Continue majorisatie in kwantumfaseruimte

Continue majorisatie in kwantumfaseruimte

Tijdstempel: 24 mei 2023 7:39 uur
Bronknooppunt: 2674950

Zacharie Van Herstraeten1,2, Michael G. Jabbour1,3,4en Nicolas J. Cerf1

1Centrum voor Quantuminformatie en Communicatie, École polytechnique de Bruxelles, CP 165/59, Université libre de Bruxelles, 1050 Brussel, België
2Wyant College of Optical Sciences, de Universiteit van Arizona, 1630 E. University Blvd., Tucson, AZ 85721, VS
3DAMTP, Centrum voor Wiskundige Wetenschappen, Universiteit van Cambridge, Cambridge CB3 0WA, Verenigd Koninkrijk
4Afdeling Natuurkunde, Technische Universiteit van Denemarken, 2800 Kongens Lyngby, Denemarken

Vind je dit artikel interessant of wil je het bespreken? Scite of laat een reactie achter op SciRate.

Abstract

We onderzoeken de rol van de majorisatietheorie in de kwantumfaseruimte. Voor dit doel beperken we ons tot kwantumtoestanden met positieve Wigner-functies en laten we zien dat de continue versie van de majorisatietheorie een elegante en zeer natuurlijke benadering biedt voor het onderzoeken van de informatietheoretische eigenschappen van Wigner-functies in faseruimte. Nadat we alle Gaussiaanse zuivere toestanden als gelijkwaardig hebben geïdentificeerd in de precieze zin van continue majorisatie, wat kan worden begrepen in het licht van de stelling van Hudson, vermoeden we een fundamentele majorisatierelatie: elke positieve Wigner-functie wordt gemajoriseerd door de Wigner-functie van een Gaussische zuivere toestand (vooral , de bosonische vacuümtoestand of grondtoestand van de harmonische oscillator). Als gevolg hiervan wordt elke Schur-concave functie van de Wigner-functie ondergrens begrensd door de waarde die nodig is voor de vacuümtoestand. Dit impliceert op zijn beurt dat de Wigner-entropie ondergrens wordt begrensd door de waarde ervan voor de vacuümtoestand, terwijl het omgekeerde met name niet waar is. Ons belangrijkste resultaat is dan het bewijzen van deze fundamentele majorisatierelatie voor een relevante subset van Wigner-positieve kwantumtoestanden die mengsels zijn van de drie laagste eigentoestanden van de harmonische oscillator. Daarnaast wordt het vermoeden ook ondersteund door numeriek bewijs. We sluiten af ​​met het bespreken van enkele implicaties van dit vermoeden in de context van entropische onzekerheidsrelaties in faseruimte.

Populaire samenvatting

Het onzekerheidsprincipe is een van de meest fascinerende fenomenen in de kwantumfysica. Hoewel het natuurlijk lijkt dat paren van meetbare grootheden, zoals de positie en het momentum van een deeltje, tegelijkertijd nauwkeurig kunnen worden voorspeld, verbiedt de kwantumfysica dit feitelijk voor niet-pendelwaarneembare objecten. Heisenberg en Kennard hebben dit nauwkeurig gemaakt door de variantie van elke meetbare grootheid te gebruiken om de onzekerheid ervan vast te leggen. Jaren later werd het onzekerheidsprincipe van Heisenberg opnieuw geformuleerd door zich tot entropie te wenden als een geschikt middel om onzekerheid te kwantificeren. Hier introduceren we nog een sterker informatietheoretisch paradigma voor het begrijpen van de onzekerheid van kwantumvariabelen in de faseruimte, namelijk de theorie van majorisatie.

Deze wiskundige theorie is meer dan een eeuw geleden ontwikkeld en is gebruikt in tal van wetenschapsgebieden, variërend van statistiek tot natuurkunde. Opmerkelijk genoeg is het pas relatief recent toegepast op de kwantumfysica, waar werd aangetoond dat het een krachtige aanpak is voor het onderzoeken van kwantumverstrengeling. Als zodanig is het nooit uitgebuit om de continue dichtheden te karakteriseren die kwantumvariabelen in de faseruimte beschrijven, dat wil zeggen Wigner-functies. Wij laten zien dat continue majorisering hiervoor een passend instrument is. De hoofdlijn van ons artikel betreft de stelling dat de Wigner-functie van de vacuümtoestand van een bosonische modus (dwz de grondtoestand van de harmonische oscillator) elke andere Wigner-functie continu majoriseert, waardoor deze des te minder onzeker wordt in de zin van majorisatie. .

Hoewel we onze resultaten blootleggen en bespreken in de context van de kwantumoptica, zijn ze van toepassing op elk canoniek paar en zouden daarom implicaties moeten hebben op verschillende gebieden van de natuurkunde.

► BibTeX-gegevens

► Referenties

[1] GH Hardy, JE Littlewood en G. Pólya, ‘Ongelijkheid’. Cambridge Universiteitspers, 1934.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3605504

[2] AW Marshall, I. Olkin en BC Arnold, “Inequalities: Theory of Majorization and its Applications”, vol. 143. Springer, tweede editie, 2011.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-68276-1

[3] T. Ando, ​​"Majorisatie, dubbel stochastische matrices en vergelijking van eigenwaarden", Lineaire Algebra Appl. 118, 163–248 (1989).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(89)90580-6

[4] K. Mosler, “Majorisatie in maatregelen voor economische ongelijkheid”, Lineaire Algebra en zijn toepassingen 199, 91–114 (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(94)90343-3

[5] T. van Erven en P. Harremoës, “Rényi divergentie en majorisatie”, in 2010 IEEE International Symposium on Information Theory, pp. 1335–1339, IEEE. 2010.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2010.5513784

[6] MA Alhejji en G. Smith, ‘A Tight Uniform Continuity Bound for Equivocation’, in 2020 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), pp. 2270–2274. 2020.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT44484.2020.9174350

[7] MG Jabbour en N. Datta, “A Tight Uniform Continuity Bound for the Arimoto-Rényi Conditional Entropy and its extension to Classical-Quantum States”, IEEE Transactions on Information Theory 68, 2169–2181 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2022.3142812

[8] A. Horn, “dubbel stochastische matrices en de diagonaal van een rotatiematrix”, American Journal of Mathematics 76, 620–630 (1954).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2372705

[9] MA Nielsen, ‘Voorwaarden voor een klasse van verstrengelingstransformaties’, Physical Review Letters 83, 436 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.436

[10] MA Nielsen en G. Vidal, “Majorisatie en de onderlinge conversie van bipartiete staten”, Quantum Information and Computation 1, 76–93 (2001).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC1.1-5

[11] MA Nielsen en J. Kempe, ‘Scheidbare staten zijn wereldwijd meer wanordelijk dan lokaal’, Physical Review Letters 86, 5184–5187 (2001).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.86.5184

[12] T. Hiroshima, “Majorization Criterion for Distillability of a Bipartite Quantum State”, Physical Review Letters 91, 057902 (2003).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.057902

[13] Z. Puchała, Ł. Rudnicki en K. Życzkowski, “Majorisatie entropische onzekerheidsrelaties”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 272002 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​27/​272002

[14] L. Rudnicki, Z. Puchała en K. Życzkowski, “Sterke majorisatie entropische onzekerheidsrelaties”, Physical Review A 89, 052115 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.052115

[15] L. Rudnicki, “Majorisatiebenadering van entropische onzekerheidsrelaties voor grofkorrelige observaties”, Physical Review A 91, 032123 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.91.032123

[16] F. Brandão, M. Horodecki, N. Ng, J. Oppenheim en S. Wehner, “De tweede wetten van de kwantumthermodynamica”, Proceedings of the National Academy of Sciences 112, 3275–3279 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1073 / pnas.1411728112

[17] R. García-Patrón, C. Navarrete-Benlloch, S. Lloyd, JH Shapiro en NJ Cerf, "Majorization Theory Approach to the Gaussian Channel Minimum Entropy Conjecture", Physical Review Letters 108, 110505 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.110505

[18] CN Gagatsos, O. Oreshkov en NJ Cerf, "Majorisatierelaties en verstrengelingsgeneratie in een bundelsplitser", Physical Review A 87, 042307 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.87.042307

[19] G. De Palma, D. Trevisan en V. Giovannetti, "Passieve staten optimaliseren de output van Bosonische Gaussiaanse kwantumkanalen", IEEE Transactions on Information Theory 62, 2895–2906 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2016.2547426

[20] MG Jabbour, R. García-Patrón en NJ Cerf, “Majorisatiebehoud van Gaussiaanse bosonische kanalen”, New Journal of Physics 18, 073047 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073047

[21] MG Jabbour en NJ Cerf, “Fock-majorisatie in bosonische kwantumkanalen met een passieve omgeving”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 105302 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aaf0d2

[22] U. Leonhardt, “Essentiële kwantumoptica: van kwantummetingen tot zwarte gaten”,. Cambridge University Press, 2010.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511806117

[23] A. Hertz, MG Jabbour en NJ Cerf, “Entropie-macht onzekerheidsrelaties: op weg naar een nauwe ongelijkheid voor alle Gaussiaanse zuivere staten”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 50, 385301 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 1751-8121 / aa852f

[24] A. Hertz en NJ Cerf, “Continu-variabele entropische onzekerheidsrelaties”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 52, 173001 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​ab03f3

[25] C. Weedbrook, S. Pirandola, R. García-Patrón, NJ Cerf, TC Ralph, JH Shapiro en S. Lloyd, "Gaussiaanse kwantuminformatie", Review of Modern Physics 84, 621–669 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.84.621

[26] Z. Van Herstraeten en NJ Cerf, “Quantum Wigner-entropie”, Physical Review A 104, 042211 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.042211

[27] FJ Narcowich, “Distributies van $hbar$-positief type en toepassingen”, Journal of wiskundige natuurkunde 30, 2565–2573 (1989).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.528537

[28] T. Bröcker en R. Werner, “Gemengde toestanden met positieve Wigner-functies”, Journal of wiskundige natuurkunde 36, 62–75 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.531326

[29] RL Hudson, "Wanneer is de Wigner quasi-kansdichtheid niet-negatief?", Reports on Mathematical Physics 6, 249-252 (1974).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0034-4877(74)90007-X

[30] F. Soto en P. Claverie, "Wanneer is de Wigner-functie van multidimensionale systemen niet-negatief?", Journal of Mathematical Physics 24, 97-100 (1983).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.525607

[31] FJ Narcowich en R. O'Connell, "Noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor een faseruimtefunctie om een ​​Wigner-verdeling te zijn", Physical Review A 34, 1 (1986).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.34.1

[32] A. Mandilara, E. Karpov en NJ Cerf, "De stelling van Hudson uitbreiden naar gemengde kwantumtoestanden", Physical Review A 79, 062302 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.062302

[33] A. Mandilara, E. Karpov en N. Cerf, “Gaussianiteitsgrenzen voor kwantumgemengde toestanden met een positieve Wigner-functie”, in Journal of Physics: Conference Series, vol. 254, blz. 012011, IOP-publicatie. 2010.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​254/​1/​012011

[34] L. Wang en M. Madiman, “Beyond the Entropy Power Inequality, via Herschikkingen”, IEEE Transactions on Information Theory 60, 5116–5137 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2014.2338852

[35] GH Hardy, JE Littlewood en G. Pólya, "Sommige eenvoudige ongelijkheden vervuld door convexe functies", Messenger of Mathematics 58, 145–152 (1929).

[36] H. Joe, “Een ordening van afhankelijkheid voor de distributie van k-tuples, met toepassingen op lottospellen”, Canadian Journal of Statistics 15, 227–238 (1987).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 3314913

[37] I. Schur, “Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen die Determinanten”, Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft 22, 416–427 (1923).

[38] AW Roberts en DE Varberg, "Convexe functies". Academische pers New York, 1973.
https:/​/​doi.org/​10.1016/​B978-0-444-89597-4.50013-5

[39] A. Rényi, ‘Over metingen van entropie en informatie’, in Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Deel 1: Bijdragen aan de Theory of Statistics, vol. 4, blz. 547-562, University of California Press. 1961.

[40] Y. He, AB Hamza en H. Krim, "Een algemene divergentiemaatstaf voor robuuste beeldregistratie", IEEE Transactions on Signal Processing 51, 1211–1220 (2003).
https://​/​doi.org/​10.1109/​TSP.2003.810305

[41] JV Ryff, “Orbits of $L^1$-functions under dubbel stochastische transformaties”, Transactions of the American Mathematical Society 117, 92–100 (1965).
https: / / doi.org/ 10.2307 / 1994198

[42] F. Bahrami, SM Manjegani en S. Moein, “Semi-dubbel stochastische operatoren en majorisatie van integreerbare functies”, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society 44, 693–703 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s40840-020-00971-2

[43] SM Manjegani en S. Moein, “Majorisatie en halfdubbel stochastische operatoren op $ L^{1}(X)$”, Journal of Inequalities and Applications 2023, 1–20 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13660-023-02935-z

[44] I. Białynicki-Birula en J. Mycielski, “Onzekerheidsrelaties voor informatie-entropie in golfmechanica”, Communications in Mathematical Physics 44, 129–132 (1975).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01608825

[45] A. Wehrl, ‘Algemene eigenschappen van entropie’, Reviews of Modern Physics 50, 221 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.50.221

[46] EH Lieb, ‘Bewijs van een entropie-vermoeden van Wehrl’, in Inequalities, pp. 359-365. Springer, 2002.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-55925-9_30

[47] EH Lieb en JP Solovej, “Bewijs van een entropie-vermoeden voor Bloch-coherente spintoestanden en de generalisaties ervan”, Acta Mathematica 212, 379 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s11511-014-0113-6

[48] JR Johansson, PD Nation, en F. Nori, "QuTiP: een open-source Python-framework voor de dynamiek van open kwantumsystemen", Computer Physics Communications 183, 1760–1772 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.cpc.2012.02.021

[49] K. Życzkowski, P. Horodecki, A. Sanpera en M. Lewenstein, “Volume van de reeks scheidbare toestanden”, Physical Review A 58, 883 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.58.883

Geciteerd door

[1] Nuno Costa Dias en João Nuno Prata, "Over een recent vermoeden van Z. Van Herstraeten en NJ Cerf voor de kwantum Wigner-entropie", arXiv: 2303.10531, (2023).

[2] Zacharie Van Herstraeten en Nicolas J. Cerf, “Quantum Wigner-entropie”, Fysieke beoordeling A 104 4, 042211 (2021).

[3] Martin Gärttner, Tobias Haas en Johannes Noll, "Detecteren van continue variabele verstrengeling in faseruimte met de $Q$-verdeling", arXiv: 2211.17165, (2022).

Bovenstaande citaten zijn afkomstig van SAO / NASA ADS (laatst bijgewerkt met succes 2023-05-24 23:55:18). De lijst is mogelijk onvolledig omdat niet alle uitgevers geschikte en volledige citatiegegevens verstrekken.

On De door Crossref geciteerde service er zijn geen gegevens gevonden over het citeren van werken (laatste poging 2023-05-24 23:55:17).

Dit artikel is gepubliceerd in Quantum onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationaal (CC BY 4.0) licentie. Het auteursrecht blijft berusten bij de oorspronkelijke houders van auteursrechten, zoals de auteurs of hun instellingen.

Tijdstempel:

Meer van Quantum Journaal