De zoektocht naar het decoderen van de Mandelbrot-set, de beroemde fractal van Math | Quanta-tijdschrift

Halverwege de jaren tachtig was het insectachtige silhouet van de Mandelbrot-set, net als bij Walkman-cassettespelers en gebatikte overhemden, overal aanwezig.

Studenten pleisterden het op de muren van slaapzalen over de hele wereld. Wiskundigen ontvingen honderden brieven, met enthousiaste verzoeken om afdrukken van de set. (Als reactie hierop produceerden sommigen catalogi, compleet met prijslijsten; anderen bundelden de meest opvallende kenmerken ervan in boeken.) Meer technisch onderlegde fans zouden zich kunnen wenden tot de uitgave van augustus 1985 van Scientific American. Op de omslag ontvouwde de Mandelbrot-set zich in vurige ranken, de rand in vuur en vlam; binnenin zaten zorgvuldige programmeerinstructies, waarin gedetailleerd werd beschreven hoe lezers het iconische beeld voor zichzelf konden genereren.

Tegen die tijd hadden die ranken hun reikwijdte ook tot ver buiten de wiskunde uitgebreid, naar schijnbaar ongerelateerde hoeken van het dagelijks leven. Binnen een paar jaar zou de Mandelbrot-set de nieuwste schilderijen van David Hockney en de nieuwste composities van verschillende muzikanten inspireren - fuga-achtige stukken in de stijl van Bach. Het zou verschijnen op de pagina's van John Updike's fictie en zou begeleiden hoe literair criticus Hugh Kenner de poëzie van Ezra Pound analyseerde. Het zou het onderwerp worden van psychedelische hallucinaties en van een populaire documentaire, verteld door de sciencefiction-grote Arthur C. Clarke.

De Mandelbrot-set heeft een speciale vorm, met een fractale omtrek. Gebruik een computer om in te zoomen op de grillige grens van de set en je zult valleien met zeepaardjes en parades van olifanten, spiraalstelsels en neuronachtige filamenten tegenkomen. Hoe diep je ook verkent, je zult altijd bijna-kopieën van de originele set tegenkomen – een oneindige, duizelingwekkende waterval van gelijkenis.

Die gelijkenis met zichzelf was een kernelement van het bestverkochte boek van James Gleick Chaos, die de plaats van de Mandelbrot-set in de populaire cultuur versterkte. ‘Het bevatte een universum van ideeën’, ​​schreef Gleick. “Een moderne kunstfilosofie, een rechtvaardiging van de nieuwe rol van het experimenteren in de wiskunde, een manier om complexe systemen voor een groot publiek te brengen.”

De Mandelbrotset was een symbool geworden. Het vertegenwoordigde de behoefte aan een nieuwe wiskundige taal, een betere manier om de fractale aard van de wereld om ons heen te beschrijven. Het illustreerde hoe diepgaande complexiteit kan voortkomen uit de eenvoudigste regels – net zoals het leven zelf. (“Het is daarom een ​​echte boodschap van hoop,” Johannes Hubbard, een van de eerste wiskundigen die de verzameling bestudeerde, zei in een video uit 1989: "dat biologie mogelijk echt op dezelfde manier kan worden begrepen als deze afbeeldingen kunnen worden begrepen.") In de Mandelbrot-verzameling leefden orde en chaos in harmonie; determinisme en vrije wil zouden met elkaar verzoend kunnen worden. Een wiskundige herinnerde zich dat hij als tiener op de set stuitte en het zag als een metafoor voor de ingewikkelde grens tussen waarheid en onwaarheid.

De Mandelbrot-set was overal, totdat dat niet meer het geval was.

Binnen tien jaar leek het te verdwijnen. Wiskundigen gingen over op andere onderwerpen, en het publiek ging over op andere symbolen. Vandaag de dag, slechts veertig jaar na zijn ontdekking, is de fractal een cliché geworden, op de rand van kitsch.

Maar een handvol wiskundigen heeft geweigerd het los te laten. Ze hebben hun leven gewijd aan het ontrafelen van de geheimen van de Mandelbrot-set. Nu denken ze dat ze eindelijk op het punt staan ​​het echt te begrijpen.

Hun verhaal is er een van onderzoek, van experimenteren – en van hoe technologie de manier bepaalt waarop we denken en de vragen die we stellen over de wereld.

De premiejagers

In oktober 2023 kwamen twintig wiskundigen van over de hele wereld samen in een kraakpand van baksteen op wat ooit een Deense militaire onderzoeksbasis was. De basis, gebouwd eind 20e eeuw midden in het bos, lag verscholen in een fjord aan de noordwestkust van het dichtstbevolkte eiland van Denemarken. Een oude torpedo bewaakte de ingang. Zwart-witfoto's, waarop marineofficieren in uniform te zien zijn, boten die in een rij aan de kade liggen en onderzeeërtests die aan de gang zijn, sieren de muren. Drie dagen lang, terwijl een felle wind het water buiten de ramen tot schuimende witte schuimkoppen blies, zat de groep een reeks lezingen bij, de meeste door twee wiskundigen van de Stony Brook University in New York: Misja Lyubich en Dima Dudko.

In het publiek van de workshop bevonden zich enkele van de meest onverschrokken ontdekkingsreizigers van de Mandelbrot-set. Dichtbij de voorkant zat Mitsuhiro Shishikura van de Universiteit van Kyoto, die in de jaren negentig bewees dat de grens van de verzameling zo ingewikkeld is als maar mogelijk is. Een paar stoelen meer was dat wel Hiroyuki Inou, die samen met Shishikura belangrijke technieken ontwikkelde voor het bestuderen van een bijzonder spraakmakende regio van de Mandelbrot-set. In de laatste rij stond Wolf Jung, de maker van Mandel, de favoriete software voor wiskundigen voor het interactief onderzoeken van de Mandelbrot-verzameling. Ook aanwezig waren Arnaud Chéritat van de Universiteit van Toulouse, Carsten Petersen van Roskilde University (die de workshop organiseerde), en verschillende anderen die een belangrijke bijdrage hadden geleverd aan het begrip van wiskundigen over de Mandelbrot-verzameling.

En bij het whiteboard stonden Ljoebich, 's werelds meest vooraanstaande deskundige op dit gebied, en Dudko, een van zijn naaste medewerkers. Samen met de wiskundigen Jeremy Kahn en Alex Kapiamba, hebben ze gewerkt aan het bewijzen van een al lang bestaand vermoeden over de geometrische structuur van de Mandelbrot-verzameling. Dat vermoeden, bekend als MLC, is het laatste obstakel in de decennialange zoektocht om de fractal te karakteriseren, om zijn verwarde wildernis te temmen.

Door een krachtige set gereedschappen te bouwen en aan te scherpen, hebben wiskundigen de controle over de geometrie van “bijna alles in de Mandelbrot-set” geworsteld. Caroline Davis van de Universiteit van Indiana – met uitzondering van enkele resterende gevallen. “Misha en Dima en Jeremy en Alex zijn als premiejagers die deze laatsten proberen op te sporen.”

Lyubich en Dudko waren in Denemarken om andere wiskundigen bij te praten over de recente vooruitgang bij het bewijzen van MLC, en de technieken die ze daarvoor hadden ontwikkeld. De afgelopen twintig jaar zijn onderzoekers hier bijeengekomen voor workshops gewijd aan het uitpakken van resultaten en methoden op het gebied van complexe analyse, de wiskundige studie van de soorten getallen en functies die worden gebruikt om de Mandelbrot-verzameling te genereren.

Het was een ongebruikelijke opzet: de wiskundigen aten al hun maaltijden samen en praatten en lachten onder het genot van een biertje tot in de kleine uurtjes. Toen ze uiteindelijk besloten om te gaan slapen, trokken ze zich terug in stapelbedden of babybedjes in kleine kamers die ze deelden op de tweede verdieping van het complex. (Bij onze aankomst kregen we te horen dat we de lakens en kussenslopen van een stapel moesten pakken en die naar boven moesten brengen om onze bedden op te maken.) In sommige jaren trotseren conferentiegangers een duik in het ijskoude water; vaker dwalen ze door het bos. Maar voor het grootste deel is er niets anders te doen dan wiskunde.

Een van de aanwezigen vertelde me dat de workshop doorgaans veel jongere wiskundigen aantrekt. Maar dat was deze keer niet het geval – misschien omdat het midden in het semester was, of, zo speculeerde hij, omdat de stof zo moeilijk was. Hij bekende dat hij zich op dat moment een beetje geïntimideerd voelde door het vooruitzicht een lezing te houden voor zoveel groten uit het veld.

Maar waarom zouden de meeste wiskundigen op het bredere gebied van de complexe analyse niet langer rechtstreeks aan de Mandelbrot-verzameling werken, een hele workshop aan MLC wijden?

De Mandelbrot-verzameling is meer dan een fractal, en niet alleen in metaforische zin. Het dient als een soort hoofdcatalogus van dynamische systemen – van alle verschillende manieren waarop een punt door de ruimte kan bewegen volgens een eenvoudige regel. Om deze mastercatalogus te begrijpen, moet je veel verschillende wiskundige landschappen doorkruisen. De Mandelbrotverzameling is niet alleen nauw verbonden met de dynamiek, maar ook met de getaltheorie, topologie, algebraïsche meetkunde, groepentheorie en zelfs de natuurkunde. "Het werkt op een prachtige manier samen met de rest van de wiskunde", zegt hij Sabyasachi Mukherjee van het Tata Instituut voor Fundamenteel Onderzoek in India.

Om vooruitgang te boeken op het gebied van MLC hebben wiskundigen een verfijnde reeks technieken moeten ontwikkelen – wat Chéritat ‘een krachtige filosofie’ noemt. Deze instrumenten hebben veel aandacht gekregen. Tegenwoordig vormen ze een centrale pijler in de studie van dynamische systemen in bredere zin. Ze zijn van cruciaal belang gebleken voor het oplossen van een groot aantal andere problemen – problemen die niets met de Mandelbrot-verzameling te maken hebben. En ze hebben MLC getransformeerd van een nichevraagstuk naar een van de diepste en belangrijkste open vermoedens op dit gebied.

Ljoebich, de wiskundige die waarschijnlijk het meest verantwoordelijk is voor het vormgeven van deze ‘filosofie’ in zijn huidige vorm, staat rechtop en spreekt zachtjes. Wanneer andere wiskundigen in de werkplaats hem benaderen om een ​​concept te bespreken of een vraag te stellen, sluit hij zijn ogen en luistert aandachtig, zijn dikke wenkbrauwen gefronst. Hij antwoordt zorgvuldig, met een Russisch accent.

Maar hij barst ook snel uit in een luide, warme lach en maakt wrange grappen. Hij is genereus met zijn tijd en advies. Hij heeft “redelijk een aantal generaties wiskundigen gevoed”, zegt Mukherjee, een van Lyubichs voormalige postdocs en een frequente medewerker. Zoals hij vertelt, brengt iedereen die geïnteresseerd is in de studie van complexe dynamica enige tijd door in Stony Brook om van Lyubich te leren. “Misha heeft een visie over hoe we een bepaald project moeten aanpakken, of waar we vervolgens naar moeten kijken”, zei Mukherjee. “Hij heeft een groots beeld in zijn hoofd. En dat deelt hij graag met mensen.”

Voor het eerst heeft Lyubich het gevoel dat hij dat grote geheel in zijn geheel kan zien.

De Prijsvechters

De Mandelbrot-set begon met een prijs.

In 1915 kondigde de Franse Academie van Wetenschappen, gemotiveerd door de recente vooruitgang in de studie van functies, een wedstrijd uit: over drie jaar zou zij een hoofdprijs van 3,000 frank uitreiken voor werk aan het proces van iteratie – precies het proces dat dat zou doen. genereer later de Mandelbrot-set.

Iteratie is het herhaaldelijk toepassen van een regel. Sluit een getal aan op een functie en gebruik de uitvoer vervolgens als uw volgende invoer. Blijf dat doen en kijk wat er in de loop van de tijd gebeurt. Terwijl je doorgaat met het herhalen van je functie, kunnen de getallen die je krijgt snel naar het oneindige stijgen. Of ze kunnen naar een specifiek getal worden getrokken, zoals ijzervijlsel dat naar een magneet beweegt. Of ze stuiteren tussen dezelfde twee getallen, of drie, of duizend, in een stabiele baan waaruit ze nooit kunnen ontsnappen. Of spring van het ene nummer naar het andere zonder rijm of reden, en volg een chaotisch, onvoorspelbaar pad.

De Franse Academie, en wiskundigen in bredere zin, hadden nog een reden om geïnteresseerd te zijn in iteratie. Het proces speelde een belangrijke rol in de studie van dynamische systemen – systemen zoals de rotatie van planeten rond de zon of de stroming van een turbulente stroom, systemen die in de loop van de tijd veranderen volgens een aantal gespecificeerde regels.

De prijs inspireerde twee wiskundigen om een ​​geheel nieuw vakgebied te ontwikkelen.

De eerste was Pierre Fatou, die in een ander leven marineman had kunnen zijn (een familietraditie), ware het niet vanwege zijn slechte gezondheid. In plaats daarvan streefde hij een carrière na in de wiskunde en astronomie, en in 1915 had hij al verschillende belangrijke resultaten op het gebied van analyse bewezen. Dan was er nog Gaston Julia, een veelbelovende jonge wiskundige geboren in het door Frankrijk bezette Algerije, wiens studie werd onderbroken door de Eerste Wereldoorlog en zijn dienstplicht in het Franse leger. Op 22-jarige leeftijd, nadat hij kort na het begin van zijn diensttijd een ernstige blessure had opgelopen – hij zou de rest van zijn leven een leren band over zijn gezicht dragen, nadat doktoren de schade niet konden herstellen – keerde hij terug naar de wiskunde en deed hij een aantal van het werk dat hij vanuit een ziekenhuisbed zou inzenden voor de Academieprijs.

De prijs motiveerde zowel Fatou als Julia om te onderzoeken wat er gebeurt als je functies itereert. Ze werkten onafhankelijk, maar deden uiteindelijk zeer vergelijkbare ontdekkingen. Er was zoveel overlap in hun resultaten dat het zelfs nu nog niet altijd duidelijk is hoe ze punten moeten toekennen. (Julia was extravert en kreeg daardoor meer aandacht. Uiteindelijk won hij de prijs; Fatou had zich niet eens aangemeld.) Dankzij dit werk worden de twee nu beschouwd als de grondleggers van het vakgebied van de complexe dynamiek.

‘Complex’, omdat Fatou en Julia functies van complexe getallen herhaalden – getallen die een bekend reëel getal combineren met een zogenaamd denkbeeldig getal (een veelvoud van i, het symbool dat wiskundigen gebruiken om de vierkantswortel van −1 aan te duiden). Terwijl reële getallen kunnen worden weergegeven als punten op een lijn, worden complexe getallen als volgt gevisualiseerd als punten op een vlak:

Fatou en Julia ontdekten dat het herhalen van zelfs eenvoudige complexe functies (geen paradox op het gebied van de wiskunde!) tot rijk en gecompliceerd gedrag kon leiden, afhankelijk van je uitgangspunt. Ze begonnen dit gedrag te documenteren en geometrisch weer te geven.

Maar daarna verdween hun werk een halve eeuw lang in de vergetelheid. “Mensen wisten niet eens waar ze op moesten letten. Ze waren beperkt in de vraag welke vragen ze zelfs maar moesten stellen”, zei hij Artur Avila, een professor aan de Universiteit van Zürich.

Dit veranderde toen computergraphics in de jaren zeventig volwassen werden.

Tegen die tijd had de wiskundige Benoît Mandelbrot een reputatie opgebouwd als academische dilettant. Hij had zich op veel verschillende gebieden beziggehouden, van economie tot astronomie, terwijl hij werkte bij het onderzoekscentrum van IBM ten noorden van New York City. Toen hij in 1974 werd benoemd tot IBM Fellow, kreeg hij nog meer vrijheid om onafhankelijke projecten na te streven. Hij besloot de aanzienlijke rekenkracht van het centrum in te zetten om de complexe dynamiek uit de winterslaap te halen.

Aanvankelijk gebruikte Mandelbrot de computers om de soorten vormen te genereren die Fatou en Julia hadden bestudeerd. De afbeeldingen codeerden informatie over wanneer een startpunt, wanneer het herhaald werd, naar het oneindige zou ontsnappen, en wanneer het vast zou komen te zitten in een ander patroon. De tekeningen van Fatou en Julia van zestig jaar eerder leken op clusters van cirkels en driehoeken, maar de computergegenereerde beelden die Mandelbrot maakte leken op draken en vlinders, konijnen en kathedralen en bloemkoolkoppen, soms zelfs losse stofwolken. Tegen die tijd had Mandelbrot het woord ‘fractal’ al bedacht voor vormen die er op verschillende schalen hetzelfde uitzagen; het woord riep het idee op van een nieuw soort geometrie: iets gefragmenteerd, fractioneel of gebroken.

De afbeeldingen die op zijn computerscherm verschenen – tegenwoordig bekend als Julia-sets – waren enkele van de mooiste en meest gecompliceerde voorbeelden van fractals die Mandelbrot ooit had gezien.

Het werk van Fatou en Julia had zich geconcentreerd op de geometrie en dynamiek van elk van deze sets (en hun corresponderende functies) afzonderlijk. Maar computers gaven Mandelbrot een manier om in één keer over een hele familie van functies na te denken. Hij zou ze allemaal kunnen coderen in het beeld dat zijn naam zou gaan dragen, hoewel het een kwestie van discussie blijft of hij daadwerkelijk de eerste was die het ontdekte.

De Mandelbrot-set behandelt de eenvoudigste vergelijkingen die nog steeds iets interessants doen als ze worden herhaald. Dit zijn kwadratische functies van de vorm f(z) = z² + c. Bevestig een waarde van c — het kan elk complex getal zijn. Als je de vergelijking herhaalt, beginnend met z = 0 en ontdek dan dat de getallen die je genereert klein blijven (of begrensd, zoals wiskundigen zeggen). c zit in de Mandelbrotverzameling. Als je daarentegen herhaalt en merkt dat je aantallen uiteindelijk naar het oneindige gaan groeien, dan c zit niet in de Mandelbrotverzameling.

Het is eenvoudig om aan te tonen dat de waarden van c bijna nul in de set. En het is net zo eenvoudig om die grote waarden van aan te tonen c zijn niet. Maar complexe getallen doen hun naam eer aan: de grens van de verzameling is buitengewoon ingewikkeld. Er is geen duidelijke reden voor die verandering c bij kleine hoeveelheden zou je ervoor moeten zorgen dat je de grens blijft overschrijden, maar als je erop inzoomt, verschijnen er eindeloze hoeveelheden details.

Bovendien fungeert de Mandelbrot-set als een kaart van Julia-sets, zoals te zien is in de interactieve figuur hieronder. Kies een waarde van c in de Mandelbrotverzameling. De bijbehorende Julia-set wordt aangesloten. Maar als je de Mandelbrot-set verlaat, wordt de bijbehorende Julia-set losgekoppeld.