A matemática surpreendentemente simples por trás de confrontos intrigantes | Revista Quanta

É o jogo do campeonato da Imaginary Math League, onde o Atlanta Algebras enfrentará o Carolina Cross Products. Os dois times não se enfrentaram nesta temporada, mas no início do ano o Atlanta derrotou o Brooklyn Bisectors por 10 a 5, e o Brooklyn derrotou o Carolina por 7 a 3. Isso nos dá alguma ideia de quem levará o título?

Bem, aqui está uma linha de pensamento. Se Atlanta venceu o Brooklyn, então Atlanta é melhor que o Brooklyn, e se o Brooklyn venceu a Carolina, então o Brooklyn é melhor que a Carolina. Então, se Atlanta é melhor que Brooklyn e Brooklyn é melhor que Carolina, então Atlanta deveria ser melhor que Carolina e vencer o campeonato.

Se você pratica jogos ou esportes competitivos, sabe que prever o resultado de uma partida nunca é tão simples. Mas de um ponto de vista puramente matemático, este argumento tem algum apelo. Ele usa uma ideia importante em matemática conhecida como transitividade, uma propriedade familiar que nos permite construir cadeias de comparações entre relacionamentos. A transitividade é uma daquelas propriedades matemáticas tão fundamentais que você pode nem perceber.

Por exemplo, a igualdade de números é transitiva. Isso significa que se soubermos que a = b e b = c, nos podemos concluir que a = c. A relação “maior que” também é transitiva: para números reais, se a > b e b > c, Em seguida a > c. Quando os relacionamentos são transitivos, podemos compará-los e combiná-los, criando uma ordenação de objetos. Se Anna for mais alta que Benji e Benji for mais alto que Carl, então podemos ordenar os três pela altura: A, B, C. A transitividade também está por trás do nosso argumento ingênuo de que se A é melhor do que B e B é melhor do que C, Em seguida A é melhor do que C.

A transitividade está presente na igualdade, na congruência, na semelhança e até no paralelismo. Faz parte de toda a matemática básica que fazemos, o que o torna especialmente interessante do ponto de vista matemático quando não existe. Quando os analistas classificam as equipas, os economistas estudam as preferências dos consumidores ou os cidadãos votam nos seus candidatos preferidos, a falta de transitividade pode levar a resultados surpreendentes. Para entender melhor esses tipos de sistemas, os matemáticos estudam “dados intransitivos” há mais de 50 anos, e artigo recente da colaboração matemática on-line conhecida como projeto Polymath avançou nessa compreensão. Para ter uma ideia de como é a intransitividade, vamos formar nossa própria liga e brincar.

Na nossa nova liga matemática, os jogadores competem lançando moedas personalizadas e comparando os resultados. Digamos jogador A tem uma moeda com o número 10 de um lado e o número 6 do outro, e o jogador BA moeda de tem os números 8 e 3. Assumiremos que as moedas são justas - o que significa que cada lado tem a mesma probabilidade de aparecer quando as moedas são lançadas - e representaremos os números nas moedas desta forma.

Em um jogo, os jogadores jogam suas moedas e quem tiver a moeda com o número mais alto é o vencedor. Quem vai ganhar quando A desempenha B?

Claro, depende. Às vezes A vai vencer, às vezes B irá vencer. Mas não é difícil ver isso A é o favorito para vencer B. Existem quatro maneiras pelas quais o jogo pode se desenrolar, e A vence em três deles.

Então no jogo de A contra B, A tem 75% de chance de ganhar.

Atual C vem e desafia B para um jogo. CA moeda de tem um 5 de um lado e um 4 do outro. Novamente, existem quatro possibilidades.

Aqui B e C cada um vence dois dos quatro confrontos, então cada um vencerá 50% dos jogos. B e C são equilibrados.

Agora, o que você esperaria que acontecesse quando A e C jogar? Bem, A geralmente bate B e B é igualado com C, então parece razoável esperar que A provavelmente será favorecido contra C.

BUT A é mais que um favorito. A domina C, vencendo 100% das vezes.

Isto pode parecer surpreendente, mas matematicamente não é difícil ver por que isso acontece. COs números de estão no meio Bé, então C ganha a qualquer hora B vira seu número inferior. Mas COs números de estão ambos abaixo Aé, então C nunca vencerá esse confronto. Este exemplo não viola a ideia de transitividade, mas mostra que as coisas podem ser mais complicadas do que apenas A > B > C. Uma ligeira mudança no nosso jogo mostra o quão mais complicado ele pode ser.

Nossos concorrentes rapidamente se cansam do jogo de lançamento de moeda de duas faces, pois é fácil de entender completamente matematicamente (veja os exercícios no final da coluna para mais detalhes), então a liga decide atualizar para moedas de três faces. (Um dos benefícios de jogar em uma liga imaginária de matemática é que tudo é possível.)

Aqui estão A e Bmoedas de:

Quem é o favorito em um jogo entre A e B? Bem, existem três resultados para Asorteio e três para B, levando a nove resultados de jogo possíveis que podemos facilmente mapear.

Supondo novamente que todos os resultados são igualmente prováveis, A batimentos B em cinco dos nove resultados. Isso significa A deveria ganhar $latex frac{5}{9} aproximadamente$ 55% das vezes, então A é favorecido contra B.

Sentindo-se um pouco deprimido com suas perspectivas, B desafios C para um jogo. COs números de são mostrados abaixo. Você gosta Bas chances?

Novamente, existem nove resultados possíveis em um jogo de B contra C, então podemos apenas listá-los.

Nós podemos ver isso B está parecendo muito bom contra C. Em cinco dos nove resultados possíveis, B vence. Então B é favorecido contra C.

Pobre C agora tem que jogar A. Com A favorecido contra B e B favorecido contra C, que acaso C tem que vencer? Um muito bom, ao que parece.

Em cinco dos nove resultados possíveis aqui, C batimentos A. Isso significa que C é favorecido contra A, Apesar de Aé favorecido contra B e B é favorecido contra C.

Este é um exemplo de sistema intransitivo. Em termos mais técnicos, a relação “ser favorecido contra” no nosso jogo não é transitiva: A é favorecido contra B e B é favorecido contra C, mas A não é necessariamente favorecido contra C.

Não vemos isso com frequência na matemática, mas esse tipo de comportamento não surpreenderia os fãs de esportes. Se os Giants vencessem os Eagles e os Eagles vencessem os Cowboys, os Cowboys ainda poderiam muito bem vencer os Giants. Existem muitos fatores que contribuem para o resultado de um jogo individual. As equipes podem melhorar com a prática ou estagnar se não inovarem. Os jogadores podem mudar de time. Detalhes como o local do jogo – em casa ou fora – ou há quanto tempo os times jogaram podem afetar quem ganha e quem perde.

Mas este exemplo simples mostra que também existem razões puramente matemáticas por detrás deste tipo de intransitividade. E esta consideração puramente matemática tem algo em comum com as restrições da competição no mundo real: confrontos.

Aqui estão os números para A, B e C.

Quando os vemos lado a lado, é mais fácil perceber por que ocorre a intransitividade nesta situação. Embora B é o favorito para vencer C, Cos dois números médio-altos - o 7 e o 6 - dão-lhes uma vantagem sobre A que B não tem. Embora A é favorecido contra B e B é favorecido contra C, C partidas contra A melhor que B faz. Isto é semelhante a como uma equipa desportiva menos favorecida pode enfrentar bem um adversário superior porque o seu estilo de jogo é difícil para essa equipa, ou porque um jogador ou treinador lhes dá uma vantagem contra esse adversário específico.

O fato de os esportes serem intransitivos é parte do que os torna divertidos e atraentes. Afinal, se A batimentos B e B batimentos C, C não vai desistir devido à transitividade quando eles se enfrentam A. Na competição tudo pode acontecer. Como muitos comentaristas disseram depois de uma reviravolta: “É por isso que eles jogam”.

E é por isso que brincamos com matemática. Para descobrir o que é divertido, atraente e surpreendente. Nada pode acontecer.

Exercícios

1. Suponha que dois jogadores joguem o jogo da moeda de duas faces e os quatro números das duas moedas sejam todos diferentes. Existem essencialmente apenas seis cenários possíveis para quem ganha e com que frequência. O que eles são?

2. No cenário de jogo de três faces descrito acima, encontre uma moeda de três faces diferente para C de modo a B ainda é favorecido contra C e C ainda é favorecido contra A.

3. Prove que em um jogo de moeda de duas faces é impossível ter três jogadores A, B, C de tal modo que A é favorecido contra B, B é favorecido contra C e C é favorecido contra A.

Correção: 26 de janeiro de 2024
Dois números publicados anteriormente mostraram confrontos incorretos entre os jogadores A versus C e B versus C. Os números foram corrigidos.