Come costruire un computer origami | Rivista Quanti

Nel 1936, il matematico britannico Alan Turing ebbe l'idea di un computer universale. Era un dispositivo semplice: una striscia infinita di nastro ricoperta di zeri e uno, insieme a una macchina che poteva muoversi avanti e indietro lungo il nastro, cambiando gli zero in uno e viceversa secondo una serie di regole. Ha dimostrato che un tale dispositivo potrebbe essere utilizzato per eseguire qualsiasi calcolo.

Turing non intendeva che la sua idea fosse pratica per risolvere i problemi. Piuttosto, ha offerto un modo prezioso per esplorare la natura del calcolo e i suoi limiti. Nei decenni successivi a quell’idea fondamentale, i matematici hanno stilato un elenco di schemi informatici ancora meno pratici. Giochi come Minesweeper o Magic: The Gathering potrebbero, in linea di principio, essere utilizzati come computer universali. Lo stesso potrebbero fare i cosiddetti automi cellulari come quello di John Conway Gioco della Vita, un insieme di regole per l'evoluzione dei quadrati bianchi e neri su una griglia bidimensionale.

Nel mese di settembre 2023, Inna Zakharevič della Cornell University e Tommaso Scafo del Franklin & Marshall College ha dimostrato che tutto ciò che può essere calcolato può essere calcolato piegando la carta. Hanno dimostrato che l’origami è “Turing completo” – il che significa che, come una macchina di Turing, può risolvere qualsiasi problema computazionale trattabile, dato un tempo sufficiente.

Zakharevich, un appassionato di origami da sempre, ha iniziato a pensare a questo problema nel 2021 dopo essersi imbattuto in un video che spiegava la completezza di Turing del Gioco della Vita. "Ero tipo, l'origami è molto più complicato del Gioco della Vita", ha detto Zakharevich. "Se il Gioco della Vita è Turing completo, anche gli origami dovrebbero essere Turing completi."

Ma questa non era la sua area di competenza. Anche se piegava gli origami da quando era piccola - "se vuoi darmi una cosa super complessa che richiede un foglio di carta da 24 pollici e ha 400 passaggi, sono dappertutto", ha detto - lei la ricerca matematica si occupava dei regni molto più astratti della topologia algebrica e della teoria delle categorie. Così ha mandato un'e-mail a Hull, che studiava la matematica degli origami a tempo pieno.

"Mi ha appena mandato un'e-mail all'improvviso e le ho chiesto, perché un topologo algebrico me lo chiede?" Ha detto Hull. Ma si rese conto che non aveva mai veramente pensato se gli origami potessero essere completi di Turing. "Ho pensato, probabilmente lo è, ma in realtà non lo so."

Così lui e Zakharevich hanno deciso di dimostrare che è possibile creare un computer con gli origami. Per prima cosa hanno dovuto codificare gli input e gli output computazionali – nonché le operazioni logiche di base come AND e OR – come pieghe di carta. Se poi potessero dimostrare che il loro schema può simulare qualche altro modello computazionale già noto come completo di Turing, raggiungerebbero il loro obiettivo.

Un'operazione logica accetta uno o più input (ciascuno scritto come VERO o FALSO) e genera un output (VERO o FALSO) in base a una determinata regola. Per realizzare un'operazione con la carta, i matematici hanno progettato un diagramma di linee, chiamato modello di piega, che specifica dove piegare la carta. Una piega sulla carta rappresenta un input. Se si piega lungo una linea nel motivo di piega, la piega si gira su un lato, indicando un valore di input TRUE. Ma se pieghi la carta lungo una linea diversa (vicina), la piega si gira sul lato opposto, indicando FALSO.

Due di queste pieghe di input alimentano un complicato ringhio di pieghe chiamato gadget. Il gadget codifica l'operazione logica. Per fare tutte queste pieghe e riuscire comunque a piegare la carta in modo piatto - un requisito imposto da Hull e Zakharevich - hanno incluso una terza piega che è costretta a piegarsi in un modo particolare. Se la piega si gira in un senso, significa che l'output è VERO. Se si gira dall'altra parte, l'output è FALSE.

I matematici hanno progettato diversi gadget che trasformano gli input in output secondo varie operazioni logiche. "Abbiamo giocato molto con la carta e ci siamo scambiati immagini... e poi abbiamo scritto prove rigorose che queste cose funzionavano come avevamo detto", ha detto Hull.

Dalla fine degli anni '1990 è noto che un metodo più semplice analogo unidimensionale di Game of Life di Conway è Turing completo. Hull e Zakharevich hanno capito come scrivere questa versione della Vita in termini di operazioni logiche. "Alla fine abbiamo dovuto utilizzare solo quattro porte: AND, OR, NAND e NOR", ha detto Zakharevich, riferendosi a due semplici porte aggiuntive. Ma per combinare queste diverse porte, hanno dovuto costruire nuovi gadget che assorbissero segnali estranei e permettessero ad altri segnali di girare e intersecarsi senza interferire tra loro. "Questa è stata la parte più difficile", ha detto Zakharevich, "capire come far sì che tutto fosse allineato correttamente". Dopo che lei e Hull sono riusciti a mettere insieme i loro gadget, hanno potuto codificare tutto ciò di cui avevano bisogno in pieghe di carta, dimostrando così che l'origami è completo di Turing.

Un computer origami sarebbe estremamente inefficiente e poco pratico. Ma in linea di principio, se avessi un pezzo di carta molto grande e molto tempo a disposizione, potresti usare gli origami per calcolare arbitrariamente molte cifre di $latex pi$, determinare il modo ottimale per instradare ogni fattorino nel mondo, o eseguire un programma per prevedere il tempo. "Alla fine, il modello di piega è gigantesco", ha detto Hull. "È difficile da piegare, ma porta a termine il lavoro."

Per decenni, i matematici sono stati attratti dagli origami perché “sembravano divertenti e inutili”, ha detto Erik Demaine, uno scienziato informatico del Massachusetts Institute of Technology che ha contribuito ampiamente alla matematica degli origami. Ma recentemente ha attirato l'attenzione anche degli ingegneri.

La matematica degli origami è stata utilizzata per progettare enormi pannelli solari che possono essere ripiegati e trasportati nello spazio, robot che nuotano nell’acqua per raccogliere dati ambientali, stent che viaggiano attraverso minuscoli vasi sanguigni e altro ancora. "Ora ci sono centinaia se non migliaia di persone che utilizzano tutta la matematica e gli algoritmi degli origami che abbiamo sviluppato nella progettazione di nuove strutture meccaniche", ha affermato Demaine.

E quindi, "più facciamo cose del genere", ha detto Hull, "maggiori sono le possibilità che penso che avremo di stabilire profondi incroci tra gli origami e rami consolidati della matematica".