Als je deze maand het wiskundenieuws hebt gevolgd, weet je dat de 35-jarige getaltheoreticus James Maynard een Fields-medaille — de hoogste eer voor een wiskundige. Maynard houdt van wiskundige vragen die "eenvoudig genoeg zijn om uit te leggen aan een middelbare scholier, maar moeilijk genoeg om wiskundigen eeuwenlang de stuipen op het lijf te jagen", Quanta gerapporteerd, en een van die simpele vragen is deze: Als je langs de getallenlijn gaat, moeten er dan altijd priemgetallen zijn die dicht bij elkaar liggen?
Je hebt misschien gemerkt dat wiskundigen geobsedeerd zijn door priemgetallen. Wat trekt hen aan? Misschien is het het feit dat priemgetallen enkele van de meest fundamentele structuren en mysteries van wiskunde belichamen. De priemgetallen brengen het universum van vermenigvuldiging in kaart door ons in staat te stellen elk getal te classificeren en te categoriseren met een unieke factorisatie. Maar hoewel mensen sinds het begin van de vermenigvuldiging met priemgetallen spelen, weten we nog steeds niet precies waar priemgetallen zullen verschijnen, hoe verspreid ze zijn of hoe dichtbij ze moeten zijn. Voor zover we weten, volgen priemgetallen geen eenvoudig patroon.
Onze fascinatie voor deze fundamentele objecten heeft geleid tot de uitvinding, of ontdekking, van honderden verschillende soorten priemgetallen: Mersenne priemgetallen (priemgetallen van de vorm 2n − 1), gebalanceerde priemgetallen (priemgetallen die het gemiddelde zijn van twee aangrenzende priemgetallen), en Sophie Germain priemgetallen (een priemgetal p zodanig dat 2p + 1 is ook priem), om er maar een paar te noemen.
Interesse in deze speciale priemgetallen kwam voort uit het spelen met getallen en het ontdekken van iets nieuws. Dat geldt ook voor 'digitaal delicate priemgetallen', een recente toevoeging aan de lijst die heeft geleid tot enkele verrassende resultaten over de meest elementaire vragen: hoe zeldzaam of algemeen kunnen bepaalde soorten priemgetallen zijn?
Laten we, om deze vraag te waarderen, beginnen met een van de eerste intrigerende feiten die een beginnende getalenthousiasteling leert: er zijn oneindig veel priemgetallen. Euclides bewees dit 2,000 jaar geleden met een van de beroemdste bewijzen door tegenspraak in de hele wiskundegeschiedenis. Hij begon door aan te nemen dat er maar eindig veel priemgetallen zijn en stelde zich alles voor n van hen in een lijst:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Toen deed hij iets slims: hij dacht aan het getal $latexq=p_1 keer p_2 keer p_3 keer … keer p_n+1$.
Let erop dat q kan niet op de lijst met priemgetallen staan, omdat het groter is dan alles op de lijst. Dus als er een eindige lijst van priemgetallen bestaat, is dit getal q kan geen primeur zijn. Maar als q is geen priemgetal, het moet deelbaar zijn door iets anders dan zichzelf en 1. Dit betekent op zijn beurt dat q moet deelbaar zijn door een priemgetal op de lijst, maar vanwege de manier waarop q is geconstrueerd, verdelend q door iets op de lijst laat een rest van 1 achter. Dus blijkbaar q is noch priemgetal, noch deelbaar door een priemgetal, wat een contradictie is die voortvloeit uit de aanname dat er slechts eindig veel priemgetallen zijn. Om deze tegenstelling te vermijden, moeten er dus in feite oneindig veel priemgetallen zijn.
Gezien het feit dat er oneindig veel van zijn, zou je kunnen denken dat alle soorten priemgetallen gemakkelijk te vinden zijn, maar een van de volgende dingen die een priemgetaldetective leert, is hoe verspreid de priemgetallen kunnen zijn. Een eenvoudig resultaat over de ruimten tussen opeenvolgende priemgetallen, priemgaten genoemd, zegt iets heel verrassends.
Onder de eerste 10 priemgetallen - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29 - kun je gaten zien die bestaan uit een of meer samengestelde getallen (getallen die geen priemgetallen zijn, zoals 4, 12 of 27). U kunt deze openingen meten door de samengestelde getallen ertussen te tellen: er is bijvoorbeeld een opening van maat 0 tussen 2 en 3, een opening van maat 1 tussen zowel 3 en 5 en 5 en 7, een opening van maat 3 tussen 7 en 11, enzovoort. Het grootste priemgat op deze lijst bestaat uit de vijf samengestelde getallen - 24, 25, 26, 27 en 28 - tussen 23 en 29.
Nu voor het ongelooflijke resultaat: Prime gaps kunnen willekeurig lang zijn. Dit betekent dat er opeenvolgende priemgetallen bestaan zo ver uit elkaar als je je kunt voorstellen. Misschien net zo ongelooflijk is hoe gemakkelijk dit feit te bewijzen is.
We hebben al een priemgat van lengte 5 hierboven. Zou er een van lengte 6 kunnen zijn? In plaats van lijsten met priemgetallen te doorzoeken in de hoop er een te vinden, bouwen we het gewoon zelf. Om dit te doen gebruiken we de faculteitsfunctie die wordt gebruikt in basistelformules: Per definitie, $latexn!=n tijden(n-1) tijden (n-2) tijden … keer 3 keer 2 keer 1$, dus bijvoorbeeld $ latex3!=3 keer 2 keer 1 = 6$ en $latex5!=5 keer 4 keer 3 keer 2 keer 1=120$.
Laten we nu onze prime gap opbouwen. Beschouw de volgende reeks opeenvolgende getallen:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Aangezien $latex7!=7 keer 6 keer 5 keer 4 keer 3 keer2 keer 1$, is het eerste getal in onze reeks, $latex7!+2$, deelbaar door 2, wat je kunt zien na een beetje factoring:
$latex7!+2=7 keer 6 keer 5 keer 4 keer 3 keer2 keer 1+2$
$latex= 2(7 keer 6 keer 5 keer 4 keer 3 keer 1+1)$.
Evenzo is het tweede getal, $latex7!+3$, deelbaar door 3, aangezien
$latex7!+3=7 keer 6 keer 5 keer 4 keer 3 keer2 keer 1+3$
$latex= 3(7 keer 6 keer 5 keer 4 keer2 keer 1+1)$.
Zo ook 7! + 4 is deelbaar door 4, 7! + 5 bij 5, 7! + 6 bij 6 en 7! + 7 bij 7, wat 7 maakt! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 een reeks van zes opeenvolgende samengestelde getallen. We hebben een prime gap van minimaal 6.
Deze strategie is gemakkelijk te generaliseren. De reeks
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
is een reeks van $latexn-1$ opeenvolgende samengestelde getallen, wat betekent dat voor elke n, is er een priemgat met een lengte van ten minste $latexn-1$. Dit laat zien dat er willekeurig lange priemgaten zijn, en dus langs de lijst van natuurlijke getallen zijn er plaatsen waar de dichtstbijzijnde priemgetallen 100, of 1,000, of zelfs 1,000,000,000 getallen uit elkaar liggen.
In deze resultaten is een klassieke spanning te zien. Er zijn oneindig veel priemgetallen, maar opeenvolgende priemgetallen kunnen ook oneindig ver uit elkaar liggen. Bovendien zijn er oneindig veel opeenvolgende priemgetallen die dicht bij elkaar liggen. Ongeveer 10 jaar geleden begon het baanbrekende werk van Yitang Zhang een race om de kloof te dichten en het vermoeden van priemtweelingen te bewijzen, dat stelt dat er oneindig veel priemparen zijn die slechts 2 verschillen. Het vermoeden van priemtweelingen is een van de meest beroemde open vragen in de wiskunde, en James Maynard heeft zijn eigen belangrijke bijdragen geleverd om dit ongrijpbare resultaat te bewijzen.
Deze spanning is ook aanwezig in recente resultaten over zogenaamde digitaal delicate priemgetallen. Om een idee te krijgen van wat deze getallen zijn en waar ze wel of niet kunnen zijn, neem even de tijd om na te denken over de volgende vreemde vraag: is er een tweecijferig priemgetal dat altijd samengesteld wordt met enige verandering in zijn enencijfer?
Om een idee te krijgen van digitale delicatesse, laten we wat spelen met het getal 23. We weten dat het een priemgetal is, maar wat gebeurt er als je het enencijfer verandert? Welnu, 20, 22, 24, 26 en 28 zijn allemaal even, en dus samengesteld; 21 is deelbaar door 3, 25 is deelbaar door 5 en 27 is deelbaar door 9. So far, so good. Maar als je het enencijfer verandert in een 9, krijg je 29, wat nog steeds een priemgetal is. Dus 23 is niet het soort prime waarnaar we op zoek zijn.
Wat dacht je van 37? Zoals we hierboven zagen, hoeven we niet de moeite te nemen om even getallen of getallen die eindigen op 5 te controleren, dus we controleren gewoon 31, 33 en 39. Aangezien 31 ook priem is, werkt 37 ook niet.
Bestaat zo'n nummer überhaupt? Het antwoord is ja, maar we moeten helemaal tot 97 gaan om het te vinden: 97 is een priemgetal, maar 91 (deelbaar door 7), 93 (deelbaar door 3) en 99 (ook deelbaar door 3) zijn allemaal samengesteld , samen met de even getallen en 95.
Een priemgetal is "delicaat" als, wanneer u een van de cijfers in iets anders verandert, het zijn "primeness" verliest (of primitief, om de technische term te gebruiken). Tot nu toe zien we dat 97 delicaat is in het ene cijfer - aangezien het veranderen van dat cijfer altijd een samengesteld getal oplevert - maar voldoet 97 aan de volledige criteria om digitaal delicaat te zijn? Het antwoord is nee, want als je de tientallen verandert in 1 krijg je 17, een priemgetal. (Merk op dat 37, 47 en 67 ook allemaal priemgetallen zijn.)
In feite is er geen tweecijferig digitaal delicate prime. De volgende tabel met alle tweecijferige getallen, met de tweecijferige priemgetallen gearceerd, laat zien waarom.
Alle getallen in een bepaalde rij hebben hetzelfde tiental, en alle getallen in een bepaalde kolom hebben hetzelfde cijfer. Het feit dat 97 het enige gearceerde getal in zijn rij is, weerspiegelt het feit dat het delicaat is in het cijfer van de enen, maar het is niet het enige priemgetal in zijn kolom, wat betekent dat het niet delicaat is in het cijfer van de tientallen.
Een digitaal delicaat tweecijferig priemgetal zou het enige priemgetal in zijn rij en kolom moeten zijn. Zoals de tabel laat zien, bestaat zo'n tweecijferig priemgetal niet. Hoe zit het met een digitaal delicaat driecijferig priemgetal? Hier is een vergelijkbare tabel die de lay-out toont van de driecijferige priemgetallen tussen 100 en 199, met weggelaten samengestelde getallen.
Hier zien we dat 113 in zijn eigen rij staat, wat betekent dat het delicaat is in het enencijfer. Maar 113 staat niet in zijn eigen kolom, dus sommige wijzigingen in het tiental (zoals 0 voor 103 of 6 voor 163) produceren priemgetallen. Aangezien er geen getal in zowel zijn eigen rij als in zijn eigen kolom voorkomt, zien we al snel dat er geen driecijferig getal is dat gegarandeerd samengesteld is als u het enencijfer of het tientallencijfer wijzigt. Dit betekent dat er geen driecijferige digitaal delicate prime kan zijn. Merk op dat we niet eens het honderdtal hebben gecontroleerd. Om echt digitaal delicaat te zijn, zou een driecijferig getal priemgetallen in drie richtingen in een driedimensionale tabel moeten vermijden.
Bestaan er überhaupt digitaal delicate priemgetallen? Naarmate je verder op de getallenlijn komt, worden de priemgetallen dunner, waardoor ze minder snel paden kruisen in de rijen en kolommen van deze hoogdimensionale tabellen. Maar grotere getallen hebben meer cijfers en elk extra cijfer verkleint de kans dat een priemgetal digitaal delicaat is.
Als je doorgaat, zul je ontdekken dat digitaal delicate priemgetallen bestaan. De kleinste is 294,001. Wanneer u een van de cijfers wijzigt, is het getal dat u krijgt - bijvoorbeeld 794,001 of 284,001 - samengesteld. En er zijn er meer: de volgende paar zijn 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; en 1,062,599. Sterker nog, ze stoppen niet. De beroemde wiskundige Paul Erdős bewees dat er oneindig veel digitaal delicate priemgetallen zijn. En dat was nog maar de eerste van vele verrassende resultaten over deze merkwaardige cijfers.
Erdős bewees bijvoorbeeld niet alleen dat er oneindig veel digitaal delicate priemgetallen zijn: hij bewees dat er oneindig veel digitaal delicate priemgetallen zijn in elke basis. Dus als u ervoor kiest uw getallen in binair, ternair of hexadecimaal weer te geven, vindt u nog steeds gegarandeerd oneindig veel digitaal delicate priemgetallen.
En digitaal delicate priemgetallen zijn niet alleen oneindig: ze vormen een niet-nul percentage van alle priemgetallen. Dit betekent dat als je kijkt naar de verhouding van het aantal digitaal delicate priemgetallen tot het aantal priemgetallen in het algemeen, deze fractie een getal groter dan nul is. In technische termen is een "positief deel" van alle priemgetallen digitaal delicaat, zoals de Fields-medaillewinnaar Terence Tao in 2010 bewees. De priemgetallen zelf vormen geen positief deel van alle getallen, omdat je steeds minder priemgetallen zult vinden hoe verder je langs de getallenlijn gaat. Maar onder die priemgetallen zul je digitaal delicate priemgetallen vaak genoeg blijven vinden om de verhouding van delicate priemgetallen tot het totale priemgetal boven nul te houden.
Misschien was de meest schokkende ontdekking een resultaat van 2020 over een nieuwe variant van deze vreemde getallen. Door het concept van wat een cijfer is te versoepelen, hebben wiskundigen de weergave van een getal opnieuw uitgevonden: in plaats van alleen aan 97 te denken, dachten ze dat het in plaats daarvan voorloopnullen had:
… 0000000097.
Elke voorloopnul kan worden gezien als een cijfer, en de kwestie van digitale delicatesse kan worden uitgebreid tot deze nieuwe representaties. Zouden er "veelal digitaal delicate priemgetallen" kunnen zijn - priemgetallen die altijd samengesteld worden als je een van de cijfers verandert, inclusief een van die voorloopnullen? Dankzij het werk van de wiskundigen Michael Filaseta en Jeremiah Southwick weten we dat het antwoord verrassend genoeg ja is. Er bestaan niet alleen wijdverbreide digitaal delicate priemgetallen, maar er zijn er oneindig veel van.
Priemgetallen vormen een oneindige reeks wiskundige puzzels voor professionals en enthousiastelingen om mee te spelen. We zullen misschien nooit al hun mysteries ontrafelen, maar je kunt erop rekenen dat wiskundigen voortdurend nieuwe soorten priemgetallen ontdekken en uitvinden om te verkennen.
Oefeningen
1. Wat is het grootste priemgetal tussen de priemgetallen van 2 tot 101?
2. Om te bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn, neemt Euclid aan dat er eindig veel priemgetallen zijn $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, en toont vervolgens aan dat $latexq=p_1 keer p_2 keer p_3 keer … keer p_n+1$ is niet deelbaar door een priemgetal op de lijst. Betekent dit niet dat q moet prime zijn?
3. Een bekend resultaat in de getaltheorie is dat er altijd een priemgetal is tussen k en 2k (inclusief). Dit is moeilijk te bewijzen, maar het is gemakkelijk te bewijzen dat er altijd een priemgetal is tussen k en $latexq=p_1 keer p_2 keer p_3 keer … keer p_n+1$ (inclusief), waarbij $latexq=p_1, …, p_n$ alle priemgetallen zijn kleiner dan of gelijk aan k. Bewijs het.
4. Kun je het kleinste priemgetal vinden dat digitaal delicaat is in de cijfers van enen en tientallen? Dit betekent dat het veranderen van de cijfers van enen of tientallen altijd een samengesteld getal oplevert. (Misschien wil je een computerprogramma schrijven om dit te doen!)
Uitdagingsprobleem: kun je het kleinste priemgetal vinden dat digitaal delicaat is als het in binair getal wordt weergegeven? Bedenk dat in binair, of grondtal 2, de enige cijfers 0 en 1 zijn en dat elke plaatswaarde een macht van 2 vertegenwoordigt. 8 wordt bijvoorbeeld weergegeven als $latex1000_2$, aangezien $latex 8=1 keer 2^3 + 0 keer 2^2 + 0 keer 2^1 + 0 keer 2^0$, en 7 in basis 2 is $latex111_2$, aangezien $latex7=1 keer2^2 + 1 keer 2^1 + 1 keer 2^0$.
Klik voor antwoord 1:
Klik voor antwoord 2:
Nee. Beschouw de eerste zes priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11 en 13. In dit geval is het getal q zou $ latex zijn 2 keer 3 keer 5 keer 7 keer 11 keer13 + 1 = 30,031 $. Dit is niet deelbaar door 2, 3, 5, 7, 11 of 13, maar het is geen priemgetal: het telt mee als $ latex 30,031 = 59 keer 509 $. Merk op dat het priemfactoren heeft, maar ze zijn allemaal groter dan de eerste zes priemgetallen.
Klik voor antwoord 3:
Als een van beide k or q is prima, we zijn klaar. Als q is geen priemgetal het is samengesteld, wat betekent dat het deelbaar is door een priemgetal, maar we weten al dat het niet deelbaar is door een van de eerste n priemgetallen. Het moet dus deelbaar zijn door een priemgetal groter dan de eerste n priemgetallen, en aangezien dit alle priemgetallen kleiner zijn dan k, dit priemgetal moet groter zijn dan k. Maar deze prime verdeelt q, dus het moet kleiner zijn dan q, dus er moet een priemgetal zijn tussen k en q.
Klik voor antwoord 4:
Het eerste priemgetal dat aan deze eigenschap voldoet is 2,459, aangezien 2,451, 2,453 en 2,457 allemaal samengesteld zijn (voldoende aan het criterium van de fijne cijfers) en 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 en 2,499 allemaal samengesteld zijn (bevredigend het delicate tientallencijfercriterium). Maar 2,459 is digitaal niet delicaat, omdat 2,659 prime is, dus het mislukt zodra je begint met het overwegen van het honderdtal. (Met dank aan de wiskundige John D. Cook voor het publiceren van zijn digitaal delicate prime-finding Python-code.)
Klik voor het antwoord op het probleem van de uitdaging:
$latex127=1111111_2$ is digitaal kwetsbaar, aangezien $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111_2$ en $latex63 =0111111_2$ zijn allemaal samengesteld.
