המתמטיקה הפשוטה להפתיע מאחורי התאמות תמוהות | מגזין קוונטה

זה משחק האליפות של ליגת ה-Imaginary Math, שבו אטלנטה אלגברס תתמודד מול קרולינה קרוס. שתי הקבוצות לא שיחקו זו מול זו העונה, אבל מוקדם יותר השנה אטלנטה ניצחה את ברוקלין ביסקטורס בתוצאה של 10 ל-5, וברוקלין ניצחה את קרולינה בתוצאה של 7 ל-3. האם זה נותן לנו תובנות לגבי מי ייקח את התואר?

ובכן, הנה קו מחשבה אחד. אם אטלנטה תנצח את ברוקלין, אז אטלנטה עדיפה מברוקלין, ואם ברוקלין תנצח את קרולינה, אז ברוקלין עדיפה על קרולינה. אז, אם אטלנטה טובה יותר מברוקלין וברוקלין טובה יותר מקרולינה, אז אטלנטה צריכה להיות טובה יותר מקרולינה ולזכות באליפות.

אם אתה משחק במשחקים תחרותיים או ספורט, אתה יודע שחיזוי התוצאות של משחק הוא אף פעם לא כל כך פשוט. אבל מנקודת מבט מתמטית גרידא, לטיעון הזה יש משיכה מסוימת. הוא משתמש ברעיון חשוב במתמטיקה המכונה טרנזיטיביות, תכונה מוכרת המאפשרת לנו לבנות מחרוזות של השוואות בין מערכות יחסים. טרנזיטיביות היא אחת מאותן תכונות מתמטיות שהן כה בסיסיות שאולי אפילו לא שמים לב אליה.

לדוגמה, שוויון מספרים הוא טרנזיטיבי. זה אומר שאם אנחנו יודעים את זה a = b ו b = c, אנו יכולים להסיק זאת a = c. הקשר "גדול מ" הוא גם טרנזיטיבי: עבור מספרים אמיתיים, אם a > b ו b > c, לאחר מכן a > c. כאשר מערכות היחסים הן טרנזיטיביות, אנו יכולים להשוות ולשלב ביניהן, וליצור סדר של אובייקטים. אם אנה גבוהה מבנג'י ובנג'י גבוה מקארל, אז נוכל לסדר את השלושה לפי גובהם: A, B, C. טרנזיטיביות עומדת גם מאחורי הטיעון הנאיבי שלנו שאם A טוב יותר מ B ו B טוב יותר מ C, לאחר מכן A טוב יותר מ C.

הטרנזיטיביות קיימת בשוויון, קונגרואנס, דמיון, אפילו מקביליות. זה חלק מכל המתמטיקה הבסיסית שאנחנו עושים, מה שהופך אותה למעניינת במיוחד מבחינה מתמטית כשהיא לא קיימת. כאשר אנליסטים מדרגים צוותים, כלכלנים חוקרים העדפות צרכנים או אזרחים מצביעים על המועמדים המועדפים עליהם, חוסר טרנזיטיביות יכול להוביל לתוצאות מפתיעות. כדי להבין טוב יותר מערכות מסוג זה, מתמטיקאים חוקרים "קוביות בלתי-טרנזיטיביות" במשך יותר מ-50 שנה, ו נייר האחרון משיתוף הפעולה המתמטי המקוון המכונה פרויקט Polymath קידם את ההבנה הזו. כדי לקבל תחושה של איך נראית ומרגישה חוסר תנועה, בואו נקים ליגה משלנו ונשחק.

בליגת המתמטיקה החדשה שלנו, שחקנים מתחרים על ידי הטלת מטבעות מותאמים אישית והשוואת התוצאות. נגיד שחקן A יש מטבע עם המספר 10 בצד אחד והמספר 6 בצד השני, ושחקן Bלמטבע של המטבע יש את המספרים 8 ו-3. נניח שהמטבעות הוגנים - כלומר כל צד צפוי להופיע באותה מידה כאשר המטבעות הופכים - ונציג את המספרים על המטבעות כך.

במשחק, שחקנים מטילים את המטבעות שלהם, ומי שהמטבע שלו מראה את המספר הגבוה יותר הוא המנצח. מי ינצח מתי A משחק B?

כמובן, זה תלוי. לִפְעָמִים A ינצח, לפעמים B ינצח. אבל זה לא קשה לראות את זה A מועדף לנצח נגד B. ישנן ארבע דרכים בהן המשחק יכול להתפתח, ו A מנצח בשלושה מהם.

אז במשחק של A נגד B, A יש סיכוי של 75% לזכות.

עַכשָׁיו C בא ומאתגר B למשחק. Cלמטבע של המטבע יש 5 בצד אחד ו-4 בצד השני. שוב יש ארבע אפשרויות.

כאן B ו C כל אחד מנצח בשניים מתוך ארבעת המשחקים, כך שכל אחד מהם ינצח 50% מהמשחקים. B ו C מותאמים באופן שווה.

עכשיו, מה היית מצפה שיקרה מתי A ו C לְשַׂחֵק? נו, A מכות בדרך כלל B, ו B תואם באופן שווה עם C, אז נראה הגיוני לצפות לכך A כנראה יועדף נגד C.

אבל A הוא יותר מחביב. A שולט C, זוכה ב-100% מהמקרים.

זה אולי נראה מפתיע, אבל מבחינה מתמטית לא קשה להבין למה זה קורה. Cהמספרים של הם באמצע Bשל, אז C מנצח בכל עת B הופך את המספר התחתון שלהם. אבל Cהמספרים של שניהם למטה Aשל, אז C לעולם לא ינצח במשחק הזה. הדוגמה הזו לא מפרה את רעיון הטרנזיטיביות, אבל היא כן מראה שהדברים עשויים להיות יותר מסובכים מסתם A > B > C. שינוי קל במשחק שלנו מראה כמה יותר מסובך זה יכול להיות.

המתחרים שלנו מתעייפים מהר ממשחק הטלת המטבעות הדו-צדדית, שכן קל להבין אותו לחלוטין מבחינה מתמטית (ראה את התרגילים בסוף הטור לפרטים נוספים), אז הליגה מחליטה לשדרג למטבעות תלת-צדדיים. (אחד היתרונות של משחק בליגה דמיונית במתמטיקה הוא שהכל אפשרי.)

להלן A ו Bהמטבעות של:

מי מועדף במשחק בין A ו B? ובכן, יש שלוש תוצאות עבור Aהטלת מטבע ושלוש עבור B, מה שמוביל לתשע תוצאות משחק אפשריות שנוכל לשרטט בקלות.

אם שוב נניח שכל התוצאות סבירות באותה מידה, A פעימות B בחמש מתוך תשע התוצאות. זה אומר A אמור לזכות ב-$latex frac{5}{9} בערך 55% מהזמן, אז A מועדף נגד B.

מרגיש קצת מדוכדך לגבי הסיכויים שלהם, B האתגרים C למשחק. Cהמספרים של מוצגים למטה. האם אתה אוהב Bהסיכויים של?

שוב, יש תשע תוצאות אפשריות במשחק של B נגד C, כדי שנוכל פשוט לרשום אותם.

אנחנו יכולים לראות את זה B נראה די טוב נגד C. בחמש מתוך תשע התוצאות האפשריות, B מנצח. כך B מועדף נגד C.

מסכן C עכשיו צריך לשחק A. עם A מועדף נגד B ו B מועדף נגד C, מה עושה סיכוי C צריך לנצח? אחד די טוב, כפי שמסתבר.

בחמש מתוך תשע התוצאות האפשריות כאן, C פעימות A. זה אומר ש C מועדף נגד A, למרות ש Aמועדף נגד B ו B מועדף נגד C.

זוהי דוגמה למערכת בלתי טרנזיטיבית. במונחים טכניים יותר, היחס "להיות מועדף נגד" במשחק שלנו אינו טרנזיטיבי: A מועדף נגד B, ו B מועדף נגד C, אבל A לא בהכרח מועדף נגד C.

אנחנו לא רואים את זה לעתים קרובות במתמטיקה, אבל התנהגות כזו לא תפתיע את חובבי הספורט. אם הג'איינטס ינצחו את האיגלס והאיגלס ינצחו את הקאובויס, הקאובויס עדיין יכולים לנצח את הג'איינטס. יש הרבה גורמים שתורמים לתוצאה של משחק בודד. קבוצות יכולות להשתפר עם אימון או לקפוא אם הן לא יחדשו. שחקנים יכולים להחליף קבוצה. פרטים כמו מיקום המשחק - בבית או בחוץ - או כמה לאחרונה קבוצות שיחקו יכולים להשפיע על מי מנצח ומי מפסיד.

אבל הדוגמה הפשוטה הזו מראה שיש גם סיבות מתמטיות גרידא מאחורי סוג זה של חוסר טרנזיטיביות. ולשיקול המתמטי הזה יש משהו במשותף עם אילוצי התחרות בעולם האמיתי: התאמה.

הנה המספרים עבור A, B ו C.

כאשר אנו רואים אותם זה לצד זה, קל יותר לראות מדוע מתרחשת חוסר טרנזיטיביות במצב זה. למרות ש B מועדף לנצח נגד C, Cשני המספרים הבינוניים-גבוהים - ה-7 וה-6 - נותנים להם יתרון על פני A זֶה B אין. למרות ש A מועדף נגד B ו B מועדף נגד C, C משחקים מול A יותר טוב B עושה. זה דומה לאופן שבו קבוצת ספורט אנדרדוג עשויה להשתוות היטב מול יריבה עדיפה מכיוון שקשה להתמודד עם סגנון המשחק שלה עבור אותה קבוצה, או כי שחקן או מאמן נותן להם יתרון מול היריבה המסוימת הזו.

העובדה שספורט אינו טרנזיטיבי היא חלק ממה שהופך אותם למהנים ומשכנעים. אחרי הכל, אם A פעימות B ו B פעימות C, C הוא לא הולך להפסיד רק בגלל טרנזיטיביות כשהם מתמודדים עם A. בתחרות הכל יכול לקרות. כפי שהרבה פרשנים אמרו לאחר התעצבנות, "בגלל זה הם משחקים את המשחק."

ובגלל זה אנחנו משחקים במתמטיקה. למצוא מה כיף, משכנע ומפתיע. הכל יכול להיות.

תרגילים

1. נניח ששני שחקנים משחקים את משחק המטבעות הדו-צדדיים, וארבעת המספרים משני המטבעות כולם שונים. יש בעצם רק שישה תרחישים אפשריים למי מנצח ובאיזו תדירות. מה הם?

2. בתרחיש המשחק התלת-צדדי המתואר לעיל, מצא עבורו מטבע תלת-צדדי אחר C כדי ש B עדיין מועדף נגד C ו C עדיין מועדף נגד A.

3. הוכיחו שבמשחק מטבעות דו-צדדיים, אי אפשר להחזיק שלושה שחקנים A, B, C כך ש A מועדף נגד B, B מועדף נגד C, ו C מועדף נגד A.

תיקון: ינואר 26, 2024
שני נתונים שפורסמו בעבר הראו התאמה שגויה בין שחקנים A מול C ו-B מול C. הנתונים תוקנו.