מבוא
אנו נוטים לחשוב על מתמטיקה כהגיונית גרידא, אך הוראת המתמטיקה, ערכיה, התועלת שלה ופעולותיה עמוסות בניואנסים. אז מהי מתמטיקה "טובה"? בשנת 2007, המתמטיקאי טרנס טאו כתב חיבור עבור עלון של האגודה האמריקאית למתמטיקה שביקש לענות על שאלה זו. כיום, כחתן מדליית פילדס, פרס פורץ דרך במתמטיקה ומלגת מקארתור, טאו הוא אחד המתמטיקאים המכובדים והפוריים ביותר בחיים. בפרק זה הוא מצטרף למארח ולחברנו המתמטיקאי סטיבן סטרוגאץ לבחון מחדש את מרכיביה של מתמטיקה טובה.
תקשיב Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, Stitcher, לכונן או אפליקציית הפודקאסט המועדפת עליך, או שאתה יכול להזרים את זה Quanta.
תמליל
סטיבן סטרוגץ: עוד באוקטובר 2007, כשאייפון מהדור הראשון עדיין היה סחורה חמה ושוק המניות היה בשיא כל הזמנים לפני המיתון הגדול, טרנס טאו, פרופסור למתמטיקה ב-UCLA, היה נחוש לענות שאלה שנדונה זה מכבר בין מתמטיקאים: מהי בעצם מתמטיקה טובה?
האם מדובר בקפדנות? אֵלֶגַנטִיוּת? כלי עזר בעולם האמיתי? טרי כתב חיבור מאוד מתחשב ונדיב, אפילו הייתי אומר בלב פתוח, על כל הדרכים שבהן מתמטיקה יכולה להיות טובה. אבל עכשיו, יותר מ-15 שנים מאוחר יותר, האם עלינו לחשוב מחדש מהי מתמטיקה טובה?
אני סטיב סטרוגאץ, וזהו "השמחה של למה", פודקאסט מתוך מגזין Quanta שם המנחה השותף שלי, יאנה לוין, ואני מתחלפים בבחינת כמה מהשאלות הגדולות ביותר ללא מענה במתמטיקה ובמדעים כיום.
(מחזות נושא)
כאן היום כדי לבחון מחדש את השאלה הנצחית מה עושה מתמטיקה טוב הוא טרי טאו עצמו. פרופסור טאו חיבר יותר מ-300 מאמרי מחקר על מגוון רחב להפליא של מתמטיקה, כולל ניתוח הרמוני, משוואות דיפרנציאליות חלקיות, קומבינטוריקה, תורת המספרים, מדעי הנתונים, מטריצות אקראיות ועוד הרבה יותר. הוא כונה "מוצרט של המתמטיקה". וכזוכה במדליית פילדס, פרס פריצת דרך במתמטיקה, מלגת מקארתור ופרסים רבים אחרים, הכינוי הזה בהחלט ראוי.
טרי, ברוך הבא ל"השמחה של למה".
TERENCE TAO: תענוג להיות כאן.
STROGATZ: אני מאוד נרגש להיות מסוגל לדבר איתך על השאלה הזו של מה זה עושה כמה סוגים של מחקר מתמטי טוב. אני זוכר שדפדפתי בצורה חיה למדי עלון של האגודה האמריקאית למתמטיקה עוד ב-2007 ונתקל החיבור שלך בנושא זה שהעמדת לנו. זה משהו שכל המתמטיקאים חושבים עליו. אבל לאנשים שם בחוץ שאולי לא כל כך מכירים, האם תוכל לומר לנו, איך נחת על השאלה הזו? איך הגדרת מתמטיקה טובה בזמנו?
טאו: נכון, כן. זה היה בעצם שידול. אז העורך של ה עָלוֹן בזמנו ביקש ממני לתרום מאמר. אני חושב שהיה לי מושג מאוד נאיבי מהי מתמטיקה כתלמיד. היה לי רעיון כזה שיש איזו מועצה של זקנים אפורים שתחלק בעיות לאנשים לעבוד עליהם. וזה היה סוג של הלם עבורי כסטודנט לתואר שני, להבין שאין בעצם הסמכות המרכזית הזו לחלק בעיות, ואנשים עשו מחקר בניהול עצמי.
המשכתי ללכת לשיחות ולהקשיב איך מתמטיקאים אחרים דיברו על מה שהם מוצאים מרגש ומה גורם להם להתלהב ממתמטיקה, ועל העובדה שלכל מתמטיקאי יש דרך אחרת לגשת למתמטיקה. כאילו, חלקם יחפשו יישומים, חלקם לפי סוג של יופי אסתטי, חלקם רק לפי פתרון בעיות. הם רצו לפתור בעיה והם היו מתמקדים בסוג של המשימות הקשות ביותר, המאתגרות ביותר. חלקם יתמקדו בטכניקה; חלקם ינסו לעשות דברים אלגנטיים ככל האפשר.
אבל מה שהדהים אותי כשהקשבתי לכל כך הרבה מהמתמטיקאים השונים האלה מדברים על מה שהם מוצאים בעל ערך במתמטיקה הוא שלמרות שלכולנו היו אידיאלים שונים לגבי איך צריכה להיראות מתמטיקה טובה, כולם נוטים להתכנס לאותו דבר.
אם חתיכת מתמטיקה היא באמת טובה, אנשים שרודפים אחרי יופי בסופו של דבר יקרו בה. אנשים שרודפים אחרי, שמעריכים, אתה יודע, כוח טכני או יישומים ינחתו עליו בסופו של דבר.
יוג'ין ויגנר היה חיבור מאוד מפורסם על יעילות בלתי סבירה של מתמטיקה במדעי הפיזיקה לפני כמעט מאה שנה, שם הוא רק ראה שיש תחומים של מתמטיקה - למשל, גיאומטריה רימניאנית, חקר המרחב המעוקל - זה היה בתחילה רק תרגיל תיאורטי גרידא למתמטיקאים, אתם יודעים, שניסו להוכיח את עמדה מקבילה וכן הלאה, והתברר שזה בדיוק מה שאיינשטיין ופואנקרה והילבר היו צריכים כדי לתאר את המתמטיקה של תורת היחסות הכללית. וזו רק תופעה שמתרחשת.
אז לא רק המתמטיקה, מה שמתמטיקאים מוצאים מעניין מבחינה אינטלקטואלית בסופו של דבר הוא חשוב פיזית. אבל אפילו בתוך המתמטיקה, נושאים שמתמטיקאים מוצאים שהם אלגנטיים מספקים במקרה גם תובנות עמוקות.
מה שאני מרגיש זה, אתה יודע, יש איזו מתמטיקה אפלטונית טובה בחוץ, וכל מערכות הערכים השונות שלנו הן רק דרכים שונות לגשת לדברים הטובים האובייקטיביים האלה.
STROGATZ: זה מאוד מעניין. בהיותי סוג של אדם הנוטה לחשיבה אפלטונית בעצמי, אני מתפתה להסכים. למרות שאני קצת מופתע לשמוע אותך אומר את זה, כי הייתי חושב לאן אתה הולך נראה בהתחלה, כאילו, יש כל כך הרבה נקודות מבט שונות לגבי זה. אבל זו עובדה מעניינת, סוג של עובדה אמפירית, שאנחנו כן מתכנסים להסכמה לגבי מה טוב או לא טוב, למרות שכפי שאתה אומר, אנחנו באים לזה מכל כך הרבה ערכים שונים.
טאו: ימין. ההתכנסות עשויה לקחת זמן. אתה יודע, אז בהחלט יש שדות, למשל, שבהם הם נראים הרבה יותר טוב לפי מדד אחד מאחרים. כאילו אולי יש להם הרבה יישומים, אבל המצגת שלהם מגעילה ביותר, אתה יודע.
(סטרוגץ צוחק)
או דברים שהם מאוד אלגנטיים אבל עדיין אין להם הרבה יישומים טובים בעולם האמיתי. אבל אני כן מרגיש שבסופו של דבר זה יתכנס.
STROGATZ: ובכן, הרשו לי לשאול אתכם על נקודת המגע הזו עם העולם האמיתי. זה מתח מעניין במתמטיקה. ואתם יודעים, בתור ילדים קטנים, נניח, כשאנחנו לומדים לראשונה על גיאומטריה, אתם עשויים לחשוב באותו נקודה שמשולשים הם אמיתיים, או מעגלים או קווים ישרים הם אמיתיים, ושהם יכולים לספר לכם על הצורות המלבניות שאתם רואים. בבניינים בעולם, או שמודדים צריכים להשתמש בגיאומטריה. ואחרי הכל, המילה באה ממדידת כדור הארץ, נכון, "גיאומטריה". וכך, הייתה תקופה שבה הגיאומטריה הייתה אמפירית.
אבל מה שרציתי לשאול אותך קשור להערה ש ג'ון פון נוימן עָשׂוּי. אז פון נוימן, לכל מי שלא מכיר, היה בעצמו מתמטיקאי גדול. והוא העיר את ההערה הזו בחיבור הזה, "המתמטיקאי", על הקשר בין מתמטיקה לעולם האמפירי, העולם האמיתי, שבו הוא אומר בערך שרעיונות מתמטיים מקורם באמפיריה, אבל שבשלב מסוים, ברגע שמקבלים את הרעיונות המתמטיים, הנושא מתחיל לקבל חיים משלו שֶׁלוֹ. ואז זה יותר כמו יצירת אמנות יצירתית. קריטריונים אסתטיים הופכים חשובים. אבל הוא אומר שזה גורם לסכנה. שכשנושא מתחיל להתרחק מדי מהמקור האמפירי שלו, כמו במיוחד בדור השני או השלישי שלו, הוא אומר שיש סיכוי שהנושא יכול לסבול מהתרבות מופשטת מדי והוא בסכנת ניוון.
יש מחשבות על זה? כלומר, האם מתמטיקה חייבת להישאר בקשר עם המקור האמפירי שלה?
TAO: כן, אני חושב שזה צריך להיות מקורקע. כשאני אומר שבאופן אמפירי, כל הדרכים השונות האלה לעשות מתמטיקה מתכנסות, זה רק בגלל - זה קורה רק כשהנושא בריא. אז, אתה יודע, החדשות הטובות הן שבדרך כלל זה כן.
אבל, למשל, מתמטיקאים מעריכים הוכחות קצרות על פני ארוכות, כל שאר הדברים שווים. אבל אפשר היה לדמיין אנשים חורגים וכמו, תת-תחום אחד של מתמטיקה אובססיבי לעשות הוכחות קצרות ככל האפשר ובעלי הוכחות דו-שורות אטומות במיוחד של משפטים עמוקים. והם עושים את זה סוג של תחרות, ואז זה הופך לסוג כזה של משחק מופרך ואז אתה מאבד את כל האינטואיציה. אתה מאבד אולי הבנה עמוקה יותר כי אתה פשוט כל כך אובססיבי לעשות את כל ההוכחות שלך קצרות ככל האפשר. עכשיו, זה לא קורה בפועל. אבל זו סוג של דוגמה תיאורטית, ואני חושב שלפון נוימן העלה נקודה דומה.
ובשנות השישים והשבעים, כמו, היה עידן של מתמטיקה שבו ההפשטה התקדמה בצעדי ענק בפישוט ואיחוד של הרבה מתמטיקה שבעבר הייתה מאוד אמפירית. במיוחד באלגברה, אנשים הבינו, אתם יודעים, מספרים ופולינומים ואובייקטים רבים אחרים שטופלו בעבר בנפרד, כולכם יכולים לחשוב עליהם כעל חברים באותה מחלקה אלגברית, במקרה הזה טבעת.
והתקדמות רבה במתמטיקה נעשתה על ידי מציאת ההפשטה הנכונה, אתה יודע, בין אם זה היה מרחב טופולוגי או מרחב וקטורי, מה שלא יהיה, והוכחת משפטים באופן כללי. ולפעמים זה מה שאנו מכנים עידן בורבקי במתמטיקה. וזה אכן סטה קצת יותר מדי מלהיות מקורקע.
כמובן שהיה לנו, כמו, את כל הפרק של מתמטיקה חדשה בארצות הברית, שם ניסו מחנכים ללמד מתמטיקה בסגנון בורבקי ובסופו של דבר הבין שזו לא הפדגוגיה המתאימה ברמה הזו.
אבל עכשיו המטוטלת התנדנדה לא מעט לאחור. יש לנו סוג של - הנושא התבגר לא מעט ובכל תחום של מתמטיקה, גיאומטריה, טופולוגיה, מה שלא יהיה, יש לנו סוג של פורמליזציות מספקות ואנחנו די יודעים מהן ההפשטות הנכונות. ועכשיו התחום שוב מתמקד בקשרים ובאפליקציות. זה מתחבר הרבה יותר לעולם האמיתי עכשיו.
כלומר, לא רק סוג של פיזיקה, שהיא חיבור מסורתי, אלא, אתה יודע, מדעי המחשב, מדעי החיים, מדעי החברה, אתה יודע. עם עליית הנתונים הגדולים, כמעט כל דיסציפלינה אנושית ניתנת כעת לממטמטיקה במידה מסוימת.
STROGATZ: אני מאוד מתעניין במילה שבה השתמשת רק לפני דקה לגבי "חיבורים הדדיים", כי זה נראה כמו נקודה מרכזית עבורנו לדון בה. זה משהו שאתה מזכיר במאמר שלך, שיחד עם אלה, מה שאתה מכנה קריטריונים "מקומיים" לגבי אלגנטיות, או יישומים בעולם האמיתי, או כל דבר אחר, אתה מזכיר את ההיבט ה"גלובלי" הזה של מתמטיקה טובה: שמתמטיקה טובה מתחברת לאחרים מתמטיקה טובה.
זה כמעט המפתח למה שעושה את זה טוב, שזה משולב עם חלקים אחרים. אבל זה מעניין כי זה נשמע כמעט כמו חשיבה מעגלית: שמתמטיקה טובה היא המתמטיקה שמתחברת למתמטיקה טובה אחרת. אבל זה רעיון ממש חזק, ואני רק תוהה אם תוכל להרחיב עליו קצת יותר.
טאו: כן, אז, אני מתכוון, על מה מתמטיקה עוסקת - אחד הדברים שמתמטיקה עושה הוא שהיא יוצרת קשרים מאוד בסיסיים ויסודיים, אבל לא ברורים אם רק מסתכלים על זה מרמת השטח. דוגמה מוקדמת מאוד לכך היא המצאת קואורדינטות קרטזיות של דקארט שיצרו קשר בסיסי בין גיאומטריה - חקר נקודות וקווים ואובייקטים מרחביים - לבין מספרים, אלגברה.
אז, למשל, עיגול שאתה יכול לחשוב עליו כעל אובייקט גיאומטרי, אבל אתה יכול גם לחשוב עליו כמשוואה: x2 + y2 = 1 היא משוואת מעגל. בזמנו, זה היה חיבור מאוד מהפכני. אתה יודע, היוונים הקדמונים ראו בתורת המספרים ובגיאומטריה נושאים מפורקים כמעט לחלוטין.
אבל עם דקארט, היה הקשר היסודי הזה. ועכשיו זה מופנם; אתה יודע, הדרך שבה אנחנו מלמדים מתמטיקה. זה כבר לא מפתיע שאם יש לך בעיה גיאומטרית, אתה תוקף אותה במספרים. או אם יש לך בעיה עם מספרים, אתה יכול לתקוף אותה עם גיאומטריה.
זה קצת בגלל שגם הגיאומטריה וגם המספרים הם היבטים של אותו מושג מתמטי. יש לנו תחום שלם שנקרא גיאומטריה אלגברית, שהיא לא אלגברה ולא גיאומטריה, אבל זה נושא מאוחד שחוקר אובייקטים שאתה יכול לחשוב עליהם כעל צורות גיאומטריות, כמו קווים ומעגלים וכן הלאה, או כמשוואות.
אבל באמת, זה איחוד הוליסטי של השניים שאנחנו לומדים. וככל שהנושא העמיק, הבנו שזה יותר מהותי איכשהו מאשר אלגברה או גיאומטריה בנפרד, במובנים מסוימים. אז, הקשרים האלה עוזרים לנו לגלות סוג של מתמטיקה אמיתית שבתחילה, איכשהו, המחקרים האמפיריים שלנו רק נותנים לנו פינה של הנושא.
יש את המשל המפורסם הזה של הפיל, אני שוכח איפה, שאם יש לך... יש ארבעה עיוורים, והם מגלים פיל. ואחד מהם מרגיש את רגלו של הפיל והם חושבים, "אה, זה, זה מאוד מחוספס. זה בטח כמו עץ או משהו כזה."
ואחד מהם מרגיש את החדק, ורק הרבה אחר כך הם רואים שיש עצם פיל בודד שמסביר את כל ההשערות הנפרדות שלהם. כן, אז כולנו עיוורים בהתחלה, אתה יודע. אנחנו רק צופים בצללים במערה של אפלטון ורק מאוחר יותר מבינים -
STROGATZ: וואו, אתה מאוד פילוסופי כאן. זה משהו. אני לא יכול להתאפק עכשיו: אם אתה מתכוון להתחיל לדבר על הפיל והאנשים העיוורים, זה מצביע על כך שאתה חושב שמתמטיקה נמצאת שם בחוץ - שזה משהו כמו הפיל ושאנחנו העיוורים... או, אתה יודע, אנחנו מנסים לראות משהו שקיים ללא תלות בבני אדם. זה באמת מה שאתה מאמין?
טאו: כשאתה עושה מתמטיקה טובה, כאילו, זה לא רק לדחוף סמלים. אתה כן מרגיש שיש איזה אובייקט אמיתי שאתה מנסה להבין, וכל המשוואות שלנו הן רק סוג של קירובים לזה, או צללים.
אתה יכול להתווכח על הנקודה הפילוסופית של מהי בעצם המציאות וכן הלאה. זאת אומרת, אלה דברים שאתה באמת יכול לגעת בהם, וככל שדברים אמיתיים יותר מתמטיים, לפעמים הם נראים פחות פיזיים. כפי שאמרת, גיאומטריה בהתחלה, אתה יודע, הייתה דבר מאוד מוחשי לגבי אובייקטים במרחב הפיזי שאתה יכול - אתה יודע, אתה יכול למעשה לבנות מעגל וריבוע וכן הלאה.
אבל בגיאומטריה המודרנית, אתה יודע, אנחנו עובדים בממדים גבוהים יותר. אנחנו יכולים לדבר על גיאומטריות בדידות, כל מיני טופולוגיות מטורפות. ואני מתכוון, הנושא עדיין ראוי להיקרא גיאומטריה, למרות שאין כדור הארץ נמדד יותר. האטימולוגיה היוונית העתיקה מאוד מיושנת אבל היא כן, אבל בהחלט יש שם משהו. אם - כמה אמיתי אתה רוצה לקרוא לזה. אבל אני מניח שהנקודה היא שלצורך לעשות מתמטיקה, זה עוזר להאמין שזה אמיתי.
STROGATZ: כן, זה לא מעניין? זה עושה. נראה שזה משהו שנכנס עמוק מאוד בהיסטוריה של המתמטיקה. הופתעתי ממאמר שכתב ארכימדס לחברו, או לפחות לעמיתו, ארוטוסטנס.
אנחנו מדברים עכשיו, כמו, 250 לפני הספירה והוא אומר את ההערה, הוא גילה דרך למצוא את השטח של מה שהיינו מכנים קטע של פרבולה. הוא לוקח פרבולה, הוא חוצה אותה עם קטע קו שנמצא בזווית אלכסונית לציר הפרבולה, והוא מגלה את האזור הזה. הוא מקבל תוצאה יפה מאוד. אבל הוא אומר משהו לארטוסטנס כמו, "התוצאות האלה היו טבועות בדמויות כל הזמן." אתה יודע, כאילו, הם שם. הם שם. הם רק מחכים שהוא ימצא.
זה לא שהוא יצר אותם. זה לא כמו שירה. כלומר, זה מעניין, בעצם, לא? שהרבה אמנים גדולים - מיכלאנג'לו דיבר על שחרור הפסל מהאבן, אתה יודע, כאילו הוא היה שם מלכתחילה. וזה נשמע כאילו יש לך ולהרבה מתמטיקאים גדולים אחרים - כמו שאתה אומר, זה מאוד שימושי להאמין ברעיון הזה, שהוא שם מחכה לנו, מחכה למוחות הנכונים לגלות אותו.
טאו: ימין. ובכן, אני חושב שאחד הביטויים לכך הוא שרעיונות שלעתים קרובות מאוד מסובכים להסביר כשהם מתגלים לראשונה, הם הופכים לפשוטים. אני מתכוון, אתה יודע, לעתים קרובות הסיבה לכך שמשהו נראה מאוד עמוק או קשה בהתחלה היא שאין לך את הסימון הנכון.
לדוגמה, יש לנו עכשיו סימון עשרוני כדי לתפעל מספרים, וזה מאוד נוח. אבל בעבר, היו לנו כמו, אתה יודע, ספרות רומיות ואז היו אפילו יותר מערכות מספרים פרימיטיביות שפשוט היה ממש ממש קשה לעבוד איתן אם אתה רוצה לעשות מתמטיקה.
של אוקלידס גורמים, אתה יודע - כמה מהטיעונים בטקסטים העתיקים האלה. כאילו, יש משפט אחד באוקלידס גורמים אני חושב שנקרא גשר השוטים או משהו כזה. זה כמו ההצהרה, שלדעתי ההצהרה היא כמו משולש שווה שוקיים, שתי זוויות הבסיס שוות. כאילו, זה כמו הוכחה שתי שורות בטקסטים גיאומטריים מודרניים, אתה יודע, עם האקסיומות הנכונות. אבל לאוקלידס הייתה הדרך הנוראה הזו לעשות את זה. וזה היה המקום שבו תלמידים רבים לגיאומטריה בעידן הקלאסי פשוט ויתרו לחלוטין על מתמטיקה.
STROGATZ: נכון. (צוחק)
טאו: אבל, אתה יודע, יש לנו עכשיו דרך הרבה יותר טובה לעשות את זה. אז לעתים קרובות הסיבוכים שאנו רואים במתמטיקה הם חפצים של המגבלות שלנו. וכך, ככל שאנו מתבגרים, אתה יודע, הדברים הופכים לפשוטים יותר. וזה מרגיש יותר אמיתי בגלל זה. אנחנו לא רואים את החפצים. אנחנו רואים את המהות.
STROGATZ: ובכן, אז נחזור למאמר שלך: כשכתבת אותו, בזמנו - זאת אומרת, זה היה די מוקדם בקריירה שלך, לא ממש ההתחלה, אבל עדיין. למה הרגשת אז שחשוב לנסות להגדיר מהי מתמטיקה טובה?
טאו: אני חושב... אז בשלב הזה, כבר התחלתי לייעץ לסטודנטים לתארים מתקדמים, ושמתי לב, אתה יודע, היו כמה תפיסות מוטעות לגבי, בערך, מה טוב ומה לא. וגם דיברתי עם מתמטיקאים בתחומים שונים, ומה שהתחום שלו מוערך במתמטיקה נראה שונה מאחרים. אבל בכל זאת, איכשהו כולנו למדנו את אותו נושא.
ולפעמים מישהו היה אומר משהו שדי משפשף אותי בצורה לא נכונה, אתה יודע, כמו, "למתמטיקה הזו אין יישומים, ולכן אין לה ערך." או "ההוכחה הזו פשוט מסובכת מדי; לכן אין לזה ערך", או משהו. או להיפך, אתה יודע, "ההוכחה הזו פשוטה מדי; לכן זה לא שווה..." אתה יודע. כאילו, הייתה איזו, כאילו, סוג של סנוביות וכן הלאה, לפעמים הייתי נתקל.
ומניסיוני, המתמטיקה הטובה ביותר הגיעה כשהבנתי נקודת מבט אחרת, דרך אחרת לחשוב על מתמטיקה ממישהו בתחום אחר וליישם אותה על בעיה שאכפת לי ממנה. ולכן החוויה שלי כיצד להשתמש במתמטיקה כראוי, כיצד להפעיל אותה, הייתה כל כך שונה מאלה - מעין "הדרך האמיתית האחת לעשות מתמטיקה".
הרגשתי שצריך להבהיר את הנקודה הזו איכשהו. שבאמת יש דרך רבים לעשות מתמטיקה, אבל בעוד שמתמטיקה עדיין מאוחדת.
STROGATZ: זה מאוד חושפני, כי תהיתי, אתה יודע, כאילו, בהקדמה שלי הזכרתי את ענפי המתמטיקה השונים שחקרתם, ואפילו לא כללתי כמה. כאילו, אני זוכר רק לפני כמה שנים, את העבודה שלך על המסתורין הזה בדינמיקת נוזלים, על האם משוואות מסוימות שלדעתנו עושות עבודה טובה בקירוב תנועות המים והאוויר. אני לא רוצה להיכנס לפרטים יותר מדי, אבל רק כדי לומר, הנה, אנשים חושבים שאתה עושה תורת המספרים או ניתוח הרמוני, ופתאום אתה עובד על שאלות דינמיקה נוזלית. כלומר, אני מבין שזה משוואות דיפרנציאליות חלקיות. אבל עדיין, נראה שרוחב העניין שלך קשור לרוחב של קבלת תובנות שונות, רעיונות בעלי ערך שונים מכל הדרכים השונות לעשות מתמטיקה טובה.
טאו: אני שוכח מי אמר את זה, אבל יש שני סוגים של מתמטיקאים. יש קיפודים ושועלים. שועל הוא מישהו שיודע קצת על הכל. קיפוד הוא יצור שיודע דבר אחד טוב מאוד. ואף אחד לא יותר טוב מהשני. הם משלימים זה את זה. כלומר, במתמטיקה, אתה צריך אנשים שהם באמת מומחי תחום עמוק בתת-תחום אחד, והם יודעים נושא מבפנים. ואתה צריך אנשים שיכולים לראות את הקשרים בין תחום אחד למשנהו. אז אני בהחלט מזדהה כשועל, אבל אני עובד עם הרבה קיפודים. העבודה שאני הכי גאה בה היא לעתים קרובות שיתוף פעולה כזה.
STROGATZ: הו כן. האם הם מבינים שהם קיפודים?
טאו: טוב, בסדר, התפקידים משתנים עם הזמן. כאילו, יש שיתופי פעולה אחרים שבהם אני הקיפוד ומישהו אחר הוא השועל. אלה הם סוג של לא קבועים - אתה יודע, אלה לא נמצאים ב-DNA שלך.
STROGATZ: אה, נקודה טובה. אנחנו יכולים לאמץ - אנחנו יכולים ללבוש את שתי הגלימות.
ובכן, מה לגבי, האם הייתה תגובה לחיבור באותו זמן? אנשים אמרו לך משהו בחזרה?
טאו: קיבלתי תגובה די חיובית באופן כללי. כלומר, ה עלון ה-AMS זה לא פרסום בתפוצה עצומה, אני חושב. וגם, לא באמת אמרתי משהו שנוי במחלוקת מדי. כמו כן, סוג זה של מדיה חברתית קודמת, אז אני חושב שאולי יש כמה בלוגים במתמטיקה שקלטו את זה, אבל לא היה טוויטר. לא היה שום דבר שיגרום לזה להפוך לוויראלי.
כן, גם אני חושב, באופן כללי, מתמטיקאים לא מבזבזים הרבה מזמנם ומהונם האינטלקטואלי בספקולציות. כלומר, יש עוד מתמטיקאי שנקרא מיניונג קים למי הייתה המטאפורה היפה מאוד שלמתמטיקאים אמינות היא כמו מטבע, כמו כסף. אם אתה מוכיח משפטים ואתה מוכיח שאתה מכיר את הנושא, אתה צובר איכשהו את המטבע הזה של אמינות בבנק. וברגע שיש לך מספיק מטבע, אתה יכול להרשות לעצמך לשער מעט על ידי תהייה קצת פילוסופית ולומר מה עשוי להיות נכון ולא מה שאתה באמת יכול להוכיח.
אבל אנחנו נוטים להיות שמרניים, ואנחנו לא רוצים משיכת יתר בחשבון הבנק שלנו. אתה יודע, אתה לא רוצה שרוב הכתיבה שלך תהיה ספקולטיבית ושרק אחוז אחד יוכיח משהו.
STROGATZ: מספיק הוגן. אז אוקיי. אז עברו המון שנים מאז. על מה אנחנו מדברים? זה יותר מ-15 שנה.
טאו: אה כן, הזמן טס.
STROGATZ: האם דעתך השתנתה? האם יש משהו שאנחנו צריכים לתקן?
טאו: ובכן, תרבות המתמטיקה משתנה לא מעט. כבר הייתה לי ראייה רחבה של מתמטיקה, ועכשיו יש לי ראייה רחבה עוד יותר.
אז, דוגמה אחת מאוד קונקרטית היא: הוכחות בעזרת מחשב עדיין היו שנויות במחלוקת בשנת 2007. הייתה השערה מפורסמת בשם השערת קפלר, הנוגעת לדרך היעילה ביותר לארוז כדורי יחידה במרחב תלת מימדי. ויש אריזה סטנדרטית, אני חושב שהיא נקראת אריזה מרכזית מעוקבת או משהו, שקפלר שיער שהיא הכי טובה שאפשר.
זה נפתר לבסוף, אבל ההוכחה הייתה מאוד בעזרת מחשב. זה היה די מסובך, ו [תומס] היילסבסופו של דבר למעשה יצרה שפת מחשב שלמה כדי לאמת רשמית את ההוכחה הספציפית הזו, אבל היא לא התקבלה כהוכחה אמיתית במשך שנים רבות. אבל זה המחיש כמה שנוי במחלוקת הרעיון של הוכחה שאתה צריך סיוע במחשב כדי לאמת.
בשנים שחלפו מאז, היו הרבה הרבה דוגמאות אחרות להוכחות שבהן אדם יכול לצמצם בעיה מסובכת למשהו שעדיין דורש מחשב כדי לאמת. ואז המחשב ממשיך ומאמת את זה. פיתחנו שיטות עבודה לגבי איך לעשות זאת בצורה אחראית. אתה יודע, איך לפרסם קוד ונתונים ודרכים לבדוק דברים חדשים בקוד פתוח וכן הלאה. ועכשיו, יש הסכמה רחבה של הוכחות בעזרת מחשב.
עכשיו, אני חושב, השינוי התרבותי הבא יהיה האם הוכחות שנוצרו על ידי בינה מלאכותית יתקבלו. נכון לעכשיו, כלי בינה מלאכותית אינם ברמה שבה הם יכולים לייצר הוכחות לקידום באמת בעיות מתמטיות. אולי מטלות בית ברמת התואר הראשון, הם יכולים לנהל, אבל מחקר מתמטיקה, הם עדיין לא ברמה הזו. אבל בשלב מסוים, נתחיל לראות עיתונים בעזרת AI יוצאים ויהיה ויכוח.
האופן שבו התרבות שלנו השתנתה במובנים מסוימים... עוד בשנת 2007, רק חלק קטן מהמתמטיקאים הפכו את ההדפסות המוקדמות שלהם לזמינות לפני הפרסום. מחברים היו שומרים בקנאות על ההדפסות המוקדמות שלהם עד שקיבלה את ההודעה על קבלה מהכתב העת. ואז הם עשויים לחלוק.
אבל עכשיו כולם שמים את הניירות שלהם שרתים ציבוריים כמו arXiv. יש הרבה יותר פתיחות לשים סרטונים ופוסטים בבלוג, על מאיפה מגיעים הרעיונות של מאמר. כי אנשים מבינים שזה מה שהופך את העבודה ליותר משפיעה ומשפיעה יותר. אם אתה מנסה לא לפרסם את העבודה שלך ולהיות מאוד חשאי לגביה, זה לא עושה שפריץ.
מתמטיקה הפכה להיות הרבה יותר שיתופי. אתה יודע, לפני 50 שנה הייתי אומר שרוב העבודות במתמטיקה היו של מחבר יחיד. עכשיו, בהחלט הרוב הם שניים או שלושה או ארבעה מחברים. ואנחנו רק מתחילים לראות פרויקטים ממש גדולים כמו שאנחנו עושים במדעים, אתה יודע, כמו עשרות, מאות אנשים משתפים פעולה. זה עדיין קשה למתמטיקאים לעשות, אבל אני חושב שנגיע לשם.
במקביל, אנחנו הופכים הרבה יותר בינתחומיים. אנחנו עובדים הרבה יותר עם מדעים אחרים. אנחנו עובדים בין תחומי מתמטיקה. ובגלל האינטרנט, אנו יכולים לשתף פעולה עם אנשים ברחבי העולם. אז הדרך בה אנו עושים מתמטיקה בהחלט משתנה.
אני מקווה שבעתיד נוכל לנצל יותר את קהילת המתמטיקה החובבים. ישנם תחומים אחרים כמו אסטרונומיה, שבהם אסטרונומים עושים שימוש רב בקהילת האסטרונומיה החובבים, כמו, אתה יודע, הרבה שביטים, למשל, נמצאים על ידי חובבים.
אבל מתמטיקאים... יש כמה אזורים מבודדים של מתמטיקה כמו כמו, ריצוף, ריצוף דו מימדי, ואולי מציאת רשומות במספרים ראשוניים. יש כמה תחומים מאוד נבחרים של מתמטיקה שבהם חובבים כן תורמים, והם מתקבלים בברכה. אבל יש הרבה מחסומים. ברוב תחומי המתמטיקה, אתה צריך כל כך הרבה הכשרה וחוכמה מופנמת או קונבנציונלית עד שאנחנו לא יכולים לצבור דברים במקור. אבל זה עשוי להשתנות בעתיד. אולי השפעה אחת של AI תהיה לאפשר למתמטיקאים חובבים לתרום משמעותית למתמטיקה.
STROGATZ: זה מאוד מעניין.
[הפסקה להכנסת מודעה]
STROGATZ: אז החובבנים עשויים, בעזרת AIs, לשאול שאלות חדשות טובות או לעזור בחקירה טובה של שאלות קיימות, דברים כאלה?
טאו: יש הרבה אופנים שונים - כן. אז, למשל, יש עכשיו פרויקטים לפורמליזציה של הוכחות למשפטים גדולים בדברים האלה שנקראים עוזרי הוכחה רשמית, שהם כמו שפות מחשב שיכולות לאמת ב-100% שמשפט נכון או לא ו - מוכח או לא. זה למעשה מאפשר שיתוף פעולה בקנה מידה גדול במתמטיקה.
אז בעבר, אם אתה משתף פעולה עם 10 אנשים אחרים כדי להוכיח משפט, וכל אחד תורם שלב, כולם צריכים לאמת את המתמטיקה של כולם. כי העניין במתמטיקה הוא שאם בשלב אחד יש טעות, כל העניין יכול להתפרק.
אז אתה צריך אמון, ולכן - לכן זה מונע, זה באמת מעכב שיתופי פעולה בקנה מידה גדול באמת במתמטיקה. אבל יש עכשיו, היו דוגמאות מוצלחות למשפטים גדולים באמת שהתגבשו במקום שבו יש קהילה ענקית, לא כולם מכירים אחד את השני, לא כולם סומכים זה על זה, אבל הם מתקשרים באמצעות העלאה למאגר Github כלשהו או משהו, כמו הוכחות אינדיבידואליות של שלבים בודדים בטיעון. ותוכנת ההוכחה הרשמית מאמתת הכל, ולכן אינך צריך לדאוג לגבי אמון. אז אנחנו מאפשרים אופנים חדשים של שיתוף פעולה, שלא ממש ראינו בעבר.
STROGATZ: זה באמת מעניין לשמוע את החזון שלך, טרי. זו מחשבה מרתקת. אתה לא שומע את הביטוי "מתמטיקאי אזרח". אתה שומע על מדע האזרח, אבל למה לא מתמטיקה אזרחית?
אבל אני רק תוהה, האם יש מגמות שאתה מודאג מהן, למשל, עם הוכחות בעזרת מחשב או הוכחות שנוצרו בינה מלאכותית? האם נדע שתוצאות מסוימות נכונות, אבל לא נבין למה?
טאו: אז זו בעיה. זאת אומרת, זו כבר בעיה עוד לפני הופעת הבינה המלאכותית. אז, ישנם תחומים רבים שבהם העבודות בנושא מתארכות יותר ויותר, מאות עמודים. ואני מקווה שבינה מלאכותית יכולה למעשה לעזור לפשט והיא יכולה להסביר וגם להוכיח.
אז יש כבר תוכנה ניסיונית שבה, למשל, אם אתה לוקח הוכחה שפורמלה, אתה יכול למעשה להמיר אותה למסמך אינטראקטיבי קריא אנושי, שבו יש לך את ההוכחה ואתה רואה את השלבים ברמה גבוהה ואם יש משפט אתה לא מבין שאתה יכול ללחוץ עליו פעמיים, והוא יתרחב לשלבים קטנים יותר. בקרוב אני חושב שאתה יכול גם לקבל צ'טבוט AI שיושב לידך בזמן שאתה עובר על ההוכחה, והם יכולים לענות על שאלות והם יכולים להסביר כל שלב כאילו הם המחבר. אני חושב שאנחנו כבר מאוד קרובים לזה.
יש חששות. עלינו לשנות את הדרך בה אנו מחנכים את התלמידים שלנו, במיוחד כעת, כאשר רבות מהדרכים המסורתיות שלנו להקצות שיעורי בית וכן הלאה, אנו כמעט בנקודה שבה כלי הבינה המלאכותית הללו יכולים לענות באופן מיידי על רבות משאלות הבחינה הסטנדרטיות שלנו. ולכן, אנחנו צריכים ללמד את התלמידים שלנו מיומנויות חדשות, כמו איך לוודא אם פלט שנוצר בינה מלאכותית נכונה או לא וכיצד לקבל חוות דעת שנייה.
ואולי נראה את הופעתו של צד ניסיוני יותר למתמטיקה, אתה יודע. אז, מתמטיקה היא כמעט כולה תיאורטית, בעוד שלרוב המדעים יש מרכיב תיאורטי וניסיוני כאחד. ייתכן שבסופו של דבר יהיו לנו תוצאות שמוכחות תחילה רק על ידי מחשבים, וכפי שאתה אומר, אנחנו לא מבינים. אבל ברגע שיש לנו את הנתונים שה-AI, ההוכחות הממוחשבות מספקות, אולי נוכל להריץ ניסויים.
יש קצת מתמטיקה ניסיונית עכשיו. אנשים כן לומדים, כמו, מערכי נתונים גדולים של דברים שונים, למשל עקומות אליפטיות. אבל זה יכול להיות הרבה יותר גדול בעתיד.
STROGATZ: וואי, יש לך ראייה מאוד אופטימית, זה נשמע לי. זה לא כמו תור הזהב בעבר. אם אני שומע אותך נכון, אתה חושב שיש הרבה דברים מאוד מרגשים לפנינו.
טאו: כן, הרבה מהכלים הטכנולוגיים החדשים מאוד מעצימים. כלומר, ל-AI באופן כללי יש הרבה עליות וחסרונות מורכבים. ומחוץ למדעים, יש הרבה הפרעות אפשריות לכלכלה, לזכויות קניין רוחני וכדומה. אבל בתוך המתמטיקה, אני חושב שהיחס בין טוב לרע טוב יותר מאשר בתחומים רבים אחרים.
ואתה יודע, האינטרנט באמת שינה את הדרך בה אנו עושים מתמטיקה. אני משתף פעולה עם הרבה אנשים בהרבה תחומים שונים. לא יכולתי לעשות את זה בלי האינטרנט. העובדה שאני יכול להיכנס לוויקיפדיה או כל דבר אחר ולהתחיל ללמוד נושא, ואני יכול לשלוח מייל למישהו, ונוכל לשתף פעולה באינטרנט. אם הייתי צריך לעשות דברים מהאסכולה הישנה שבהם יכולתי לדבר רק עם אנשים במחלקה שלי ולהשתמש בדואר פיזי לכל השאר, לא יכולתי לעשות את החשבון שאני עושה עכשיו.
STROGATZ: וואו, בסדר. אני רק חייב להדגיש את מה שאמרת עכשיו, כי מעולם לא חשבתי שבעוד מיליון שנה אני הולך לשמוע את זה: טרי טאו קורא את ויקיפדיה כדי ללמוד מתמטיקה?
טאו: כנקודת התחלה. זאת אומרת, זה לא תמיד ויקיפדיה, אלא רק כדי לקבל את מילות המפתח, ואז אעשה חיפוש מיוחד יותר של, למשל, MathSciNet או מסד נתונים אחר. אבל כן.
STROGATZ: זו לא ביקורת. כלומר, אני עושה את אותו הדבר. ויקיפדיה היא למעשה, אם יש ביקורת כלשהי על המתמטיקה בויקיפדיה, אולי זה שלפעמים היא קצת מתקדמת מדי עבור הקוראים שהיא מיועדת, אני חושב. לא תמיד. כלומר, זה תלוי. זה משתנה מאוד ממאמר למאמר. אבל זה פשוט מצחיק. אני אוהב לשמוע את זה.
טאו: כלומר, הכלים האלה, אתה צריך להיות מסוגל לבדוק את הפלט. אתה יודע, אז, אני מתכוון, הסיבה שבגללה אני יכול להשתמש בוויקיפדיה כדי לעשות מתמטיקה היא כי אני כבר יודע מספיק מתמטיקה שאני יכול להריח אם חלק מויקיפדיה במתמטיקה הוא חשוד או לא. אתה יודע, זה עשוי לקבל כמה מקורות ואחד מהם הולך להיות מקור טוב יותר מהשני. ואני מכיר את המחברים, ויש לי מושג איזו התייחסות תהיה טובה יותר עבורי. אם הייתי משתמש בויקיפדיה כדי ללמוד על נושא שלא היה לי ניסיון בו, אז אני חושב שזה יהיה יותר משתנה אקראי.
STROGATZ: ובכן, אז דיברנו לא מעט על מה שהופך מתמטיקה טובה, לעתיד האפשרי של סוגים חדשים של מתמטיקה טובה. אבל אולי צריך להתייחס לשאלה: למה זה בכלל משנה? למה חשוב שמתמטיקה תהיה טובה?
טאו: ובכן, אז קודם כל, אני מתכוון, למה יש לנו בכלל מתמטיקאים? מדוע החברה מעריכה מתמטיקאים ונותנת לנו את המשאבים לעשות את מה שאנחנו עושים? אתה יודע, זה בגלל שאנחנו מספקים ערך מסוים. אנחנו יכולים לקבל יישומים לעולם האמיתי. יש עניין אינטלקטואלי, וחלק מהתיאוריות שאנו מפתחים בסופו של דבר מספקות תובנה לגבי תופעות אחרות.
ולא כל המתמטיקה שווה ערך. כלומר, אתה יכול לחשב יותר ויותר ספרות של pi, אבל בשלב מסוים, אתה לא לומד כלום. כל נושא צריך איזשהו שיפוט ערכי כי אתה צריך להקצות משאבים. יש כל כך הרבה מתמטיקה בחוץ. אילו התקדמות אתה רוצה להדגיש ולפרסם וליידע אנשים אחרים, ועל אילו אולי כדאי פשוט לשבת בשקט על יומן איפשהו?
גם אם אתה חושב על נושא כאובייקטיבי לחלוטין, ואתה יודע, יש רק אמת או שקר, אנחנו עדיין צריכים לעשות בחירות. אתה יודע, רק בגלל שזמן הוא משאב מוגבל. תשומת לב היא משאב מוגבל. כסף הוא משאב מוגבל. אז, אלו תמיד שאלות חשובות.
STROGATZ: ובכן, מעניין שאתה מזכיר לגבי פרסום, כי זה משהו שלדעתי הוא מאפיין ייחודי של העבודה שלך, שגם השקעת מאמצים רבים כדי להפוך מתמטיקה לנגישה לציבור דרך הבלוג שלך, דרך מאמרים שונים שאתה כתבתי. אני זוכר שדיברתי על אחד שכתבת בו מדען אמריקאי על אוניברסליות ועל הרעיון הזה. מדוע חשוב להפוך את המתמטיקה לנגישה ומובנת לציבור? כלומר, מה אתה מנסה לעשות?
טאו: זה קצת קרה באופן אורגני. בתחילת הקריירה שלי, ה-World Wide Web עדיין היה חדש מאוד, ומתמטיקאים התחילו להחזיק דפי אינטרנט עם תכנים שונים, אבל לא הייתה הרבה ספרייה מרכזית. לפני גוגל וכן הלאה, למעשה היה קשה למצוא משאבים בודדים.
אז, התחלתי סוג של להכין ספריות קטנות בדף האינטרנט שלי. והייתי גם מכין דפי אינטרנט לעיתונים שלי, והייתי כותב קצת פרשנות. בתחילה, זה היה יותר לטובתי, רק ככלי ארגוני, רק כדי לעזור לי למצוא דברים. בתור תוצר לוואי, זה היה זמין לציבור, אבל הייתי סוג של הצרכן העיקרי, או לפחות כך חשבתי, של דפי האינטרנט שלי.
אבל אני זוכר בבירור, הייתה פעם אחת שכתבתי מאמר ושמתי אותו בדף האינטרנט שלי, והיה לי עמוד משנה קטן בשם "מה חדש?" ואני רק אמרתי, "הנה עיתון. יש בו שאלה שעדיין לא הצלחתי לענות עליה, ואני לא יודע איך לפתור אותה”. ובדיוק כתבתי את ההערה הזו. ואז, כמו יומיים לאחר מכן, קיבלתי מייל שאומר, "אה, בדיוק בדקתי את דף הבית שלך. אני יודע את התשובה לזה. יש נייר שיפתור לך את הבעיה."
וזה גרם לי להבין, קודם כל, שאנשים באמת מבקרים בדף האינטרנט שלי, שלא ממש הכרתי. אבל האינטראקציה הזו עם הקהילה יכולה באמת - ובכן, היא יכולה לעזור לי לפתור ישירות את השאלות שלי.
יש את החוק הזה שנקרא חוק מטקאלף ברשתות את זה, אתה יודע, אם יש לך n אנשים, וכולם מדברים אחד עם השני, יש בערך n2 קשרים ביניהם. וכך, ככל שהקהל גדול יותר וככל שהפורום גדול יותר שבו כולם יכולים לדבר עם כולם, כך תוכל ליצור יותר קשרים פוטנציאליים ודברים טובים יכולים לקרות.
כלומר, בקריירה שלי, כל כך הרבה מהתגליות שגיליתי, או מהקשרים שיצרתי הם בגלל קשר בלתי צפוי. כל חווית הקריירה שלי הייתה כאילו יותר קשרים שווים רק דברים טובים יותר שקורים.
STROGATZ: אני חושב שדוגמה יפה למה שאתה רק מתייחס אליו, אבל אני אשמח לשמוע אותך מדבר על זה, היא הקשרים שיצרת עם אנשים במדעי הנתונים שמתעניינים בשאלות הקשורות להדמיית תהודה רפואית , MRI. תוכל לספר לנו קצת על הסיפור הזה?
טאו: אז זה היה בערך 2006, 2005, אני חושב. אז, הייתה תוכנית בין-תחומית כאן בקמפוס ב-UCLA בנושא, אני חושב, ניתוח גיאומטרי רב-סקאלי, או משהו כזה, שם הם אספו מתמטיקאים טהורים שהתעניינו במעין גיאומטריה מסוג רב-סקאלה בפני עצמה, ואז, אתה יודע, אנשים שהיו להם בעיות מאוד קונקרטיות בסוג נתונים.
ובדיוק התחלתי לעבוד על כמה בעיות בתורת המטריצות האקראיות, אז הייתי ידוע כמי שיכול לתפעל מטריצות. ופגשתי מישהו שכבר הכרתי, עמנואל קנדס, כי בזמנו הוא עבד ממש ליד בקלטק. והוא ועוד משתף פעולה, ג'סטין רומברג, הם גילו את התופעה יוצאת הדופן הזו.
אז הם הסתכלו על תמונות MRI, אבל הן איטיות מאוד. כדי לאסוף מספיק תמונה ברזולוציה גבוהה של גוף אנושי, או מספיק כדי אולי לתפוס גידול, או כל תכונה חשובה רפואית שאתה רוצה למצוא, זה לוקח לעתים כמה דקות, כי הם צריכים לסרוק את כל הזוויות השונות האלה ואז לסנתז את הנתונים . וזו הייתה בעיה, למעשה, כי ילדים קטנים, למשל, רק לשבת בשקט שלוש דקות במכשיר ה-MRI היה די בעייתי.
אז הם התנסו בדרך אחרת, תוך שימוש באלגברה ליניארית כלשהי. הם קיוו לקבל שיפור של 10%, 20% בביצועים. אתה יודע, תמונה קצת יותר חדה על ידי התאמה קטנה של האלגוריתם הסטנדרטי.
אז האלגוריתם הסטנדרטי נקרא קירוב הריבועים הקטנים ביותר, והם עשו משהו אחר, שנקרא מזעור וריאציה כוללת. אבל אז כשהריצו את תוכנת המחשב, הם קיבלו שחזור כמעט מושלם של תמונת הבדיקה שלהם. שיפור מסיבי ומסיבי. והם לא יכלו להסביר את זה.
אבל עמנואל היה בתוכנית הזאת, ושוחחנו על תה או משהו. והוא רק הזכיר את זה, ולמעשה, המחשבה הראשונה שלי הייתה שבטח עשית טעות בחישוב שלך, שמה שאתה אומר באמת לא אפשרי. ואני זוכר שחזרתי הביתה באותו לילה וניסיתי לרשום הוכחה ממשית שמה שהם ראו לא באמת יכול לקרות. ואז באמצע הדרך, הבנתי שהנחתי הנחה שאינה נכונה. ואז הבנתי שבעצם זה יכול לעבוד. ואז הבנתי מה יכול להיות ההסבר. ואז עבדנו יחד, ובעצם מצאנו הסבר טוב ופרסמנו את זה.
וברגע שעשינו את זה, אנשים הבינו שיש הרבה מצבים אחרים שבהם אתה צריך לבצע מדידה שבדרך כלל דורשת המון המון נתונים, ובמקרים מסוימים אתה יכול לקחת כמות הרבה יותר קטנה של נתונים ועדיין לקבל מדד גבוה מאוד. מדידת רזולוציה.
אז עכשיו, מכשירי MRI מודרניים, למשל - סריקה שנמשכה בעבר שלוש דקות יכולה כעת לקחת 30 שניות מכיוון שהתוכנה הזו, האלגוריתם הזה מחוברת לחיבורים, מקודד קשה לתוך המכונות עכשיו.
STROGATZ: זה סיפור יפה, זה סיפור כל כך נהדר. כלומר, מדברים על מתמטיקה חשובה שמשנה חיים, תרתי משמע, בהקשר הזה של הדמיה רפואית. אני אוהב את השלווה של זה ואת פתיחות הראש שלך, אתה יודע, לשמוע את הרעיון הזה ואז לחשוב, ובכן, "זה בלתי אפשרי, אני יכול להוכיח את זה." ואז להבין, לא, בעצם. מדהים לראות שמתמטיקה משפיעה כל כך.
טוב, בסדר, אני חושב שכדאי שאשחרר אותך, טרי. זה היה תענוג אמיתי לדון איתך במהות המתמטיקה הטובה. תודה רבה שהצטרפת אלינו היום.
טאו: כן, לא, זה היה תענוג.
[הפסקה להכנסת מודעה]
STROGATZ: "השמחה של למה" הוא פודקאסט מ מגזין Quanta, פרסום עצמאי מבחינה עריכה הנתמך על ידי קרן סימונס. להחלטות המימון של קרן סימונס אין השפעה על בחירת הנושאים, האורחים או החלטות עריכה אחרות בפודקאסט זה או ב מגזין Quanta.
"השמחה של למה" מופק על ידי PRX הפקות. צוות ההפקה הוא קייטלין פאולדס, ליביה ברוק, ג'נבייב ספונסלר ומריט ג'ייקוב. המפיקה בפועל של PRX Productions היא ג'וסלין גונזלס. מורגן צ'רץ' ואדווין אוצ'ואה סיפקו סיוע נוסף. מ מגזין Quanta, ג'ון רני ותומס לין סיפקו הדרכה עריכה, עם תמיכה ממאט קרלסרום, סמואל ולסקו, נונה גריפין, ארלין סנטנה ומדיסון גולדברג.
מוזיקת הנושא שלנו היא מ-APM Music. ג'וליאן לין המציא את שם הפודקאסט. אמנות הפרק היא של פיטר גרינווד והלוגו שלנו הוא של ג'קי קינג וקריסטינה ארמיטג'. תודה מיוחדת לבית הספר לעיתונות קולומביה ולבורט אודום-ריד באולפני קורנל ברודקאסט.
אני המארח שלך, סטיב סטרוגאץ. אם יש לך שאלות או הערות עבורנו, אנא שלח לנו דוא"ל לכתובת . תודה על הקשבה.
- הפצת תוכן ויחסי ציבור מופעל על ידי SEO. קבל הגברה היום.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. העצים את עצמך. גישה כאן.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. הידע מוגבר. גישה כאן.
- PlatoESG. פחמן, קלינטק, אנרגיה, סביבה, שמש, ניהול פסולת. גישה כאן.
- PlatoHealth. מודיעין ביוטכנולוגיה וניסויים קליניים. גישה כאן.
- מקור: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :יש ל
- :הוא
- :לֹא
- :איפה
- ][עמ'
- $ למעלה
- 1
- 10
- שנים 15
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 שנים
- a
- יכול
- אודות
- בנוגע לזה
- תקציר
- הפשטה
- AC
- קבלה
- מקובל
- קבלה
- נגיש
- גישה
- חֶשְׁבּוֹן
- לרוחב
- ממשי
- למעשה
- Ad
- נוסף
- כתובת
- לְאַמֵץ
- לקדם
- מתקדם
- התקדמות
- הִתגַלוּת
- לייעץ
- לאחר
- שוב
- גיל
- לִפנֵי
- מסכים
- קדימה
- AI
- צ 'אט AI
- AIR
- AIS
- אַלגוֹרִיתְם
- חי
- תעשיות
- להקצות
- להתיר
- כמעט
- לאורך
- כְּבָר
- גם
- למרות
- תמיד
- חובבן
- אֲמֶרִיקָאִי
- בין
- כמות
- an
- אנליזה
- עתיק
- ו
- אחר
- לענות
- כל
- יותר
- כל אחד
- דבר
- בנפרד
- האפליקציה
- תפוח עץ
- יישומים
- מריחה
- מתקרב
- מתאים
- ARE
- AREA
- אזורים
- טענה
- טיעונים
- סביב
- אמנות
- מאמר
- מאמרים
- אמנים
- AS
- לשאול
- אספקט
- היבטים
- סיוע
- הנחה
- אסטרונומיה
- At
- לתקוף
- תשומת לב
- קהל מאזינים
- מחבר
- מחבר
- סמכות
- מחברים
- זמין
- פרסים
- צִיר
- b
- בחזרה
- רע
- בנק
- חשבון בנק
- מחסומים
- בסיס
- בסיסי
- BE
- יפה
- יופי
- כי
- להיות
- הופך להיות
- התהוות
- היה
- לפני
- להתחיל
- ההתחלה
- להיות
- ישויות
- תאמינו
- תועלת
- הטוב ביותר
- מוטב
- בֵּין
- גָדוֹל
- נתונים גדולים
- גדול
- הגדול ביותר
- קצת
- עיוור
- בלוג
- בלוג הודעות
- בלוגים
- גוּף
- שניהם
- ענפים
- רוחב
- לשבור
- פריצת דרך
- לְגַשֵׁר
- מביאים
- רחב
- מִשׁדָר
- רחב
- ברוק
- לִבנוֹת
- אבל
- by
- חישוב
- שיחה
- נקרא
- הגיע
- קמפוס
- CAN
- הון
- קריירה
- מקרה
- מקרים
- היאבקות
- גורמים
- מערה
- מֶרכָּזִי
- סמכות מרכזית
- מאה
- מסוים
- בהחלט
- אתגר
- סיכוי
- שינוי
- השתנה
- משתנה
- chatbot
- משוחח
- לבדוק
- בדיקה
- בחירות
- כנסיה
- מעגל
- חוגים
- חוזר
- אזרח
- בכיתה
- סְגוֹר
- Co-Host
- קוד
- לשתף פעולה
- שיתוף פעולה
- שיתופי פעולה
- עמית
- לגבות
- קולומביה
- איך
- מגיע
- שביטים
- מגיע
- הערה
- פַּרשָׁנוּת
- הערות
- מצרך
- להעביר
- קהילה
- השלמה
- לחלוטין
- מורכב
- מסובך
- סיבוכים
- רְכִיב
- לחשב
- המחשב
- מדעי מחשב
- תוכנת מחשב
- שנוצר על ידי מחשב
- מחשבים
- מושג
- דאגות
- בטון
- השערה
- מקשר
- הקשר
- חיבורי
- מתחבר
- שמרני
- צרכן
- צור קשר
- תוכן
- תחרות
- הקשר
- לתרום
- תורם
- שנוי במחלוקת
- נוֹחַ
- מקובל
- לְהִתְכַּנֵס
- התכנסות
- להיפך
- להמיר
- קורנל
- בפינה
- לתקן
- יכול
- המועצה
- קורס
- נוצר
- יְצִירָתִי
- יצור
- אמינות
- הקריטריונים
- ביקורת
- קהל
- תרבותי
- תַרְבּוּת
- מַטְבֵּעַ
- קיצוצים
- סכנה
- נתונים
- מדע נתונים
- ערכות נתונים
- מסד נתונים
- ימים
- דיון
- החלטות
- עמוק
- עמוק יותר
- לְהַגדִיר
- בהחלט
- להפגין
- מַחלָקָה
- תלוי
- לתאר
- מגיע
- פרטים
- נחוש
- לפתח
- מפותח
- DID
- אחר
- קשה
- ספרות
- ממדים
- ישירות
- ספריות
- משמעת
- לגלות
- גילה
- לדון
- דנים
- התפוררות
- ייחודי
- בבהירות
- ה-DNA
- do
- מסמך
- עושה
- לא
- עושה
- תחום
- לא
- דֶלֶת
- מטה
- חסרונות
- דינמיקה
- כל אחד
- מוקדם
- כדור הארץ
- כלכלה
- עורך
- עריכה
- לחנך
- מחנכים
- אדווין
- יְעִילוּת
- יעיל
- מאמץ
- איינשטיין
- או
- פיל
- אליפטי
- אחר
- של אחרים
- אמייל
- העצמה
- מאפשר
- מה שמאפשר
- פְּגִישָׁה
- סוף
- מספיק
- שלם
- לַחֲלוּטִין
- אפיזודה
- שווה
- שווים
- משוואות
- תקופה
- שגיאה
- במיוחד
- מַסָה
- מַהוּת
- אֲפִילוּ
- בסופו של דבר
- כל
- כולם
- כולם
- הכל
- בדיוק
- בחינה
- דוגמה
- דוגמאות
- נרגש
- מרגש
- מנהלים
- מפיק בפועל
- תרגיל
- קיימים
- קיים
- לְהַרְחִיב
- ניסיון
- ניסיוני
- ניסויים
- ניסויים
- מומחים
- להסביר
- המסביר
- הסבר
- חקר
- היכרות
- מידה
- מאוד
- עובדה
- הוגן
- למדי
- ליפול
- שקר
- מוכר
- מפורסם
- פנטסטי
- רחוק
- מקסים
- חביב
- מאפיין
- להרגיש
- מרגיש
- בחור
- שגיאה
- מעטים
- שדה
- שדות
- חשבתי
- דמויות
- בסופו של דבר
- מציאת
- ראשון
- נוזל
- דינמיקת נוזלים
- להתמקד
- התמקדות
- בעד
- רִשְׁמִי
- רשמית
- הָלְאָה
- פוֹרוּם
- מצא
- קרן
- ארבע
- שועל
- שבריר
- חבר
- החל מ-
- יסודי
- מימון
- מצחיק
- עתיד
- מִשְׂחָק
- נתן
- כללי
- ליצור
- דור
- נדיב
- גאומטריה
- לקבל
- מקבל
- מקבל
- GitHub
- לתת
- Go
- Goes
- הולך
- זָהוּב
- טוב
- עבודה טובה
- קבל
- בוגר
- גדול
- יוונית
- גרינווד
- גריפין
- מקורקע
- שומר
- לנחש
- אורחים
- הדרכה
- היה
- בחצי הדרך
- יד
- לקרות
- קרה
- מתרחש
- קורה
- קשה
- יש
- יש
- he
- בריא
- לִשְׁמוֹעַ
- שמיעה
- קיפוד
- לעזור
- עזרה
- עוזר
- כאן
- גָבוֹהַ
- ברמה גבוהה
- רזולוציה גבוהה
- גבוה יותר
- להבליט
- לו
- עַצמוֹ
- שֶׁלוֹ
- היסטוריה
- הוליסטית
- עמוד הבית
- דף הבית
- שיעורי בית
- מכובד
- לקוות
- תקווה
- מקווה
- המארח
- חַם
- איך
- איך
- HTTPS
- עצום
- הַרבֵּה מְאוֹד
- בן אנוש
- קריא אדם
- מאות
- i
- רעיון
- אידיאלים
- רעיונות
- לזהות
- if
- תמונה
- תמונות
- תמונה
- הדמיה
- פְּגִיעָה
- בר - השפעה
- חשוב
- בלתי אפשרי
- השבחה
- in
- נוטה
- לכלול
- כולל
- עצמאי
- בנפרד
- להשפיע
- בעל השפעה
- הטמון
- בהתחלה
- תובנה
- תובנות
- מייד
- משולב
- אִינטֶלֶקְטוּאַלִי
- קניין רוחני
- התכוון
- אינטראקציה
- אינטראקטיבי
- אינטרס
- מעוניין
- מעניין
- אינטרנט
- אל תוך
- מבוא
- אינטואיציה
- הַמצָאָה
- iPhone
- מְבוּדָד
- IT
- שֶׁלָה
- עבודה
- ג'ון
- הצטרפות
- מצטרפים אלינו
- מצטרף
- כתב עת
- עיתונאות
- שמחה
- רק
- שמר
- מפתח
- מילות מפתח
- הילדים
- סוג
- סוגים
- המלך
- לדעת
- ידוע
- יודע
- מדינה
- שפה
- שפות
- גָדוֹל
- בקנה מידה גדול
- גדול יותר
- מאוחר יותר
- חוק
- לִלמוֹד
- למידה
- הכי פחות
- פחות
- לתת
- רמה
- החיים
- מדעי חיים
- כמו
- מגבלות
- מוגבל
- לין
- קו
- קווים
- קווים
- האזנה
- קְצָת
- חי
- הגיוני
- סֵמֶל
- ארוך
- עוד
- נראה
- נראה כמו
- הסתכלות
- נראה
- להפסיד
- מגרש
- הרבה
- אהבה
- מכונה
- מכונה
- עשוי
- מגזין
- הרוב
- לעשות
- עושה
- עשייה
- לנהל
- רב
- שוק
- מסיבי
- מתמטיקה
- מתימטי
- מתמטית
- מתימטיקה
- מַטרִיצָה
- מט
- דבר
- בוגר
- מאי..
- אולי
- me
- אומר
- נמדד
- מדידה
- מדיה
- רפואי
- הדמיה רפואית
- להרשם/להתחבר
- גברים
- להזכיר
- מוּזְכָּר
- נפגש
- מטרי
- יכול
- מִילִיוֹן
- מוחות
- מזעור
- דקה
- דקות
- תפיסות מוטעות
- טעות
- שיטות
- מודרני
- מצבי
- כסף
- יותר
- מורגן
- רוב
- תנועות
- MRI
- הרבה
- כלי נגינה
- צריך
- my
- עצמי
- תעלומה
- נאיבי
- שם
- צורך
- נחוץ
- צרכי
- לא זה ולא זה
- לעולם לא
- חדש
- חדשות
- הבא
- נחמד
- לילה
- לא
- ולא
- בדרך כלל
- שום דבר
- הודעה
- עַכשָׁיו
- ניואנס
- מספר
- מספרים
- אובייקט
- מטרה
- אובייקטים
- שנצפה
- ברור
- אוצ'ואה
- אוֹקְטוֹבֶּר
- of
- לעתים קרובות
- oh
- בסדר
- on
- פעם
- ONE
- יחידות
- באינטרנט
- רק
- אטום
- קוד פתוח
- פתיחות
- דעה
- אופטימי
- or
- באופן אורגני
- אִרְגוּנִי
- אחר
- אחרים
- שלנו
- הַחוּצָה
- מְיוּשָׁן
- תפוקה
- בחוץ
- יותר
- שֶׁלוֹ
- חבילה
- ארוז
- דפים
- מאמר
- ניירות
- מקביל
- חלקית
- מסוים
- במיוחד
- חלקים
- עבר
- עבר
- אֲנָשִׁים
- אָחוּז
- ביצועים
- קבוע
- אדם
- פיטר
- תופעה
- גופני
- מדעי הטבע
- פיזית
- פיסיקה
- הרים
- לְחַבֵּר
- אפלטון
- מודיעין אפלטון
- אפלטון
- אפלטון נתונים
- אנא
- הנאה
- פודקאסט
- Podcasting
- שירה
- נקודה
- נקודת מבט
- נקודות
- הנשקף
- חיובי
- אפשרי
- הודעות
- פוטנציאל
- כּוֹחַ
- חזק
- תרגול
- פרקטיקות
- בדיוק
- הצגה
- יפה
- מונע
- קוֹדֶם
- יְסוֹדִי
- ראשוני
- פרימיטיבי
- הפרס
- בעיה
- בעיות
- מיוצר
- יַצרָן
- הפקה
- הפקות
- פרופסור
- תָכְנִית
- התקדמות
- פרויקטים
- פורה
- הוכחה
- הוכחות
- כמו שצריך
- רכוש
- זכויות רכוש
- מוּגָן
- גאה
- להוכיח
- מוכח
- לספק
- ובלבד
- מתן
- להוכיח
- ציבורי
- פרסום
- בפומבי
- לפרסם
- לאור
- הוצאה לאור
- טהור
- אַך וְרַק
- מטרה
- לרדוף
- דוחף
- גם
- מכניס
- קוונטמגזין
- שאלה
- שאלות
- בשקט
- דַי
- אקראי
- במקום
- יחס
- הקוראים
- ממשי
- עולם אמיתי
- מציאות
- להבין
- הבין
- מימוש
- בֶּאֱמֶת
- טעם
- שֵׁפֶל
- רשום
- להפחית
- הפניה
- מכונה
- קָשׁוּר
- קשר
- תורת היחסות
- שחרור
- לזכור
- הוסר
- מאגר
- נדרש
- דורש
- מחקר
- נפתרה
- תהודה
- משאב
- משאבים
- תגובה
- באחריות
- תוצאה
- תוצאות
- חושף
- לְהַגִיהַ
- מהפכני
- תקין
- זכויות
- טַבַּעַת
- לעלות
- תפקידים
- בערך
- הפעלה
- אמר
- אותו
- לומר
- אמר
- אומר
- סריקה
- בית ספר
- מדע
- מדעים
- חיפוש
- שְׁנִיָה
- שניות
- לִרְאוֹת
- ראות
- נראה
- נראה
- נראה
- לראות
- קטע
- בחר
- מבחר
- מכוונת עצמית
- משפט
- נפרד
- שרתים
- סטים
- כמה
- צורות
- שיתוף
- משמרת
- קצר
- צריך
- צד
- דומה
- פָּשׁוּט
- פשוט יותר
- פשוט
- לפשט
- מפשט
- since
- יחיד
- לשבת
- ישיבה
- מצבים
- מיומנויות
- להאט
- קטן יותר
- ריח
- So
- חֶברָתִי
- מדיה חברתית
- חֶברָה
- תוכנה
- שידול
- לפתור
- פותר
- כמה
- איכשהו
- מישהו
- משהו
- לפעמים
- במידה מסוימת
- אי שם
- בקרוב
- ביקש
- צלילים
- מָקוֹר
- מקורות
- מֶרחָב
- מרחבית
- מיוחד
- מיוחד
- ספֵּקוּלָצִיָה
- ספֵּקוּלָטִיבִי
- לבלות
- Spotify
- מרובע
- ריבועים
- תֶקֶן
- סטנפורד
- התחלה
- החל
- החל
- התחלות
- הצהרה
- הברית
- להשאר
- שלב
- צעדים
- סטיב
- עוד
- מניות
- שוק המניות
- אבן
- סיפור
- ישר
- צעדים
- סטודנט
- סטודנטים
- מחקרים
- האולפנים
- לימוד
- לומד
- נושא
- מוצלח
- כזה
- מציע
- תמיכה
- נתמך
- משטח
- הופתע
- מפתיע
- חשוד
- לסנתז
- מערכות
- לקחת
- לוקח
- נטילת
- לדבר
- מדבר
- שיחות
- מוחשי
- משימות
- תֵה
- הוראה
- נבחרת
- טכני
- טכניקה
- טכנולוגי
- לספר
- נוטה
- עשרות
- מבחן
- מֵאֲשֶׁר
- תודה
- זֶה
- השמיים
- האזור
- העתיד
- העולם
- שֶׁלָהֶם
- אותם
- נושא
- אז
- תיאורטי
- התאוריה
- שם.
- לכן
- אלה
- הֵם
- דבר
- דברים
- לחשוב
- חושב
- שְׁלִישִׁי
- דור שלישי
- זֶה
- אם כי?
- מחשבה
- שְׁלוֹשָׁה
- תלת-ממדי
- דרך
- זמן
- ל
- היום
- יַחַד
- גַם
- כלי
- כלים
- נושאים
- סה"כ
- לגעת
- מסורתי
- הדרכה
- טרנספורמציה
- טופל
- עץ
- מגמות
- ניסיתי
- נָכוֹן
- סומך
- לנסות
- מנסה
- גידול
- פנייה
- פונה
- tweaking
- שתיים
- סוג
- סוגים
- UCLA
- לָשִׂים דָגֵשׁ
- להבין
- מובן
- הבנה
- הבין
- לא צפוי
- מאוחד
- התאחדות
- יחידה
- מאוחד
- עד
- בלתי שגרתי
- העלאה
- על
- יו פי אס
- us
- להשתמש
- מְשׁוּמָשׁ
- מועיל
- באמצעות
- בְּדֶרֶך כְּלַל
- תועלת
- לנצל
- בעל ערך
- ערך
- מוערך
- ערכים
- משתנה
- שונים
- לִסְטוֹת
- לאמת
- מאוד
- וטרינר
- וידאו
- לצפיה
- נצפה
- נגיפי
- חזון
- של
- הַמתָנָה
- רוצה
- רציתי
- היה
- צופה
- מים
- דֶרֶך..
- דרכים
- we
- ללבוש
- אינטרנט
- webp
- ברוך הבא
- בברכה
- טוֹב
- היו
- מה
- מה
- כלשהו
- מתי
- ואילו
- אם
- אשר
- בזמן
- מי
- כל
- למה
- רָחָב
- באופן נרחב
- נָפוֹץ
- להחזיק
- ויקיפדיה
- יצטרך
- זוכה
- חכמה
- עם
- בתוך
- לְלֹא
- תוהה
- Word
- וורדפרס
- תיק עבודות
- עבד
- עובד
- עובד
- עוֹלָם
- World Wide Web
- מודאג
- לדאוג
- היה
- וואו
- לכתוב
- כתיבה
- כתוב
- טעות
- כתב
- שנים
- כן
- עוד
- אתה
- זפירנט