אם עקבתם אחרי חדשות המתמטיקה החודש, אתם יודעים שתאורטיקן המספרים בן ה-35 ג'יימס מיינרד זכה ב- מדליית שדות - הכבוד הגבוה ביותר למתמטיקאי. מיינרד אוהב שאלות מתמטיקה ש"פשוטות מספיק כדי להסביר לתלמיד תיכון אבל קשות מספיק כדי להכשיל מתמטיקאים במשך מאות שנים." Quanta דיווח, ואחת השאלות הפשוטות הללו היא זו: כשאתה מתקדם לאורך קו המספרים, חייבים תמיד להיות מספרים ראשוניים קרובים זה לזה?
אולי שמתם לב שמתמטיקאים אובססיביים לגבי מספרים ראשוניים. מה מושך אותם פנימה? אולי זו העובדה שמספרים ראשוניים מגלמים כמה מהמבנים והתעלומות הבסיסיות ביותר של המתמטיקה. הראשוניים ממפים את יקום הכפל על ידי כך שהם מאפשרים לנו לסווג ולסווג כל מספר עם פירוק ייחודי. אבל למרות שבני אדם שיחקו עם ראשוניים משחר הכפל, אנחנו עדיין לא בטוחים בדיוק היכן ראשוניים יופיעו, עד כמה הם מפוזרים או כמה קרובים הם חייבים להיות. ככל הידוע לנו, מספרים ראשוניים עוקבים אחר תבנית לא פשוטה.
הקסם שלנו מאובייקטים בסיסיים אלה הוביל להמצאה, או גילוי, של מאות סוגים שונים של ראשוניים: ראשוני מרסן (ראשוניים של צורה 2n − 1), ראשוניים מאוזנים (ראשוניים שהם הממוצע של שני ראשוניים שכנים), וסופי ז'רמן ראשוניים (ראשוניים p כזה ש2p + 1 הוא גם ראשוני), אם להזכיר כמה.
ההתעניינות בראשונים המיוחדים הללו צמחה מתוך משחק עם מספרים וגילוי משהו חדש. זה נכון גם לגבי "ראשוניים עדינים דיגיטלית", תוספת שלאחרונה לרשימה שהובילה לכמה תוצאות מפתיעות לגבי השאלות הבסיסיות ביותר: עד כמה סוגים מסוימים של ראשוניים יכולים להיות נדירים או נפוצים?
כדי להעריך את השאלה הזו, נתחיל עם אחת העובדות המסקרנות הראשונות שחובב מספרים שאפתן לומד: יש אינסוף מספרים ראשוניים. אוקלידס הוכיח זאת לפני 2,000 שנה באמצעות אחת ההוכחות המפורסמות ביותר בסתירה בכל ההיסטוריה של המתמטיקה. הוא התחיל בהנחה שיש רק מספר ראשוני סופי ודמיין את כולם n מהם ברשימה:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
ואז הוא עשה משהו חכם: הוא חשב על המספר $latexq=p_1 כפול p_2 כפול p_3 פעמים ... פעמים p_n+1$.
שים לב ש q לא יכול להיות ברשימת הראשים, כי זה גדול יותר מכל מה שברשימה. אז אם קיימת רשימה סופית של ראשוניים, המספר הזה q לא יכול להיות ראשוני. אבל אם q הוא לא ראשוני, עליו להיות מתחלק במשהו אחר מלבד עצמו ו-1. זה, בתורו, אומר ש חייב ניתן לחלוקה בכמה ראשונים ברשימה, אבל בגלל הדרך q בנוי, מחלק q לפי כל דבר ברשימה משאיר שארית של 1. אז כנראה q אינו ראשוני ואינו מתחלק בשום ראשוני, וזו סתירה הנובעת מהנחה שיש רק מספר ראשוניים סופיים. לכן, כדי להימנע מהסתירה הזו, חייבים למעשה להיות אינסוף ראשוניים.
בהתחשב בעובדה שיש אינסוף רבים מהם, אתה עשוי לחשוב שקל למצוא ראשוניים מכל הסוגים, אבל אחד הדברים הבאים שלומד בלש מספרים ראשוניים הוא עד כמה הפרושים יכולים להיות הראשונים. תוצאה פשוטה לגבי הרווחים בין מספרים ראשוניים עוקבים, הנקראת פערים ראשוניים, אומרת משהו די מפתיע.
בין 10 המספרים הראשוניים הראשונים - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ו-29 - ניתן לראות פערים המורכבים ממספר מרוכב אחד או יותר (מספרים שאינם ראשוניים, כמו 4, 12 או 27). ניתן למדוד פערים אלה על ידי ספירת המספרים המרוכבים ביניהם: לדוגמה, יש פער של גודל 0 בין 2 ל-3, פער של גודל 1 בין 3 ל-5 ו-5 ו-7, פער בגודל 3 בין 7 ו-11 וכן הלאה. הפער הראשוני הגדול ביותר ברשימה זו מורכב מחמשת המספרים המרוכבים - 24, 25, 26, 27 ו-28 - בין 23 ל-29.
עכשיו לתוצאה המדהימה: פערי פריים יכולים להיות ארוכים באופן שרירותי. זה אומר שקיימים מספרים ראשוניים עוקבים זה מזה ככל שאתה יכול לדמיין. אולי לא ייאמן באותה מידה כמה קל להוכיח עובדה זו.
כבר יש לנו פער ראשוני באורך 5 למעלה. האם יכול להיות אחד באורך 6? במקום לחפש רשימות של ראשוניים בתקווה למצוא אחד, פשוט נבנה אותו בעצמנו. לשם כך נשתמש בפונקציה הפקטוראלית המשמשת בנוסחאות ספירה בסיסיות: בהגדרה, $latexn!=n פעמים(n-1) כפול (n-2) כפול ... כפול 3 כפול 2 כפול 1$, כך למשל $ latex3!=3 פעמים 2 פעמים 1 = 6$ ו$latex5!=5 פעמים 4 פעמים 3 פעמים 2 פעמים 1=120$.
עכשיו בואו נבנה את הפער העיקרי שלנו. שקול את הרצף הבא של מספרים עוקבים:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
מכיוון ש$latex7!=7 כפול 6 כפול 5 כפול 4 כפול 3 כפול 2$, המספר הראשון ברצף שלנו, $latex1!+7$, מתחלק ב-2, אותו תוכלו לראות לאחר מעט עיבוד:
$latex7!+2=7 פעמים 6 פעמים 5 פעמים 4 פעמים 3 פעמים 2 פעמים 1+2$
$latex= 2(7 פעמים 6 פעמים 5 פעמים 4 פעמים 3 פעמים 1+1)$.
באופן דומה, המספר השני, $latex7!+3$, מתחלק ב-3, שכן
$latex7!+3=7 פעמים 6 פעמים 5 פעמים 4 פעמים 3 פעמים 2 פעמים 1+3$
$latex= 3(7 פעמים 6 פעמים 5 פעמים 4 פעמים2 פעמים 1+1)$.
באופן דומה, 7! + 4 מתחלק ב-4, 7! + 5 על 5, 7! + 6 על 6, ו-7! + 7 על 7, מה שעושה 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 רצף של שישה מספרים מרוכבים רצופים. יש לנו פער פריים של לפחות 6.
קל להכליל את האסטרטגיה הזו. הרצף
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
הוא רצף של $latexn-1$ מספרים מרוכבים עוקבים, כלומר, עבור כל n, יש פער ראשוני באורך של לפחות $latexn-1$. זה מראה שיש פערים ראשוניים ארוכים באופן שרירותי, ולכן לאורך רשימת המספרים הטבעיים יש מקומות שבהם מספרים הראשוניים הקרובים ביותר הם 100, או 1,000, או אפילו 1,000,000,000 מספרים זה מזה.
ניתן לראות מתח קלאסי בתוצאות אלו. ישנם אינסוף מספרים ראשוניים, אך גם ראשוניים עוקבים יכולים להיות רחוקים זה מזה עד אינסוף. מה שכן, יש אינסוף ראשונים רצופים קרובים זה לזה. לפני כ-10 שנים, העבודה פורצת הדרך של Yitang Zhang פתחה במרוץ לסגירת הפער ולהוכיח את השערת ראשוני התאומים, הטוענת כי ישנם אינסוף זוגות ראשוניים הנבדלים זה מזה ב-2 בלבד. שאלות פתוחות מפורסמות במתמטיקה, וג'יימס מיינרד תרם תרומה משמעותית משלו להוכחת התוצאה החמקמקה הזו.
המתח הזה קיים גם בתוצאות האחרונות לגבי מה שנקרא ראשוני עדין דיגיטלי. כדי לקבל תחושה של מה הם המספרים הללו והיכן הם יכולים להיות או לא, הקדישו רגע להרהר בשאלה המוזרה הבאה: האם יש מספר ראשוני דו ספרתי שתמיד הופך להיות מורכב עם שינוי כלשהו בספרה שלו?
כדי לקבל תחושה של עדינות דיגיטלית, בואו נשחק עם המספר 23. אנחנו יודעים שזה ראשוני, אבל מה יקרה אם תשנה את ספרת האחד שלו? ובכן, 20, 22, 24, 26 ו-28 כולם זוגיים, ולכן מורכבים; 21 מתחלק ב-3, 25 מתחלק ב-5, ו-27 מתחלק ב-9. עד כאן הכל טוב. אבל אם תשנה את ספרת אחדות ל-9, תקבל 29, שזה עדיין ראשוני. אז 23 הוא לא סוג הפריים שאנחנו מחפשים.
מה עם 37? כפי שראינו למעלה, אנחנו לא צריכים לטרוח ולבדוק מספרים זוגיים או מספרים שמסתיימים ב-5, אז פשוט נבדוק את 31, 33 ו-39. מכיוון ש-31 הוא גם ראשוני, גם 37 לא עובד.
האם בכלל קיים מספר כזה? התשובה היא כן, אבל עלינו לעלות עד 97 כדי למצוא אותה: 97 הוא ראשוני, אבל 91 (מתחלק ב-7), 93 (מתחלק ב-3) ו-99 (מתחלק גם ב-3) כולם מורכבים , יחד עם המספרים הזוגיים ו-95.
מספר ראשוני הוא "עדין" אם, כאשר אתה משנה אחת מהספרות שלו לכל דבר אחר, הוא מאבד את ה"ראשוניות" שלו (או הראשוניות, אם להשתמש במונח הטכני). עד כה אנו רואים ש-97 עדין בספרת אחדות - מאחר ששינוי ספרה זו תמיד מייצר מספר מורכב - אך האם 97 עומד בקריטריונים המלאים של עדינות דיגיטלית? התשובה היא לא, כי אם תשנה את ספרת העשרות ל-1 תקבל 17, ראשוני. (שים לב ש-37, 47 ו-67 כולם גם ראשוניים.)
למעשה, אין ראש דו ספרתי עדין דיגיטלית. הטבלה הבאה של כל המספרים הדו-ספרתיים, כשהראשוניים הדו-ספרתיים מוצללים, מראה מדוע.
לכל המספרים בכל שורה נתונה יש את אותה ספרת עשרות, ולכל המספרים בכל עמודה נתונה יש אותה ספרת אחדות. העובדה ש-97 הוא המספר המוצלל היחיד בשורה שלו משקפת את העובדה שהוא עדין בספרת אחדות, אבל זה לא המספר הראשוני היחיד בעמודה שלו, מה שאומר שהוא לא עדין בספרת העשרות.
ראשי דו ספרתי עדין דיגיטלי יהיה חייב להיות ראשוני היחיד בשורה ובעמודה שלו. כפי שמראה הטבלה, לא קיים ראשוני דו ספרתי כזה. מה לגבי ראש תלת ספרתי עדין דיגיטלי? הנה טבלה דומה המציגה את הפריסה של שלושת הספרות הראשוניות בין 100 ל-199, כאשר מספרים מורכבים הושמטו.
כאן אנו רואים ש-113 נמצא בשורה משלו, מה שאומר שהוא עדין בספרה של אלה. אבל 113 לא נמצא בעמודה משלו, אז כמה שינויים בספרת העשרות (כמו 0 עבור 103 או ל-6 עבור 163) מייצרים ראשוניים. מכיוון ששום מספר לא מופיע גם בשורה שלו וגם בעמודה שלו, אנחנו רואים במהירות שאין מספר תלת ספרתי שמובטח יהיה מורכב אם תשנה את ספרת האחדות שלו או ספרת העשרות שלו. זה אומר שלא יכול להיות ראשי תלת ספרתי עדין דיגיטלי. שימו לב שאפילו לא בדקנו את ספרת המאות. כדי להיות עדין באמת מבחינה דיגיטלית, מספר תלת ספרתי יצטרך להימנע ממספר ראשוני בשלושה כיוונים בטבלה תלת מימדית.
האם בכלל קיימים ראשוניים עדינים מבחינה דיגיטלית? ככל שמתרחקים על קו המספרים, הראשוניים נוטים להיות דלילים יותר, מה שגורם להם פחות להצטלב בנתיבים בשורות ובעמודות של הטבלאות הגבוהות הללו. אבל למספרים גדולים יותר יש יותר ספרות, וכל ספרה נוספת מקטינה את הסבירות שראשית עדינה דיגיטלית.
אם תמשיך, תגלה שאכן קיימים ראשוניים עדינים מבחינה דיגיטלית. הקטן ביותר הוא 294,001. כאשר תשנה אחת מהספרות שלו, המספר שתקבל - 794,001, נניח, או 284,001 - יהיה מורכב. ויש עוד: הבודדים הבאים הם 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; ו-1,062,599. למעשה, הם לא מפסיקים. המתמטיקאי המפורסם פול ארדס הוכיח שיש אינסוף ראשונים עדינים מבחינה דיגיטלית. וזו הייתה רק הראשונה מבין תוצאות מפתיעות רבות לגבי המספרים המוזרים הללו.
לדוגמה, Erdős לא רק הוכיח שיש אינסוף ראשוניים עדינים דיגיטלית: הוא הוכיח שיש אינסוף ראשוניים עדינים דיגיטלית בכל בסיס. אז אם תבחר לייצג את המספרים שלך בבינארי, טרירי או הקסדצימלי, עדיין מובטח לך למצוא אינסוף מספרים ראשוניים עדינים דיגיטלית.
וראשוניים עדינים מבחינה דיגיטלית הם לא רק אינסופיים: הם מהווים אחוז שאינו אפס מכל המספרים הראשוניים. זה אומר שאם אתה מסתכל על היחס בין מספר הראשוניים העדינים מבחינה דיגיטלית למספר הראשוניים הכולל, השבר הזה הוא מספר כלשהו הגדול מאפס. במונחים טכניים, "שיעור חיובי" של כל הראשוניים הם עדינים מבחינה דיגיטלית, כפי שהוכיח מדליסט פילדס טרנס טאו בשנת 2010. הראשוניים עצמם אינם מהווים חלק חיובי מכל המספרים, מכיוון שתמצא פחות ופחות ראשוניים ככל שאתה מתרחק לאורך קו המספרים. עם זאת, בין אותם ראשוניים, תמשיך למצוא ראשוניים עדינים דיגיטלית לעתים קרובות מספיק כדי לשמור על היחס בין ראשוניים עדינים לסך הכל ראשוניים מעל אפס.
אולי התגלית המזעזעת ביותר הייתה א תוצאה משנת 2020 על וריאציה חדשה של המספרים המוזרים האלה. על ידי הרפיית הרעיון של מהי ספרה, מתמטיקאים דמיינו מחדש את הייצוג של מספר: במקום לחשוב על 97 בפני עצמו, הם חשבו על כך שיש לו אפסים מובילים:
…0000000097.
כל אפס מוביל יכול להיחשב כספרה, וניתן להרחיב את שאלת העדינות הדיגיטלית לייצוגים החדשים הללו. האם ייתכן שקיימים "ראשוניים עדינים באופן דיגיטלי" - מספרים ראשוניים שתמיד הופכים להיות מורכבים אם אתה משנה אחת מהספרות, כולל כל אחת מאותם אפסים מובילים? הודות לעבודתם של המתמטיקאים מייקל פילאסטה וג'רמיה סאות'וויק, אנו יודעים שהתשובה, באופן מפתיע, היא כן. לא רק שקיימים ראשוניים עדינים מבחינה דיגיטלית, אלא שיש אינסוף רבים מהם.
מספרים ראשוניים יוצרים מחרוזת אינסופית של חידות מתמטיות למקצוענים ולחובבים לשחק איתן. אולי לעולם לא נפתור את כל המסתורין שלהם, אבל אתה יכול לסמוך על מתמטיקאים שיגלו ללא הרף, וימציאו, סוגים חדשים של ראשוניים לחקור.
תרגילים
1. מהו פער הפריים הגדול ביותר בין הראשוניים מ-2 ל-101?
2. כדי להוכיח שיש אינסוף ראשוניים, אוקלידס מניח שיש אינסוף ראשוניים $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, ואז מראה ש$latexq=p_1 כפול p_2 כפול p_3 כפול ... כפול p_n+1$ isn לא ניתן לחלוקה בשום ראשוני ברשימה. האם זה לא אומר את זה q חייב להיות ראשוני?
3. תוצאה מפורסמת בתורת המספרים היא שתמיד יש ראשוני ביניהם k ו 2k (כָּלוּל). קשה להוכיח את זה, אבל קל להוכיח שתמיד יש פריים ביניהם k ו-$latexq=p_1 כפול p_2 כפול p_3 כפול … כפול p_n+1$ (כולל), כאשר $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ הם כל ראשוני הקטן או שווים ל k. הוכח זאת.
4. האם אתה יכול למצוא את המספר הראשוני הקטן ביותר שהוא עדין דיגיטלית בספרות אחדות ועשרות? המשמעות היא ששינוי ספרת האחדות או העשרות תמיד יפיק מספר מורכב. (אולי כדאי לכתוב תוכנת מחשב כדי לעשות זאת!)
בעיית האתגר: האם אתה יכול למצוא את המספר הראשוני הקטן ביותר שהוא עדין דיגיטלית כשהוא מיוצג בבינארי? נזכיר שבבינארי, או בסיס 2, הספרות היחידות הן 0 ו-1, וכל ערך מקום מייצג חזקת 2. לדוגמה, 8 מיוצג כ-$latex1000_2$, שכן $latex 8=1 כפול 2^3 + 0 כפול 2^2 + 0 כפול 2^1 + 0 כפול 2^0$, ו-7 בבסיס 2 הוא $latex111_2$, שכן $latex7=1 כפול 2^2 + 1 כפול 2^1 + 1 כפול 2^0$.
לחץ לתשובה 1:
לחץ לתשובה 2:
לא. שקול את ששת הראשוניים הראשונים: 2, 3, 5, 7, 11 ו-13. במקרה זה המספר q יהיה $latex 2 פעמים 3 פעמים 5 פעמים 7 פעמים 11 פעמים13 + 1 = 30,031$ . זה לא מתחלק ב-2, 3, 5, 7, 11 או 13, אבל זה לא ראשוני: זה גורם ל-$latex 30,031 = 59 כפול 509$. שימו לב שיש לזה גורמים ראשוניים, אבל כולם גדולים יותר מששת הראשוניים הראשונים.
לחץ לתשובה 3:
או זה או זה k or q הוא מעולה סיימנו. אם q זה לא ראשוני זה מורכב, כלומר הוא מתחלק במספר ראשוני כלשהו, אבל אנחנו כבר יודעים שהוא לא מתחלק באף אחד מהראשונים n ראשוניים. לפיכך הוא חייב להיות מתחלק בראשון גדול מהראשון n ראשוניים, ומכיוון שאלו כל הראשוניים פחות מ k, פריט זה חייב להיות גדול מ k. אבל ראש השנה הזה מתחלק q, אז זה חייב להיות פחות מ q, אז חייב להיות ראשוני בין k ו q.
לחץ לתשובה 4:
ראשוני הראשון שעונה על מאפיין זה הוא 2,459, שכן 2,451, 2,453 ו-2,457 כולם מורכבים (עומדים בקריטריון הספרות העדינות) ו-2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489, 2,499, 2,459, 2,659, XNUMX, XNUMX, XNUMX, כולם מורכבים (משביעי רצון הקריטריון העדין של ספרות עשרות). עם זאת, XNUMX אינו עדין מבחינה דיגיטלית, כי XNUMX הוא ראשי, אז הוא נכשל ברגע שמתחילים לשקול את ספרת המאות. (תודה למתמטיקאי ג'ון ד. קוק על פרסום שלו קוד Python עדין מבחינה דיגיטלית.)
לחץ לתשובה לבעיית האתגר:
$latex127=1111111_2$ הוא עדין מבחינה דיגיטלית, מכיוון ש-$latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$111x1101111$2$late=95$1011111,$latex=2$,$latex 63_0111111$, ו-$latex2 =XNUMX_XNUMX$ כולם מורכבים.
