Próba dekodowania zbioru Mandelbrota, słynnego fraktala matematycznego | Magazyn Quanta

W połowie lat 1980., podobnie jak odtwarzacze kasetowe Walkman i farbowane krawatowo koszule, sylwetka zestawu Mandelbrota przypominająca robaka była wszędzie.

Studenci przykleili go do ścian akademików na całym świecie. Matematycy otrzymali setki listów z gorliwymi prośbami o wydruki zestawu. (W odpowiedzi niektórzy z nich stworzyli katalogi wraz z cennikami, inni zebrali najbardziej uderzające informacje w formie książek). Bardziej obeznani z technologią fani mogą sięgnąć do wydania magazynu z sierpnia 1985 roku. Scientific American. Na okładce zestaw Mandelbrota rozwijał się w ognistych wąsach, a jego granica płonęła; wewnątrz znajdowały się dokładne instrukcje programowania, szczegółowo opisujące, w jaki sposób czytelnicy mogą wygenerować dla siebie ikoniczny obraz.

Do tego czasu te wąsy rozszerzyły swój zasięg daleko poza matematykę, na pozornie niezwiązane zakątki życia codziennego. W ciągu najbliższych kilku lat zestaw Mandelbrota stanie się inspiracją dla najnowszych obrazów Davida Hockneya i najnowszych kompozycji kilku muzyków — utworów przypominających fugi w stylu Bacha. Ukazywała się na kartach powieści Johna Updike’a i stanowiła wskazówkę, jak krytyk literacki Hugh Kenner analizował poezję Ezry Pounda. Stało się tematem psychodelicznych halucynacji i popularnego filmu dokumentalnego, którego narratorem był wielki science fiction Arthur C. Clarke.

Zbiór Mandelbrota ma specjalny kształt z fraktalnym konturem. Użyj komputera, aby powiększyć postrzępioną granicę planu, a zobaczysz doliny koników morskich i parady słoni, galaktyki spiralne i włókna podobne do neuronów. Nieważne, jak głęboko będziesz eksplorować, zawsze zobaczysz prawie kopie oryginalnego zestawu – nieskończoną, oszałamiającą kaskadę samopodobieństwa.

To samopodobieństwo było głównym elementem bestsellerowej książki Jamesa Gleicka Chaos, co ugruntowało miejsce zbioru Mandelbrota w kulturze popularnej. „Zawierał wszechświat idei” – napisał Gleick. „Nowoczesna filozofia sztuki, uzasadnienie nowej roli eksperymentu w matematyce, sposób na przedstawienie złożonych systemów szerokiej publiczności”.

Zbiór Mandelbrota stał się symbolem. Reprezentowało potrzebę nowego języka matematycznego, lepszego sposobu na opisanie fraktalnej natury otaczającego nas świata. Pokazał, jak głęboka zawiłość może wyłaniać się z najprostszych zasad – podobnie jak samo życie. („Jest to zatem prawdziwe przesłanie nadziei”, John Hubbard, jeden z pierwszych matematyków badających ten zbiór, stwierdził w nagraniu wideo z 1989 roku, „że prawdopodobnie biologię można naprawdę zrozumieć w taki sam sposób, w jaki można zrozumieć te obrazy”). W zbiorze Mandelbrota porządek i chaos żyły w harmonii; determinizm i wolną wolę można było pogodzić. Pewien matematyk przypomniał sobie, że jako nastolatek natknął się na ten zestaw i uznał go za metaforę skomplikowanej granicy między prawdą a fałszem.

Zbiór Mandelbrota był wszędzie, dopóki tak nie było.

Wydawało się, że w ciągu dekady zniknie. Matematycy zajęli się innymi tematami, a społeczeństwo innymi symbolami. Dziś, zaledwie 40 lat po odkryciu, fraktal stał się banalnym, graniczącym z kiczem.

Ale garstka matematyków nie chciała odpuścić. Poświęcili swoje życie odkrywaniu tajemnic zbioru Mandelbrota. Teraz myślą, że w końcu są o krok od prawdziwego zrozumienia tego problemu.

Ich historia to opowieść o eksploracji i eksperymentach oraz o tym, jak technologia kształtuje nasz sposób myślenia i pytania, które zadajemy na temat świata.

Łowcy nagród

W październiku 2023 r. 20 matematyków z całego świata zebrało się w przysadzistym ceglanym budynku na terenie dawnej duńskiej wojskowej bazy badawczej. Baza, zbudowana pod koniec XIX wieku w środku lasu, była schowana nad fiordem na północno-zachodnim wybrzeżu najbardziej zaludnionej wyspy Danii. Wejście strzegła stara torpeda. Ściany zdobiły czarno-białe zdjęcia przedstawiające oficerów marynarki wojennej w mundurach, łodzie ustawione w rzędzie w porcie i trwające testy łodzi podwodnych. Przez trzy dni, gdy gwałtowny wiatr zamieniał wodę za oknami w pieniące się białe czapy, grupa prowadziła serię rozmów, w większości prowadzonych przez dwóch matematyków z Uniwersytetu Stony Brook w Nowym Jorku: Misza Lubicz i Dima Dudko.

Uczestnikami warsztatów byli jedni z najbardziej nieustraszonych odkrywców Zespołu Mandelbrota. Niedaleko przodu siedział Mitsuhiro Shishikura Uniwersytetu w Kioto, który w latach 1990. XX w. udowodnił, że granica zbioru jest tak skomplikowana, jak to tylko możliwe. Kilka miejsc dalej Hiroyuki Inou, który wraz z Shishikurą opracowali ważne techniki badania szczególnie ważnego obszaru zbioru Mandelbrota. W ostatnim rzędzie był Wilk Jung, twórca Mandela, popularnego oprogramowania dla matematyków do interaktywnego badania zbiorów Mandelbrota. Obecni byli także Arnauda Chéritata Uniwersytetu w Tuluzie, Carstena Petersena z Uniwersytetu Roskilde (który zorganizował warsztaty) i kilku innych, którzy wnieśli znaczący wkład w zrozumienie zbioru Mandelbrota przez matematyków.

A przy tablicy stali Lyubich, czołowy światowy znawca tematu, i Dudko, jeden z jego najbliższych współpracowników. Razem z matematykami Jeremy Kahn i Aleks Kapiamba, pracowali nad udowodnieniem długotrwałego przypuszczenia na temat struktury geometrycznej zbioru Mandelbrota. To przypuszczenie, znane jako MLC, stanowi ostatnią przeszkodę w trwających od dziesięcioleci poszukiwaniach scharakteryzowania fraktala i ujarzmienia jego splątanej dziczy.

Budując i ostrząc potężny zestaw narzędzi, matematycy zmagali się z kontrolą geometrii „prawie wszystkiego w zbiorze Mandelbrota” – powiedział Caroline Davis z Indiana University – z wyjątkiem kilku pozostałych przypadków. „Misha, Dima, Jeremy i Alex są jak łowcy nagród, próbujący wyśledzić tych ostatnich”.

Lyubich i Dudko udali się do Danii, aby poinformować innych matematyków o najnowszych postępach w udowadnianiu MLC i opracowanych w tym celu technikach. Od 20 lat naukowcy gromadzą się tu na warsztatach poświęconych rozpakowywaniu wyników i metod z zakresu analizy zespolonej, czyli matematycznego badania rodzajów liczb i funkcji wykorzystywanych do generowania zbioru Mandelbrota.

To było niezwykłe ustawienie: matematycy jedli razem wszystkie posiłki, rozmawiali i śmiali się przy piwie do późnych godzin nocnych. Kiedy w końcu zdecydowali się pójść spać, udali się do piętrowych łóżek lub łóżek w małych pokojach, które dzielili na drugim piętrze placówki. (Po przyjeździe kazano nam zabrać ze stosu prześcieradła i poszewki na poduszki i zanieść je na górę, aby pościelić łóżka). W niektórych latach uczestnicy konferencji odważają się pływać w lodowatej wodzie; częściej wędrują po lesie. Ale w większości nie ma nic do roboty poza matematyką.

Zazwyczaj, jak powiedział mi jeden z uczestników, warsztaty przyciągają wielu młodszych matematyków. Ale tym razem tak nie było – może dlatego, że był środek semestru, a może – jak spekulował – z powodu trudnego przedmiotu. Wyznał, że w tamtym momencie czuł się nieco onieśmielony perspektywą wygłoszenia przemówienia przed tak wieloma osobistościami w swojej dziedzinie.

Biorąc jednak pod uwagę, że większość matematyków zajmujących się szerszą analizą złożoną nie pracuje już bezpośrednio nad zbiorem Mandelbrota, po co poświęcać cały warsztat MLC?

Zbiór Mandelbrota to coś więcej niż fraktal i to nie tylko w sensie metaforycznym. Służy jako rodzaj głównego katalogu układów dynamicznych — wszystkich różnych sposobów, w jakie punkt może poruszać się w przestrzeni zgodnie z prostą zasadą. Aby zrozumieć ten główny katalog, należy przemierzyć wiele różnych krajobrazów matematycznych. Zbiór Mandelbrota jest ściśle powiązany nie tylko z dynamiką, ale także z teorią liczb, topologią, geometrią algebraiczną, teorią grup, a nawet fizyką. „W piękny sposób współdziała z resztą matematyki” – stwierdził Sabyasachi Mukherjee Instytutu Badań Podstawowych Tata w Indiach.

Aby poczynić postępy w MLC, matematycy musieli opracować wyrafinowany zestaw technik – co Chéritat nazywa „potężną filozofią”. Narzędzia te cieszą się dużym zainteresowaniem. Dziś stanowią one centralny filar szerzej rozumianych badań nad układami dynamicznymi. Okazały się kluczowe w rozwiązaniu wielu innych problemów — problemów, które nie mają nic wspólnego ze zbiorem Mandelbrota. I przekształcili MLC z niszowego pytania w jedno z najgłębszych i najważniejszych otwartych hipotez w tej dziedzinie.

Lyubich, matematyk prawdopodobnie najbardziej odpowiedzialny za ukształtowanie tej „filozofii” w jej obecnej formie, stoi wyprostowany i wysoki i mówi cicho. Kiedy inni matematycy w warsztacie podchodzą do niego, aby omówić jakąś koncepcję lub zadać pytanie, zamyka oczy i uważnie słucha, marszcząc gęste brwi. Odpowiada ostrożnie, z rosyjskim akcentem.

Ale szybko wybucha głośnym, ciepłym śmiechem i opowiada ironiczne dowcipy. Jest hojny w swoim czasie i radach. „Naprawdę wychował kilka pokoleń matematyków” – powiedział Mukherjee, jeden z byłych doktorantów Lyubicha i częsty współpracownik. Jak mówi, każdy zainteresowany badaniem dynamiki zespolonej spędza trochę czasu w Stony Brook, ucząc się od Lyubicha. „Misha ma wizję tego, jak powinniśmy podejść do konkretnego projektu lub na co zwrócić uwagę w następnej kolejności” – powiedział Mukherjee. „Ma w umyśle wspaniały obraz. I chętnie dzieli się tym z ludźmi.”

Lyubich po raz pierwszy ma wrażenie, że widzi ten wspaniały obraz w całej okazałości.

Wojownicy nagród

Zbiór Mandelbrota zaczął się od nagrody.

W 1915 roku, motywowana ostatnimi postępami w badaniu funkcji, Francuska Akademia Nauk ogłosiła konkurs: za trzy lata ufunduje główną nagrodę w wysokości 3,000 franków za pracę nad procesem iteracji – czyli samym procesem, który później wygeneruj zbiór Mandelbrota.

Iteracja to wielokrotne zastosowanie reguły. Podłącz liczbę do funkcji, a następnie użyj wyniku jako następnego wejścia. Rób to dalej i obserwuj, co będzie się działo z czasem. W miarę kontynuowania iteracji funkcji otrzymane liczby mogą szybko rosnąć w kierunku nieskończoności. Mogą też być przyciągane w stronę konkretnej liczby, jak opiłki żelaza poruszające się w stronę magnesu. Albo skończą, odbijając się między tymi samymi dwiema, trzema lub tysiącem, na stabilnej orbicie, z której nigdy nie będą mogły uciec. Lub przeskakuj z jednego numeru na drugi bez rymu i powodu, podążając chaotyczną, nieprzewidywalną ścieżką.

Akademia Francuska, a szerzej matematycy, mieli jeszcze jeden powód, aby zainteresować się iteracją. Proces ten odegrał ważną rolę w badaniu układów dynamicznych — systemów takich jak obrót planet wokół Słońca lub przepływ turbulentnego strumienia, czyli systemów, które zmieniają się w czasie zgodnie z pewnym określonym zestawem zasad.

Nagroda zainspirowała dwóch matematyków do opracowania zupełnie nowego kierunku studiów.

Pierwszym był Pierre Fatou, który w innym życiu mógłby zostać żołnierzem marynarki wojennej (tradycja rodzinna), gdyby nie jego zły stan zdrowia. Zamiast tego kontynuował karierę w matematyce i astronomii i do 1915 roku udowodnił już kilka ważnych wyników w analizach. Następnie był Gaston Julia, obiecujący młody matematyk urodzony w okupowanej przez Francję Algierii, którego studia przerwała I wojna światowa i pobór do armii francuskiej. W wieku 22 lat, po ciężkiej kontuzji wkrótce po rozpoczęciu służby – do końca życia nosił na twarzy skórzany pasek, gdyż lekarzom nie udało się naprawić uszkodzeń – wrócił do matematyki, wykonując niektóre z pracę, którą zgłaszał do nagrody Akademii ze szpitalnego łóżka.

Nagroda zmotywowała zarówno Fatou, jak i Julię do zbadania, co się dzieje, gdy iterujesz funkcje. Pracowali niezależnie, ale ostatecznie dokonali bardzo podobnych odkryć. Ich wyniki pokrywały się w tak dużym stopniu, że nawet teraz nie zawsze jest jasne, jak przypisać zasługi. (Julia była bardziej towarzyska i dlatego poświęcono jej więcej uwagi. Ostatecznie zdobył nagrodę; Fatou nawet się nie zgłosił.) Dzięki tej pracy oboje są obecnie uważani za założycieli dziedziny dynamiki zespolonej.

„Złożone”, ponieważ Fatou i Julia iterowały funkcje liczb zespolonych — liczb łączących znaną liczbę rzeczywistą z tak zwaną liczbą urojoną (wielokrotnością i, symbol używany przez matematyków do oznaczania pierwiastka kwadratowego z -1). Podczas gdy liczby rzeczywiste można przedstawić jako punkty na linii, liczby zespolone są wizualizowane jako punkty na płaszczyźnie, na przykład:

Fatou i Julia odkryły, że iteracja nawet prostych złożonych funkcji (co nie jest paradoksem w dziedzinie matematyki!) może prowadzić do bogatych i skomplikowanych zachowań, w zależności od punktu wyjścia. Zaczęli dokumentować te zachowania i przedstawiać je geometrycznie.

Ale potem ich twórczość odeszła w zapomnienie na pół wieku. „Ludzie nawet nie wiedzieli, czego szukać. Mieli ograniczone możliwości zadawania pytań” – powiedział Artur Avila, profesor Uniwersytetu w Zurychu.

Zmieniło się to, gdy w latach 1970. XX wieku grafika komputerowa zyskała na popularności.

Do tego czasu matematyk Benoît Mandelbrot zyskał reputację akademickiego dyletanta. Zajmował się wieloma różnymi dziedzinami, od ekonomii po astronomię, a wszystko to podczas pracy w centrum badawczym IBM na północ od Nowego Jorku. Kiedy w 1974 roku został mianowany członkiem IBM, miał jeszcze większą swobodę w realizacji niezależnych projektów. Postanowił wykorzystać znaczną moc obliczeniową centrum do wybudzania złożonej dynamiki ze stanu hibernacji.

Początkowo Mandelbrot używał komputerów do generowania kształtów, które badali Fatou i Julia. Obrazy zakodowały informację o tym, kiedy punkt początkowy po iteracji ucieknie do nieskończoności, a kiedy zostanie uwięziony w jakimś innym wzorze. Rysunki Fatou i Julii sprzed 60 lat wyglądały jak skupiska kół i trójkątów, ale wygenerowane komputerowo obrazy, które stworzył Mandelbrot, wyglądały jak smoki i motyle, króliki, katedry i głowy kalafiorów, a czasem nawet niepołączone chmury kurzu. Już wtedy Mandelbrot ukuł słowo „fraktal” na określenie kształtów, które wyglądały podobnie w różnych skalach; słowo to przywołało pojęcie nowego rodzaju geometrii — czegoś fragmentarycznego, ułamkowego lub złamanego.

Obrazy pojawiające się na ekranie jego komputera – dziś znane jako zbiory Julii – były jednymi z najpiękniejszych i najbardziej skomplikowanych przykładów fraktali, jakie Mandelbrot kiedykolwiek widział.

Prace Fatou i Julii skupiały się na geometrii i dynamice każdego z tych zbiorów (i odpowiadających im funkcji) indywidualnie. Ale komputery umożliwiły Mandelbrotowi myślenie o całej rodzinie funkcji na raz. Mógł zakodować je wszystkie w obrazie, który miał nosić jego imię, choć pozostaje kwestią dyskusyjną, czy faktycznie odkrył to jako pierwszy.

Zbiór Mandelbrota dotyczy najprostszych równań, które po iteracji wciąż robią coś interesującego. Są to funkcje kwadratowe formy f(z) = z² + c. Napraw wartość c — może to być dowolna liczba zespolona. Jeśli powtórzysz równanie zaczynając od z = 0 i przekonaj się, że wygenerowane liczby pozostają małe (lub ograniczone, jak mówią matematycy). c jest w zbiorze Mandelbrota. Jeśli z drugiej strony wykonasz iterację i odkryjesz, że w końcu liczby zaczną rosnąć w kierunku nieskończoności, to wtedy c nie należy do zbioru Mandelbrota.

Łatwo jest pokazać, że wartości c bliskie zeru są w zestawie. Równie łatwo jest pokazać tak duże wartości c nie są. Ale liczby zespolone zasługują na swoją nazwę: granica zbioru jest wspaniale skomplikowana. Nie ma oczywistego powodu, dla którego to się zmienia c niewielkie ilości powinny powodować ciągłe przekraczanie granicy, ale gdy ją przybliżasz, pojawia się nieskończona ilość szczegółów.

Co więcej, zbiór Mandelbrota zachowuje się jak mapa zbiorów Julii, co widać na interaktywnym rysunku poniżej. Wybierz wartość c w zbiorze Mandelbrota. Odpowiedni zestaw Julia zostanie podłączony. Ale jeśli opuścisz zbiór Mandelbrota, wówczas odpowiedni zbiór Julii zostanie odłączony od pyłu.