Se hai seguito le notizie di matematica questo mese, sai che il teorico dei numeri di 35 anni James Maynard ha vinto un Medaglia dei campi — la più alta onorificenza per un matematico. A Maynard piacciono le domande di matematica che "sono abbastanza semplici da spiegare a uno studente delle superiori ma abbastanza difficili da mettere in difficoltà i matematici per secoli", Quanta segnalati, e una di quelle semplici domande è questa: mentre ti muovi lungo la linea dei numeri, devono esserci sempre numeri primi vicini tra loro?
Potresti aver notato che i matematici sono ossessionati dai numeri primi. Cosa li attira? Forse è il fatto che i numeri primi incarnano alcune delle strutture e dei misteri più fondamentali della matematica. I numeri primi tracciano l'universo della moltiplicazione consentendoci di classificare e classificare ogni numero con una fattorizzazione unica. Ma anche se gli esseri umani hanno giocato con i numeri primi sin dagli albori della moltiplicazione, non siamo ancora esattamente sicuri di dove appariranno i primi, di quanto siano distribuiti o di quanto debbano essere vicini. Per quanto ne sappiamo, i numeri primi non seguono uno schema semplice.
Il nostro fascino per questi oggetti fondamentali ha portato all'invenzione, o scoperta, di centinaia di diversi tipi di numeri primi: Mersenne primi (primi della forma 2n − 1), numeri primi bilanciati (primi che sono la media di due primi vicini) e numeri primi di Sophie Germain (un numero primo p tale che 2p + 1 è anche primo), solo per citarne alcuni.
L'interesse per questi numeri primi speciali è nato giocando con i numeri e scoprendo qualcosa di nuovo. Questo vale anche per i "numeri primi digitalmente delicati", una recente aggiunta all'elenco che ha portato ad alcuni risultati sorprendenti sulla più elementare delle domande: quanto possono essere rari o comuni certi tipi di numeri primi?
Per apprezzare questa domanda, iniziamo con uno dei primi fatti intriganti che un aspirante appassionato di numeri impara: ci sono infiniti numeri primi. Euclide lo dimostrò 2,000 anni fa usando una delle dimostrazioni contraddittorie più famose di tutta la storia della matematica. Ha iniziato assumendo che ci sono solo un numero finito di numeri primi e ha immaginato tutti n di loro in un elenco:
$latex_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Poi ha fatto qualcosa di intelligente: ha pensato al numero $latexq=p_1 volte p_2 volte p_3 volte … volte p_n+1$.
Notare che q non può essere nell'elenco dei numeri primi, perché è più grande di tutto nell'elenco. Quindi, se esiste una lista finita di numeri primi, questo numero q non può essere primo. Ma se q non è un numero primo, deve essere divisibile per qualcosa di diverso da se stesso e 1. Questo, a sua volta, significa questo q deve essere divisibile per qualche numero primo nell'elenco, ma a causa del modo q è costruito, dividendo q da qualsiasi cosa nell'elenco lascia un resto di 1. Quindi a quanto pare q non è né primo né divisibile per nessun primo, il che è una contraddizione che risulta dall'assumere che ci siano solo un numero finito di primi. Pertanto, per evitare questa contraddizione, devono esserci infatti infiniti numeri primi.
Dato che ce ne sono infiniti, potresti pensare che i numeri primi di tutti i tipi siano facili da trovare, ma una delle cose successive che un detective dei numeri primi impara è quanto possono essere distribuiti i numeri primi. Un semplice risultato sugli spazi tra numeri primi consecutivi, chiamati gap primi, dice qualcosa di abbastanza sorprendente.
Tra i primi 10 numeri primi — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29 — puoi vedere spazi che consistono in uno o più numeri composti (numeri che non sono primi, come 4, 12 o 27). Puoi misurare questi intervalli contando i numeri composti tra: Ad esempio, c'è uno spazio di dimensione 0 tra 2 e 3, uno spazio di dimensione 1 tra 3 e 5 e 5 e 7, uno spazio di dimensione 3 tra 7 e 11, e così via. Il più grande divario primo in questo elenco è costituito dai cinque numeri composti - 24, 25, 26, 27 e 28 - tra 23 e 29.
Ora per l'incredibile risultato: le lacune Prime possono essere arbitrariamente lunghe. Ciò significa che esistono numeri primi consecutivi il più distanti tra loro come puoi immaginare. Forse altrettanto incredibile è quanto sia facile provare questo fatto.
Abbiamo già un gap primo di lunghezza 5 sopra. Potrebbe essercene uno di lunghezza 6? Invece di cercare elenchi di numeri primi nella speranza di trovarne uno, lo costruiremo noi stessi. Per farlo useremo la funzione fattoriale usata nelle formule di conteggio di base: Per definizione, $latexn!=n volte(n-1) volte (n-2) volte … volte 3 volte 2 volte 1$, quindi ad esempio $ latex3!=3 volte 2 volte 1 = 6$ e $latex5!=5 volte 4 volte 3 volte 2 volte 1=120$.
Ora costruiamo il nostro divario principale. Considera la seguente sequenza di numeri consecutivi:
$latex7!+2$, $latex7!+3$, $latex7!+4$, $latex7!+5$, $latex7!+6$, $latex7!+7$.
Poiché $latex7!=7 volte 6 volte 5 volte 4 volte 3 volte2 volte 1$, il primo numero nella nostra sequenza, $latex7!+2$, è divisibile per 2, che puoi vedere dopo un po' di fattorizzazione:
$latex7!+2=7 volte 6 volte 5 volte 4 volte 3 volte2 volte 1+2$
$latex= 2(7 volte 6 volte 5 volte 4 volte 3 volte 1+1)$.
Allo stesso modo, il secondo numero, $latex7!+3$, è divisibile per 3, poiché
$latex7!+3=7 volte 6 volte 5 volte 4 volte 3 volte2 volte 1+3$
$lattice= 3(7 volte 6 volte 5 volte 4 volte2 volte 1+1)$.
Allo stesso modo, 7! + 4 è divisibile per 4, 7! + 5 per 5, 7! + 6 per 6 e 7! + 7 per 7, che fa 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 una sequenza di sei numeri composti consecutivi. Abbiamo un gap primo di almeno 6.
Questa strategia è facile da generalizzare. La sequenza
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latexn…$, $latexn!+n$.
è una sequenza di $latexn-1$ numeri composti consecutivi, il che significa che, per qualsiasi n, c'è un gap primo con una lunghezza di almeno $latexn-1$. Questo mostra che ci sono intervalli tra primi arbitrariamente lunghi, e quindi lungo l'elenco dei numeri naturali ci sono punti in cui i primi più vicini sono distanti 100, o 1,000 o anche 1,000,000,000 di numeri.
Una classica tensione può essere vista in questi risultati. Ci sono infiniti numeri primi, ma anche numeri primi consecutivi possono essere infinitamente distanti. Inoltre, ci sono infiniti numeri primi consecutivi che sono vicini tra loro. Circa 10 anni fa il lavoro pionieristico di Yitang Zhang ha dato il via a una corsa per colmare il divario e dimostrare la congettura dei primi gemelli, che afferma che ci sono infinite coppie di numeri primi che differiscono solo di 2. La congettura dei primi gemelli è una delle più famose questioni aperte in matematica e James Maynard ha dato il suo significativo contributo alla dimostrazione di questo risultato sfuggente.
Questa tensione è presente anche nei recenti risultati sui cosiddetti numeri primi digitalmente delicati. Per avere un'idea di cosa sono questi numeri e dove possono o non possono essere, prenditi un momento per riflettere sulla seguente strana domanda: esiste un numero primo a due cifre che diventa sempre composto con qualsiasi modifica alla sua cifra uno?
Per avere un'idea della delicatezza digitale, giochiamo con il numero 23. Sappiamo che è un numero primo, ma cosa succede se cambi le sue cifre? Ebbene, 20, 22, 24, 26 e 28 sono tutti pari, e quindi composti; 21 è divisibile per 3, 25 è divisibile per 5 e 27 è divisibile per 9. Fin qui tutto bene. Ma se cambi la cifra delle unità in un 9, ottieni 29, che è ancora un numero primo. Quindi 23 non è il tipo di numero primo che stiamo cercando.
E il 37? Come abbiamo visto sopra, non dobbiamo preoccuparci di controllare i numeri pari oi numeri che terminano con 5, quindi controlleremo semplicemente 31, 33 e 39. Poiché anche 31 è primo, neanche 37 funziona.
Esiste anche un tale numero? La risposta è sì, ma dobbiamo andare fino a 97 per trovarlo: 97 è un numero primo, ma 91 (divisibile per 7), 93 (divisibile per 3) e 99 (divisibile anche per 3) sono tutti composti , insieme ai numeri pari e 95.
Un numero primo è "delicato" se, quando si cambia una qualsiasi delle sue cifre con qualcos'altro, perde la sua "primeness" (o primalità, per usare il termine tecnico). Finora vediamo che 97 è delicato nella cifra delle unità - poiché la modifica di quella cifra produce sempre un numero composto - ma 97 soddisfa tutti i criteri di essere digitalmente delicato? La risposta è no, perché se cambi la cifra delle decine in 1 ottieni 17, un primo. (Si noti che anche 37, 47 e 67 sono tutti primi.)
In effetti, non esiste un numero primo digitalmente delicato a due cifre. La tabella seguente di tutti i numeri a due cifre, con i numeri primi a due cifre ombreggiati, mostra il motivo.
Tutti i numeri in una data riga hanno la stessa cifra delle decine e tutti i numeri in una data colonna hanno la stessa cifra delle unità. Il fatto che 97 sia l'unico numero ombreggiato nella sua riga riflette il fatto che è delicato nella cifra delle unità, ma non è l'unico numero primo nella sua colonna, il che significa che non è delicato nella cifra delle decine.
Un numero primo a due cifre digitalmente delicato dovrebbe essere l'unico numero primo nella sua riga e colonna. Come mostra la tabella, non esiste un primo tale a due cifre. Che ne dici di un numero primo a tre cifre digitalmente delicato? Ecco una tabella simile che mostra la disposizione dei numeri primi a tre cifre tra 100 e 199, con i numeri composti omessi.
Qui vediamo che 113 è nella sua riga, il che significa che è delicato nella cifra delle unità. Ma 113 non è nella sua colonna, quindi alcune modifiche alla cifra delle decine (come 0 per 103 o 6 per 163) producono numeri primi. Poiché nessun numero appare sia nella propria riga che nella propria colonna, vediamo subito che non esiste un numero a tre cifre che sia garantito come composto se si cambia la cifra delle unità o delle decine. Ciò significa che non possono esserci numeri primi digitalmente delicati a tre cifre. Si noti che non abbiamo nemmeno controllato le centinaia di cifre. Per essere veramente digitalmente delicato, un numero a tre cifre dovrebbe evitare i numeri primi in tre direzioni in una tabella tridimensionale.
Esistono anche numeri primi digitalmente delicati? Man mano che ci si allontana sulla linea dei numeri, i numeri primi tendono a diventare più radi, il che rende meno probabile che si incrocino tra le righe e le colonne di queste tabelle ad alta dimensione. Ma i numeri più grandi hanno più cifre e ogni cifra aggiuntiva diminuisce la probabilità che un numero primo sia digitalmente delicato.
Se continui, scoprirai che esistono numeri primi digitalmente delicati. Il più piccolo è 294,001. Quando cambi una delle sue cifre, il numero che ottieni - 794,001, diciamo, o 284,001 - sarà composto. E ce ne sono di più: i prossimi sono 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; e 1,062,599. Infatti non si fermano. Il famoso matematico Paul Erdős ha dimostrato che esistono infiniti numeri primi digitalmente delicati. E questo è stato solo il primo di molti risultati sorprendenti su questi numeri curiosi.
Ad esempio, Erdős non ha solo dimostrato che ci sono infiniti numeri primi digitalmente delicati: ha dimostrato che ci sono infiniti numeri primi digitalmente delicati in ogni base. Quindi, se scegli di rappresentare i tuoi numeri in binario, ternario o esadecimale, hai comunque la certezza di trovare infiniti numeri primi digitalmente delicati.
E i numeri primi digitalmente delicati non sono solo infiniti: comprendono una percentuale diversa da zero di tutti i numeri primi. Ciò significa che se si osserva il rapporto tra il numero di numeri primi digitalmente delicati e il numero di numeri primi complessivi, questa frazione è un numero maggiore di zero. In termini tecnici, una "proporzione positiva" di tutti i numeri primi è digitalmente delicata, come ha dimostrato nel 2010 Terence Tao, medaglia di Fields. I numeri primi stessi non costituiscono una proporzione positiva di tutti i numeri, poiché troverai sempre meno numeri primi più ci si allontana lungo la linea dei numeri. Eppure, tra questi numeri primi, continuerai a trovare numeri primi digitalmente delicati abbastanza spesso da mantenere il rapporto tra numeri primi delicati e numeri primi totali sopra lo zero.
Forse la scoperta più scioccante è stata a risultato dal 2020 su una nuova variazione di questi strani numeri. Rilassando il concetto di cosa sia una cifra, i matematici hanno reinventato la rappresentazione di un numero: invece di pensare a 97 da solo, hanno invece pensato che avesse degli zeri iniziali:
… 0000000097.
Ogni zero iniziale può essere pensato come una cifra e la questione della delicatezza digitale può essere estesa a queste nuove rappresentazioni. Potrebbero esistere "primi ampiamente digitalmente delicati" - numeri primi che diventano sempre composti se si cambia una qualsiasi delle cifre, incluso uno di quegli zeri iniziali? Grazie al lavoro dei matematici Michael Filaseta e Jeremiah Southwick, sappiamo che la risposta, sorprendentemente, è sì. Non solo esistono numeri primi ampiamente delicati dal punto di vista digitale, ma ce ne sono infiniti.
I numeri primi formano una serie infinita di enigmi matematici con cui i professionisti e gli appassionati possono giocare. Potremmo non svelare mai tutti i loro misteri, ma puoi contare sui matematici per scoprire continuamente e inventare nuovi tipi di numeri primi da esplorare.
esercizi
1. Qual è il più grande divario primi tra i numeri primi da 2 a 101?
2. Per dimostrare che ci sono infiniti numeri primi, Euclide assume che ci siano un numero finito di primi $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, e poi mostra che $latexq=p_1 volte p_2 volte p_3 volte … volte p_n+1$ è non è divisibile per nessun numero primo della lista. Questo non significa questo q deve essere primo?
3. Un famoso risultato nella teoria dei numeri è che c'è sempre un numero primo in mezzo k e 2k (compreso). Questo è difficile da dimostrare, ma è facile dimostrare che c'è sempre un numero primo in mezzo k e $latexq=p_1 volte p_2 volte p_3 volte … volte p_n+1$ (incluso), dove $latexq_1, p_2, p_3, …, p_n$ sono tutti i numeri primi minori o uguali a k. Provalo.
4. Riesci a trovare il numero primo più piccolo che è digitalmente delicato nelle cifre delle unità e delle decine? Ciò significa che la modifica delle cifre delle unità o delle decine produrrà sempre un numero composto. (Potresti voler scrivere un programma per computer per farlo!)
Problema sfida: riesci a trovare il numero primo più piccolo che è digitalmente delicato quando rappresentato in binario? Ricordiamo che in binario, o base 2, le uniche cifre sono 0 e 1 e ogni valore di posizione rappresenta una potenza di 2. Ad esempio, 8 è rappresentato come $latex1000_2$, poiché $latex 8=1 volte 2^3 + 0 volte 2^2 + 0 volte 2^1 + 0 volte 2^0$, e 7 in base 2 è $latex111_2$, poiché $latex7=1 volte2^2 + 1 volte 2^1 + 1 volte 2^0$.
Fare clic per la risposta 1:
Fare clic per la risposta 2:
No. Considera i primi sei numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. In questo caso il numero q sarebbe $latex 2 volte 3 volte 5 volte 7 volte 11 volte13 + 1 = 30,031$ . Questo non è divisibile per 2, 3, 5, 7, 11 o 13, ma non è un numero primo: calcola come $latex 30,031 = 59 volte 509$. Nota che ha fattori primi, ma sono tutti maggiori dei primi sei numeri primi.
Fare clic per la risposta 3:
Se uno dei due k or q è il primo che abbiamo finito. Se q non è primo è composto, il che significa che è divisibile per un numero primo, ma sappiamo già che non è divisibile per nessuno dei primi n primi. Quindi deve essere divisibile per un primo maggiore del primo n primi, e poiché questi sono tutti i primi minori di k, questo numero primo deve essere maggiore di k. Ma questo primo divide q, quindi deve essere inferiore a q, quindi ci deve essere un numero primo tra k ed q.
Fare clic per la risposta 4:
Il primo primo che soddisfa questa proprietà è 2,459, poiché 2,451, 2,453 e 2,457 sono tutti compositi (soddisfando il criterio delle cifre delicate) e 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 e 2,499 sono tutti compositi (soddisfacenti il delicato criterio delle decine). Eppure 2,459 non è digitalmente delicato, perché 2,659 è primo, quindi fallisce una volta che inizi a considerare le centinaia di cifre. (Grazie al matematico John D. Cook per aver pubblicato il suo codice Python digitalmente delicato per la ricerca primaria.)
Fare clic per rispondere al problema della sfida:
$latex127=1111111_2$ è digitalmente delicato, poiché $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111$_2$ e $latex =63_0111111$ sono tutti composti.
