परिचय
हम गणित को पूरी तरह से तार्किक मानते हैं, लेकिन गणित का शिक्षण, इसके मूल्य, इसकी उपयोगिता और इसकी कार्यप्रणाली बारीकियों से भरी हुई है। तो "अच्छा" गणित क्या है? 2007 में, गणितज्ञ टेरेंस ताओ के लिए एक निबंध लिखा अमेरिकन गणितीय सोसायटी के बुलेटिन जिसने इस प्रश्न का उत्तर देने की कोशिश की। आज, फील्ड्स मेडल, गणित में ब्रेकथ्रू पुरस्कार और मैकआर्थर फ़ेलोशिप के प्राप्तकर्ता के रूप में, ताओ जीवित सबसे सम्मानित और विपुल गणितज्ञों में से एक है। इस कड़ी में, वह हमारे मेजबान और साथी गणितज्ञ से जुड़ते हैं स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ अच्छे गणित के निर्माण को फिर से देखने के लिए।
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प्रतिलेख
स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़: अक्टूबर 2007 में, बहुत पहले जब पहली पीढ़ी का आईफोन अभी भी एक लोकप्रिय वस्तु थी और महान मंदी से पहले शेयर बाजार अब तक के उच्चतम स्तर पर था, यूसीएलए में गणित के प्रोफेसर टेरेंस ताओ ने एक उत्तर देने की ठानी थी। वह प्रश्न जिस पर गणितज्ञों के बीच लंबे समय से बहस चल रही थी: वास्तव में अच्छा गणित क्या है?
क्या यह कठोरता के बारे में है? लालित्य? वास्तविक दुनिया की उपयोगिता? टेरी ने उन सभी तरीकों के बारे में एक बहुत ही विचारशील और उदार निबंध लिखा, मैं यहां तक कि खुले दिल से कहूंगा कि गणित अच्छा हो सकता है। लेकिन अब, 15 साल से भी अधिक समय बाद, क्या हमें इस बात पर पुनर्विचार करने की ज़रूरत है कि अच्छा गणित क्या है?
मैं स्टीव स्ट्रोगेट्ज़ हूं, और यह "द जॉय ऑफ व्हाय" का एक पॉडकास्ट है क्वांटा पत्रिका जहां मैं और मेरी सह-मेज़बान जान्ना लेविन बारी-बारी से आज गणित और विज्ञान के कुछ सबसे बड़े अनुत्तरित प्रश्नों की खोज करते हैं।
(थीम नाटक)
गणित को अच्छा बनाने वाले शाश्वत प्रश्न पर आज फिर से विचार करने के लिए टेरी ताओ स्वयं उपस्थित हैं। प्रोफेसर ताओ ने हार्मोनिक विश्लेषण, आंशिक अंतर समीकरण, कॉम्बिनेटरिक्स, संख्या सिद्धांत, डेटा विज्ञान, यादृच्छिक मैट्रिक्स और बहुत कुछ सहित गणित के आश्चर्यजनक रूप से विस्तृत क्षेत्र पर 300 से अधिक शोध पत्र लिखे हैं। उन्हें "गणित का मोजार्ट" कहा जाता है। और फील्ड्स मेडल, गणित में ब्रेकथ्रू पुरस्कार, मैकआर्थर फ़ेलोशिप और कई अन्य पुरस्कारों के विजेता के रूप में, वह उपनाम निश्चित रूप से योग्य है।
टेरी, "द जॉय ऑफ व्हाई" में आपका स्वागत है।
टेरेंस ताओ: यहां आकर खुशी हुई।
स्ट्रोगेट्ज़: मैं इस प्रश्न के बारे में आपसे बात करने में सक्षम होने के लिए बहुत उत्साहित हूं कि ऐसा क्या है जो कुछ प्रकार के गणितीय शोध को अच्छा बनाता है। मुझे इसे पलटना बहुत अच्छी तरह से याद है अमेरिकन मैथ सोसायटी का बुलेटिन 2007 में वापस आया और सामने आया इस मुद्दे पर आपका निबंध कि आपने हमारे लिए पोज़ दिया. यह कुछ ऐसा है जिसके बारे में सभी गणितज्ञ सोचते हैं। लेकिन वहां मौजूद लोग जो इतने परिचित नहीं होंगे, क्या आप हमें बता सकते हैं कि आप इस प्रश्न तक कैसे पहुंचे? आपने उस समय अच्छे गणित को कैसे परिभाषित किया था?
टीएओ: ठीक है, हाँ. यह वास्तव में एक आग्रह था. तो के संपादक बुलेटिन उस समय मुझसे एक लेख देने के लिए कहा था। मुझे लगता है कि एक छात्र के रूप में मुझे इस बात का बहुत ही सहज अंदाज़ा था कि गणित क्या होता है। मेरे मन में एक तरह का विचार था कि ग्रेबर्ड्स की एक प्रकार की परिषद थी जो लोगों को काम करने के लिए समस्याएं सौंपेगी। और एक स्नातक छात्र के रूप में यह मेरे लिए एक तरह का झटका था, यह महसूस करते हुए कि वास्तव में समस्याओं को सौंपने के लिए कोई केंद्रीय प्राधिकरण नहीं था, और लोग स्व-निर्देशित अनुसंधान करते थे।
मैं बातचीत में जाता रहा और सुनता रहा कि कैसे अन्य गणितज्ञ इस बारे में बात करते हैं कि उन्हें क्या रोमांचक लगता है और कौन सी चीज़ उन्हें गणित के बारे में उत्साहित करती है, और यह तथ्य कि प्रत्येक गणितज्ञ के पास गणित को देखने का एक अलग तरीका है। जैसे, कुछ अनुप्रयोग का अनुसरण करेंगे, कुछ सौन्दर्यपरक सौन्दर्य के द्वारा, कुछ केवल समस्या समाधान के द्वारा। वे एक समस्या का समाधान करना चाहते थे और वे सबसे कठिन, सबसे चुनौतीपूर्ण कार्यों पर ध्यान केंद्रित करते थे। कुछ लोग तकनीक पर ध्यान केंद्रित करेंगे; कुछ लोग चीज़ों को यथासंभव सुंदर बनाने का प्रयास करेंगे।
लेकिन जब इन अलग-अलग गणितज्ञों में से बहुत से लोगों को यह बात करते हुए सुना कि गणित में उन्हें क्या मूल्यवान लगता है, तो जो बात मुझे अचंभित करती है, वह यह है कि, भले ही हम सभी के पास अलग-अलग तरह के आदर्श थे कि अच्छा गणित कैसा दिखना चाहिए, फिर भी वे सभी इसी तरह की प्रवृत्ति रखते हैं। एक ही चीज़ में जुट जाओ.
यदि गणित का एक टुकड़ा वास्तव में अच्छा है, तो जो लोग सुंदरता की तलाश में हैं वे अंततः इसमें सफल होंगे। आप जानते हैं, जो लोग तकनीकी शक्ति या अनुप्रयोगों का पीछा करते हैं, जो उन्हें महत्व देते हैं, वे अंततः उस तक पहुंचेंगे।
यूजीन वाग्नेर पर एक बहुत प्रसिद्ध निबंध था गणित की अनुचित प्रभावशीलता लगभग एक सदी पहले भौतिक विज्ञान में, जहां उन्होंने देखा कि गणित के कुछ क्षेत्र थे - उदाहरण के लिए, रीमैनियन ज्यामिति, घुमावदार स्थान का अध्ययन - जो शुरू में गणितज्ञों के लिए केवल एक सैद्धांतिक अभ्यास था, आप जानते हैं, इसे साबित करने की कोशिश कर रहे हैं समानांतर अभिधारणा इत्यादि, जो कि आइंस्टीन और पोंकारे और हिल्बर्ट को सामान्य सापेक्षता के गणित का वर्णन करने के लिए बिल्कुल आवश्यक थी। और यह बस एक घटना है जो घटित होती है।
तो यह सिर्फ वह गणित नहीं है, जो (गणितज्ञों को) बौद्धिक रूप से दिलचस्प लगता है वह अंततः शारीरिक रूप से महत्वपूर्ण हो जाता है। लेकिन गणित के भीतर भी, गणितज्ञों को जो विषय आकर्षक लगते हैं वे गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करने वाले भी होते हैं।
मुझे ऐसा लगता है कि, आप जानते हैं, वहाँ कुछ आदर्शवादी अच्छा गणित है, और हमारी सभी अलग-अलग मूल्य प्रणालियाँ उस उद्देश्यपूर्ण अच्छी सामग्री तक पहुँचने के अलग-अलग तरीके हैं।
स्ट्रोगेट्ज़: यह तो बहुत ही मज़ेदार है। एक प्रकार का व्यक्ति होने के नाते जो स्वयं आदर्शवादी सोच की ओर झुका हुआ है, मैं सहमत होने के लिए प्रलोभित हूँ। हालाँकि मुझे आपकी यह बात सुनकर थोड़ा आश्चर्य हुआ, क्योंकि मैंने सोचा होगा कि आप शुरू में कहाँ जा रहे थे, जैसे कि, इस बारे में बहुत सारे अलग-अलग दृष्टिकोण हैं। हालाँकि, यह एक दिलचस्प तथ्य है, एक अनुभवजन्य तथ्य की तरह, कि हम इस बात पर सहमत होते हैं कि क्या अच्छा है या क्या अच्छा नहीं है, भले ही, जैसा कि आप कहते हैं, हम इस पर कई अलग-अलग मूल्यों से आते हैं।
टीएओ: सही। अभिसरण में समय लग सकता है. आप जानते हैं, इसलिए निश्चित रूप से ऐसे फ़ील्ड हैं, उदाहरण के लिए, जहां वे दूसरों की तुलना में एक मीट्रिक द्वारा मापे जाने पर बहुत बेहतर दिखते हैं। जैसे हो सकता है कि उनके पास बहुत सारे एप्लिकेशन हों, लेकिन उनकी प्रस्तुति बेहद घृणित है, आप जानते हैं।
(स्ट्रोगेट्ज़ हंसते हैं)
या ऐसी चीज़ें जो बहुत सुंदर हैं लेकिन वास्तविक दुनिया में अभी तक उनके बहुत अच्छे अनुप्रयोग नहीं हैं। लेकिन मुझे ऐसा लगता है कि अंततः यह एकजुट हो जाएगा।
स्ट्रोगेट्ज़: ठीक है, मैं आपसे वास्तविक दुनिया के साथ संपर्क के इस बिंदु के बारे में पूछना चाहता हूं। यह गणित में एक दिलचस्प तनाव है। और, आप जानते हैं, छोटे बच्चों के रूप में, मान लीजिए, जब हम पहली बार ज्यामिति के बारे में सीखते हैं, तो आप उस बिंदु पर सोच सकते हैं कि त्रिकोण वास्तविक हैं, या वृत्त या सीधी रेखाएं वास्तविक हैं, और वे आपको आपके द्वारा देखी जाने वाली आयताकार आकृतियों के बारे में बता सकते हैं दुनिया भर की इमारतों में, या सर्वेक्षणकर्ताओं को ज्यामिति का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। और आख़िरकार, यह शब्द पृथ्वी के माप से आया है, ठीक है, "ज्यामिति।" और इसलिए, एक समय था जब ज्यामिति अनुभवजन्य थी।
लेकिन जो मैं आपसे पूछना चाहता था उसका संबंध एक टिप्पणी से है जॉन वॉन न्यूमैन बनाया। तो वॉन न्यूमैन, किसी के लिए भी परिचित नहीं, स्वयं एक महान गणितज्ञ थे। और उन्होंने इस निबंध में यह टिप्पणी की, "गणितज्ञ," गणित और अनुभवजन्य दुनिया, वास्तविक दुनिया के बीच संबंध के बारे में, जहां वह मोटे तौर पर कहते हैं कि गणितीय विचार अनुभवजन्य में उत्पन्न होते हैं, लेकिन कुछ बिंदु पर, एक बार जब आप गणितीय विचार प्राप्त कर लेते हैं, तो विषय अपने जीवन पर लेना शुरू कर देता है अपना। और फिर यह कला के एक रचनात्मक नमूने की तरह है। सौंदर्य संबंधी मानदंड महत्वपूर्ण हो जाते हैं। लेकिन उनका कहना है कि इससे ख़तरा होता है. जब कोई विषय अपने अनुभवजन्य स्रोत से बहुत दूर होने लगता है, विशेष रूप से इसकी दूसरी या तीसरी पीढ़ी में, तो उनका कहना है कि एक मौका है कि विषय बहुत अधिक अमूर्त अंतःप्रजनन से पीड़ित हो सकता है और इसके पतन का खतरा है।
उसके बारे में कोई विचार? मेरा मतलब है, क्या गणित को अपने अनुभवजन्य स्रोत के संपर्क में रहना होगा?
टीएओ: हां, मुझे लगता है कि इसे जमीनी स्तर पर लाना होगा। जब मैं अनुभवजन्य रूप से कहता हूं कि गणित करने के ये सभी अलग-अलग तरीके एक साथ आते हैं, तो ऐसा केवल इसलिए होता है क्योंकि - ऐसा तभी होता है जब विषय स्वस्थ हो। तो, आप जानते हैं, अच्छी खबर यह है कि आमतौर पर ऐसा होता है।
लेकिन, उदाहरण के लिए, गणितज्ञ लंबे प्रमाणों की तुलना में छोटे प्रमाणों को महत्व देते हैं, अन्य सभी चीजें समान होती हैं। लेकिन कोई कल्पना कर सकता है कि लोग अति कर रहे हैं और, जैसे, गणित के एक उपक्षेत्र में जितना संभव हो उतना छोटा प्रमाण बनाने और गहरे प्रमेयों के इन अत्यंत अपारदर्शी दो-पंक्ति प्रमाणों को रखने का जुनून सवार है। और वे इसे इस प्रकार की प्रतियोगिता बना देते हैं, और फिर यह इस प्रकार का गूढ़ खेल बन जाता है और तब आप सारा अंतर्ज्ञान खो देते हैं। आप शायद गहरी समझ खो देते हैं क्योंकि आप अपने सभी प्रमाणों को यथासंभव छोटा बनाने के प्रति इतने जुनूनी रहते हैं। अब, वास्तव में व्यवहार में ऐसा नहीं होता है। लेकिन यह एक तरह का सैद्धांतिक उदाहरण है, और मुझे लगता है कि वॉन न्यूमैन भी इसी तरह की बात कह रहे थे।
और साठ और सत्तर के दशक में, जैसे, गणित का एक युग था जहां अमूर्तता बहुत सारे गणित को सरल और एकीकृत करने में बड़ी प्रगति कर रही थी जो पहले बहुत अनुभवजन्य था। विशेष रूप से बीजगणित में, लोग महसूस कर रहे थे, आप जानते हैं, संख्याएं और बहुपद और कई अन्य वस्तुएं जिन्हें पहले अलग-अलग माना जाता था, आप उन सभी को एक ही बीजगणितीय वर्ग के सदस्यों के रूप में सोच सकते हैं, इस मामले में एक अंगूठी।
और गणित में बहुत प्रगति सही अमूर्तता खोजकर की जा रही थी, आप जानते हैं, चाहे वह टोपोलॉजिकल स्पेस हो या वेक्टर स्पेस, जो भी हो, और प्रमेयों को व्यापक रूप से सिद्ध करना। और इसे कभी-कभी हम गणित में बॉर्बकी युग कहते हैं। और यह ज़मीन पर उतरने से थोड़ा बहुत दूर चला गया।
निश्चित रूप से, हमारे पास राज्यों में संपूर्ण न्यू मैथ प्रकरण था, जहां शिक्षकों ने प्रयास किया था बॉर्बकी शैली में गणित पढ़ाएं और अंततः एहसास हुआ कि यह उस स्तर पर उचित शिक्षाशास्त्र नहीं था।
लेकिन अब पेंडुलम काफी पीछे घूम गया है. हमारे पास एक तरह का विषय है - विषय काफी परिपक्व हो गया है और गणित, ज्यामिति, टोपोलॉजी, जो भी हो, के हर क्षेत्र में, हमारे पास एक तरह की संतोषजनक औपचारिकताएं हैं और हम जानते हैं कि सही अमूर्तताएं क्या हैं। और अब यह क्षेत्र फिर से इंटरकनेक्शन और एप्लिकेशन पर ध्यान केंद्रित कर रहा है। यह अब वास्तविक दुनिया से बहुत अधिक जुड़ रहा है।
मेरा मतलब है, न केवल भौतिक विज्ञान, जो एक पारंपरिक संबंध है, बल्कि, आप जानते हैं, कंप्यूटर विज्ञान, जीवन विज्ञान, सामाजिक विज्ञान, आप जानते हैं। बड़े डेटा के उदय के साथ, अब लगभग किसी भी मानव अनुशासन को कुछ हद तक गणितीय बनाया जा सकता है।
स्ट्रोगेट्ज़: मुझे उस शब्द में बहुत दिलचस्पी है जो आपने अभी एक मिनट पहले "इंटरकनेक्शन" के बारे में इस्तेमाल किया था, क्योंकि यह हमारे लिए चर्चा के लिए एक केंद्रीय बिंदु जैसा लगता है। यह कुछ ऐसा है जिसका उल्लेख आप अपने निबंध में करते हैं, इसके साथ ही, जिसे आप सुंदरता के बारे में "स्थानीय" मानदंड कहते हैं, या वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग, या जो कुछ भी, आप अच्छे गणित के इस "वैश्विक" पहलू का उल्लेख करते हैं: अच्छा गणित दूसरों से जुड़ता है अच्छा गणित.
इसे अच्छा बनाने के लिए लगभग यही महत्वपूर्ण है कि इसे अन्य भागों के साथ एकीकृत किया जाए। लेकिन यह दिलचस्प है क्योंकि यह लगभग गोलाकार तर्क जैसा लगता है: अच्छा गणित वह गणित है जो अन्य अच्छे गणित से जुड़ता है। लेकिन यह वास्तव में एक शक्तिशाली विचार है, और मैं सोच रहा हूं कि क्या आप इस पर थोड़ा और विस्तार कर सकते हैं।
टीएओ: हाँ, तो, मेरा मतलब है, गणित किस बारे में है - गणित जो काम करता है उनमें से एक यह है कि यह ऐसे संबंध बनाता है जो बहुत बुनियादी और मौलिक हैं, लेकिन अगर आप इसे केवल सतही स्तर से देखें तो स्पष्ट नहीं होते हैं। इसका एक बहुत प्रारंभिक उदाहरण डेसकार्टेस का कार्टेशियन निर्देशांक का आविष्कार है जिसने ज्यामिति - बिंदुओं और रेखाओं और स्थानिक वस्तुओं का अध्ययन - और संख्याओं, बीजगणित के बीच एक मौलिक संबंध बनाया।
इसलिए, उदाहरण के लिए, एक वृत्त को आप एक ज्यामितीय वस्तु के रूप में सोच सकते हैं, लेकिन आप इसे एक समीकरण के रूप में भी सोच सकते हैं: x2 + y2 = 1 एक वृत्त का समीकरण है. उस समय, यह एक बहुत ही क्रांतिकारी संबंध था। आप जानते हैं, प्राचीन यूनानियों ने संख्या सिद्धांत और ज्यामिति को लगभग पूरी तरह से असंबद्ध विषयों के रूप में देखा था।
लेकिन डेसकार्टेस के साथ यह मौलिक संबंध था। और अब यह आंतरिक हो गया है; आप जानते हैं, हम गणित कैसे पढ़ाते हैं। अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि यदि आपके पास कोई ज्यामितीय समस्या है, तो आप उस पर संख्याओं से हमला करते हैं। या यदि आपको संख्याओं में कोई समस्या है, तो आप उस पर ज्यामिति से हमला कर सकते हैं।
ऐसा कुछ हद तक इसलिए है क्योंकि ज्यामिति और संख्याएँ दोनों एक ही गणितीय अवधारणा के पहलू हैं। हमारे पास बीजगणितीय ज्यामिति नामक एक संपूर्ण क्षेत्र है, जो न तो बीजगणित है और न ही ज्यामिति, बल्कि यह वस्तुओं का अध्ययन करने वाला एक एकीकृत विषय है जिसे आप या तो ज्यामितीय आकृतियों, जैसे रेखाओं और वृत्तों आदि के रूप में सोच सकते हैं, या समीकरणों के रूप में सोच सकते हैं।
लेकिन वास्तव में, यह उन दोनों का समग्र मिलन है जिसका हम अध्ययन करते हैं। और जैसे-जैसे विषय गहराता गया है, हमने महसूस किया है कि यह कुछ मायनों में अलग-अलग बीजगणित या ज्यामिति से कहीं अधिक मौलिक है। तो, ये कनेक्शन हमें वास्तविक गणित की खोज करने में मदद कर रहे हैं जो शुरू में, किसी भी तरह, हमारे अनुभवजन्य अध्ययन हमें केवल विषय का एक कोना देते हैं।
हाथी का यह प्रसिद्ध दृष्टान्त है, मैं भूल गया हूँ कि, यदि आपके पास... चार अंधे आदमी हैं, और वे एक हाथी की खोज करते हैं। और उनमें से एक हाथी के पैर को महसूस करता है और वे सोचते हैं, “ओह, यह, यह बहुत खुरदुरा है। यह एक पेड़ या कुछ और जैसा होना चाहिए।
और उनमें से एक सूंड को महसूस करता है, और बहुत बाद में वे देखते हैं कि एक ही हाथी वस्तु है जो उनकी सभी अलग-अलग परिकल्पनाओं को समझा रही है। हाँ, तो शुरू में हम सभी अंधे थे, आप जानते हैं। हम बस प्लेटो की गुफा की परछाइयाँ देख रहे हैं और बाद में हमें एहसास हो रहा है -
स्ट्रोगेट्ज़: वाह, आप यहाँ बहुत दार्शनिक हैं। यह हुई न बात। मैं अब विरोध नहीं कर सकता: यदि आप हाथी और अंधे लोगों के बारे में बात करना शुरू करने जा रहे हैं, तो इससे पता चलता है कि आपको लगता है कि गणित वहाँ है - कि यह हाथी जैसा कुछ है और हम अंधे हैं... या, आप जानिए, हम कुछ ऐसा देखने की कोशिश कर रहे हैं जो इंसानों से स्वतंत्र है। क्या आप वास्तव में यही मानते हैं?
टीएओ: जब आप अच्छा गणित करते हैं, तो यह केवल प्रतीकों को इधर-उधर धकेलना नहीं है। आपको ऐसा महसूस होता है कि कोई वास्तविक वस्तु है जिसे आप समझने की कोशिश कर रहे हैं, और हमारे पास मौजूद सभी समीकरण बस उसी के अनुमान या छाया हैं।
आप वास्तव में वास्तविकता क्या है इत्यादि के दार्शनिक बिंदु पर बहस कर सकते हैं। मेरा मतलब है, ये ऐसी चीजें हैं जिन्हें आप वास्तव में छू सकते हैं, और चीजें गणितीय रूप से जितनी अधिक वास्तविक होती हैं, कभी-कभी वे उतनी ही कम भौतिक लगती हैं। जैसा कि आपने कहा, प्रारंभ में ज्यामिति, भौतिक अंतरिक्ष में वस्तुओं के बारे में एक बहुत ही ठोस चीज़ थी जिसे आप कर सकते थे - आप जानते हैं, आप वास्तव में एक वृत्त और एक वर्ग इत्यादि बना सकते हैं।
लेकिन आधुनिक ज्यामिति में, आप जानते हैं, हम उच्च आयामों में काम करते हैं। हम अलग-अलग ज्यामिति, सभी प्रकार की अजीब टोपोलॉजी के बारे में बात कर सकते हैं। और, मेरा मतलब है, यह विषय अभी भी ज्यामिति कहलाने योग्य है, भले ही अब पृथ्वी को मापा नहीं जा रहा है। प्राचीन यूनानी व्युत्पत्ति बहुत पुरानी है, लेकिन है, लेकिन वहाँ निश्चित रूप से कुछ है। क्या - आप इसे कितना वास्तविक कहना चाहते हैं। लेकिन मुझे लगता है कि मुद्दा यह है कि वास्तव में गणित करने के उद्देश्य से, यह विश्वास करने में मदद मिलती है कि यह वास्तविक है।
स्ट्रोगेट्ज़: हाँ, क्या यह दिलचस्प नहीं है? ऐसा होता है। ऐसा लगता है कि यह कुछ ऐसा है जो गणित के इतिहास में बहुत गहराई तक जाता है। मैं आर्किमिडीज़ द्वारा अपने मित्र, या कम से कम सहकर्मी, एराटोस्थनीज़ को लिखे गए एक निबंध से दंग रह गया।
हम अब बात कर रहे हैं, जैसे, 250 ईसा पूर्व और वह टिप्पणी करते हैं, उन्होंने उस क्षेत्र का पता लगाने का एक तरीका खोज लिया है जिसे हम परवलय का खंड कहेंगे। वह एक परवलय ले रहा है, वह इसे एक रेखाखंड से काटता है जो परवलय की धुरी पर एक तिरछे कोण पर होता है, और वह इस क्षेत्र का पता लगाता है। उसे बहुत सुंदर परिणाम मिलता है. लेकिन वह एराटोस्थनीज से कुछ ऐसा कहता है, "ये परिणाम हमेशा से आंकड़ों में निहित थे।" तुम्हें पता है, जैसे, वे वहाँ हैं। वे वहां हैं। वे बस उसके मिलने का इंतजार कर रहे हैं।
ऐसा नहीं है कि उसने उन्हें बनाया है। यह कविता की तरह नहीं है. मेरा मतलब है, वास्तव में यह दिलचस्प है, है ना? आप जानते हैं कि बहुत से महान कलाकारों - माइकल एंजेलो ने मूर्ति को पत्थर से मुक्त करने के बारे में बात की थी, जैसे कि यह वहीं से शुरू हुई हो। और ऐसा लगता है जैसे आपने और कई अन्य महान गणितज्ञों ने किया है - जैसा कि आप कहते हैं, इस विचार पर विश्वास करना बहुत उपयोगी है, कि यह वहां हमारा इंतजार कर रहा है, इसे खोजने के लिए सही दिमागों का इंतजार कर रहा है।
टीएओ: सही। खैर, मुझे लगता है कि इसकी एक अभिव्यक्ति यह है कि जिन विचारों को समझाना अक्सर बहुत जटिल होता है, जब उन्हें पहली बार खोजा जाता है, तो वे सरल हो जाते हैं। मेरा मतलब है, आप जानते हैं, अक्सर शुरुआत में किसी चीज़ के बहुत गहरे या कठिन दिखने का कारण आपके पास सही संकेतन नहीं होना होता है।
उदाहरण के लिए, संख्याओं में हेरफेर करने के लिए अब हमारे पास दशमलव अंकन है, और यह बहुत सुविधाजनक है। लेकिन अतीत में, आप जानते हैं, हमारे पास रोमन अंक थे और फिर और भी अधिक आदिम संख्या प्रणालियाँ थीं जिनके साथ काम करना वास्तव में बहुत कठिन था यदि आप गणित करना चाहते हैं।
यूक्लिड का तत्व, आप जानते हैं - इन प्राचीन ग्रंथों में कुछ तर्क। जैसे, यूक्लिड में एक प्रमेय है तत्व मुझे लगता है इसे मूर्खों का पुल या कुछ और कहा जाता है। यह उस कथन की तरह है, मुझे लगता है कि यह कथन एक समद्विबाहु त्रिभुज की तरह है, जिसके दो आधार कोण बराबर हैं। जैसे, आप जानते हैं, यह आधुनिक ज्यामितीय ग्रंथों में सही सिद्धांतों के साथ दो-पंक्ति वाले प्रमाण की तरह है। लेकिन यूक्लिड के पास ऐसा करने का यह भयानक तरीका था। और यहीं पर शास्त्रीय युग में ज्यामिति के कई छात्रों ने गणित को पूरी तरह से छोड़ दिया।
स्ट्रोगेट्ज़: सत्य। (हंसते हुए कहते हैं)
टीएओ: लेकिन, आप जानते हैं, अब हमारे पास ऐसा करने का एक बेहतर तरीका है। अक्सर हम गणित में जो जटिलताएँ देखते हैं वे हमारी अपनी सीमाओं की कलाकृतियाँ होती हैं। और, इसलिए, जैसे-जैसे हम परिपक्व होते हैं, आप जानते हैं, चीजें सरल हो जाती हैं। और इसकी वजह से यह अधिक वास्तविक लगता है। हम कलाकृतियाँ नहीं देख रहे हैं। हम सार देख रहे हैं.
स्ट्रोगेट्ज़: ठीक है, तो अपने निबंध पर वापस जा रहे हैं: जब आपने इसे लिखा था, उस समय - मेरा मतलब है, यह आपके करियर का काफी शुरुआती दौर था, बहुत शुरुआत नहीं, लेकिन फिर भी। आपको तब ऐसा क्यों लगा कि यह परिभाषित करने का प्रयास करना महत्वपूर्ण है कि अच्छा गणित क्या है?
टीएओ: मुझे लगता है... तो उस समय तक, मैं पहले से ही स्नातक छात्रों को सलाह देना शुरू कर रहा था, और मैं देख रहा था कि, आप जानते हैं, इस बारे में कुछ गलत धारणाएं थीं कि क्या अच्छा है और क्या नहीं। और मैं विभिन्न क्षेत्रों के गणितज्ञों से भी बात कर रहा था, और गणित में किसी के क्षेत्र का मूल्य दूसरों से अलग लग रहा था। लेकिन फिर भी, किसी तरह हम सभी एक ही विषय का अध्ययन कर रहे थे।
और कभी-कभी कोई ऐसा कुछ कहता है जो मुझे गलत तरीके से परेशान करता है, आप जानते हैं, जैसे, "इस गणित का कोई अनुप्रयोग नहीं है, इसलिए इसका कोई मूल्य नहीं है।" या “यह प्रमाण बहुत जटिल है; इसलिए इसका कोई मूल्य नहीं है," या कुछ और। या इसके विपरीत, आप जानते हैं, “यह प्रमाण बहुत सरल है; इसलिए यह इसके लायक नहीं है...'' आप जानते हैं। जैसे, कभी-कभी मुझे कुछ-न-कुछ दंभ आदि का सामना करना पड़ता था।
और मेरे अनुभव में, सबसे अच्छा गणित तब आया जब मैंने एक अलग दृष्टिकोण, एक अलग क्षेत्र के किसी व्यक्ति से गणित के बारे में सोचने का एक अलग तरीका समझा और उसे उस समस्या पर लागू किया जिसकी मुझे परवाह थी। और इसलिए गणित का सही तरीके से उपयोग कैसे करें, इसका उपयोग कैसे करें, इसका मेरा अनुभव इनसे बहुत अलग था - एक तरह से "गणित करने का एक सच्चा तरीका।"
मुझे लगा जैसे इस बात को किसी तरह समझाना होगा। वास्तव में गणित करने का एक बहुवचन तरीका है, लेकिन गणित अभी भी एकजुट है।
स्ट्रोगेट्ज़: यह बहुत खुलासा करने वाला है, क्योंकि मुझे आश्चर्य हुआ था, आप जानते हैं, जैसे, मैंने अपने परिचय में गणित की कई अलग-अलग शाखाओं का उल्लेख किया है जिन्हें आपने खोजा है, और मैंने कुछ को शामिल भी नहीं किया। जैसे, मुझे अभी कुछ साल पहले तरल गतिकी में इस रहस्य के बारे में आपका काम याद आ रहा है, कि क्या कुछ समीकरण जिनके बारे में हम सोचते हैं कि वे पानी और हवा की गति का अनुमान लगाने का अच्छा काम करते हैं। मैं बहुत अधिक विवरण में नहीं जाना चाहता, लेकिन बस यह कहना चाहता हूं कि आप यहां हैं, लोग सोचते हैं कि आप संख्या सिद्धांत या हार्मोनिक विश्लेषण कर रहे हैं, और अचानक आप तरल गतिकी प्रश्नों पर काम कर रहे हैं। मेरा मतलब है, मुझे एहसास है कि यह आंशिक अंतर समीकरण है। लेकिन फिर भी, आपकी रुचि का दायरा अच्छा गणित करने के सभी अलग-अलग तरीकों से अलग-अलग अंतर्दृष्टि, अलग-अलग मूल्यवान विचारों को स्वीकार करने की आपकी व्यापकता से संबंधित प्रतीत होता है।
टीएओ: मैं भूल गया कि यह किसने कहा था, लेकिन गणितज्ञ दो प्रकार के होते हैं। वहाँ हाथी और लोमड़ियाँ हैं। लोमड़ी वह है जो हर चीज़ के बारे में थोड़ा-थोड़ा जानती है। हेजहोग एक ऐसा प्राणी है जो एक बात बहुत अच्छी तरह से जानता है। और कोई भी दूसरे से बेहतर नहीं है। वे एक दूसरे के पूरक हैं. मेरा मतलब है, गणित में, आपको ऐसे लोगों की ज़रूरत है जो वास्तव में एक उपक्षेत्र में गहन डोमेन विशेषज्ञ हों, और वे किसी विषय को अंदर से जानते हों। और आपको ऐसे लोगों की ज़रूरत है जो एक क्षेत्र और दूसरे क्षेत्र के बीच संबंध देख सकें। इसलिए मेरी पहचान निश्चित रूप से एक लोमड़ी के रूप में है, लेकिन मैं बहुत सारे हेजहोग के साथ काम करता हूं। जिस काम पर मुझे सबसे अधिक गर्व होता है, वह अक्सर इसी तरह का सहयोग होता है।
स्ट्रोगेट्ज़: अरे हां। क्या उन्हें एहसास है कि वे हाथी हैं?
टीएओ: अच्छा, ठीक है, समय के साथ भूमिकाएँ बदलती रहती हैं। जैसे, ऐसे अन्य सहयोग भी हैं जहां मैं हाथी हूं और कोई और लोमड़ी है। ये एक तरह से स्थायी नहीं हैं - आप जानते हैं, ये आपके डीएनए में नहीं हैं।
स्ट्रोगेट्ज़: आह, अच्छी बात है. हम अपना सकते हैं - हम दोनों लबादे पहन सकते हैं।
खैर, क्या उस समय निबंध पर कोई प्रतिक्रिया थी? क्या लोगों ने आपसे कुछ भी कहा?
टीएओ: मुझे सामान्य तौर पर काफी सकारात्मक प्रतिक्रिया मिली। मेरा मतलब है, एम्स का बुलेटिन मेरा मानना है कि यह बहुत अधिक प्रसारित होने वाला प्रकाशन नहीं है। और साथ ही, मैंने वास्तव में कोई बहुत विवादास्पद बात भी नहीं कही। इसके अलावा, इस तरह का सोशल मीडिया पहले से ही मौजूद है, इसलिए, मुझे लगता है कि शायद कुछ गणित ब्लॉग हैं जिन्होंने इसे उठाया है, लेकिन कोई ट्विटर नहीं था। इसे वायरल करने के लिए कुछ भी नहीं था।
हाँ, मुझे यह भी लगता है, सामान्य तौर पर, गणितज्ञ अटकलों पर अपना अधिक समय और बौद्धिक पूंजी खर्च नहीं करते हैं। मेरा मतलब है, वहाँ एक और गणितज्ञ को बुलाया गया है मिनहयोंग किम जिनके पास यह बहुत अच्छा रूपक था कि, गणितज्ञों के लिए, विश्वसनीयता मुद्रा की तरह है, पैसे की तरह है। यदि आप प्रमेयों को सिद्ध करते हैं और प्रदर्शित करते हैं कि आप विषय को जानते हैं, तो आप किसी तरह बैंक में विश्वसनीयता की यह मुद्रा जमा कर रहे हैं। और एक बार जब आपके पास पर्याप्त मुद्रा हो जाती है, तो आप थोड़ा दार्शनिक होकर और यह कहकर कि आप वास्तव में क्या साबित कर सकते हैं, क्या सच हो सकता है, कुछ अटकलें लगाने का जोखिम उठा सकते हैं।
लेकिन हम रूढ़िवादी होते हैं, और हम अपने बैंक खाते में ओवरड्राफ्ट नहीं चाहते हैं। आप जानते हैं, आप नहीं चाहते कि आपका अधिकांश लेखन काल्पनिक हो और केवल एक प्रतिशत ही वास्तव में कुछ साबित करना चाहता हो।
स्ट्रोगेट्ज़: काफी उचित। तो ठीक है। तो, तब से कई साल बीत चुके हैं। हम किस बारे में बात कर रहे हैं? 15 साल से ज्यादा का समय हो गया है.
टीएओ: अरे हाँ, समय उड़ जाता है।
स्ट्रोगेट्ज़: क्या आपकी राय बदल गई है? क्या हमें कुछ संशोधित करने की आवश्यकता है?
टीएओ: खैर, गणित की संस्कृति काफी बदल रही है। मेरे पास गणित के बारे में पहले से ही व्यापक दृष्टिकोण था, और अब मेरे पास और भी व्यापक है।
तो, एक बहुत ही ठोस उदाहरण है: कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण 2007 में अभी भी विवादास्पद थे। केपलर अनुमान नामक एक प्रसिद्ध अनुमान था, जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में यूनिट गेंदों को पैक करने के सबसे कुशल तरीके से संबंधित है। और वहाँ एक मानक पैकिंग है, मुझे लगता है कि इसे क्यूबिक सेंट्रल पैकिंग या कुछ और कहा जाता है, जिसे केपलर ने सर्वोत्तम संभव होने का अनुमान लगाया है।
अंततः इसका समाधान हो गया, लेकिन प्रूफ बहुत कंप्यूटर-सहायता प्राप्त था. यह काफी जटिल था, और [थॉमस] हेल्सअंततः इस विशेष प्रमाण को औपचारिक रूप से सत्यापित करने के लिए वास्तव में एक संपूर्ण कंप्यूटर भाषा बनाई गई, लेकिन इसे कई वर्षों तक वास्तविक प्रमाण के रूप में स्वीकार नहीं किया गया। लेकिन यह दर्शाता है कि प्रमाण की अवधारणा कितनी विवादास्पद थी जिसे सत्यापित करने के लिए आपको कंप्यूटर सहायता की आवश्यकता थी।
इसके बाद के वर्षों में, सबूतों के कई अन्य उदाहरण सामने आए हैं जहां एक इंसान एक जटिल समस्या को किसी ऐसी चीज़ में बदल सकता है जिसे सत्यापित करने के लिए अभी भी कंप्यूटर की आवश्यकता होती है। और फिर कंप्यूटर आगे बढ़ता है और इसे सत्यापित करता है। इसे जिम्मेदारीपूर्वक कैसे किया जाए, इसके बारे में हमारे पास एक तरह की विकसित प्रथाएं हैं। आप जानते हैं कि कोड और डेटा कैसे प्रकाशित किया जाता है और जाँच करने के तरीके और नई ओपन-सोर्स चीज़ें इत्यादि। और अब, कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाणों को व्यापक स्वीकृति मिल रही है।
अब, मुझे लगता है, अगला सांस्कृतिक बदलाव होगा क्या एआई-जनित प्रमाण स्वीकार किए जाएंगे. अभी, एआई उपकरण उस स्तर पर नहीं हैं जहां वे गणितीय समस्याओं को वास्तव में आगे बढ़ाने के लिए प्रमाण उत्पन्न कर सकें। शायद स्नातक स्तर के होमवर्क असाइनमेंट, वे एक तरह से प्रबंधित कर सकते हैं, लेकिन गणित पर शोध करें, वे अभी तक उस स्तर पर नहीं हैं। लेकिन कुछ बिंदु पर, हम एआई-समर्थित पेपर देखना शुरू करेंगे और उन पर बहस होगी।
जिस तरह से हमारी संस्कृति कुछ मायनों में बदल गई है... 2007 में, केवल कुछ गणितज्ञों ने प्रकाशन से पहले अपने प्रीप्रिंट उपलब्ध कराए थे। जब तक उन्हें पत्रिका से स्वीकृति की सूचना नहीं मिल जाती, लेखक ईर्ष्यापूर्वक अपने प्रीप्रिंट की रक्षा करते थे। और फिर वे साझा कर सकते हैं।
लेकिन अब हर कोई अपने कागजात डालता है arXiv जैसे सार्वजनिक सर्वर. किसी पेपर के विचार कहां से आते हैं, इस बारे में वीडियो और ब्लॉग पोस्ट डालने के लिए बहुत अधिक खुलापन है। क्योंकि लोगों को एहसास होता है कि यही चीज़ काम को अधिक प्रभावशाली और प्रभावशाली बनाती है। यदि आप अपने काम को प्रचारित न करने और इसके बारे में बहुत गुप्त रहने की कोशिश करते हैं, तो यह दिखावा नहीं करता है।
गणित बन गया है बहुत अधिक सहयोगात्मक. आप जानते हैं, 50 साल पहले, मैं कहूंगा कि गणित के अधिकांश पेपर एकल-लेखक थे। अब, निश्चित रूप से बहुमत दो या तीन या चार लेखकों का है। और हम वास्तव में बड़ी परियोजनाओं को देखना शुरू कर रहे हैं जैसे हम विज्ञान में करते हैं, आप जानते हैं, दसियों की तरह, सैकड़ों लोग सहयोग करते हैं। गणितज्ञों के लिए ऐसा करना अभी भी कठिन है, लेकिन मुझे लगता है कि हम वहां पहुंचेंगे।
समवर्ती रूप से, हम और अधिक अंतःविषय बनते जा रहे हैं। हम अन्य विज्ञानों के साथ और भी अधिक काम कर रहे हैं। हम गणित के क्षेत्रों के बीच काम कर रहे हैं। और इंटरनेट के कारण, हम दुनिया भर के लोगों के साथ सहयोग कर सकते हैं। इसलिए, जिस तरह से हम गणित करते हैं वह निश्चित रूप से बदल रहा है।
मुझे उम्मीद है कि भविष्य में हम शौकिया गणित समुदाय का अधिक उपयोग कर पाएंगे। खगोल विज्ञान जैसे अन्य क्षेत्र भी हैं, जहां खगोलविद शौकिया खगोल विज्ञान समुदाय का बहुत उपयोग करते हैं, जैसे, आप जानते हैं, बहुत सारे धूमकेतु, उदाहरण के लिए, शौकीनों द्वारा पाए जाते हैं।
लेकिन गणितज्ञ... गणित के कुछ पृथक क्षेत्र हैं जैसे, टाइलिंग, द्वि-आयामी टाइलिंग, और शायद अभाज्य संख्याओं में रिकॉर्ड ढूंढना। गणित के कुछ चुनिंदा क्षेत्र हैं जहां शौकिया योगदान करते हैं और उनका स्वागत किया जाता है। लेकिन इसमें बहुत सारी बाधाएं हैं. गणित के अधिकांश क्षेत्रों में, आपको इतने अधिक प्रशिक्षण और आंतरिक या पारंपरिक ज्ञान की आवश्यकता होती है कि हम चीजों को इकट्ठा नहीं कर सकते। लेकिन भविष्य में यह बदल सकता है. शायद एआई का एक प्रभाव शौकिया गणितज्ञों को गणित में सार्थक योगदान देने की अनुमति देना होगा।
स्ट्रोगेट्ज़: यह तो बहुत ही मज़ेदार है।
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स्ट्रोगेट्ज़: तो शौकिया, एआई की मदद से, या तो नए प्रश्न पूछ सकते हैं जो अच्छे हैं या मौजूदा प्रश्नों के अच्छे अन्वेषण में मदद कर सकते हैं, इस तरह की चीज़?
टीएओ: कई अलग-अलग तौर-तरीके हैं - हाँ। इसलिए, उदाहरण के लिए, अब इन चीज़ों में बड़े प्रमेयों के प्रमाणों को औपचारिक बनाने की परियोजनाएँ हैं औपचारिक प्रमाण सहायक, जो कंप्यूटर भाषाओं की तरह हैं जो 100% सत्यापित कर सकते हैं कि एक प्रमेय सत्य है या नहीं और - सिद्ध है या नहीं। यह वास्तव में गणित में बड़े पैमाने पर सहयोग को सक्षम बनाता है।
इसलिए अतीत में, यदि आप किसी प्रमेय को सिद्ध करने के लिए 10 अन्य लोगों के साथ सहयोग करते हैं, और प्रत्येक व्यक्ति एक कदम योगदान देता है, तो प्रत्येक को अन्य सभी के गणित को सत्यापित करना होगा। क्योंकि गणित के बारे में बात यह है कि यदि एक चरण में कोई त्रुटि हो, तो पूरी चीज़ बिखर सकती है।
तो आपको विश्वास की आवश्यकता है, और इसलिए - इसलिए यह रोकता है, यह वास्तव में गणित में बड़े पैमाने पर सहयोग को रोकता है। लेकिन अब, वास्तव में बड़े प्रमेयों को औपचारिक रूप देने के सफल उदाहरण सामने आए हैं जहां एक विशाल समुदाय है, वे सभी एक-दूसरे को नहीं जानते हैं, वे सभी एक-दूसरे पर भरोसा नहीं करते हैं, लेकिन वे कुछ जीथब रिपॉजिटरी पर अपलोड करके संवाद करते हैं या कुछ, जैसे, तर्क में व्यक्तिगत चरणों के व्यक्तिगत प्रमाण। और औपचारिक प्रमाण सॉफ़्टवेयर हर चीज़ की पुष्टि करता है, और इसलिए आपको विश्वास के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है। इसलिए हम सहयोग के नए तरीके सक्षम कर रहे हैं, जो हमने वास्तव में अतीत में नहीं देखा है।
स्ट्रोगेट्ज़: टेरी, आपका दृष्टिकोण सुनना वाकई दिलचस्प है। यह एक आकर्षक विचार है. आपने "नागरिक गणितज्ञ" वाक्यांश नहीं सुना है। आप नागरिक विज्ञान के बारे में सुनते हैं, लेकिन नागरिक गणित के बारे में क्यों नहीं?
लेकिन मैं बस सोच रहा हूं कि क्या ऐसे कोई रुझान हैं जिनके बारे में आप चिंतित हैं, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण या एआई-जनित प्रमाण? क्या हम जानेंगे कि कुछ परिणाम सत्य हैं, लेकिन हम यह नहीं समझ पाएंगे कि क्यों?
टीएओ: तो यह एक समस्या है. मेरा मतलब है, यह एआई के आगमन से पहले ही एक समस्या है। तो, ऐसे कई क्षेत्र हैं जहां एक विषय के पेपर सैकड़ों पेज लंबे होते जा रहे हैं। और मुझे उम्मीद है कि एआई वास्तव में इसके विपरीत सरलीकरण में मदद कर सकता है और यह समझाने के साथ-साथ साबित भी कर सकता है।
तो वहाँ पहले से ही प्रयोगात्मक सॉफ़्टवेयर मौजूद है, जैसे, यदि आप एक प्रमाण लेते हैं जिसे औपचारिक रूप दिया गया है, तो आप वास्तव में इसे एक इंटरैक्टिव मानव-पठनीय दस्तावेज़ में परिवर्तित कर सकते हैं, जहाँ आपके पास प्रमाण है और आप उच्च-स्तरीय चरण देखते हैं और यदि कोई वाक्य है आपको समझ में नहीं आ रहा है कि आप इस पर डबल-क्लिक कर सकते हैं, और यह छोटे चरणों में विस्तारित हो जाएगा। मुझे लगता है कि जल्द ही जब आप प्रूफ़ देख रहे होंगे तो आपके बगल में एक एआई चैटबॉट भी बैठेगा, और वे प्रश्न ले सकते हैं और वे प्रत्येक चरण को ऐसे समझा सकते हैं जैसे कि वे लेखक हों। मुझे लगता है कि हम पहले से ही इसके बहुत करीब हैं।
चिंताएं हैं. हमें अपने छात्रों को शिक्षित करने के तरीके को बदलना होगा, विशेष रूप से अब जब होमवर्क आदि सौंपने के हमारे कई पारंपरिक तरीके हैं, हम लगभग उस बिंदु पर हैं जहां ये एआई उपकरण हमारे कई मानक परीक्षा प्रश्नों का तुरंत उत्तर दे सकते हैं। और इसलिए, हमें अपने छात्रों को नए कौशल सिखाने की ज़रूरत है, जैसे कि कैसे सत्यापित करें कि एआई-जनित आउटपुट सही है या नहीं और दूसरी राय कैसे प्राप्त करें।
और हम गणित में अधिक प्रयोगात्मक पक्ष का आगमन देख सकते हैं, आप जानते हैं। तो, गणित लगभग पूरी तरह से सैद्धांतिक है, जबकि अधिकांश विज्ञानों में सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक दोनों घटक होते हैं। अंततः हमारे पास ऐसे परिणाम हो सकते हैं जो पहले केवल कंप्यूटर द्वारा सिद्ध किए जाते हैं और, जैसा कि आप कहते हैं, हम समझ नहीं पाते हैं। लेकिन फिर एक बार जब हमारे पास एआई, कंप्यूटर-जनित प्रमाण उपलब्ध कराने वाला डेटा होगा, तो हम प्रयोग चलाने में सक्षम हो सकते हैं।
अब थोड़ा प्रयोगात्मक गणित है। लोग अध्ययन करते हैं, जैसे, विभिन्न चीज़ों के बड़े डेटा सेट, अण्डाकार वक्र, कहते हैं। लेकिन भविष्य में यह और भी बड़ा हो सकता है.
स्ट्रोगेट्ज़: जी, आपका दृष्टिकोण बहुत आशावादी है, ऐसा मुझे लगता है। ऐसा नहीं है कि स्वर्ण युग अतीत में है। अगर मैं आपको सही सुन रहा हूं, तो आपको लगता है कि आगे बहुत सारी रोमांचक चीजें हैं।
टीएओ: हाँ, बहुत से नए तकनीकी उपकरण बहुत सशक्त हैं। मेरा मतलब है, सामान्य तौर पर एआई में कई जटिल उतार-चढ़ाव हैं। और विज्ञान के बाहर, अर्थव्यवस्था, बौद्धिक संपदा अधिकार आदि में बहुत अधिक संभावित व्यवधान है। लेकिन गणित के भीतर, मुझे लगता है कि अच्छे से बुरे का अनुपात कई अन्य क्षेत्रों की तुलना में बेहतर है।
और, आप जानते हैं, इंटरनेट ने वास्तव में हमारे गणित करने के तरीके को बदल दिया है। मैं विभिन्न क्षेत्रों में बहुत से लोगों के साथ सहयोग करता हूं। मैं इंटरनेट के बिना ऐसा नहीं कर सकता था. तथ्य यह है कि मैं विकिपीडिया या किसी भी चीज़ पर जा सकता हूं और किसी विषय को सीखना शुरू कर सकता हूं, और मैं किसी को ईमेल कर सकता हूं, और हम ऑनलाइन सहयोग कर सकते हैं। अगर मुझे पुराने ढंग की चीजें करनी होतीं, जहां मैं केवल अपने विभाग के लोगों से बात कर सकता था और बाकी सभी चीजों के लिए भौतिक मेल का उपयोग कर सकता था, तो मैं वह गणित नहीं कर पाता जो मैं अब करता हूं।
स्ट्रोगेट्ज़: वाह, ठीक है. मुझे बस वही रेखांकित करना है जो आपने अभी कहा, क्योंकि मैंने कभी नहीं सोचा था कि दस लाख वर्षों में मैं यह सुनूंगा: टेरी ताओ गणित सीखने के लिए विकिपीडिया पढ़ते हैं?
टीएओ: एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में. मेरा मतलब है, यह हमेशा विकिपीडिया नहीं है, बल्कि केवल कीवर्ड प्राप्त करने के लिए है, और फिर मैं और अधिक विशिष्ट खोज करूँगा, मान लीजिए, गणित विज्ञान नेट या कोई अन्य डेटाबेस। लेकिन हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़: यह कोई आलोचना नहीं है. मेरा मतलब है, मैं भी वही काम करता हूं। विकिपीडिया वास्तव में, यदि विकिपीडिया पर गणित की कोई आलोचना है, तो शायद यह है कि कभी-कभी यह पाठकों के लिए थोड़ा बहुत उन्नत है, जैसा कि मुझे लगता है, इसके लिए इसका इरादा है। हमेशा नहीं। मेरा मतलब है, यह निर्भर करता है। यह हर लेख में बहुत भिन्न होता है। लेकिन यह सिर्फ हास्यास्पद है. मुझे यह सुनना अच्छा लगता है.
टीएओ: मेरा मतलब है, ये उपकरण, आपको आउटपुट की जांच करने में सक्षम होना चाहिए। आप जानते हैं, तो, मेरा मतलब है, मैं गणित करने के लिए विकिपीडिया का उपयोग इसलिए कर सकता हूँ क्योंकि मैं पहले से ही इतना गणित जानता हूँ कि मैं सूंघ सकता हूँ कि गणित में विकिपीडिया का एक टुकड़ा संदिग्ध है या नहीं। आप जानते हैं, इसे कुछ स्रोत मिल सकते हैं और उनमें से एक दूसरे की तुलना में बेहतर स्रोत होगा। और मैं लेखकों को जानता हूं, और मुझे इस बात का अंदाजा है कि कौन सा संदर्भ मेरे लिए बेहतर होगा। यदि मैं किसी ऐसे विषय के बारे में जानने के लिए विकिपीडिया का उपयोग करता हूं जिसका मुझे कोई अनुभव नहीं है, तो मुझे लगता है कि यह एक यादृच्छिक चर से अधिक होगा।
स्ट्रोगेट्ज़: ठीक है, तो हम इस बारे में काफी चर्चा कर रहे हैं कि वह क्या है जो अच्छा गणित बनाता है, नए प्रकार के अच्छे गणित का संभावित भविष्य। लेकिन शायद हमें इस प्रश्न का समाधान करना चाहिए: यह बात मायने क्यों रखती है? गणित का अच्छा होना क्यों जरूरी है?
टीएओ: ठीक है, तो, सबसे पहले, मेरा मतलब है, हमारे पास गणितज्ञ हैं ही क्यों? समाज गणितज्ञों को महत्व क्यों देता है और हमें वह करने के लिए संसाधन क्यों देता है जो हम करते हैं? आप जानते हैं, ऐसा इसलिए है क्योंकि हम कुछ मूल्य प्रदान करते हैं। हमारे पास वास्तविक दुनिया के लिए अनुप्रयोग हो सकते हैं। इसमें बौद्धिक रुचि है, और हमारे द्वारा विकसित कुछ सिद्धांत अंततः अन्य घटनाओं में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।
और सभी गणित समान मूल्य के नहीं हैं। मेरा मतलब है, आप पाई के अधिक से अधिक अंकों की गणना कर सकते हैं, लेकिन कुछ बिंदु पर, आप कुछ भी नहीं सीखते हैं। किसी भी विषय को किसी प्रकार के मूल्य निर्णय की आवश्यकता होती है क्योंकि आपको संसाधनों का आवंटन करना होता है। वहाँ बहुत सारा गणित है। आप किन प्रगतियों को उजागर करना और प्रचारित करना चाहते हैं और अन्य लोगों को इसके बारे में बताना चाहते हैं, और किन प्रगतियों को शायद किसी जर्नल पर चुपचाप बैठना चाहिए?
भले ही आप किसी विषय को पूरी तरह से वस्तुनिष्ठ मानते हैं और, आप जानते हैं, केवल सत्य या असत्य है, फिर भी हमें चुनाव करना होगा। आप जानते हैं, क्योंकि समय एक सीमित संसाधन है। ध्यान एक सीमित संसाधन है. पैसा एक सीमित संसाधन है. इसलिए, ये हमेशा महत्वपूर्ण प्रश्न होते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़: ठीक है, यह दिलचस्प है कि आपने प्रचार के बारे में उल्लेख किया है, क्योंकि मुझे लगता है कि यह कुछ ऐसा है जो आपके काम की एक विशिष्ट विशेषता है, कि आपने अपने ब्लॉग के माध्यम से, विभिन्न लेखों के माध्यम से गणित को सार्वजनिक रूप से सुलभ बनाने के लिए भी बहुत प्रयास किया है। हमने लिखा है. मुझे याद है कि आपने जो लिखा था उस पर चर्चा की थी अमेरिकी वैज्ञानिक सार्वभौमिकता और उस विचार के बारे में। गणित को सार्वजनिक रूप से सुलभ और समझने योग्य बनाना क्यों महत्वपूर्ण है? मेरा मतलब है, आप क्या करने का प्रयास कर रहे हैं?
टीएओ: यह एक तरह से स्वाभाविक रूप से हुआ। मेरे करियर की शुरुआत में, वर्ल्ड वाइड वेब अभी भी बहुत नया था, और गणितज्ञों के पास विभिन्न सामग्री वाले वेबपेज होने लगे थे, लेकिन कोई केंद्रीय निर्देशिका नहीं थी। Google वगैरह से पहले, व्यक्तिगत संसाधनों को ढूंढना वास्तव में कठिन था।
तो, मैंने बनाना शुरू कर दिया मेरे वेबपेज पर छोटी निर्देशिकाएँ. और मैं अपने अखबारों के लिए वेबपेज भी बनाऊंगा, और कुछ टिप्पणियां भी करूंगा। शुरुआत में, यह मेरे अपने फायदे के लिए था, सिर्फ एक संगठनात्मक उपकरण के रूप में, बस मुझे चीजें ढूंढने में मदद करने के लिए। एक उपोत्पाद के रूप में, यह जनता के लिए उपलब्ध था, लेकिन मैं अपने स्वयं के वेबपेजों का प्राथमिक उपभोक्ता था, या कम से कम मैंने ऐसा सोचा था।
लेकिन मुझे अच्छी तरह से याद है, एक समय था जब मैंने एक पेपर लिखा था और मैंने इसे अपने वेबपेज पर डाला था, और मेरे पास "नया क्या है?" नामक एक छोटा सा उपपृष्ठ था। और मैंने अभी कहा, “यहाँ एक पेपर है। इसमें एक प्रश्न है जिसका उत्तर मैं अभी भी नहीं दे सका, और मुझे नहीं पता कि इसे कैसे हल किया जाए।” और मैंने अभी यह टिप्पणी की है। और फिर दो दिन बाद, मुझे एक ईमेल मिला जिसमें लिखा था, “ओह, मैं बस आपका होमपेज देख रहा था। मुझे इसका उत्तर पता है. एक पेपर है जो आपकी समस्या का समाधान कर देगा।”
और सबसे पहले, इससे मुझे एहसास हुआ कि लोग वास्तव में मेरे वेबपेज पर आ रहे थे, जो मुझे वास्तव में नहीं पता था। लेकिन समुदाय के साथ वह बातचीत वास्तव में - ठीक है, यह मुझे सीधे मेरे प्रश्नों को हल करने में मदद कर सकती है।
वहाँ इस कानून को कहा जाता है नेटवर्किंग में मेटकाफ का नियम वह, आप जानते हैं, यदि आपके पास है n लोग, और वे सभी एक-दूसरे से बात करते हैं, इसके बारे में है n2 उनके बीच संबंध. और इसलिए, जितने बड़े दर्शक वर्ग और जितना बड़ा मंच होगा जहां हर कोई एक दूसरे से बात कर सकता है, आप उतने ही अधिक संभावित संबंध बना सकते हैं और उतनी ही अधिक अच्छी चीजें हो सकती हैं।
मेरा मतलब है, अपने करियर में, मैंने जो भी खोजें की हैं, या जो संबंध मैंने बनाए हैं, वे एक अप्रत्याशित संबंध के कारण हैं। मेरे पूरे करियर का अनुभव कुछ इस तरह का रहा है कि अधिक कनेक्शन का मतलब बेहतर चीजें होना है।
स्ट्रोगेट्ज़: मुझे लगता है कि आप जो संदर्भित कर रहे हैं उसका एक सुंदर उदाहरण है, लेकिन मुझे इस बारे में आपकी बात सुनना अच्छा लगेगा, यह वह कनेक्शन है जो आपने डेटा विज्ञान में लोगों के साथ बनाया है जो चिकित्सा अनुनाद इमेजिंग से संबंधित प्रश्नों में रुचि रखते हैं , एमआरआई। क्या आप हमें उस कहानी के बारे में कुछ बता सकते हैं?
टीएओ: तो, मुझे लगता है, यह 2006, 2005 के बारे में था। इसलिए, यूसीएलए के परिसर में एक अंतःविषय कार्यक्रम था, मुझे लगता है, मल्टीस्केल ज्यामितीय विश्लेषण, या ऐसा कुछ, जहां वे शुद्ध गणितज्ञों को एक साथ ला रहे थे जो अपने आप में मल्टीस्केल प्रकार की ज्यामिति में रुचि रखते थे, और फिर, आप जानते हैं, जिन लोगों को डेटा प्रकार की बहुत ठोस समस्याएँ थीं।
और मैंने हाल ही में यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में कुछ समस्याओं पर काम करना शुरू किया था, इसलिए मुझे ऐसे व्यक्ति के रूप में जाना जाता था जो मैट्रिक्स में हेरफेर कर सकता था। और मैं किसी ऐसे व्यक्ति से मिला जिसे मैं पहले से जानता था, इमैनुएल कैंडेस, क्योंकि उस समय वह कैल्टेक में ठीक अगले दरवाजे पर काम करता था। और वह और एक अन्य सहयोगी, जस्टिन रोमबर्ग, उन्होंने इस असामान्य घटना की खोज की थी।
इसलिए वे एमआरआई छवियां देख रहे थे, लेकिन वे बहुत धीमी थीं। किसी मानव शरीर की पर्याप्त उच्च-रिज़ॉल्यूशन छवि, या शायद ट्यूमर को पकड़ने के लिए पर्याप्त, या जो भी चिकित्सकीय रूप से महत्वपूर्ण विशेषता आप ढूंढना चाहते हैं, उसे इकट्ठा करने में अक्सर कई मिनट लगते हैं क्योंकि उन्हें इन सभी अलग-अलग कोणों को स्कैन करना पड़ता है और फिर डेटा को संश्लेषित करना पड़ता है। . और यह वास्तव में एक समस्या थी, क्योंकि छोटे बच्चों के लिए, उदाहरण के लिए, एमआरआई मशीन में केवल तीन मिनट तक बैठना काफी समस्याग्रस्त था।
इसलिए वे कुछ रैखिक बीजगणित का उपयोग करके, एक अलग तरीके से प्रयोग कर रहे थे। वे 10%, 20% बेहतर प्रदर्शन सुधार पाने की उम्मीद कर रहे थे। आप जानते हैं, मानक एल्गोरिदम में थोड़ा बदलाव करके थोड़ी अधिक स्पष्ट छवि बनाई जा सकती है।
इसलिए मानक एल्गोरिदम को न्यूनतम वर्ग सन्निकटन कहा जाता था, और वे कुछ और कर रहे थे, जिसे कुल भिन्नता न्यूनतमकरण कहा जाता था। लेकिन फिर जब उन्होंने कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर चलाया, तो उन्हें अपनी परीक्षण छवि का लगभग पूर्ण पुनर्निर्माण मिला। व्यापक, व्यापक सुधार. और वे इसे समझा नहीं सके.
लेकिन इमैनुएल इस कार्यक्रम में थे, और हम चाय या कुछ और बातें कर रहे थे। और उन्होंने अभी इसका उल्लेख किया और, वास्तव में, मेरा पहला विचार यह था कि आपने अपनी गणना में गलती की होगी, आप जो कह रहे हैं वह वास्तव में संभव नहीं है। और मुझे याद है कि मैं उस रात घर वापस गया था और एक वास्तविक प्रमाण लिखने की कोशिश कर रहा था कि जो वे देख रहे थे वह वास्तव में घटित नहीं हो सकता था। और फिर आधे रास्ते में, मुझे एहसास हुआ कि मैंने एक धारणा बना ली थी जो सच नहीं थी। और तब मुझे एहसास हुआ कि वास्तव में यह काम कर सकता है। और फिर मुझे पता चला कि इसका स्पष्टीकरण क्या हो सकता है। और फिर हमने एक साथ काम किया, और हमें वास्तव में एक अच्छा स्पष्टीकरण मिला और हमने उसे प्रकाशित किया।
और एक बार जब हमने ऐसा किया, तो लोगों को एहसास हुआ कि कई अन्य स्थितियां थीं जहां आपको माप लेना पड़ता था जिसके लिए आम तौर पर बहुत सारे डेटा की आवश्यकता होती थी, और कुछ मामलों में आप बहुत कम मात्रा में डेटा ले सकते हैं और फिर भी वास्तव में उच्च प्राप्त कर सकते हैं- संकल्प माप.
तो अब, आधुनिक एमआरआई मशीनें, उदाहरण के लिए - एक स्कैन जिसमें तीन मिनट लगते थे, अब 30 सेकंड लग सकते हैं क्योंकि यह सॉफ्टवेयर, यह एल्गोरिदम अब मशीनों में हार्डवायर्ड, हार्ड-कोडित है।
स्ट्रोगेट्ज़: यह एक सुंदर कहानी है, यह बहुत बढ़िया कहानी है। मेरा मतलब है, मेडिकल इमेजिंग के इस संदर्भ में, महत्वपूर्ण गणित के बारे में बात करें जो वस्तुतः जीवन बदल रहा है। मुझे इसकी आकस्मिकता और आपकी खुली मानसिकता बहुत पसंद है, आप जानते हैं, इस विचार को सुनना और फिर सोचना, "यह असंभव है, मैं इसे साबित कर सकता हूं।" और फिर एहसास हुआ, नहीं, वास्तव में। गणित को इतना प्रभाव डालते हुए देखना अद्भुत है।
अच्छा, ठीक है, मुझे लगता है कि बेहतर होगा कि मैं तुम्हें जाने दूं, टेरी। आपके साथ अच्छे गणित के सार पर चर्चा करना वास्तव में खुशी की बात है। आज हमसे जुड़ने के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद।
टीएओ: हाँ, नहीं, ख़ुशी हुई।
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- स्रोत: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
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