exteriorul unei mingi. Suprafețele curbate negativ, în schimb, sunt în formă de șa, ca un cip Pringles: dacă mergi într-o direcție, mergi în sus, dar dacă mergi într-o altă direcție cobori.
Tobasco a descoperit că zonele cu curbură Gaussian pozitivă produc un fel de aranjament de domenii ordonate și dezordonate, iar zonele cu curbură negativă produc alte tipuri. „Geometria detaliată nu este atât de importantă”, a spus Vella. „Depinde într-adevăr doar de semnul curburii gaussiene.”
Ei bănuiseră că curbura Gaussiană era importantă pentru încrețire, dar Vella a spus că este o surpriză faptul că domeniile depind atât de mult de semn. În plus, teoria lui Tobasco se aplică și unui spectru larg de materiale elastice, nu doar formelor lui Paulsen. „Este o construcție geometrică drăguță care arată unde vor apărea ridurile”, a spus Vella. „Dar înțelegerea de unde vine aceasta este cu adevărat profundă și este oarecum surprinzătoare.”
Paulsen a fost de acord. „Ceea ce face foarte frumos teoria lui Ian este să-ți ofere întregul model, dintr-o dată.”
Riduri din viața reală
La începutul lui 2018, Tobasco și-a stabilit teoria în mare parte – dar, deși a funcționat pe hârtie, nu putea fi sigur că va fi exactă în lumea reală. Tobasco l-a contactat pe Paulsen și l-a întrebat dacă ar fi interesat să colaboreze. „Ceva a funcționat imediat”, a spus Paulsen. „Cu unele dintre predicțiile lui Ian, puse pe deasupra imaginilor experimentale, am putut vedea imediat că s-au aliniat.”
La Conferința Societății pentru Matematică Industrială și Aplicată din acel an privind aspectele matematice ale științei materialelor, Tobasco a fost prezentat la Eleni Katifori, un fizician de la Universitatea din Pennsylvania care explora problema tiparelor de riduri în cochilii închise și construia o bază de date cu rezultate. A fost un moment de serendipitate. „Am putut vedea domeniile [în simulări] pe care le-a explicat munca lui Ian”, a spus ea. Meciul a fost ciudat. Chiar și în timpul primelor lor discuții, a fost clar că teoria lui Tobasco, imaginile experimentale ale lui Paulsen și simulările lui Katifori descriu toate aceleași fenomene. „Chiar și în primele etape, când nu aveam nimic concret, am putut vedea legătura.”
Acea emoție timpurie a dat naștere rapid la scepticism. Părea aproape prea frumos pentru a fi adevărat. „Este un matematician și face toate aceste lucruri non-dimensionale”, a spus Paulsen, referindu-se la modul în care ideile lui Tobasco despre curbură ar putea fi extinse cu mult dincolo de materialele plate bidimensionale. „Ne uităm cu adevărat la același sistem? Este de acord, dar ar fi trebuit să fie de acord?”
Pentru următorii doi ani, cei trei cercetători au dezvăluit detaliile, arătând că teoria lui Tobasco chiar a prezis - exact - aranjamentul ridurilor pe care Paulsen le-a văzut în experimentele sale și Katifori le-a găsit în modelele ei computerizate. Pe 25 august, au publicat o lucrare în Fizica naturii arătând modul în care cele trei abordări converg toate spre aceeași aranjare geometrică simplă a ridurilor. În special, ei au descoperit că modelele se încadrează în familii îngrijite de triunghiuri isoscele care delimitau domenii de ordine și dezordine. În plus, rezultatele nu se limitează la abstracții matematice ale materialelor incredibil de subțiri, ci abordează mai multe ordine de mărime de grosime.
Munca lor sugerează, de asemenea, oportunități de extindere a teoriei și a aplicațiilor acesteia. Katifori a spus că, în calitate de fizician, este interesată să valorifice predicțiile pentru a proiecta noi materiale. „Vreau să înțeleg cum poți proiecta suprafețele, astfel încât acestea să organizeze de fapt modelele de încrețire în ceva ce vrei tu.”
O altă întrebare deschisă este cât de general poate fi aplicată teoria diferitelor tipuri de suprafețe curbe. „Este foarte concentrat pe situațiile în care [curbura gaussiană] este fie pozitivă, fie negativă, dar există o mulțime de situații cu unele regiuni care sunt pozitive și altele negative”, a spus Vella.
Paulsen a fost de acord că aceasta este o posibilitate interesantă, iar Tobasco a spus că lucrează activ în acest domeniu și ia în considerare alte forme de scoici, cum ar fi cele cu găuri.
Dar Paulsen a spus că teoria, chiar așa cum este în prezent, este frumoasă și surprinzătoare. „Dacă îți dau o coajă și o formă de graniță și acest set simplu de reguli pe care le-a prezis teoria lui Ian, atunci poți să iei o busolă și o riglă și, practic, să desenezi ridurile”, a spus el. „Nu ar fi trebuit să se întâmple așa. Ar fi putut fi total îngrozitor.”
