今月の数学のニュースをフォローしているなら、35歳の数論者ジェームズメイナードが勝ったことを知っています。 フィールドメダル —数学者にとって最高の名誉。 メイナードは、「高校生に説明するのに十分簡単であるが、何世紀にもわたって数学者を困惑させるのに十分難しい」数学の質問が好きです。 クアンタ 報告、そしてそれらの簡単な質問のXNUMXつはこれです：数直線に沿って移動するとき、互いに接近している素数が常に存在する必要がありますか？
数学者が素数に夢中になっていることに気づいたかもしれません。 何が彼らを引き込みますか？ 多分それは素数が数学の最も基本的な構造と謎のいくつかを具体化するという事実です。 素数は、すべての数を一意の因数分解で分類および分類できるようにすることで、乗算の世界を描き出します。 しかし、人間は乗算の黎明期から素数で遊んでいましたが、素数がどこに現れるか、どれだけ広がっているか、どれだけ近くにある必要があるかはまだ正確にはわかりません。 私たちが知る限り、素数は単純なパターンに従いません。
これらの基本的なオブジェクトに対する私たちの魅力は、何百もの異なるタイプの素数の発明または発見につながりました。メルセンヌ素数（形式2の素数）n − 1）、平衡素数（XNUMXつの隣接する素数の平均である素数）、およびソフィージェルマン素数（素数 p そのような2p + 1も素数です）、いくつか例を挙げると。
これらの特別な素数への関心は、数字で遊んだり、何か新しいものを発見したりすることから生まれました。 これは「デジタル的に繊細な素数」にも当てはまります。これは最近リストに追加されたもので、最も基本的な質問についていくつかの驚くべき結果をもたらしました。
この質問を理解するために、熱心な数の愛好家が学ぶ最初の興味深い事実の2,000つから始めましょう。素数は無限にあります。 ユークリッドは、数学史のすべての矛盾によって最も有名な証明のXNUMXつを使用して、これをXNUMX、XNUMX年前に証明しました。 彼は、素数が有限であると仮定することから始め、すべてを想像しました n リスト内のそれらの：
$ latexp_1、p_2、p_3、…、p_n$。
それから彼は何か賢いことをしました：彼は数$ latexq = p_1 x p_2 xp_3x…xp_n+1$について考えました。
注意してください q リストのすべてよりも大きいため、素数のリストに含めることはできません。 したがって、素数の有限リストが存在する場合、この数は q 素数になることはできません。 しかし、 q は素数ではなく、それ自体と1以外の何かで割り切れる必要があります。これは、つまり、 qしなければならない リストのいくつかの素数で割り切れるが、方法のため q 構築され、分割 q リストにあるものは何でも1の余りを残します。 q は素数でも素数で割り切れることもありません。これは、素数が有限であると仮定した結果として生じる矛盾です。 したがって、この矛盾を回避するには、実際には無限に多くの素数が存在する必要があります。
それらの数が無限にあることを考えると、あらゆる種類の素数を見つけるのは簡単だと思うかもしれませんが、素数探偵が次に学ぶことのXNUMXつは、素数がどれだけ広がるかです。 素数の間隔と呼ばれる、連続する素数間のスペースに関する単純な結果は、非常に驚くべきことを示しています。
最初の10個の素数（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29）の中に、4つ以上の合成数（12、27などの素数ではない数）で構成されるギャップがあります。または0）。 これらのギャップは、その間の合成数を数えることで測定できます。たとえば、2と3の間にサイズ1のギャップがあり、3と5の両方の間にサイズ5のギャップがあり、7と3の間にサイズ7のギャップがあります。および11など。 このリストの最大の素数の間隔は、24から25までの26つの合成数（27、28、23、29、およびXNUMX）で構成されます。
信じられないほどの結果が得られました。素数の間隔は任意に長くすることができます。 これは、想像できる限り離れて連続する素数が存在することを意味します。 おそらく同じように信じられないのは、この事実を証明するのがいかに簡単かということです。
上記の長さ5の素数の間隔はすでにあります。 長さ6のものはありますか？ 素数のリストを検索して見つけるのではなく、自分で作成します。 これを行うには、基本的なカウント式で使用される階乗関数を使用します。定義により、$ latexn！= n回（n-1）回（n-2）回…回3回2回1 $、たとえば$ラテックス3！=3回2回1= 6$および$latex5！=5回4回3回2回1=120$。
それでは、素数のギャップを構築しましょう。 次の連続した番号のシーケンスを検討してください。
$ラテックス7！+ 2 $、$ラテックス7！+ 3 $、$ラテックス7！+ 4 $、$ラテックス7！+ 5 $、$ラテックス7！+ 6 $、$ラテックス7！+7$。
$ latex7！= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x2 x 1 $なので、シーケンスの最初の数値$ latex7！+ 2 $は2で割り切れます。これは、少し因数分解するとわかります。
$ latest7！+ 2=7回6回5回4回3回2回1+2 $
$ latest = 2（7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 1 + 1）$。
同様に、7番目の数値$ latest3！+ 3 $は、XNUMXで割り切れます。
$ latest7！+ 3=7回6回5回4回3回2回1+3 $
$ラテックス=3（7×6×5×4×2×1 + 1）$。
同様に、7！ + 4は4、7で割り切れます！ + 5 x 5、7！ + 6 x 6、および7！ + 7 x 7、つまり7になります！ + 2、7！ + 3、7！ + 4、7！ + 5、7！ + 6、7！ +7つの連続した合成数のシーケンス。 少なくとも6の素数の間隔があります。
この戦略は一般化するのが簡単です。 シーケンス
$ラテックスn！+ 2 $、$ラテックスn！+ 3 $、$ラテックスn！+ 4 $、$ラテックス…$、$ラテックスn！+n$。
は$latexn-1$の連続した合成数のシーケンスです。つまり、 n、少なくとも$latexn-1$の長さの素数の間隔があります。 これは、任意に長い素数のギャップがあることを示しています。したがって、自然数のリストに沿って、最も近い素数が100、1,000、または1,000,000,000の数だけ離れている場所があります。
これらの結果には、古典的な緊張が見られます。 素数は無限にありますが、連続する素数も無限に離れている可能性があります。 さらに、互いに接近している連続する素数は無限にあります。 約10年前、張益唐の画期的な作業は、ギャップを埋め、双子素数の予想を証明するための競争を開始しました。これは、わずか2だけ異なる素数のペアが無限にあると主張しています。双子素数の予想は最も多いもののXNUMXつです。数学の有名な未解決の質問、そしてジェームズ・メイナードはこのとらえどころのない結果を証明することに向けて彼自身の重要な貢献をしました。
この緊張は、いわゆるデジタル的に繊細な素数に関する最近の結果にも見られます。 これらの数が何であるか、どこにあるかどうかを理解するために、次の奇妙な質問について考えてみてください。XNUMX桁の変更で常に合成されるXNUMX桁の素数はありますか？
デジタルの繊細さを感じるために、23という数字を試してみましょう。素数であることはわかっていますが、20の桁を変更するとどうなりますか？ そうですね、22、24、26、28、21はすべて偶数であるため、複合的です。 3は25で割り切れ、5は27で割り切れ、9は9で割り切れます。これまでのところ、とても良いです。 しかし、29の桁を23に変更すると、XNUMXが得られますが、これはまだ素数です。 したがって、XNUMXは私たちが探している種類のプライムではありません。
37はどうですか？ 上で見たように、偶数や5で終わる数をわざわざチェックする必要はないので、31、33、39をチェックするだけです。31も素数なので、37も機能しません。
そのような数も存在しますか？ 答えはイエスですが、それを見つけるには97まで行く必要があります。97は素数ですが、91（7で割り切れる）、93（3で割り切れる）、99（3で割り切れる）はすべて複合です、偶数と95とともに。
素数は、その数字のいずれかを他の数字に変更したときに、その「素数性」（または専門用語を使用する場合は素数性）を失う場合、「デリケート」です。 これまでのところ、97は97桁でデリケートであることがわかります。その桁を変更すると常に合成数が生成されるためですが、1はデジタルデリケートであるという完全な基準を満たしていますか？ 答えはノーです。17桁を37に変更すると、47が素数になるからです。 （67、XNUMX、XNUMXもすべて素数であることに注意してください。）
実際、XNUMX桁のデジタル的に繊細な素数はありません。 次のすべてのXNUMX桁の数字の表は、XNUMX桁の素数が網掛けされており、その理由を示しています。
任意の行のすべての数字は同じ97桁であり、任意の列のすべての数字は同じXNUMX桁です。 行の影付きの数字がXNUMXだけであるという事実は、XNUMX桁でデリケートであるという事実を反映していますが、列の素数はそれだけではありません。つまり、XNUMX桁ではデリケートではありません。
デジタル的に繊細な100桁の素数は、その行と列の唯一の素数である必要があります。 表が示すように、そのような199桁の素数は存在しません。 デジタルで繊細なXNUMX桁の素数はどうですか？ これは、合成数を省略した、XNUMXからXNUMXまでのXNUMX桁の素数のレイアウトを示す同様の表です。
ここでは、113が独自の行にあることがわかります。これは、113桁でデリケートであることを意味します。 ただし、0は独自の列にないため、103桁に変更を加えると（6の場合は163、XNUMXの場合はXNUMXなど）素数が生成されます。 独自の行と列の両方に数字が表示されないため、XNUMX桁またはXNUMX桁を変更した場合に、合成が保証されるXNUMX桁の数字がないことがすぐにわかります。 これは、XNUMX桁のデジタル的に繊細な素数が存在できないことを意味します。 数百桁もチェックしていないことに注意してください。 真にデジタル的に繊細であるためには、XNUMX桁の数字は、XNUMX次元テーブルのXNUMX方向の素数を避ける必要があります。
デジタル的に繊細な素数も存在しますか？ 数直線をさらに進むと、素数はまばらになる傾向があり、これらの高次元テーブルの行と列のパスを横切る可能性が低くなります。 ただし、数値が大きいほど桁数が多くなり、桁数が増えるごとに素数がデジタル的にデリケートになる可能性が低くなります。
続けていくと、デジタル的に繊細な素数が存在することに気付くでしょう。 最小は294,001です。 その数字の794,001つを変更すると、取得する数値（たとえば、284,001、つまり505,447）は合成されます。 そしてもっとあります：次のいくつかは584,141です。 604,171; 971,767; 1,062,599; およびXNUMX。 実際、彼らは止まりません。 有名な数学者ポール・エルデシュは、デジタル的に繊細な素数が無限に多いことを証明しました。 そして、それはこれらの奇妙な数字についての多くの驚くべき結果の最初のものにすぎませんでした。
たとえば、エルデシュは、デジタル的に繊細な素数が無限に多いことを証明しただけではありません。彼は、どのベースにもデジタル的に繊細な素数が無限にあることを証明しました。 したがって、XNUMX進数、XNUMX進数、またはXNUMX進数で数値を表すことを選択した場合でも、デジタル的に繊細な素数を無限に見つけることが保証されます。
そして、デジタル的に繊細な素数は無限ではありません。それらはすべての素数のゼロ以外のパーセンテージを構成します。 これは、全体的な素数の数に対するデジタル的に繊細な素数の数の比率を見ると、この割合はゼロより大きい数であることを意味します。 フィールズ賞のメダリストであるテレンスタオが2010年に証明したように、技術的には、すべての素数の「正の割合」はデジタル的にデリケートです。素数がますます少なくなるため、素数自体がすべての数の正の割合を占めるわけではありません。遠くに行くと、数直線に沿って進みます。 しかし、それらの素数の中で、総素数に対するデリケートな素数の比率をゼロより上に保つのに十分な頻度で、デジタル的にデリケートな素数を見つけ続けるでしょう。
おそらく最も衝撃的な発見は 2020年からの結果 これらの奇妙な数の新しいバリエーションについて。 数学者は、数字とは何かという概念を緩和することにより、数値の表現を再考しました。97自体について考えるのではなく、先行ゼロがあると考えました。
…0000000097。
先行ゼロはそれぞれ数字と考えることができ、デジタルの繊細さの問題はこれらの新しい表現に拡張できます。 「広くデジタル的にデリケートな素数」が存在する可能性はありますか。これは、先行ゼロを含むいずれかの数字を変更すると常に複合になる素数です。 数学者のマイケル・フィラセタとジェレミア・サウスウィックの仕事のおかげで、驚くべきことに、答えはイエスであることがわかりました。 広くデジタル的に繊細な素数が存在するだけでなく、それらの数は無限にあります。
素数は、専門家や愛好家が遊ぶための数学パズルの無限の文字列を形成します。 私たちは彼らのすべての謎を解き明かすことは決してないかもしれませんが、数学者が探求する新しい種類の素数を継続的に発見し、発明することを期待することができます。
演習
1. 2から101までの素数の中で最大の素数の間隔はどれくらいですか？
2.素数が無限に多いことを証明するために、Euclidは素数が無限に多いと仮定して$ latexp_1、p_2、p_3、…、p_n $し、$ latexq = p_1 x p_2 xp_3x…xp_n+ 1$isnであることを示します。リストの素数で割り切れません。 これはそれを意味するのではありません q 素数でなければなりませんか？
3.数論の有名な結果は、間に常に素数があるということです k そして、2k （包括的）。 これを証明するのは難しいですが、間に常に素数があることを証明するのは簡単です k および$latexq= p_1 x p_2xp_3x…xp_n+ 1 $（両端を含む）。ここで、$ latexp_1、p_2、p_3、…、p_n$はすべて以下の素数です。 k。 証明する。
4. XNUMX桁とXNUMX桁で、デジタル的に繊細な最小の素数を見つけることができますか？ つまり、XNUMX桁またはXNUMX桁を変更すると、常に合成数が生成されます。 （これを行うためのコンピュータープログラムを作成することをお勧めします！）
課題の問題：2進数で表したときにデジタル的に繊細な最小の素数を見つけることができますか？ 0進数、つまり1を底とする場合、数字は2と8のみであり、各桁の値は1000の累乗を表すことを思い出してください。たとえば、$ latex 2=8×1^2 + 3であるため、0は$latex2_2$として表されます。 $ latex0=2回1^0+2回0^7+2回111^2 $であるため、x 7 ^ 1 + 2 x 2 ^ 1 + 2 x 1 ^ 1 $、およびベース2の0は$latexXNUMX_XNUMX$です。
回答1をクリックしてください：
回答2をクリックしてください：
いいえ。最初の2つの素数を考えてみましょう：3、5、7、11、13、XNUMX。この場合の数 q $latex2回3回5回7回11回13+1 =30,031$になります。 これは2、3、5、7、11、または13で割り切れませんが、素数ではありません。$ラテックス30,031=59×509$として因数分解されます。 素因数がありますが、それらはすべて最初のXNUMXつの素数よりも大きいことに注意してください。
回答3をクリックしてください：
どちらか k or q 私たちがやったプライムです。 もしも q 素数ではない複合体です。つまり、ある素数で割り切れますが、最初の素数では割り切れないことはすでにわかっています。 n 素数。 したがって、最初の素数よりも大きい素数で割り切れる必要があります n 素数、そしてこれらはすべて素数であるため k、このプライムはより大きくなければなりません k。 しかし、この素数は分かれます q、したがって、それは以下でなければなりません q、したがって、間に素数がなければなりません k & q.
回答4をクリックしてください：
2,459、2,451、および2,453はすべて複合（デリケートな数字の基準を満たす）であり、2,457、2,409、2,419、2,429、2,439、2,449、2,469、2,479、および2,489はすべて複合（満足する）であるため、このプロパティを満たす最初の素数は2,499です。繊細な2,459桁の基準）。 しかし、2,659は素数であるため、XNUMXはデジタル的に繊細ではありません。したがって、数百桁を検討し始めると失敗します。 （数学者のジョンD.クックに彼の出版をしてくれてありがとう デジタル的に繊細な素数検索Pythonコード.)
チャレンジ問題への回答をクリックしてください：
$letx127 = 1111111_2$はデジタル的にデリケートです。$latex126= 1111110_2 $、$ latest125 = 1111101_2 $、$latex123 = 1111011_2 $、$latex119 = 1110111_2 $、$latex111 = 1101111_2 $、$ latest95 = 1011111_2 $、$latex63だからです。 =0111111_2$はすべて複合です。
