A busca para decodificar o conjunto de Mandelbrot, o famoso fractal da matemática | Revista Quanta

Em meados da década de 1980, assim como os toca-fitas Walkman e as camisas tie-dye, a silhueta em forma de inseto do conjunto de Mandelbrot estava por toda parte.

Estudantes colaram-no nas paredes dos dormitórios em todo o mundo. Os matemáticos receberam centenas de cartas, ansiosos por impressões do conjunto. (Em resposta, alguns deles produziram catálogos completos com listas de preços; outros compilaram suas características mais marcantes em livros.) Fãs mais experientes em tecnologia poderiam consultar a edição de agosto de 1985 da revista. Scientific American. Na capa, o conjunto de Mandelbrot desdobrava-se em gavinhas de fogo, com a borda em chamas; dentro havia instruções de programação cuidadosas, detalhando como os leitores poderiam gerar a imagem icônica para si próprios.

Nessa altura, essas gavinhas também tinham alargado o seu alcance muito além da matemática, para áreas aparentemente não relacionadas da vida quotidiana. Nos anos seguintes, o conjunto de Mandelbrot inspiraria as mais novas pinturas de David Hockney e as mais novas composições de vários músicos - peças semelhantes a fugas no estilo de Bach. Apareceria nas páginas da ficção de John Updike e orientaria a forma como o crítico literário Hugh Kenner analisava a poesia de Ezra Pound. Seria objeto de alucinações psicodélicas e de um documentário popular narrado pelo grande artista da ficção científica Arthur C. Clarke.

O conjunto Mandelbrot tem uma forma especial, com contorno fractal. Use um computador para ampliar os limites irregulares do cenário e você encontrará vales de cavalos-marinhos e desfiles de elefantes, galáxias espirais e filamentos semelhantes a neurônios. Não importa o quão profundo você explore, você sempre verá quase cópias do conjunto original – uma cascata infinita e vertiginosa de auto-semelhança.

Essa auto-similaridade foi um elemento central do livro best-seller de James Gleick. Chaos, que consolidou o lugar do conjunto Mandelbrot na cultura popular. “Ele continha um universo de ideias”, escreveu Gleick. “Uma filosofia da arte moderna, uma justificativa para o novo papel da experimentação na matemática, uma forma de apresentar sistemas complexos a um grande público.”

O conjunto de Mandelbrot tornou-se um símbolo. Representou a necessidade de uma nova linguagem matemática, uma maneira melhor de descrever a natureza fractal do mundo que nos rodeia. Ilustrou como a complexidade profunda pode emergir das regras mais simples – assim como a própria vida. (“É, portanto, uma verdadeira mensagem de esperança”, John hubbard, um dos primeiros matemáticos a estudar o conjunto, disse num vídeo de 1989, “que possivelmente a biologia pode realmente ser compreendida da mesma forma que estas imagens podem ser compreendidas”.) No conjunto de Mandelbrot, a ordem e o caos viviam em harmonia; determinismo e livre arbítrio poderiam ser reconciliados. Um matemático lembrou-se de ter tropeçado no cenário quando era adolescente e visto isso como uma metáfora para a complicada fronteira entre a verdade e a falsidade.

O conjunto de Mandelbrot estava por toda parte, até que deixou de estar.

Em uma década, pareceu desaparecer. Os matemáticos passaram para outros assuntos e o público passou para outros símbolos. Hoje, apenas 40 anos após a sua descoberta, o fractal tornou-se um cliché, quase kitsch.

Mas um punhado de matemáticos recusou-se a deixar isso passar. Eles dedicaram suas vidas a descobrir os segredos do conjunto de Mandelbrot. Agora, eles acham que finalmente estão prestes a entendê-lo verdadeiramente.

A história deles é de exploração, de experimentação – e de como a tecnologia molda a maneira como pensamos e as perguntas que fazemos sobre o mundo.

Os caçadores de recompensas

Em outubro de 2023, 20 matemáticos de todo o mundo reuniram-se num edifício de tijolos no que outrora foi uma base de investigação militar dinamarquesa. A base, construída no final de 1800 no meio da floresta, ficava num fiorde na costa noroeste da ilha mais populosa da Dinamarca. Um velho torpedo guardava a entrada. Fotos em preto e branco, retratando oficiais da Marinha uniformizados, barcos alinhados em um cais e testes de submarinos em andamento, adornavam as paredes. Durante três dias, enquanto um vento forte transformava a água do lado de fora das janelas em espumas brancas, o grupo assistiu a uma série de palestras, a maioria delas ministradas por dois matemáticos da Universidade Stony Brook, em Nova York: Misha Lyubich e Dima Dudko.

Na plateia do workshop estavam alguns dos exploradores mais intrépidos do conjunto de Mandelbrot. Perto da frente sentou-se Mitsuhiro Shishikura da Universidade de Kyoto, que na década de 1990 provou que os limites do conjunto são tão complicados quanto possível. Alguns assentos adiante estava Hiroyuki Inou, que ao lado de Shishikura desenvolveu técnicas importantes para estudar uma região particularmente importante do conjunto Mandelbrot. Na última fila estava Lobo Jung, o criador do Mandel, o software preferido dos matemáticos para investigar interativamente o conjunto de Mandelbrot. Também estiveram presentes Arnaud Chéritat da Universidade de Toulouse, Carsten Petersen da Universidade de Roskilde (que organizou o workshop), e vários outros que fizeram contribuições importantes para a compreensão do conjunto de Mandelbrot pelos matemáticos.

E no quadro branco estavam Lyubich, o maior especialista mundial no assunto, e Dudko, um de seus colaboradores mais próximos. Juntamente com os matemáticos Jeremy Kahn e Alex Kapiamba, eles têm trabalhado para provar uma conjectura de longa data sobre a estrutura geométrica do conjunto de Mandelbrot. Essa conjectura, conhecida como MLC, é o obstáculo final na busca de décadas para caracterizar o fractal, para domar a sua natureza emaranhada.

Ao construir e aprimorar um poderoso conjunto de ferramentas, os matemáticos lutaram pelo controle da geometria de “quase tudo no conjunto de Mandelbrot”, disse Caroline Davis da Universidade de Indiana – exceto alguns casos restantes. “Misha, Dima, Jeremy e Alex são como caçadores de recompensas, tentando rastrear estes últimos.”

Lyubich e Dudko estavam na Dinamarca para atualizar outros matemáticos sobre o progresso recente na demonstração da MLC e sobre as técnicas que desenvolveram para fazê-lo. Nos últimos 20 anos, investigadores reuniram-se aqui para workshops dedicados a desvendar resultados e métodos no campo da análise complexa, o estudo matemático dos tipos de números e funções utilizados para gerar o conjunto de Mandelbrot.

Era uma configuração incomum: os matemáticos faziam todas as refeições juntos e conversavam e riam tomando cerveja até altas horas da madrugada. Quando finalmente decidiram dormir, retiraram-se para beliches ou camas em pequenos quartos que dividiam no segundo andar do complexo. (Ao chegarmos, fomos instruídos a pegar lençóis e fronhas de uma pilha e levá-los para cima para fazer nossas camas.) Em alguns anos, os participantes da conferência enfrentam um mergulho nas águas geladas; mais frequentemente, eles vagam pela floresta. Mas na maior parte, não há nada a fazer exceto matemática.

Normalmente, disse-me um dos participantes, o workshop atrai muitos matemáticos mais jovens. Mas desta vez não foi o caso – talvez porque estávamos no meio do semestre ou, especulou ele, pela dificuldade do assunto. Ele confessou que naquele momento se sentiu um pouco intimidado com a perspectiva de dar uma palestra para tantos grandes nomes da área.

Mas dado que a maioria dos matemáticos na área mais ampla da análise complexa já não trabalha diretamente no conjunto de Mandelbrot, porquê dedicar um workshop inteiro ao MLC?

O conjunto de Mandelbrot é mais do que um fractal, e não apenas num sentido metafórico. Serve como uma espécie de catálogo mestre de sistemas dinâmicos – de todas as diferentes maneiras pelas quais um ponto pode se mover no espaço de acordo com uma regra simples. Para compreender este catálogo mestre, é preciso atravessar muitos cenários matemáticos diferentes. O conjunto de Mandelbrot está profundamente relacionado não apenas à dinâmica, mas também à teoria dos números, à topologia, à geometria algébrica, à teoria dos grupos e até à física. “Ele interage com o resto da matemática de uma maneira bonita”, disse Sabyasachi Mukherjee do Instituto Tata de Pesquisa Fundamental na Índia.

Para progredir na MLC, os matemáticos tiveram de desenvolver um conjunto sofisticado de técnicas — o que Chéritat chama de “uma filosofia poderosa”. Essas ferramentas têm chamado muita atenção. Hoje, eles constituem um pilar central no estudo de sistemas dinâmicos de forma mais ampla. Eles revelaram-se cruciais para resolver uma série de outros problemas – problemas que nada têm a ver com o conjunto de Mandelbrot. E eles transformaram a MLC de uma questão de nicho em uma das conjecturas abertas mais profundas e importantes do campo.

Lyubich, o matemático indiscutivelmente o maior responsável por moldar esta “filosofia” na sua forma atual, é alto e ereto e fala calmamente. Quando outros matemáticos do workshop o abordam para discutir um conceito ou fazer uma pergunta, ele fecha os olhos e escuta com atenção, com as sobrancelhas grossas franzidas. Ele responde com cuidado, com sotaque russo.

Mas ele também é rápido em rir alto e calorosamente e em fazer piadas irônicas. Ele é generoso com seu tempo e conselhos. Ele “realmente alimentou algumas gerações de matemáticos”, disse Mukherjee, um dos ex-pós-doutorandos de Lyubich e colaborador frequente. Segundo ele conta, qualquer pessoa interessada no estudo da dinâmica complexa passa algum tempo em Stony Brook aprendendo com Lyubich. “Misha tem essa visão de como devemos realizar um determinado projeto ou o que devemos fazer a seguir”, disse Mukherjee. “Ele tem uma grande imagem em mente. E ele está feliz em compartilhar isso com as pessoas.”

Pela primeira vez, Lyubich sente que é capaz de ver esse grande quadro na sua totalidade.

Os lutadores premiados

O set de Mandelbrot começou com um prêmio.

Em 1915, motivada pelos recentes progressos no estudo das funções, a Academia Francesa de Ciências anunciou um concurso: dentro de três anos, ofereceria um grande prémio de 3,000 francos para trabalhos no processo de iteração - o mesmo processo que iria posteriormente gere o conjunto Mandelbrot.

Iteração é a aplicação repetida de uma regra. Insira um número em uma função e use a saída como sua próxima entrada. Continue fazendo isso e observe o que acontece com o tempo. À medida que você continua a iterar sua função, os números obtidos podem aumentar rapidamente em direção ao infinito. Ou podem ser puxados em direção a um número específico, como limalha de ferro movendo-se em direção a um ímã. Ou acabar oscilando entre os mesmos dois números, ou três, ou mil, numa órbita estável da qual nunca poderão escapar. Ou pule de um número para outro sem rima ou razão, seguindo um caminho caótico e imprevisível.

A Academia Francesa, e os matemáticos em geral, tinham outro motivo para se interessar pela iteração. O processo desempenhou um papel importante no estudo de sistemas dinâmicos – sistemas como a rotação dos planetas em torno do Sol ou o fluxo de uma corrente turbulenta, sistemas que mudam ao longo do tempo de acordo com algum conjunto específico de regras.

O prêmio inspirou dois matemáticos a desenvolver um campo de estudo inteiramente novo.

O primeiro foi Pierre Fatou, que noutra vida poderia ter sido um homem da Marinha (uma tradição familiar), não fosse a sua saúde debilitada. Em vez disso, ele seguiu carreira em matemática e astronomia e, em 1915, já havia provado vários resultados importantes em análise. Depois, houve Gaston Julia, um jovem e promissor matemático nascido na Argélia ocupada pelos franceses, cujos estudos foram interrompidos pela Primeira Guerra Mundial e pelo seu recrutamento para o exército francês. Aos 22 anos, após sofrer um ferimento grave logo após iniciar seu serviço - ele usaria uma pulseira de couro no rosto pelo resto da vida, depois que os médicos não conseguiram reparar o dano - ele voltou à matemática, fazendo algumas das o trabalho que ele submeteria ao prêmio da Academia em uma cama de hospital.

O prêmio motivou Fatou e Julia a estudar o que acontece quando você itera funções. Eles trabalharam de forma independente, mas acabaram fazendo descobertas muito semelhantes. Houve tanta sobreposição nos seus resultados que, mesmo agora, nem sempre é claro como atribuir crédito. (Julia era mais extrovertida e por isso recebeu mais atenção. Acabou ganhando o prêmio; Fatou nem se inscreveu.) Por conta desse trabalho, os dois hoje são considerados os fundadores do campo da dinâmica complexa.

“Complexo”, porque Fatou e Julia iteraram funções de números complexos – números que combinam um número real familiar com um chamado número imaginário (um múltiplo de i, o símbolo que os matemáticos usam para denotar a raiz quadrada de −1). Embora os números reais possam ser apresentados como pontos em uma linha, os números complexos são visualizados como pontos em um plano, assim:

Fatou e Julia descobriram que iterar até mesmo funções simples e complexas (o que não é um paradoxo no domínio da matemática!) poderia levar a um comportamento rico e complicado, dependendo do ponto de partida. Eles começaram a documentar esses comportamentos e a representá-los geometricamente.

Mas então o seu trabalho caiu na obscuridade durante meio século. “As pessoas nem sabiam o que procurar. Eles estavam limitados sobre quais perguntas fazer”, disse Artur Avila, professor da Universidade de Zurique.

Isso mudou quando a computação gráfica atingiu a maioridade na década de 1970.

A essa altura, o matemático Benoît Mandelbrot já havia ganhado a reputação de diletante acadêmico. Ele se interessou por diversos campos, da economia à astronomia, enquanto trabalhava no centro de pesquisa da IBM ao norte da cidade de Nova York. Quando foi nomeado bolsista da IBM em 1974, ele teve ainda mais liberdade para realizar projetos independentes. Ele decidiu aplicar o considerável poder computacional do centro para tirar dinâmicas complexas da hibernação.

No início, Mandelbrot usou os computadores para gerar os tipos de formas que Fatou e Julia estudaram. As imagens codificavam informações sobre quando um ponto de partida, quando iterado, escaparia para o infinito e quando ficaria preso em algum outro padrão. Os desenhos de Fatou e Julia feitos 60 anos antes pareciam aglomerados de círculos e triângulos - mas as imagens geradas por computador que Mandelbrot fez pareciam dragões e borboletas, coelhos e catedrais e cabeças de couve-flor, às vezes até nuvens de poeira desconectadas. A essa altura, Mandelbrot já havia cunhado a palavra “fractal” para formas que pareciam semelhantes em diferentes escalas; a palavra evocou a noção de um novo tipo de geometria – algo fragmentado, fracionário ou quebrado.

As imagens que apareciam na tela de seu computador – hoje conhecidas como conjuntos de Julia – eram alguns dos mais belos e complicados exemplos de fractais que Mandelbrot já tinha visto.

O trabalho de Fatou e Julia concentrou-se na geometria e dinâmica de cada um desses conjuntos (e suas funções correspondentes) individualmente. Mas os computadores deram a Mandelbrot uma forma de pensar numa família inteira de funções ao mesmo tempo. Ele poderia codificar todos eles na imagem que levaria seu nome, embora ainda seja uma questão de debate se ele foi realmente o primeiro a descobri-la.

O conjunto de Mandelbrot trata das equações mais simples que ainda fazem algo interessante quando iteradas. Estas são funções quadráticas da forma f(z) = z² + c. Fixe um valor de c - pode ser qualquer número complexo. Se você iterar a equação começando com z = 0 e descubra que os números que você gera permanecem pequenos (ou limitados, como dizem os matemáticos), então c está no conjunto Mandelbrot. Se, por outro lado, você iterar e descobrir que eventualmente seus números começarão a crescer em direção ao infinito, então c não está no conjunto de Mandelbrot.

É fácil mostrar que os valores de c próximos de zero estão no conjunto. E é igualmente simples mostrar que grandes valores de c não são. Mas os números complexos fazem jus ao seu nome: os limites do conjunto são magnificamente intrincados. Não há nenhuma razão óbvia para que a mudança c em pequenas quantidades deve fazer com que você continue cruzando o limite, mas à medida que você aumenta o zoom, aparecem quantidades infinitas de detalhes.

Além do mais, o conjunto de Mandelbrot funciona como um mapa dos conjuntos de Julia, como pode ser visto na figura interativa abaixo. Escolha um valor de c no conjunto de Mandelbrot. O conjunto Julia correspondente será conectado. Mas se você deixar o conjunto de Mandelbrot, o conjunto correspondente de Julia será desconectado.