Dacă ai urmărit știrile despre matematică luna aceasta, știi că teoreticianul numerelor de 35 de ani James Maynard a câștigat un premiu. Medalia Fields — cea mai mare onoare pentru un matematician. Lui Maynard îi plac întrebările de matematică care „sunt destul de simple pentru a fi explicate unui elev de liceu, dar suficient de dificile pentru a-i împiedica pe matematicieni timp de secole”. Cuante raportate, iar una dintre acele întrebări simple este următoarea: pe măsură ce vă deplasați de-a lungul liniei numerice, trebuie să existe întotdeauna numere prime apropiate?
Poate ați observat că matematicienii sunt obsedați de numerele prime. Ce îi atrage? Poate este faptul că numerele prime întruchipează unele dintre cele mai fundamentale structuri și mistere ale matematicii. Primele cartografiază universul înmulțirii permițându-ne să clasificăm și să categorizăm fiecare număr cu o factorizare unică. Dar chiar dacă oamenii s-au jucat cu numerele prime încă de la începutul înmulțirii, încă nu suntem siguri unde vor apărea numerele prime, cât de răspândite sunt sau cât de aproape trebuie să fie. Din câte știm, numerele prime nu urmează un model simplu.
Fascinația noastră față de aceste obiecte fundamentale a condus la inventarea sau descoperirea a sute de tipuri diferite de numere prime: numere prime de Mersenne (prime de forma 2n − 1), numere prime echilibrate (prime care sunt media a două numere prime învecinate) și numere prime Sophie Germain (un număr prim p astfel încât 2p + 1 este, de asemenea, prim), pentru a numi câteva.
Interesul pentru aceste numere prime speciale a apărut din jocul cu numerele și descoperirea a ceva nou. Acest lucru este valabil și pentru „primele digitale delicate”, o adăugare recentă la listă care a dus la niște rezultate surprinzătoare cu privire la cele mai elementare întrebări: cât de rare sau comune pot fi anumite tipuri de numere prime?
Pentru a aprecia această întrebare, să începem cu unul dintre primele fapte interesante pe care le învață un pasionat de numere aspiranți: Există infinit de multe numere prime. Euclid a demonstrat asta acum 2,000 de ani folosind una dintre cele mai faimoase dovezi prin contradicție din toată istoria matematicii. El a început prin a presupune că există doar un număr limitat de numere prime și și-a imaginat toate n dintre ele într-o listă:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Apoi a făcut ceva inteligent: s-a gândit la numărul $latexq=p_1 ori p_2 ori p_3 ori ... ori p_n+1$.
Observa asta q nu poate fi pe lista primelor, pentru că este mai mare decât tot ce este pe listă. Deci, dacă există o listă finită de numere prime, acest număr q nu poate fi prim. Dar dacă q nu este prim, trebuie să fie divizibil cu altceva decât el însuși și 1. Aceasta, la rândul său, înseamnă că q trebuie fi divizibil cu unele prime de pe listă, dar din cauza modului q este construit, împărțind q de orice pe listă lasă un rest de 1. Deci, aparent q nu este nici prim, nici divizibil cu niciun prim, ceea ce este o contradicție care rezultă din presupunerea că există doar un număr finit de numere prime. Prin urmare, pentru a evita această contradicție, trebuie să existe de fapt infinit de numere prime.
Având în vedere că există infinit de multe dintre ele, ați putea crede că numerele prime de toate tipurile sunt ușor de găsit, dar unul dintre următoarele lucruri pe care le învață un detectiv cu numere prime este cât de răspândite pot fi numerele prime. Un rezultat simplu despre spațiile dintre numere prime consecutive, numite lacune prime, spune ceva destul de surprinzător.
Printre primele 10 numere prime — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 și 29 — puteți vedea goluri care constau din unul sau mai multe numere compuse (numere care nu sunt prime, cum ar fi 4, 12 sau 27). Puteți măsura aceste decalaje numărând numerele compuse între ele: De exemplu, există un decalaj de dimensiunea 0 între 2 și 3, un decalaj de dimensiunea 1 între 3 și 5 și 5 și 7, un decalaj de dimensiunea 3 între 7 și 11 și așa mai departe. Cel mai mare decalaj prime din această listă este format din cele cinci numere compuse - 24, 25, 26, 27 și 28 - între 23 și 29.
Acum, pentru rezultatul incredibil: golurile prime pot fi arbitrar lungi. Aceasta înseamnă că există numere prime consecutive cât de departe vă puteți imagina. Poate la fel de incredibil este cât de ușor este de demonstrat acest fapt.
Avem deja un decalaj primar de lungime 5 mai sus. Ar putea fi unul de lungime 6? În loc să căutăm liste de numere prime în speranța de a găsi unul, o vom construi noi înșine. Pentru a face acest lucru vom folosi funcția factorială utilizată în formulele de numărare de bază: Prin definiție, $latexn!=n ori(n-1) ori (n-2) ori … ori de 3 ori de 2 ori 1$, deci de exemplu $ latex3!=3 ori de 2 ori 1 = 6$ și $latex5!=5 ori de 4 ori de 3 ori de 2 ori 1=120$.
Acum să construim decalajul nostru principal. Luați în considerare următoarea succesiune de numere consecutive:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Deoarece $latex7!=7 ori de 6 ori de 5 ori de 4 ori de 3 ori de 2 ori de 1$, primul număr din secvența noastră, $latex7!+2$, este divizibil cu 2, ceea ce îl puteți vedea după un pic de factoring:
$latex7!+2=7 ori de 6 ori de 5 ori de 4 ori de 3 ori de 2 ori de 1+2$
$latex= 2(de 7 ori de 6 ori de 5 ori de 4 ori de 3 ori 1+1)$.
La fel, al doilea număr, $latex7!+3$, este divizibil cu 3, deoarece
$latex7!+3=7 ori de 6 ori de 5 ori de 4 ori de 3 ori de 2 ori de 1+3$
$latex= 3(de 7 ori de 6 ori de 5 ori de 4 ori de 2 ori 1+1)$.
La fel, 7! + 4 este divizibil cu 4, 7! + 5 cu 5, 7! + 6 cu 6 și 7! + 7 cu 7, ceea ce face 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 o succesiune de șase numere compuse consecutive. Avem un decalaj primar de cel puțin 6.
Această strategie este ușor de generalizat. Secvența
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latexn…$, $latexn!+n$.
este o secvență de $latexn-1$ numere compuse consecutive, ceea ce înseamnă că, pentru orice n, există un decalaj primar cu o lungime de cel puțin $latexn-1$. Acest lucru arată că există lacune prime arbitrar lungi și, așadar, de-a lungul listei numerelor naturale există locuri în care cele mai apropiate numere prime sunt de 100, sau 1,000 sau chiar la 1,000,000,000 de numere.
În aceste rezultate se poate observa o tensiune clasică. Există infinit de numere prime, totuși numerele prime consecutive pot fi, de asemenea, infinit de departe. În plus, există infinit de numere prime consecutive care sunt apropiate. În urmă cu aproximativ 10 ani, munca revoluționară a lui Yitang Zhang a declanșat o cursă pentru a reduce decalajul și a demonstra conjectura primelor prime gemene, care afirmă că există infinit de perechi de numere prime care diferă doar cu 2. Conjectura primelor gemene este una dintre cele mai multe celebre întrebări deschise în matematică, iar James Maynard și-a adus propriile contribuții semnificative pentru a demonstra acest rezultat evaziv.
Această tensiune este prezentă și în rezultatele recente despre așa-numitele numere prime digitale delicate. Pentru a înțelege ce sunt aceste numere și unde pot fi sau nu, luați un moment pentru a reflecta la următoarea întrebare ciudată: Există un număr prim de două cifre care devine întotdeauna compus cu orice modificare a cifrei sale?
Pentru a simți delicatețea digitală, să ne jucăm cu numărul 23. Știm că este un prim, dar ce se întâmplă dacă îi schimbi cifra? Ei bine, 20, 22, 24, 26 și 28 sunt toate pare și, prin urmare, sunt compuse; 21 este divizibil cu 3, 25 este divizibil cu 5 și 27 este divizibil cu 9. Până acum, e bine. Dar dacă schimbați cifra celor cu 9, obțineți 29, care este încă prim. Deci 23 nu este genul de prim pe care îl căutăm.
Ce zici de 37? După cum am văzut mai sus, nu trebuie să ne obosim să verificăm numerele pare sau care se termină cu 5, așa că vom verifica doar 31, 33 și 39. Deoarece 31 este și prim, nici 37 nu funcționează.
Există măcar un astfel de număr? Răspunsul este da, dar trebuie să mergem până la 97 pentru a-l găsi: 97 este prim, dar 91 (divizibil cu 7), 93 (divizibil cu 3) și 99 (de asemenea, divizibil cu 3) sunt toate compuse. , împreună cu numerele pare și 95.
Un număr prim este „delicat” dacă, atunci când schimbați oricare dintre cifrele sale cu orice altceva, își pierde „primitatea” (sau primalitatea, pentru a folosi termenul tehnic). Până acum vedem că 97 este delicat în cifra unică - deoarece schimbarea acelei cifre produce întotdeauna un număr compus - dar 97 îndeplinește toate criteriile de a fi delicat digital? Răspunsul este nu, pentru că dacă schimbi cifra zecilor cu 1 obții 17, un prim. (Rețineți că 37, 47 și 67 sunt, de asemenea, toate numere prime.)
De fapt, nu există un prim delicat digital de două cifre. Următorul tabel al tuturor numerelor din două cifre, cu numerele prime din două cifre umbrite, arată de ce.
Toate numerele din orice rând au aceeași cifră a zecilor și toate numerele din orice coloană au aceeași cifră. Faptul că 97 este singurul număr umbrit din rândul său reflectă faptul că este delicat în cifra unilor, dar nu este singurul prim din coloana sa, ceea ce înseamnă că nu este delicat în cifra zecilor.
Un prim digital delicat de două cifre ar trebui să fie singurul prim din rândul și coloana sa. După cum arată tabelul, nu există un astfel de prim cu două cifre. Ce zici de un prim digital delicat de trei cifre? Iată un tabel similar care arată aspectul numerelor prime din trei cifre între 100 și 199, cu numerele compuse omise.
Aici vedem că 113 este în propriul rând, ceea ce înseamnă că este delicat în cifrele unilor. Dar 113 nu este în propria sa coloană, așa că unele modificări ale cifrei zecilor (cum ar fi la 0 pentru 103 sau la 6 pentru 163) produc numere prime. Deoarece niciun număr nu apare atât în rândul său, cât și în propria sa coloană, vedem rapid că nu există un număr din trei cifre care să fie garantat a fi compus dacă îi schimbați cifra unică sau cifra zecilor. Aceasta înseamnă că nu poate exista un prim delicat digital de trei cifre. Observați că nu am verificat nici măcar cifra sutelor. Pentru a fi cu adevărat delicat din punct de vedere digital, un număr din trei cifre ar trebui să evite numerele prime în trei direcții într-un tabel tridimensional.
Există măcar numere prime digitale delicate? Pe măsură ce mergeți mai departe pe linia numerică, numerele prime tind să devină mai rare, ceea ce le face mai puțin probabil să se încrucișeze în rândurile și coloanele acestor tabele cu dimensiuni mari. Dar numerele mai mari au mai multe cifre și fiecare cifră suplimentară scade probabilitatea ca un prim să fie delicat digital.
Dacă continui, vei descoperi că numerele prime delicate din punct de vedere digital există. Cel mai mic este 294,001. Când modificați una dintre cifrele sale, numărul pe care îl obțineți - 794,001, să zicem, sau 284,001 - va fi compus. Și mai sunt: Următorii sunt 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; şi 1,062,599. De fapt, ei nu se opresc. Celebrul matematician Paul Erdős a dovedit că există o infinitate de numere prime digitale delicate. Și acesta a fost doar primul dintre multele rezultate surprinzătoare despre aceste cifre curioase.
De exemplu, Erdős nu a dovedit doar că există infinit de numere prime digitale delicate: El a demonstrat că există infinit de multe numere prime delicate digital în orice bază. Deci, dacă alegeți să vă reprezentați numerele în binar, ternar sau hexazecimal, aveți garanția că veți găsi o infinitate de numere prime delicate din punct de vedere digital.
Și numerele prime delicate din punct de vedere digital nu sunt doar infinite: ele cuprind un procent diferit de zero din toate numerele prime. Aceasta înseamnă că, dacă te uiți la raportul dintre numărul de numere prime digitale delicate și numărul total de prime, această fracție este un număr mai mare decât zero. În termeni tehnici, o „proporție pozitivă” a tuturor numerelor prime este digital delicată, așa cum a demonstrat medaliatul Fields Terence Tao în 2010. Primele în sine nu formează o proporție pozitivă din toate numerele, deoarece veți găsi din ce în ce mai puține numere prime. cu cât mergi mai departe de-a lungul liniei numerice. Cu toate acestea, printre acele numere prime, veți continua să găsiți numere prime delicate digital suficient de des pentru a menține raportul dintre numerele prime delicate și numerele prime totale peste zero.
Poate cea mai șocantă descoperire a fost a rezultat din 2020 despre o nouă variație a acestor numere ciudate. Prin relaxarea conceptului despre ce este o cifră, matematicienii au reimaginat reprezentarea unui număr: în loc să se gândească la 97 de la sine, ei au considerat că are zerouri de început:
…0000000097.
Fiecare zero înainte poate fi gândit ca o cifră, iar problema delicateții digitale poate fi extinsă la aceste noi reprezentări. Ar putea exista „numere prime delicate din punct de vedere digital” - numere prime care devin întotdeauna compuse dacă schimbați oricare dintre cifre, inclusiv oricare dintre acele zerouri de început? Datorită muncii matematicienilor Michael Filaseta și Jeremiah Southwick, știm că răspunsul, surprinzător, este da. Nu numai că există numere prime delicate din punct de vedere digital pe scară largă, dar există o infinitate de ele.
Numerele prime formează un șir infinit de puzzle-uri matematice cu care să se joace profesioniștii și entuziaștii. S-ar putea să nu le dezvăluim niciodată toate misterele, dar vă puteți baza pe matematicieni să descopere și să inventeze continuu noi tipuri de numere prime de explorat.
Exerciții
1. Care este cel mai mare decalaj între numerele prime de la 2 la 101?
2. Pentru a demonstra că există infinit de numere prime, Euclid presupune că există un număr finit de numere prime $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ și apoi arată că $latexq=p_1 ori p_2 ori p_3 ori ... ori p_n+1$ isn nu este divizibil cu niciun prim de pe listă. Asta nu înseamnă asta q trebuie să fie prim?
3. Un rezultat celebru în teoria numerelor este că există întotdeauna un prim între k și 2k (inclusiv). Acest lucru este greu de demonstrat, dar este ușor de demonstrat că există întotdeauna un prim între k și $latexq=p_1 ori p_2 ori p_3 ori ... ori p_n+1$ (inclusiv), unde $latexp_1, p_2, p_3, ..., p_n$ sunt toate numerele prime mai mici sau egale cu k. Dovedește-o.
4. Puteți găsi cel mai mic număr prim care este digital delicat în cifrele unilor și zecilor? Aceasta înseamnă că schimbarea cifrelor unilor sau zecilor va produce întotdeauna un număr compus. (Ați putea dori să scrieți un program de calculator pentru a face acest lucru!)
Problemă provocare: Puteți găsi cel mai mic număr prim care este digital delicat atunci când este reprezentat în binar? Amintiți-vă că în binar, sau în baza 2, singurele cifre sunt 0 și 1, iar fiecare valoare de loc reprezintă o putere de 2. De exemplu, 8 este reprezentat ca $latex1000_2$, deoarece $latex 8=1 ori 2^3 + 0 ori 2^2 + 0 ori 2^1 + 0 ori 2^0$, iar 7 în baza 2 este $latex111_2$, deoarece $latex7=1 ori 2^2 + 1 ori 2^1 + 1 ori 2^0$.
Faceți clic pentru răspunsul 1:
Faceți clic pentru răspunsul 2:
Nu. Luați în considerare primele șase numere prime: 2, 3, 5, 7, 11 și 13. În acest caz, numărul q ar fi $latex de 2 ori de 3 ori de 5 ori de 7 ori de 11 ori13 + 1 = 30,031$ . Acesta nu este divizibil cu 2, 3, 5, 7, 11 sau 13, dar nu este un prim: se calculează ca $latex 30,031 = 59 ori 509$. Observați că are factori primi, dar toți sunt mai mari decât primii șase numere prime.
Faceți clic pentru răspunsul 3:
În cazul în care fie k or q este prima, am terminat. Dacă q nu este prim, este compus, ceea ce înseamnă că este divizibil cu un număr prim, dar știm deja că nu este divizibil cu niciunul dintre primele n numere prime. Prin urmare, trebuie să fie divizibil cu un prim mai mare decât primul n numere prime și deoarece acestea sunt toate numerele prime mai mici decât k, acest prim trebuie să fie mai mare decât k. Dar acest prim se divide q, deci trebuie să fie mai mic decât q, deci trebuie să existe un prim între k și q.
Faceți clic pentru răspunsul 4:
Primul prim care satisface această proprietate este 2,459, deoarece 2,451, 2,453 și 2,457 sunt toate compuse (îndeplinesc criteriul cifrelor delicate) și 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489, 2,499, 2,459, 2,659, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX pozitiv (satisfăcător criteriul cifrelor delicate ale zecilor). Cu toate acestea, XNUMX nu este delicat din punct de vedere digital, deoarece XNUMX este prim, așa că eșuează odată ce începeți să luați în considerare cifra sutelor. (Multumesc matematicianului John D. Cook pentru publicarea lui cod Python digital delicat pentru găsirea primelor.)
Faceți clic pentru Răspuns la problema provocării:
$latex127=1111111_2$ este digital delicat, deoarece $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$111, $1101111_2$95, $1011111, $2_63, $0111111_2, $XNUMX, $XNUMX, $XNUMX, $XNUMX, $XNUMX, $XNUMX, $XNUMX, $XNUMX, XNUMX_XNUMX$ și $latexXNUMX =XNUMX_XNUMX$ sunt toate compuse.
