Majorizarea continuă în spațiul fazelor cuantice

Majorizarea continuă în spațiul fazelor cuantice

Marca temporală: 24 mai 2023, ora 7:39
Nodul sursă: 2674950

Zacharie Van Herstraeten1,2, Michael G. Jabbour1,3,4, iar Nicolas J. Cerf1

1Center for Quantum Information and Communication, École polytechnique de Bruxelles, CP 165/59, Université libre de Bruxelles, 1050 Bruxelles, Belgia
2Colegiul Wyant de Științe Optice, Universitatea din Arizona, 1630 E. University Blvd., Tucson, AZ 85721, SUA
3DAMTP, Centrul pentru Științe Matematice, Universitatea din Cambridge, Cambridge CB3 0WA, Regatul Unit
4Departamentul de Fizică, Universitatea Tehnică din Danemarca, 2800 Kongens Lyngby, Danemarca

Găsiți această lucrare interesant sau doriți să discutați? Scite sau lasă un comentariu la SciRate.

Abstract

Explorăm rolul teoriei majorizării în spațiul fazelor cuantice. În acest scop, ne limităm la stările cuantice cu funcții Wigner pozitive și arătăm că versiunea continuă a teoriei majorizării oferă o abordare elegantă și foarte naturală pentru a explora proprietățile teoretice informaționale ale funcțiilor Wigner în spațiul fazelor. După identificarea tuturor stărilor pure gaussiene ca echivalente în sensul precis al majorizării continue, ceea ce poate fi înțeles în lumina teoremei lui Hudson, presupunem o relație fundamentală de majorizare: orice funcție Wigner pozitivă este majorată de funcția Wigner a unei stări pure gaussiene (în special , starea de vid bosonic sau starea fundamentală a oscilatorului armonic). În consecință, orice funcție Schur-concavă a funcției Wigner este limitată mai jos de valoarea pe care o ia pentru starea de vid. Acest lucru implică, la rândul său, că entropia Wigner este limitată mai jos de valoarea sa pentru starea de vid, în timp ce inversul nu este în mod semnificativ adevărat. Rezultatul nostru principal este apoi de a demonstra această relație de majorare fundamentală pentru un subset relevant de stări cuantice Wigner-pozitive care sunt amestecuri ale celor trei stări proprii cele mai joase ale oscilatorului armonic. Dincolo de asta, conjectura este susținută și de dovezi numerice. Încheiem prin a discuta câteva implicații ale acestei conjecturi în contextul relațiilor de incertitudine entropică în spațiul fazelor.

Rezumat popular

Principiul incertitudinii este unul dintre cele mai fascinante fenomene din fizica cuantică. Deși poate părea firesc ca perechile de cantități măsurabile, cum ar fi poziția și impulsul unei particule, să poată fi prezise cu exactitate simultan, fizica cuantică interzice de fapt acest lucru pentru observabilele care nu fac navetă. Heisenberg și Kennard au făcut acest lucru precis utilizând varianța oricărei mărimi măsurabile pentru a surprinde incertitudinea acesteia. Ani mai târziu, principiul incertitudinii lui Heisenberg a fost reformulat prin apelarea la entropie ca mijloc adecvat de cuantificare a incertitudinii. Aici, introducem încă o paradigmă teoretică informațională mai puternică pentru înțelegerea incertitudinii variabilelor cuantice în spațiul fazelor, și anume teoria majorizării.

Această teorie matematică a fost dezvoltată cu mai bine de un secol în urmă și a fost folosită în numeroase domenii ale științei, de la statistică la fizică. În mod remarcabil, a fost aplicat la fizica cuantică doar relativ recent, unde s-a dovedit a fi o abordare puternică pentru explorarea încurcăturii cuantice. Ca atare, nu a fost niciodată exploatat pentru a caracteriza densitățile continue care descriu variabilele cuantice din spațiul fazelor, adică funcțiile Wigner. Arătăm că majorizarea continuă este un instrument potrivit pentru acest lucru. Scopul principal al lucrării noastre se referă la afirmația că funcția Wigner a stării de vid a unui mod bosonic (adică starea fundamentală a oscilatorului armonic) continuă - majorează orice altă funcție Wigner, făcând-o mai puțin incertă în sensul majorizării. .

În timp ce expunem și discutăm rezultatele noastre în contextul opticii cuantice, acestea se transferă la orice pereche canonică și, prin urmare, ar trebui să aibă implicații în diferite domenii ale fizicii.

► Date BibTeX

► Referințe

[1] GH Hardy, JE Littlewood și G. Pólya, „Inegalități”. Cambridge University Press, 1934.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3605504

[2] AW Marshall, I. Olkin și BC Arnold, „Inegalități: Teoria majorizării și aplicațiile sale”, voi. 143. Springer, ed. a doua, 2011.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-68276-1

[3] T. Ando, ​​„Majorization, double stochastic matrices, and comparison of eigenvalues”, Aplicația Linear Algebra. 118, 163–248 (1989).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(89)90580-6

[4] K. Mosler, „Majorization in economic disparity mesures”, Linear Algebra and its Applications 199, 91–114 (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(94)90343-3

[5] T. van Erven și P. Harremoës, „Rényi divergence and majorization”, în 2010 IEEE International Symposium on Information Theory, pp. 1335–1339, IEEE. 2010.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2010.5513784

[6] MA Alhejji și G. Smith, „A Tight Uniform Continuity Bound for Equivocation”, în 2020 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), pp. 2270–2274. 2020.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT44484.2020.9174350

[7] MG Jabbour și N. Datta, „A Tight Uniform Continuity Bound for the Arimoto-Rényi Conditional Entropy and its Extension to Classical-Quantum States”, IEEE Transactions on Information Theory 68, 2169–2181 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2022.3142812

[8] A. Horn, „Doubly Stochastic Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix”, American Journal of Mathematics 76, 620–630 (1954).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2372705

[9] MA Nielsen, „Condiții pentru o clasă de transformări încurcate”, Physical Review Letters 83, 436 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.436

[10] MA Nielsen și G. Vidal, „Majorization and the interconversion of bipartite states”, Quantum Information and Computation 1, 76–93 (2001).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC1.1-5

[11] MA Nielsen și J. Kempe, „Statele separabile sunt mai dezordonate global decât local”, Physical Review Letters 86, 5184–5187 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.86.5184

[12] T. Hiroshima, „Criteriul de majorare pentru distilabilitatea unui stat cuantic bipartit”, Physical Review Letters 91, 057902 (2003).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.057902

[13] Z. Puchała, Ł. Rudnicki și K. Życzkowski, „Majorization entropic uncertainty relations”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 272002 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​27/​272002

[14] L. Rudnicki, Z. Puchała și K. Życzkowski, „Strong majorization entropic uncertainty relations”, Physical Review A 89, 052115 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.052115

[15] L. Rudnicki, „Abordarea majorizării relațiilor de incertitudine entropică pentru observabile cu granulație grosieră”, Physical Review A 91, 032123 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.91.032123

[16] F. Brandão, M. Horodecki, N. Ng, J. Oppenheim și S. Wehner, „The second laws of quantum thermodynamics,” Proceedings of the National Academy of Sciences 112, 3275–3279 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1073 / pnas.1411728112

[17] R. García-Patrón, C. Navarrete-Benlloch, S. Lloyd, JH Shapiro și NJ Cerf, „Majorization Theory Approach to the Gaussian Channel Minimum Entropy Conjecture”, Physical Review Letters 108, 110505 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.110505

[18] CN Gagatsos, O. Oreshkov și NJ Cerf, „Majorization relations and entanglement generation in a beam splitter”, Physical Review A 87, 042307 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.87.042307

[19] G. De Palma, D. Trevisan și V. Giovannetti, „Passive States Optimize the Output of Bosonic Gaussian Quantum Channels”, IEEE Transactions on Information Theory 62, 2895–2906 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2016.2547426

[20] MG Jabbour, R. García-Patrón și NJ Cerf, „Majorization conservation of Gaussian bosonic channels”, New Journal of Physics 18, 073047 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073047

[21] MG Jabbour și NJ Cerf, „Majorizarea Fock în canalele cuantice bosonice cu un mediu pasiv”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 105302 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aaf0d2

[22] U. Leonhardt, „Optica cuantică esențială: de la măsurători cuantice la găurile negre”. Cambridge University Press, 2010.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511806117

[23] A. Hertz, MG Jabbour și NJ Cerf, „Relații de incertitudine entropie-putere: către o inegalitate strânsă pentru toate stările pure gaussiene”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 50, 385301 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aa852f

[24] A. Hertz și NJ Cerf, „Continuous-variable entropic uncertainty relations”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 173001 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​ab03f3

[25] C. Weedbrook, S. Pirandola, R. García-Patrón, NJ Cerf, TC Ralph, JH Shapiro și S. Lloyd, „Informația cuantică gaussiană”, Review of Modern Physics 84, 621–669 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.84.621

[26] Z. Van Herstraeten și NJ Cerf, „Quantum Wigner entropy”, Physical Review A 104, 042211 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.042211

[27] FJ Narcowich, „Distribuții de tip $hbar$-pozitiv și aplicații”, Journal of mathematical physics 30, 2565–2573 (1989).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.528537

[28] T. Bröcker și R. Werner, „Mixed states with positive Wigner functions”, Journal of mathematical physics 36, 62–75 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.531326

[29] RL Hudson, „When is the Wigner quasi-probability density non-negative?”, Reports on Mathematical Physics 6, 249–252 (1974).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0034-4877(74)90007-X

[30] F. Soto și P. Claverie, „When is the Wigner function of multidimensional systems nonnegative?”, Journal of Mathematical Physics 24, 97–100 (1983).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.525607

[31] FJ Narcowich și R. O'Connell, „Condiții necesare și suficiente pentru ca o funcție de fază-spațiu să fie o distribuție Wigner”, Physical Review A 34, 1 (1986).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.34.1

[32] A. Mandilara, E. Karpov și NJ Cerf, „Extinderea teoremei lui Hudson la stări cuantice mixte”, Physical Review A 79, 062302 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.062302

[33] A. Mandilara, E. Karpov și N. Cerf, „Gaussianity bounds for quantum mixed states with a positive Wigner function”, în Journal of Physics: Conference Series, vol. 254, p. 012011, Editura IOP. 2010.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​254/​1/​012011

[34] L. Wang și M. Madiman, „Beyond the Entropy Power Inequality, via Rearrangements”, IEEE Transactions on Information Theory 60, 5116–5137 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2014.2338852

[35] GH Hardy, JE Littlewood și G. Pólya, „Some simple inequalities satisfied by convex functions”, Messenger of Mathematics 58, 145–152 (1929).

[36] H. Joe, „O ordonare a dependenței pentru distribuția k-tuplelor, cu aplicații la jocurile de loto”, Canadian Journal of Statistics 15, 227–238 (1987).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3314913

[37] I. Schur, „Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen die Determinanten”, Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 22, 416–427 (1923).

[38] AW Roberts și DE Varberg, „Funcții convexe”. Academic Press New York, 1973.
https:/​/​doi.org/​10.1016/​B978-0-444-89597-4.50013-5

[39] A. Rényi, „Despre măsurile entropiei și informațiilor”, în Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, volumul 1: Contribuții la teoria statisticii, voi. 4, pp. 547–562, University of California Press. 1961.

[40] Y. He, AB Hamza și H. Krim, „A generalized divergence measure for robust image registration”, IEEE Transactions on Signal Processing 51, 1211–1220 (2003).
https://​/​doi.org/​10.1109/​TSP.2003.810305

[41] JV Ryff, „Orbitele $L^1$-funcții sub transformări dublu stocastice”, Tranzacții ale Societății Americane de Matematică 117, 92–100 (1965).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 1994198

[42] F. Bahrami, SM Manjegani și S. Moein, „Operatori semi-dublu stocastici și majorare a funcțiilor integrabile”, Buletinul Societății de Științe Matematice din Malaezia 44, 693–703 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s40840-020-00971-2

[43] SM Manjegani și S. Moein, „Majorization and semidoublely stochastic operators on $ L^{1}(X)$,” Journal of Inequalities and Applications 2023, 1–20 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13660-023-02935-z

[44] I. Białynicki-Birula și J. Mycielski, „Uncertainty relations for information entropy in wave mechanics”, Communications in Mathematical Physics 44, 129–132 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01608825

[45] A. Wehrl, „Proprietăți generale ale entropiei”, Reviews of Modern Physics 50, 221 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.50.221

[46] EH Lieb, „Proof of an entropy conjecture of Wehrl”, în Inequalities, pp. 359–365. Springer, 2002.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-55925-9_30

[47] EH Lieb și JP Solovej, „Proof of an entropy conjecture for Bloch coherent spin states and its generalizations”, Acta Mathematica 212, 379 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s11511-014-0113-6

[48] JR Johansson, PD Nation și F. Nori, „QuTiP: Un cadru Python open-source pentru dinamica sistemelor cuantice deschise”, Computer Physics Communications 183, 1760–1772 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2012.02.021

[49] K. Życzkowski, P. Horodecki, A. Sanpera și M. Lewenstein, „Volumul setului de stări separabile”, Physical Review A 58, 883 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.58.883

Citat de

[1] Nuno Costa Dias și João Nuno Prata, „On a recent conjecture by Z. Van Herstraeten and NJ Cerf for the quantum Wigner entropy”, arXiv: 2303.10531, (2023).

[2] Zacharie Van Herstraeten și Nicolas J. Cerf, „Quantum Wigner entropy”, Revista fizică A 104 4, 042211 (2021).

[3] Martin Gärttner, Tobias Haas și Johannes Noll, „Detectarea continuous variabile entanglement in phase space with the $Q$-distribution”, arXiv: 2211.17165, (2022).

Citatele de mai sus sunt din ADS SAO / NASA (ultima actualizare cu succes 2023-05-24 23:55:18). Lista poate fi incompletă, deoarece nu toți editorii furnizează date de citare adecvate și complete.

On Serviciul citat de Crossref nu s-au găsit date despre citarea lucrărilor (ultima încercare 2023-05-24 23:55:17).

Acest Lucru este publicat în Quantum sub Creative Commons Atribuire 4.0 internațională (CC BY 4.0) licență. Drepturile de autor rămân la deținătorii de drepturi de autor originale, precum autorii sau instituțiile lor.

Timestamp-ul:

Mai mult de la Jurnalul cuantic