Introduzione
Tendiamo a pensare alla matematica come a qualcosa di puramente logico, ma l’insegnamento della matematica, i suoi valori, la sua utilità e il suo funzionamento sono ricchi di sfumature. Allora, qual è la matematica “buona”? Nel 2007, il matematico Terence tao ha scritto un saggio per il Bollettino dell'American Mathematical Society che ha cercato di rispondere a questa domanda. Oggi, insignito di una medaglia Fields, di un premio rivoluzionario in matematica e di una borsa di studio MacArthur, Tao è uno dei matematici viventi più onorati e prolifici. In questo episodio si unisce al nostro ospite e collega matematico Steven Strogatz rivisitare gli ingredienti della buona matematica.
Ascolta Podcast Apple, Spotify, Google Podcast, Stitcher, TuneIn o la tua app di podcasting preferita, oppure puoi trasmettilo in streaming da Quanta.
Trascrizione
STEVEN STROGATZ: Nell'ottobre del 2007, quando l'iPhone di prima generazione era ancora un prodotto di tendenza e il mercato azionario era ai massimi storici prima della Grande Recessione, Terence Tao, professore di matematica alla UCLA, era determinato a rispondere a una domanda domanda che era stata a lungo dibattuta tra i matematici: cos’è esattamente la buona matematica?
Si tratta di rigore? Eleganza? Utilità nel mondo reale? Terry ha scritto un saggio molto ponderato e generoso, direi anche sincero, su tutti i modi in cui la matematica potrebbe essere buona. Ma ora, più di 15 anni dopo, dobbiamo ripensare a cosa sia la buona matematica?
Sono Steve Strogatz e questo è "The Joy of Why", un podcast di Quanta Magazine dove la mia co-conduttrice, Janna Levin, e io, a turno, esploriamo alcune delle più grandi domande senza risposta in matematica e scienze oggi.
(Spettacoli a tema)
Qui oggi per rivisitare l'eterna questione di ciò che rende buona la matematica c'è lo stesso Terry Tao. Il professor Tao è autore di oltre 300 articoli di ricerca su un'ampia gamma di ambiti matematici, tra cui analisi armonica, equazioni differenziali parziali, calcolo combinatorio, teoria dei numeri, scienza dei dati, matrici casuali e molto altro. È stato definito il "Mozart della matematica". E in quanto vincitore di una medaglia Fields, di un Breakthrough Prize in Mathematics, di una MacArthur Fellowship e di molti altri premi, quel soprannome è certamente ben meritato.
Terry, benvenuto a "The Joy of Why".
TERENCE TAO: Piacere di essere qui.
STROGATZ: Sono molto entusiasta di poterti parlare di cosa rende validi alcuni tipi di ricerca matematica. Ricordo in modo abbastanza vivido di aver sfogliato il file Bollettino dell'American Math Society nel 2007 e mi sono imbattuto il tuo saggio su questo problema che hai posato per noi. È qualcosa a cui pensano tutti i matematici. Ma per le persone là fuori che potrebbero non avere così tanta familiarità, potresti dirci come sei arrivato a questa domanda? Come definivi la buona matematica all'epoca?
CAT: Giusto, sì. In realtà era una sollecitazione. Quindi l'editore del bollettino all'epoca mi aveva chiesto di contribuire con un articolo. Penso di aver avuto un’idea molto ingenua di cosa fosse la matematica da studente. Avevo questa idea che ci fosse una sorta di consiglio di barba grigia che avrebbe distribuito i problemi su cui lavorare. Ed è stato un po' uno shock per me, da studente laureato, rendermi conto che in realtà non c'era questa autorità centrale a distribuire i problemi, e che le persone facevano ricerche autodirette.
Continuavo ad andare alle conferenze e ad ascoltare come altri matematici parlavano di ciò che trovano eccitante e di ciò che li rende entusiasti della matematica, e del fatto che ogni matematico ha un modo diverso di avvicinarsi alla matematica. Ad esempio, alcuni perseguirebbero applicazioni, alcuni per una sorta di bellezza estetica, altri semplicemente per la risoluzione dei problemi. Volevano risolvere un problema e si concentravano sui compiti più difficili e impegnativi. Alcuni si concentrerebbero sulla tecnica; alcuni proverebbero a rendere le cose il più eleganti possibile.
Ma ciò che mi ha colpito ascoltando così tanti matematici diversi parlare di ciò che trovano prezioso nella matematica è che, anche se avevamo tutti ideali diversi su come dovrebbe essere una buona matematica, tutti tendono a convergere alla stessa cosa.
Se un pezzo di matematica è davvero buono, le persone che perseguono la bellezza prima o poi si imbatteranno in esso. Le persone che perseguono, che apprezzano, sai, il potere tecnico o le applicazioni alla fine ci arriveranno.
Eugene Wigner aveva un saggio molto famoso sul irragionevole efficacia della matematica nelle scienze fisiche quasi un secolo fa, dove osservò che c'erano aree della matematica - per esempio, la geometria riemanniana, lo studio dello spazio curvo - che inizialmente erano solo un esercizio puramente teorico per i matematici, sai, cercando di dimostrare la postulato delle parallele e così via, risultando essere esattamente ciò di cui Einstein, Poincaré e Hilbert avevano bisogno per descrivere la matematica della relatività generale. E questo è solo un fenomeno che si verifica.
Quindi non è solo la matematica, che [ciò che] i matematici trovano intellettualmente interessante finisce per essere fisicamente importante. Ma anche nell’ambito della matematica, le materie che i matematici trovano eleganti forniscono anche intuizioni profonde.
Quello che sento è che, sai, c'è della buona matematica platonica là fuori, e tutti i nostri diversi sistemi di valori sono solo modi diversi di accedere a quelle cose oggettive.
STROGATZ: È molto interessante. Essendo io stesso una persona incline al pensiero platonico, sono tentato di essere d'accordo. Anche se sono un po' sorpreso di sentirti dire questo, perché avrei pensato che dove stavi andando inizialmente sembrasse che ci fossero così tanti punti di vista diversi a riguardo. È un fatto interessante, però, in un certo senso empirico, che convergiamo nel concordare ciò che è buono o non buono, anche se, come dici tu, ci arriviamo partendo da così tanti valori diversi.
CAT: Giusto. La convergenza potrebbe richiedere tempo. Sai, quindi ci sono sicuramente campi, ad esempio, in cui appaiono molto migliori se misurati da una metrica rispetto ad altri. Forse hanno molte applicazioni, ma la loro presentazione è estremamente disgustosa, sai.
(Strogatz ride)
Oppure cose molto eleganti ma che non hanno ancora molte buone applicazioni nel mondo reale. Ma sento che alla fine convergerà.
STROGATZ: Bene, lascia che ti chieda riguardo a questo punto di contatto con il mondo reale. È una tensione interessante in matematica. E, sai, da bambini, diciamo, quando impariamo per la prima volta la geometria, a quel punto potresti pensare che i triangoli sono reali, o i cerchi o le linee rette sono reali, e che possono parlarti delle forme rettangolari che vedi negli edifici di tutto il mondo o che i geometri necessitano di utilizzare la geometria. E dopo tutto, la parola deriva dalla misurazione della Terra, giusto, "geometria". E così, c’è stato un tempo in cui la geometria era empirica.
Ma quello che volevo chiederti ha a che fare con un commento che John von Neumann fatto. Quindi von Neumann, per chi non lo conoscesse, era lui stesso un grande matematico. E ha fatto questo commento in questo saggio: "Il Matematico”, sul rapporto tra la matematica e il mondo empirico, il mondo reale, dove dice grossomodo che le idee matematiche hanno origine nell'empiria, ma che a un certo punto, una volta acquisite le idee matematiche, la materia inizia ad assumere una vita propria Proprio. E poi è più simile a un'opera d'arte creativa. I criteri estetici diventano importanti. Ma dice che questo causa pericolo. Che quando un soggetto inizia ad allontanarsi troppo dalla sua fonte empirica, come soprattutto nella sua seconda o terza generazione, dice che c'è la possibilità che il soggetto possa soffrire di consanguineità troppo astratta ed è in pericolo di degenerazione.
Qualche idea a riguardo? Voglio dire, la matematica deve restare in contatto con la sua fonte empirica?
TAO: Sì, penso che debba essere radicato. Quando dico che, empiricamente, tutti questi diversi modi di fare matematica convergono, è solo perché questo accade solo quando la materia è sana. Quindi, sai, la buona notizia è che di solito è così.
Ma, ad esempio, i matematici preferiscono le dimostrazioni brevi a quelle lunghe, a parità di altre condizioni. Ma si potrebbe immaginare che le persone esagerino e, ad esempio, un sottocampo della matematica sia ossessionato dal fare dimostrazioni quanto più brevi possibile e avere queste dimostrazioni estremamente opache su due righe di teoremi profondi. E lo rendono una specie di gara, che poi diventa una specie di gioco astruso e poi si perde tutta l'intuizione. Forse perdi una comprensione più profonda perché sei così ossessionato dal rendere tutte le tue dimostrazioni il più brevi possibile. Ora, questo in realtà non accade nella pratica. Ma questo è un esempio teorico e penso che von Neumann stesse sostenendo un punto simile.
E negli anni Sessanta e Settanta, ad esempio, c’era un’era della matematica in cui l’astrazione stava facendo passi da gigante nel semplificare e unificare gran parte della matematica che in precedenza era molto empirica. Soprattutto in algebra, le persone si stavano rendendo conto, sai, dei numeri e dei polinomi e di molti altri oggetti che prima venivano trattati separatamente, potevi pensarli tutti come membri della stessa classe algebrica, in questo caso un anello.
E molti progressi in matematica sono stati fatti trovando la giusta astrazione, sai, che fosse uno spazio topologico o uno spazio vettoriale, qualunque cosa, e dimostrando teoremi in grande generalità. E questa è a volte quella che in matematica chiamiamo l’era Bourbaki. E si è allontanato un po’ troppo dall’essere radicato.
Ovviamente abbiamo avuto l'intero episodio di New Math negli Stati Uniti, dove gli insegnanti hanno provato a farlo insegnare matematica in stile Bourbaki e alla fine si rese conto che quella non era la pedagogia appropriata a quel livello.
Ma ora il pendolo è tornato parecchio indietro. In un certo senso abbiamo: la materia è maturata parecchio e in ogni campo della matematica, della geometria, della topologia, qualunque cosa, abbiamo formalizzazioni soddisfacenti e sappiamo quali sono le giuste astrazioni. E ora il campo si concentra nuovamente su interconnessioni e applicazioni. Adesso si connette molto di più al mondo reale.
Voglio dire, non solo la fisica, che è una connessione tradizionale, ma, sai, l'informatica, le scienze della vita, le scienze sociali, sai. Con l’avvento dei big data, quasi tutte le discipline umane oggi possono essere matematizzate in una certa misura.
STROGATZ: Sono molto interessato alla parola che hai usato poco fa riguardo alle “interconnessioni”, perché sembra un punto centrale di cui discutere. È qualcosa che menzioni nel tuo saggio che, insieme a questi, quelli che chiami criteri “locali” sull’eleganza, o applicazioni nel mondo reale, o altro, menzioni questo aspetto “globale” della buona matematica: che la buona matematica si collega ad altri buona matematica.
Questo è quasi la chiave di ciò che lo rende buono, il fatto che sia integrato con altre parti. Ma è interessante perché suona quasi come un ragionamento circolare: che la buona matematica è la matematica che si collega ad altra buona matematica. Ma è un'idea davvero potente e mi chiedevo solo se potessi approfondirla un po' di più.
CAT: Sì, quindi, voglio dire, di cosa tratta la matematica - una delle cose che fa la matematica è che crea connessioni che sono molto basilari e fondamentali, ma non ovvie se la guardi solo dal livello superficiale. Un primo esempio di ciò è l'invenzione delle coordinate cartesiane da parte di Cartesio che stabilì una connessione fondamentale tra la geometria - lo studio di punti, linee e oggetti spaziali - e i numeri, l'algebra.
Quindi, ad esempio, puoi pensare a un cerchio come a un oggetto geometrico, ma puoi anche pensarlo come a un'equazione: x2 + y2 = 1 è l'equazione di una circonferenza. A quel tempo, era una connessione davvero rivoluzionaria. Sapete, gli antichi greci consideravano la teoria dei numeri e la geometria come argomenti quasi completamente disgiunti.
Ma con Cartesio c’era questa connessione fondamentale. E ora è interiorizzato; sai, il modo in cui insegniamo la matematica. Non sorprende più che se hai un problema geometrico, lo attacchi con i numeri. Oppure, se hai un problema con i numeri, puoi affrontarlo con la geometria.
In qualche modo è perché sia la geometria che i numeri sono aspetti dello stesso concetto matematico. Abbiamo un intero campo chiamato geometria algebrica, che non è né algebra né geometria, ma è una materia unificata che studia oggetti che puoi considerare come forme geometriche, come linee, cerchi e così via, o come equazioni.
Ma in realtà quello che studiamo è un'unione olistica dei due. E man mano che l'argomento si è approfondito, ci siamo resi conto che in qualche modo questo è più fondamentale dell'algebra o della geometria separatamente, in un certo senso. Quindi, queste connessioni ci stanno aiutando a scoprire una sorta di vera matematica che inizialmente, in qualche modo, i nostri studi empirici ci forniscono solo un angolo dell’argomento.
C'è questa famosa parabola dell'elefante, non ricordo dove, che se hai... Ci sono quattro uomini ciechi, e scoprono un elefante. E uno di loro tocca la zampa dell'elefante e pensa: “Oh, questo, è molto duro. Deve essere come un albero o qualcosa del genere.
E uno di loro palpa la proboscide, e solo molto tempo dopo si accorge che c'è un unico oggetto elefante che spiega tutte le loro ipotesi separate. Sì, quindi all'inizio siamo tutti ciechi, sai. Stiamo solo osservando le ombre sulla caverna di Platone e solo più tardi ci rendiamo conto...
STROGATZ: Wow, sei molto filosofico qui. Questo è qualcosa. Non posso resistere adesso: se inizi a parlare dell'elefante e dei ciechi, questo suggerisce che pensi che la matematica esista là fuori - che sia qualcosa come l'elefante e che noi siamo i ciechi... Oppure, tu sappiamo, stiamo cercando di vedere qualcosa che esiste indipendentemente dagli esseri umani. È davvero questo ciò in cui credi?
CAT: Quando si fa buona matematica, ad esempio, non si tratta solo di spostare simboli in giro. Hai la sensazione che ci sia qualche oggetto reale che stai cercando di capire, e tutte le nostre equazioni che abbiamo sono solo una sorta di approssimazioni di quello, o ombre.
Puoi discutere il punto filosofico di ciò che è effettivamente la realtà e così via. Voglio dire, queste sono cose che puoi effettivamente toccare, e più le cose diventano reali matematicamente, a volte meno sembrano fisiche. Come hai detto, inizialmente la geometria, sai, era una cosa molto tangibile riguardo agli oggetti nello spazio fisico che potevi - sai, puoi effettivamente costruire un cerchio, un quadrato e così via.
Ma nella geometria moderna, si sa, lavoriamo in dimensioni più elevate. Possiamo parlare di geometrie discrete, di tutti i tipi di topologie stravaganti. E, voglio dire, l'argomento merita ancora di essere chiamato geometria, anche se non viene più misurata la Terra. L'etimologia del greco antico è molto datata ma lo è, ma c'è sicuramente qualcosa lì. Se... quanto reale vuoi chiamarlo. Ma immagino che il punto sia che, per fare effettivamente matematica, aiuta credere che sia reale.
STROGATZ: Sì, non è interessante? Lo fa. Sembra che sia qualcosa che va molto in profondità nella storia della matematica. Mi ha colpito un saggio di Archimede che scrive al suo amico, o almeno collega, Eratostene.
Stiamo parlando del 250 aC circa. E lui fa l'osservazione, ha scoperto un modo per trovare l'area di quello che chiameremmo il segmento di una parabola. Sta prendendo una parabola, la taglia con un segmento di linea che forma un angolo obliquo rispetto all'asse della parabola, e calcola quest'area. Ottiene un risultato molto bello. Ma dice qualcosa a Eratostene del tipo: “Questi risultati erano sempre presenti nelle cifre”. Sai, tipo, sono lì. Sono lì. Stanno solo aspettando che lo trovino.
Non è che li abbia creati lui. Non è come la poesia. Voglio dire, è interessante, in realtà, non è vero? Molti grandi artisti - Michelangelo parlava di liberare la statua dalla pietra, sai, come se fosse lì dentro fin dall'inizio. E sembra che tu e molti altri grandi matematici abbiate - come dici tu, è molto utile credere a questa idea, che è lì ad aspettarci, in attesa che le menti giuste la scoprano.
CAT: Giusto. Beh, penso che una manifestazione di ciò sia che le idee che sono spesso molto complicate da spiegare quando vengono scoperte per la prima volta, vengono semplificate. Voglio dire, sai, spesso il motivo per cui qualcosa sembra molto profondo o difficile all'inizio è che non hai la notazione giusta.
Ad esempio, ora abbiamo la notazione decimale per manipolare i numeri ed è molto conveniente. Ma in passato avevamo i numeri romani e poi c'erano sistemi numerici ancora più primitivi con cui era davvero, davvero difficile lavorare se volevi fare matematica.
Quello di Euclide Elementi, sai, alcuni degli argomenti presenti in questi testi antichi. Ad esempio, c'è un teorema in Euclide Elementi Penso che si chiami il Ponte dei Folli o qualcosa del genere. È come l'affermazione che, penso che l'affermazione sia come un triangolo isoscele, i due angoli alla base sono uguali. Ad esempio, questa è come una dimostrazione su due righe nei testi geometrici moderni, sai, con gli assiomi giusti. Ma Euclide aveva questo modo orrendo di farlo. Ed è stato lì che molti studenti di geometria dell’era classica abbandonarono completamente la matematica.
STROGATZ: VERO. (ride)
CAT: Ma, sai, ora abbiamo un modo molto migliore per farlo. Molto spesso le complicazioni che vediamo in matematica sono artefatti dei nostri limiti. E così, man mano che maturiamo, le cose diventano più semplici. E per questo sembra più reale. Non stiamo vedendo gli artefatti. Stiamo vedendo l'essenza.
STROGATZ: Bene, quindi tornando al tuo saggio: quando lo hai scritto, in quel momento - voglio dire, era piuttosto all'inizio della tua carriera, non proprio l'inizio, ma comunque. Perché allora pensavi che fosse importante provare a definire cosa fosse la buona matematica?
CAT: Penso... Quindi, a quel punto, stavo già iniziando a dare consigli agli studenti laureati, e stavo notando che, sai, c'erano alcune idee sbagliate su, più o meno, cosa è buono e cosa non lo è. E stavo anche parlando con matematici di campi diversi, e ciò che un campo apprezzava in matematica sembrava diverso dagli altri. Eppure, in qualche modo stavamo tutti studiando la stessa materia.
E a volte qualcuno diceva qualcosa che mi dava fastidio, tipo: "Questa matematica non ha applicazioni, quindi non ha valore". Oppure “Questa dimostrazione è semplicemente troppo complicata; quindi non ha valore”, o qualcosa del genere. O al contrario, sai: “Questa dimostrazione è troppo semplice; quindi non vale...” Lo sai. Ad esempio, c'era una sorta di snobismo e così via, che a volte incontravo.
E nella mia esperienza, la matematica migliore è arrivata quando ho capito un punto di vista diverso, un modo diverso di pensare alla matematica da parte di qualcuno in un campo diverso e di applicarlo a un problema che mi stava a cuore. E quindi la mia esperienza su come usare correttamente la matematica, su come maneggiarla, era così diversa da queste: una sorta di “unico vero modo di fare matematica”.
Sentivo che questo punto doveva essere sottolineato in qualche modo. Che esiste davvero un modo plurale di fare matematica, ma invece la matematica è ancora unita.
STROGATZ: Questo è molto rivelatore, perché mi ero chiesto, sai, nella mia introduzione ho menzionato i molti diversi rami della matematica che hai esplorato, e non ne ho nemmeno inclusi alcuni. Ad esempio, ricordo solo qualche anno fa il tuo lavoro su questo mistero della dinamica dei fluidi, sul fatto se certe equazioni che pensiamo facciano un buon lavoro nell'approssimare i moti dell'acqua e dell'aria. Non voglio entrare troppo nei dettagli, ma solo per dire, eccoti qui, la gente pensa che tu faccia teoria dei numeri o analisi armonica, e all'improvviso stai lavorando su questioni di dinamica dei fluidi. Voglio dire, mi rendo conto che sono equazioni alle derivate parziali. Tuttavia, l’ampiezza del tuo interesse sembra essere correlata alla tua capacità di accettare intuizioni diverse, idee preziose diverse da tutti i diversi modi di fare buona matematica.
CAT: Non ricordo chi lo ha detto, ma ci sono due tipi di matematici. Ci sono ricci e volpi. Una volpe è qualcuno che sa un po’ di tutto. Un riccio è una creatura che conosce una cosa molto, molto bene. E nessuno dei due è migliore dell'altro. Si completano a vicenda. Voglio dire, in matematica, hai bisogno di persone che siano veramente esperti di dominio profondo in un sottocampo e che conoscano un argomento a fondo. E servono persone che sappiano vedere le connessioni tra un campo e l’altro. Quindi mi identifico sicuramente come una volpe, ma lavoro con molti ricci. Il lavoro di cui sono più orgoglioso è spesso una collaborazione del genere.
STROGATZ: O si. Si rendono conto che sono ricci?
CAT: Beh, ok, i ruoli cambiano nel tempo. Ad esempio, ci sono altre collaborazioni in cui io sono il riccio e qualcun altro è la volpe. Questi non sono permanenti: sai, non sono nel tuo DNA.
STROGATZ: Ah, buon punto. Possiamo adottare... possiamo indossare entrambi i mantelli.
Ebbene, che dire, ci fu una risposta al saggio in quel momento? Le persone ti hanno risposto qualcosa?
CAT: Ho avuto una risposta abbastanza positiva in generale. Voglio dire, il Bollettino dell'AMS non è una pubblicazione molto diffusa, credo. Inoltre, non ho detto nulla di troppo controverso. Inoltre, questo tipo di social media è antecedente, quindi penso che forse ci siano alcuni blog di matematica che lo hanno ripreso, ma non c'era Twitter. Non c’era nulla che potesse renderlo virale.
Sì, penso anche che, in generale, i matematici non spendano molto del loro tempo e del loro capitale intellettuale nella speculazione. Voglio dire, c'è un altro matematico chiamato Minhyong Kim che aveva questa metafora molto carina secondo cui, per i matematici, la credibilità è come la valuta, come il denaro. Se dimostri teoremi e dimostri di conoscere l'argomento, stai accumulando in qualche modo questa moneta di credibilità in banca. E una volta che hai abbastanza denaro, puoi permetterti di speculare un po’ essendo un po’ filosofico e dicendo ciò che potrebbe essere vero piuttosto che ciò che puoi effettivamente dimostrare.
Ma tendiamo ad essere conservatori e non vogliamo uno scoperto nel nostro conto bancario. Sai, non vuoi che la maggior parte dei tuoi scritti siano speculativi e che solo l'1% dimostri effettivamente qualcosa.
STROGATZ: Abbastanza giusto. Allora ok. Quindi sono passati molti anni da allora. Di cosa stiamo parlando? Sono passati più di 15 anni.
CAT: Oh sì, il tempo vola.
STROGATZ: La tua opinione è cambiata? C'è qualcosa che dobbiamo rivedere?
CAT: Beh, la cultura della matematica sta cambiando parecchio. Avevo già una visione ampia della matematica, e ora ne ho una ancora più ampia.
Quindi, un esempio molto concreto è: le dimostrazioni assistite dal computer erano ancora controverse nel 2007. C'era una famosa congettura chiamata congettura di Keplero, che riguarda il modo più efficiente di impacchettare sfere unitarie nello spazio tridimensionale. E c'è un imballaggio standard, penso che si chiami imballaggio centrale cubico o qualcosa del genere, che Keplero ipotizzò fosse il migliore possibile.
Questo è stato finalmente risolto, ma il la prova è stata molto assistita dal computer. Era piuttosto complicato e [Thomas] Halesalla fine creò effettivamente un intero linguaggio informatico per verificare formalmente questa particolare dimostrazione, ma per molti anni non fu accettata come una vera prova. Ma ha illustrato quanto fosse controverso il concetto di prova per la cui verifica fosse necessaria l’assistenza del computer.
Negli anni successivi, ci sono stati moltissimi altri esempi di prove in cui un essere umano può ridurre un problema complicato a qualcosa che richiede ancora la verifica di un computer. E poi il computer va avanti e lo verifica. Abbiamo sviluppato pratiche su come farlo in modo responsabile. Sai come pubblicare codice e dati e modi per controllare nuove cose open source e così via. E ora c'è una diffusa accettazione delle dimostrazioni assistite da computer.
Ora, penso che ci sarà il prossimo cambiamento culturale se le prove generate dall'intelligenza artificiale saranno accettate. Al momento, gli strumenti di intelligenza artificiale non sono al livello in cui possono generare dimostrazioni per far avanzare realmente i problemi matematici. Magari riescono a gestire i compiti a casa a livello universitario, ma la ricerca in matematica non è ancora a quel livello. Ma ad un certo punto inizieremo a vedere uscire documenti assistiti dall’intelligenza artificiale e ci sarà un dibattito.
Il modo in cui la nostra cultura è cambiata in qualche modo... Nel 2007, solo una frazione di matematici rendeva disponibili i propri preprint prima della pubblicazione. Gli autori custodivano gelosamente i loro preprint finché non ricevevano la notifica di accettazione da parte della rivista. E poi potrebbero condividere.
Ma adesso tutti mettono i documenti server pubblici come arXiv. C'è molta più apertura nell'inserire video e post di blog, sull'origine delle idee di un articolo. Perché le persone si rendono conto che questo è ciò che rende il lavoro più influente e di maggiore impatto. Se cerchi di non pubblicizzare il tuo lavoro e di essere molto riservato al riguardo, non fa scalpore.
La matematica è diventata molto più collaborativo. Sapete, 50 anni fa, direi che la maggior parte degli articoli di matematica erano di un solo autore. Ora, sicuramente la maggioranza sono due o tre o quattro autori. E stiamo appena iniziando a vedere progetti davvero grandi come quelli scientifici, sai, decine, centinaia di persone collaborano. È ancora difficile da realizzare per i matematici, ma penso che ci arriveremo.
Allo stesso tempo, stiamo diventando molto più interdisciplinari. Stiamo lavorando molto di più con altre scienze. Stiamo lavorando tra campi della matematica. E grazie a Internet possiamo collaborare con persone in tutto il mondo. Quindi, il modo in cui facciamo matematica sta decisamente cambiando.
Spero che in futuro saremo in grado di utilizzare maggiormente la comunità matematica amatoriale. Ci sono altri campi come l'astronomia, dove gli astronomi fanno grande uso della comunità astronomica amatoriale, come, ad esempio, molte comete vengono trovate dagli astrofili.
Ma i matematici... Ci sono alcune aree isolate della matematica come la piastrellatura, la piastrellatura bidimensionale e forse la ricerca di record nei numeri primi. Ci sono alcuni campi della matematica molto selezionati in cui i dilettanti contribuiscono e sono i benvenuti. Ma ci sono molte barriere. Nella maggior parte dei settori della matematica, c'è bisogno di così tanta formazione e saggezza interiorizzata o convenzionale che non possiamo fare crowdsourcing. Ma questo potrebbe cambiare in futuro. Forse un impatto dell’intelligenza artificiale sarebbe quello di consentire ai matematici dilettanti di contribuire in modo significativo alla matematica.
STROGATZ: È molto interessante.
[Pausa per l'inserimento dell'annuncio]
STROGATZ: Quindi i dilettanti potrebbero, con l'aiuto delle IA, porre nuove domande utili o aiutare con buone esplorazioni di domande esistenti, quel genere di cose?
CAT: Esistono molte modalità diverse, sì. Quindi, ad esempio, ora ci sono progetti per formalizzare le dimostrazioni di grandi teoremi in queste cose chiamate assistenti alle prove formali, che sono come linguaggi informatici in grado di verificare al 100% che un teorema sia vero o meno e che sia dimostrato o meno. Ciò consente effettivamente una collaborazione su larga scala in matematica.
Quindi in passato, se collaboravi con altre 10 persone per dimostrare un teorema, e ognuno contribuisce con un passo, ognuno deve verificare i calcoli di tutti gli altri. Perché il problema della matematica è che se un passaggio contiene un errore, tutto può andare in pezzi.
Quindi c’è bisogno di fiducia, e quindi – quindi questo impedisce, questo inibisce davvero collaborazioni su larga scala in matematica. Ma ora ci sono, ci sono stati esempi di successo di teoremi davvero grandi formalizzati dove c'è un'enorme comunità, non tutti si conoscono, non tutti si fidano l'uno dell'altro, ma comunicano attraverso il caricamento in qualche repository Github o qualcosa, come prove individuali di singoli passaggi dell'argomentazione. E il software di prova formale verifica tutto, quindi non devi preoccuparti della fiducia. Stiamo quindi abilitando nuove modalità di collaborazione, che non abbiamo mai visto in passato.
STROGATZ: È davvero interessante ascoltare la tua visione, Terry. È un pensiero affascinante. Non senti la frase "matematico cittadino". Hai sentito parlare di scienza dei cittadini, ma perché non di matematica dei cittadini?
Ma mi chiedo solo: ci sono tendenze di cui sei preoccupato, ad esempio, con le prove assistite da computer o con le prove generate dall'intelligenza artificiale? Sapremo che certi risultati sono veri, ma non ne capiremo il motivo?
CAT: Quindi questo è un problema. Voglio dire, è già un problema anche prima dell'avvento dell'intelligenza artificiale. Quindi, ci sono molti campi in cui gli articoli su un argomento diventano sempre più lunghi, centinaia di pagine. E spero che l'intelligenza artificiale possa effettivamente aiutare a semplificare e possa spiegare oltre che dimostrare.
Quindi esiste già un software sperimentale in cui, ad esempio, se prendi una dimostrazione che è stata formalizzata, puoi effettivamente convertirla in un documento interattivo leggibile dall'uomo, dove hai la dimostrazione e vedi i passaggi di alto livello e se c'è una frase non capisci che puoi fare doppio clic su di esso e si espanderà in passaggi più piccoli. Presto penso che potrai anche avere un chatbot AI seduto accanto a te mentre stai esaminando la prova, e loro potranno rispondere alle domande e spiegare ogni passaggio come se fossero l'autore. Penso che siamo già molto vicini a questo.
Ci sono preoccupazioni. Dobbiamo cambiare il modo in cui educhiamo i nostri studenti, in particolare ora che molti dei nostri modi tradizionali di assegnare i compiti e così via, siamo quasi al punto in cui questi strumenti di intelligenza artificiale possono rispondere istantaneamente a molte delle nostre domande d’esame standard. E quindi, dobbiamo insegnare ai nostri studenti nuove competenze, come come verificare se un output generato dall’intelligenza artificiale è corretto o meno e come ottenere una seconda opinione.
E potremmo vedere l'avvento di un lato più sperimentale della matematica, sapete. Pertanto, la matematica è quasi interamente teorica, mentre la maggior parte delle scienze ha sia una componente teorica che sperimentale. Alla fine potremmo ottenere risultati che saranno dimostrati inizialmente solo dai computer e, come dici tu, non comprendiamo. Ma poi, una volta che avremo i dati forniti dall’intelligenza artificiale, le prove generate dal computer, potremmo essere in grado di eseguire esperimenti.
Adesso c'è un po' di matematica sperimentale. Le persone studiano, ad esempio, grandi insiemi di dati di varie cose, ad esempio le curve ellittiche. Ma potrebbe diventare molto più grande in futuro.
STROGATZ: Cavolo, mi sembra che tu abbia una visione molto ottimistica. Non è che l'Età dell'Oro sia una cosa passata. Se ho capito bene, pensi che ci siano molte cose davvero interessanti davanti a te.
CAT: Sì, molti dei nuovi strumenti tecnologici sono molto potenti. Voglio dire, l'intelligenza artificiale in generale presenta molti vantaggi e svantaggi complessi. E al di fuori delle scienze, ci sono molti possibili disagi per l’economia, i diritti di proprietà intellettuale e così via. Ma in matematica, penso che il rapporto tra buono e cattivo sia migliore che in molti altri ambiti.
E si sa, Internet ha davvero trasformato il modo in cui facciamo matematica. Collaboro con tantissime persone in tanti campi diversi. Non potrei farlo senza Internet. Il fatto che posso andare su Wikipedia o qualsiasi altra cosa e iniziare a imparare un argomento, e posso inviare un'e-mail a qualcuno e possiamo collaborare online. Se dovessi fare le cose alla vecchia maniera, dove potevo parlare solo con le persone del mio dipartimento e usare la posta fisica per tutto il resto, non potrei fare i conti che faccio adesso.
STROGATZ: Wow, va bene. Devo solo sottolineare quello che hai appena detto, perché non avrei mai pensato che nemmeno in un milione di anni avrei sentito questo: Terry Tao legge Wikipedia per imparare la matematica?
CAT: Come punto di partenza. Voglio dire, non è sempre Wikipedia, ma solo per ottenere le parole chiave, e poi farò una ricerca più specializzata, ad esempio, MatematicaSciNet o qualche altro database. Ma si.
STROGATZ: Non è una critica. Voglio dire, faccio la stessa cosa. Wikipedia in realtà, se c'è qualche critica alla matematica su Wikipedia, forse è che a volte è un po' troppo avanzata per i lettori a cui è destinata, credo. Non sempre. Voglio dire, dipende. Varia molto da articolo ad articolo. Ma è semplicemente divertente. Mi piace sentirlo.
CAT: Voglio dire, questi strumenti, devi essere in grado di controllare l'output. Sai, quindi, voglio dire, il motivo per cui posso usare Wikipedia per fare matematica è perché conosco già abbastanza matematica da poter fiutare se un pezzo di Wikipedia in matematica è sospetto o meno. Sai, potrebbe ottenere alcune fonti e una di queste sarà una fonte migliore dell'altra. E conosco gli autori e ho un'idea di quale riferimento sarà migliore per me. Se utilizzassi Wikipedia per conoscere un argomento in cui non ho esperienza, penso che sarebbe più una variabile casuale.
STROGATZ: Bene, abbiamo parlato a lungo di ciò che rende buona la matematica, del possibile futuro per nuovi tipi di buona matematica. Ma forse dovremmo affrontare la domanda: perché questo è importante? Perché è importante che la matematica sia buona?
CAT: Beh, allora, prima di tutto, perché abbiamo i matematici? Perché la società valorizza i matematici e ci fornisce le risorse per fare ciò che facciamo? Sai, è perché forniamo un certo valore. Possiamo avere applicazioni nel mondo reale. C'è un interesse intellettuale e alcune delle teorie che sviluppiamo alla fine finiscono per fornire informazioni su altri fenomeni.
E non tutta la matematica ha lo stesso valore. Voglio dire, potresti calcolare sempre più cifre del pi greco, ma ad un certo punto non impari più nulla. Qualsiasi argomento ha bisogno di una sorta di giudizio di valore perché devi allocare le risorse. C'è così tanta matematica là fuori. Quali progressi vuoi evidenziare, pubblicizzare e far conoscere ad altre persone, e quali forse dovrebbero semplicemente stare seduti in silenzio su un diario da qualche parte?
Anche se pensi che un argomento sia completamente oggettivo e, sai, c'è solo vero o falso, dobbiamo comunque fare delle scelte. Sai, solo perché il tempo è una risorsa limitata. L’attenzione è una risorsa limitata. Il denaro è una risorsa limitata. Quindi, queste sono sempre domande importanti.
STROGATZ: Beh, è interessante che tu parli della pubblicità, perché è qualcosa che penso sia una caratteristica distintiva del tuo lavoro, che ti sei anche impegnato molto per rendere la matematica accessibile al pubblico attraverso il tuo blog, attraverso vari articoli che hai scritto. ho scritto. Ricordo di averne discusso uno in cui hai scritto Scienziato americano sull’universalità e quell’idea. Perché è importante rendere la matematica pubblicamente accessibile e comprensibile? Voglio dire, cos'è che stai cercando di fare?
CAT: È successo in modo organico. All'inizio della mia carriera, il World Wide Web era ancora molto nuovo e i matematici iniziarono ad avere pagine web con vari contenuti, ma non c'era una vera e propria directory centrale. Prima di Google e così via, era effettivamente difficile trovare risorse individuali.
Quindi, ho iniziato a creare piccole directory sulla mia pagina web. E creerei anche pagine web per i miei articoli e farei qualche commento. Inizialmente era più a mio vantaggio, solo come strumento organizzativo, solo per aiutarmi a trovare le cose. Come sottoprodotto, era disponibile al pubblico, ma ero una specie di consumatore principale, o almeno così pensavo, delle mie pagine web.
Ma ricordo molto distintamente che c'è stata una volta in cui ho scritto un articolo e l'ho inserito nella mia pagina web, e avevo una piccola sottopagina chiamata "Cosa c'è di nuovo?" E ho semplicemente detto: “Ecco un documento. C'è una domanda a cui ancora non so rispondere e non so come risolverla. E ho appena fatto questo commento. E poi, circa due giorni dopo, ho ricevuto un'e-mail che diceva: "Oh, stavo giusto controllando la tua home page. Conosco la risposta a questa domanda. C’è un documento che risolverà il tuo problema.”
E mi ha fatto capire, prima di tutto, che le persone stavano effettivamente visitando la mia pagina web, cosa che in realtà non sapevo. Ma quell’interazione con la comunità potrebbe davvero… beh, potrebbe aiutarmi a risolvere direttamente le mie domande.
C'è questa legge chiamata Legge di Metcalfe nelle reti quello, lo sai, se lo hai n persone, e tutti parlano tra loro, c'è circa n2 connessioni tra loro. E così, più vasto è il pubblico e più ampio il forum in cui tutti possono parlare con tutti gli altri, maggiori sono le connessioni potenziali che puoi creare e più cose buone possono accadere.
Voglio dire, nella mia carriera, gran parte delle scoperte che ho fatto, o delle connessioni che ho creato, sono dovute a connessioni inaspettate. Tutta la mia esperienza professionale è stata in un certo senso: più connessioni equivalgono a cose migliori che accadono.
STROGATZ: Penso che un bellissimo esempio di ciò a cui ti riferisci, ma mi piacerebbe sentirti parlarne, siano i collegamenti che hai stabilito con persone nel campo della scienza dei dati interessate a questioni relative alla risonanza medica , risonanza magnetica. Potresti raccontarci qualcosa di quella storia?
CAT: Quindi, questo era più o meno il 2006, 2005, credo. Quindi, c'era un programma interdisciplinare qui nel campus dell'UCLA, credo, sull'analisi geometrica multiscala, o qualcosa del genere, in cui riunivano matematici puri interessati a una sorta di geometria multiscala a sé stante, e poi, sai, persone che avevano problemi molto concreti con i tipi di dati.
E avevo appena iniziato a lavorare su alcuni problemi nella teoria delle matrici casuali, quindi ero conosciuto come qualcuno che poteva manipolare le matrici. E ho incontrato qualcuno che già conoscevo, Emmanuel Candes, perché all'epoca lavorava proprio accanto al Caltech. E lui e un altro collaboratore, Justin Romberg, avevano scoperto questo fenomeno insolito.
Quindi stavano guardando le immagini MRI, ma sono molto lente. Per raccogliere un numero sufficiente di immagini ad alta risoluzione di un corpo umano, o abbastanza da poter individuare un tumore, o qualsiasi altra caratteristica importante dal punto di vista medico che si desidera trovare, spesso ci vogliono diversi minuti perché devono scansionare tutti questi diversi angoli e quindi sintetizzare i dati . E questo era un problema, in realtà, perché per i bambini piccoli, ad esempio, anche solo stare seduti per tre minuti nella macchina per la risonanza magnetica era piuttosto problematico.
Quindi stavano sperimentando un modo diverso, usando un po' di algebra lineare. Speravano di ottenere un miglioramento delle prestazioni migliore del 10%, 20%. Sai, un'immagine leggermente più nitida modificando leggermente l'algoritmo standard.
Quindi l'algoritmo standard si chiamava approssimazione dei minimi quadrati, e loro stavano facendo qualcos'altro, chiamato minimizzazione della variazione totale. Ma poi, quando hanno eseguito il software del computer, hanno ottenuto una ricostruzione quasi perfetta dell'immagine di prova. Enorme, enorme miglioramento. E non potevano spiegarlo.
Ma Emmanuel era a questo programma e stavamo chiacchierando mentre prendevamo il tè o qualcosa del genere. E lui ha appena accennato a questo e, in realtà, il mio primo pensiero è stato che devi aver commesso un errore nei tuoi calcoli, che quello che dici non è effettivamente possibile. E ricordo che tornavo a casa quella notte e cercavo di scrivere una prova concreta che ciò che stavano vedendo non poteva realmente accadere. E poi a metà del lavoro, mi sono reso conto di aver fatto un'ipotesi che non era vera. E poi ho capito che effettivamente poteva funzionare. E poi ho capito quale potrebbe essere la spiegazione. E poi abbiamo lavorato insieme, abbiamo trovato una buona spiegazione e l'abbiamo pubblicata.
E una volta fatto questo, le persone si sono rese conto che c'erano molte altre situazioni in cui dovevi effettuare una misurazione che normalmente richiedeva moltissimi dati, e in alcuni casi puoi prendere una quantità molto minore di dati e ottenere comunque un risultato davvero elevato. misurazione della risoluzione.
Quindi ora, ad esempio, le moderne macchine per la risonanza magnetica: una scansione che prima richiedeva tre minuti ora può durare 30 secondi perché questo software, questo algoritmo è cablato, codificato nelle macchine ora.
STROGATZ: È una storia bellissima, è davvero una storia fantastica. Voglio dire, parliamo di matematica importante che sta cambiando la vita, letteralmente, in questo contesto dell'imaging medico. Adoro la sua serendipità e la tua apertura mentale, sai, nell'ascoltare questa idea e poi pensare, beh, "questo è impossibile, posso dimostrarlo". E poi realizzare che no, in realtà. È fantastico vedere la matematica avere un tale impatto.
Beh, okay, penso che sarà meglio lasciarti andare, Terry. È stato un vero piacere discutere con te dell'essenza della buona matematica. Grazie mille per esserti unito a noi oggi.
CAT: Sì, no, è stato un piacere.
[Pausa per l'inserimento dell'annuncio]
STROGATZ: "The Joy of Why" è un podcast di Quanta Magazine, una pubblicazione editoriale indipendente supportata dalla Simons Foundation. Le decisioni di finanziamento della Simons Foundation non hanno alcuna influenza sulla selezione di argomenti, ospiti o altre decisioni editoriali in questo podcast o in Quanta Magazine.
“The Joy of Why” è prodotto da Produzioni PRX. Il team di produzione è composto da Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler e Merritt Jacob. Il produttore esecutivo di PRX Productions è Jocelyn Gonzales. Morgan Church e Edwin Ochoa hanno fornito ulteriore assistenza. Da Quanta Magazine, John Rennie e Thomas Lin hanno fornito una guida editoriale, con il supporto di Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana e Madison Goldberg.
Il nostro tema musicale proviene da APM Music. Julian Lin ha inventato il nome del podcast. La grafica dell'episodio è di Peter Greenwood e il nostro logo è di Jaki King e Kristina Armitage. Un ringraziamento speciale alla Columbia Journalism School e a Burt Odom-Reed dei Cornell Broadcast Studios.
Sono il tuo ospite, Steve Strogatz. Se avete domande o commenti per noi, inviateci un'e-mail a . Grazie per aver ascoltato.
- Distribuzione di contenuti basati su SEO e PR. Ricevi amplificazione oggi.
- PlatoData.Network Generativo verticale Ai. Potenzia te stesso. Accedi qui.
- PlatoAiStream. Intelligenza Web3. Conoscenza amplificata. Accedi qui.
- PlatoneESG. Carbonio, Tecnologia pulita, Energia, Ambiente, Solare, Gestione dei rifiuti. Accedi qui.
- Platone Salute. Intelligence sulle biotecnologie e sulle sperimentazioni cliniche. Accedi qui.
- Fonte: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :ha
- :È
- :non
- :Dove
- ][P
- $ SU
- 1
- 10
- 15 anni
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 anni
- a
- capace
- Chi siamo
- a proposito
- ABSTRACT
- astrazione
- AC
- accettazione
- accettato
- Accettando
- accessibile
- Accedendo
- Il mio account
- operanti in
- presenti
- effettivamente
- Ad
- aggiuntivo
- indirizzo
- adottare
- avanzare
- Avanzate
- avanzamenti
- Avvento
- aiutarti
- Dopo shavasana, sedersi in silenzio; saluti;
- ancora
- fa
- accettando
- avanti
- AI
- AI chatbot
- ARIA
- ais
- algoritmo
- vivo
- Tutti
- assegnare
- consentire
- quasi
- lungo
- già
- anche
- Sebbene il
- sempre
- dilettante
- americano
- tra
- quantità
- an
- .
- Antico
- ed
- Un altro
- rispondere
- in qualsiasi
- più
- chiunque
- nulla
- a parte
- App
- Apple
- applicazioni
- AMMISSIONE
- si avvicina
- opportuno
- SONO
- RISERVATA
- aree
- argomento
- argomenti
- in giro
- Arte
- articolo
- news
- Artisti
- AS
- chiedere
- aspetto
- aspetti
- Assistenza
- assunzione
- astronomia
- At
- attacco
- attenzione
- pubblico
- autore
- Authored
- autorità
- gli autori
- disponibile
- premi
- Axis
- b
- precedente
- Vasca
- Banca
- conto bancario
- barriere
- base
- basic
- BE
- bellissimo
- Bellezza ed estetica
- perché
- diventare
- diventa
- diventando
- stato
- prima
- iniziare
- Inizio
- essendo
- esseri
- CREDIAMO
- beneficio
- MIGLIORE
- Meglio
- fra
- Big
- Big Data
- maggiore
- Maggiore
- Po
- cieco
- Blog
- Post di Blog
- blog
- stile di vita
- entrambi
- rami
- ampiezza
- Rompere
- sfondamento
- BRIDGE
- Portare
- ampio
- BROADCAST
- più ampia
- brock
- costruire
- ma
- by
- calcolo
- chiamata
- detto
- è venuto
- Campus
- Materiale
- capitale
- Career
- Custodie
- casi
- lotta
- cause
- grotta
- centrale
- autorità centrale
- Secolo
- certo
- certamente
- impegnativo
- possibilità
- il cambiamento
- cambiato
- cambiando
- chatbot
- chat
- dai un'occhiata
- verifica
- scelte
- chiesa
- Cerchio
- cerchi
- circolare
- cittadino
- classe
- Chiudi
- Co-presentatore
- codice
- collaboreranno
- collaborazione
- collaborazioni
- collega
- raccogliere
- Columbia
- Venire
- viene
- comete
- arrivo
- commento
- Commento
- Commenti
- merce
- comunicare
- comunità
- Complemento
- completamente
- complesso
- complicato
- complicazioni
- componente
- Calcolare
- computer
- Informatica
- Software per computer
- generato dal computer
- computer
- concetto
- preoccupazioni
- calcestruzzo
- congetturare
- Collegamento
- veloce
- Connessioni
- collega
- prudente
- Consumer
- contatti
- contenuto
- concorso
- contesto
- contribuire
- contribuisce
- controverso
- Comodo
- convenzionale
- converge
- Convergenza
- al contrario
- convertire
- cornell
- Angolo
- correggere
- potuto
- Consiglio
- corso
- creato
- Creative
- creatura
- Credibilità
- criteri
- critica
- folla
- la cultura della
- Cultura
- Valuta
- tagli
- PERICOLO
- dati
- scienza dei dati
- set di dati
- Banca Dati
- Giorni
- dibattito
- decisioni
- deep
- più profondo
- definire
- decisamente
- dimostrare
- Shirts Department
- dipende
- descrivere
- merita
- dettagli
- determinato
- sviluppare
- sviluppato
- DID
- diverso
- difficile
- cifre
- dimensioni
- direttamente
- directory
- disciplina
- scopri
- scoperto
- discutere
- discutere
- Rottura
- distintivo
- distintamente
- dna
- do
- documento
- effettua
- non
- fare
- dominio
- Dont
- Porta
- giù
- aspetti negativi
- dinamica
- ogni
- Presto
- terra
- economia
- editore
- Editoriale
- educare
- educatori
- Edwin
- efficacia
- efficiente
- sforzo
- einstein
- o
- elefante
- Ellittico
- altro
- Di qualcun'altro
- che abilita
- Abilita
- consentendo
- incontrare
- fine
- abbastanza
- Intero
- interamente
- episodio
- pari
- Equivale
- equazioni
- epoca
- errore
- particolarmente
- TEMA
- essenza
- Anche
- alla fine
- Ogni
- tutti
- tutti
- qualunque cosa
- di preciso
- e la
- esempio
- Esempi
- eccitato
- coinvolgenti
- esecutivo
- produttore esecutivo
- Esercitare
- esistente
- esiste
- Espandere
- esperienza
- sperimentale
- sperimentazione
- esperimenti
- esperti
- Spiegare
- spiegando
- spiegazione
- Esplorazione
- Esplorare
- estensione
- estremamente
- fatto
- fiera
- abbastanza
- Autunno
- falso
- familiare
- famoso
- fantastico
- lontano
- affascinante
- preferito
- caratteristica
- sentire
- si sente
- compagno
- errore
- pochi
- campo
- campi
- capito
- Cifre
- Infine
- Trovare
- ricerca
- Nome
- fluido
- Dinamica fluida
- Focus
- messa a fuoco
- Nel
- formale
- formalmente
- via
- Forum
- essere trovato
- Fondazione
- quattro
- volpe
- frazione
- Amico
- da
- fondamentale
- finanziamento
- divertente
- futuro
- gioco
- ha dato
- Generale
- generare
- ELETTRICA
- generoso
- geometria
- ottenere
- si
- ottenere
- GitHub
- Dare
- Go
- va
- andando
- d'oro
- buono
- buon lavoro
- ha ottenuto
- laurea
- grande
- greco
- Foresta
- Grifone
- terra
- Guardia
- indovinare
- ospiti
- guida
- ha avuto
- a metà strada
- cura
- accadere
- successo
- Happening
- accade
- Hard
- Avere
- avendo
- he
- sano
- sentire
- udito
- riccio
- Aiuto
- aiutare
- aiuta
- qui
- Alta
- alto livello
- ad alta risoluzione
- superiore
- Highlight
- lui
- lui stesso
- il suo
- storia
- olistica
- Casa
- homepage
- compito
- onorato
- speranza
- speranzoso
- sperando
- host
- HOT
- Come
- Tutorial
- HTTPS
- Enorme
- Enormemente
- umano
- leggibile dagli umani
- centinaia
- i
- idea
- ideali
- idee
- identificare
- if
- Immagine
- immagini
- immagine
- Imaging
- Impact
- di forte impatto
- importante
- impossibile
- miglioramento
- in
- Inclinato
- includere
- Compreso
- studente indipendente
- individuale
- influenza
- Influente
- inerente
- inizialmente
- intuizione
- intuizioni
- immediatamente
- integrato
- intellettuale
- proprietà intellettuale
- destinato
- interazione
- interattivo
- interesse
- interessato
- interessante
- Internet
- ai miglioramenti
- Introduzione
- intuizione
- Invenzione
- iPhone
- isolato
- IT
- SUO
- Lavoro
- John
- accoppiamento
- unirsi a noi
- Entra a far parte
- rivista
- giornalismo
- gioia
- ad appena
- tenere
- Le
- parole chiave
- bambini
- Genere
- tipi
- King
- Sapere
- conosciuto
- conosce
- Paese
- Lingua
- Le Lingue
- grandi
- larga scala
- superiore, se assunto singolarmente.
- dopo
- Legge
- IMPARARE
- apprendimento
- meno
- meno
- lasciare
- Livello
- Vita
- Life Sciences
- piace
- limiti
- Limitato
- lin
- linea
- lineare
- Linee
- Ascolto
- piccolo
- Lives
- logico
- logo
- Lunghi
- più a lungo
- Guarda
- una
- cerca
- SEMBRA
- perdere
- lotto
- lotti
- amore
- macchina
- macchine
- fatto
- rivista
- Maggioranza
- make
- FA
- Fare
- gestire
- molti
- Rappresentanza
- massiccio
- matematica
- matematico
- matematicamente
- matematica
- Matrice
- opaco
- Importanza
- alunni
- Maggio..
- può essere
- me
- significare
- misurato
- Media
- medicale
- imaging medicale
- Utenti
- Uomo
- menzione
- menzionato
- di cartone
- metrico
- forza
- milione
- menti
- minimizzazione
- minuto
- verbale
- idee sbagliate
- errore
- modalità
- moderno
- modalità di
- soldi
- Scopri di più
- Morgan
- maggior parte
- movimenti
- MRI
- molti
- Musica
- devono obbligatoriamente:
- my
- me
- Mistero
- ingenuo
- Nome
- Bisogno
- di applicazione
- esigenze
- Nessuno dei due
- mai
- New
- notizie
- GENERAZIONE
- bello
- notte
- no
- né
- normalmente
- Niente
- notifica
- adesso
- Ombra
- numero
- numeri
- oggetto
- obiettivo
- oggetti
- osservato
- ovvio
- OTTO
- ottobre
- of
- di frequente
- oh
- Va bene
- on
- una volta
- ONE
- quelli
- online
- esclusivamente
- opaco
- open source
- Apertura
- Opinione
- Ottimista
- or
- organicamente
- organizzativa
- Altro
- Altri
- nostro
- su
- antiquato
- produzione
- al di fuori
- ancora
- proprio
- PACK
- imballato
- pagine
- Carta
- documenti
- Parallel
- parziale
- particolare
- particolarmente
- Ricambi
- Passato
- passato
- Persone
- per cento
- perfetta
- performance
- permanente
- persona
- Peter
- fenomeno
- Fisico
- Scienze fisiche
- Fisicamente
- Fisica
- raccolto
- pezzo
- Platone
- Platone Data Intelligence
- Platone
- PlatoneDati
- per favore
- il piacere
- Podcast
- podcasting
- Poesia
- punto
- Punto di vista
- punti
- posto
- positivo
- possibile
- Post
- potenziale
- energia
- potente
- pratica
- pratiche
- precisamente
- presentazione
- piuttosto
- impedisce
- in precedenza
- primario
- premio
- primitivo
- premio
- Problema
- problemi
- Prodotto
- produttore
- Produzione
- produzioni
- Insegnante
- Programma
- Progressi
- progetti
- prolifico
- prova
- prove
- propriamente
- proprietà
- Diritti di proprietà
- protetta
- orgoglioso
- Dimostra
- comprovata
- fornire
- purché
- fornitura
- dimostrando
- la percezione
- Pubblicazione
- pubblicamente
- pubblicare
- pubblicato
- editoriale
- puro
- puramente
- scopo
- perseguire
- spingendo
- metti
- mette
- Quantamagazine
- domanda
- Domande
- tranquillamente
- abbastanza
- casuale
- piuttosto
- rapporto
- lettori
- di rose
- mondo reale
- Realtà
- rendersi conto
- realizzato
- realizzando
- veramente
- ragione
- recessione
- record
- ridurre
- riferimento
- di cui
- relazionato
- rapporto
- relatività
- rilascio
- ricorda
- rimosso
- deposito
- necessario
- richiede
- riparazioni
- risoluto
- risonanza
- risorsa
- Risorse
- risposta
- in modo responsabile
- colpevole
- Risultati
- rivelando
- rivedere
- rivoluzionario
- destra
- diritti
- Anello
- Aumento
- ruoli
- approssimativamente
- Correre
- Suddetto
- stesso
- dire
- detto
- dice
- scansione
- di moto
- Scienze
- SCIENZE
- Cerca
- Secondo
- secondo
- vedere
- vedendo
- sembrare
- sembrava
- sembra
- visto
- segmento
- select
- prodotti
- auto-diretto
- condanna
- separato
- server
- Set
- alcuni
- forme
- Condividi
- spostamento
- Corti
- dovrebbero
- lato
- simile
- Un'espansione
- semplice
- semplificata
- semplificare
- semplificando
- da
- singolo
- sedere
- Seduta
- situazioni
- abilità
- rallentare
- inferiore
- Odore
- So
- Social
- Social Media
- Società
- Software
- sollecitazione
- RISOLVERE
- Soluzione
- alcuni
- in qualche modo
- Qualcuno
- qualcosa
- a volte
- piuttosto
- da qualche parte
- Arrivo
- ricercato
- suoni
- Fonte
- fonti
- lo spazio
- Spaziale
- la nostra speciale
- specializzata
- speculazione
- speculativo
- spendere
- Spotify
- quadrato
- piazze
- Standard
- stanford
- inizia a
- iniziato
- Di partenza
- inizio
- dichiarazione
- stati
- soggiorno
- step
- Passi
- Steve
- Ancora
- azione
- borsa
- STONE
- Storia
- dritto
- passi avanti
- studente
- Gli studenti
- studi
- studios
- Studio
- Studiando
- soggetto
- di successo
- tale
- suggerisce
- supporto
- supportato
- superficie
- sorpreso
- sorprendente
- sospettoso
- sintetizzare
- SISTEMI DI TRATTAMENTO
- Fai
- prende
- presa
- Parlare
- parlando
- trattativa
- tangibile
- task
- Tè
- Insegnamento
- team
- Consulenza
- per l'esame
- tecnologico
- dire
- Tendono
- decine
- test
- di
- Grazie
- che
- I
- L'area
- Il futuro
- il mondo
- loro
- Li
- tema
- poi
- teorico
- teoria
- Là.
- perciò
- Strumenti Bowman per analizzare le seguenti finiture:
- di
- cosa
- cose
- think
- Pensiero
- Terza
- Terza generazione
- questo
- anche se?
- pensiero
- tre
- tridimensionale
- Attraverso
- tempo
- a
- oggi
- insieme
- pure
- strumenti
- Argomenti
- Totale
- toccare
- tradizionale
- Training
- trasformato
- trattati
- albero
- tendenze
- provato
- vero
- Affidati ad
- prova
- cerca
- tumore
- Svolta
- si
- tweaking
- seconda
- Digitare
- Tipi di
- ucla
- sottolineare
- capire
- comprensibile
- e una comprensione reciproca
- inteso
- Inaspettato
- unificato
- unione
- unità
- Unito
- fino a quando
- insolito
- Caricamento
- su
- UPS
- us
- uso
- utilizzato
- utile
- utilizzando
- generalmente
- utilità
- utilizzare
- Prezioso
- APPREZZIAMO
- valutato
- Valori
- variabile
- vario
- virare
- verificare
- molto
- VET
- Video
- Visualizza
- visti
- virale
- visione
- di
- In attesa
- volere
- ricercato
- Prima
- guardare
- Water
- Modo..
- modi
- we
- indossare
- sito web
- WebP
- il benvenuto
- accolto
- WELL
- sono stati
- Che
- Che cosa è l'
- qualunque
- quando
- mentre
- se
- quale
- while
- OMS
- tutto
- perché
- largo
- ampiamente
- molto diffuso
- brandire
- wikipedia
- volere
- vincitore
- saggezza
- con
- entro
- senza
- chiedendosi
- Word
- WordPress
- Lavora
- lavorato
- lavoro
- lavorazioni
- mondo
- world wide web
- preoccupato
- preoccuparsi
- sarebbe
- Wow
- scrivere
- scrittura
- scritto
- Wrong
- ha scritto
- anni
- sì
- ancora
- Tu
- Trasferimento da aeroporto a Sharm
- zefiro