यदि आप इस महीने गणित की खबरों का अनुसरण कर रहे हैं, तो आप जानते हैं कि 35 वर्षीय संख्या सिद्धांतकार जेम्स मेनार्ड ने एक जीत हासिल की है। पदक पदक - गणितज्ञ के लिए सर्वोच्च सम्मान। मेनार्ड को गणित के ऐसे प्रश्न पसंद हैं जो "हाई स्कूल के छात्र को समझाने के लिए काफी सरल हैं लेकिन सदियों से गणितज्ञों को स्टंप करने के लिए काफी कठिन हैं," क्वांटा की रिपोर्ट, और उन सरल प्रश्नों में से एक यह है: जैसे-जैसे आप संख्या रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं, क्या हमेशा ऐसी अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए जो एक-दूसरे के निकट हों?
आपने देखा होगा कि गणितज्ञ अभाज्य संख्याओं के प्रति जुनूनी होते हैं। उन्हें क्या आकर्षित करता है? शायद यह तथ्य है कि अभाज्य संख्याएँ गणित की कुछ सबसे मौलिक संरचनाओं और रहस्यों को शामिल करती हैं। अभाज्य संख्याएँ हमें हर संख्या को एक अद्वितीय गुणनखंड के साथ वर्गीकृत और वर्गीकृत करने की अनुमति देकर गुणन के ब्रह्मांड का नक्शा बनाती हैं। लेकिन भले ही मनुष्य गुणन की शुरुआत से ही अभाज्य संख्याओं के साथ खेल रहे हैं, हम अभी भी निश्चित रूप से निश्चित नहीं हैं कि अभाज्य संख्याएँ कहाँ दिखाई देंगी, वे कितने फैले हुए हैं, या वे कितने निकट होने चाहिए। जहाँ तक हम जानते हैं, अभाज्य संख्याएँ किसी साधारण पैटर्न का अनुसरण नहीं करती हैं।
इन मूलभूत वस्तुओं के प्रति हमारे आकर्षण ने सैकड़ों विभिन्न प्रकार के अभाज्यों का आविष्कार, या खोज की है: मेर्सन प्राइम्स (फॉर्म 2 के प्राइम्स)n -1), संतुलित अभाज्य (अभाज्य जो दो पड़ोसी अभाज्यों का औसत है), और सोफी जर्मेन अभाज्य (एक अभाज्य अभाज्य संख्या) p ऐसा कि 2p + 1 भी अभाज्य है), कुछ का नाम लेने के लिए।
इन विशेष प्राइम में रुचि संख्याओं के साथ खेलने और कुछ नया खोजने से बढ़ी। यह "डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम" के बारे में भी सच है, सूची में हाल ही में जोड़ा गया है जिसके कारण सबसे बुनियादी प्रश्नों के बारे में कुछ आश्चर्यजनक परिणाम सामने आए हैं: कुछ प्रकार के प्राइम कितने दुर्लभ या सामान्य हो सकते हैं?
इस प्रश्न की सराहना करने के लिए, आइए पहले दिलचस्प तथ्यों में से एक के साथ शुरू करें जो एक महत्वाकांक्षी संख्या उत्साही सीखता है: असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं। यूक्लिड ने इसे 2,000 साल पहले सभी गणित इतिहास में विरोधाभास द्वारा सबसे प्रसिद्ध प्रमाणों में से एक का उपयोग करके साबित किया था। उन्होंने यह मानकर शुरुआत की कि केवल बहुत से अभाज्य संख्याएँ हैं और सभी की कल्पना की गई है n उनमें से एक सूची में:
$lateexp_1, p_2, p_3,…, p_n$।
फिर उसने कुछ चतुर किया: उसने संख्या $latexq=p_1 बार p_2 बार p_3 बार … बार p_n+1$ के बारे में सोचा।
सूचना है कि q प्राइम की सूची में नहीं हो सकता, क्योंकि यह सूची में सब कुछ से बड़ा है। तो अगर अभाज्य संख्याओं की एक सीमित सूची मौजूद है, तो यह संख्या q प्रधान नहीं हो सकता। लेकिन अगर q एक अभाज्य नहीं है, यह स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाज्य होना चाहिए और 1. इसका, बदले में, इसका अर्थ है कि क्यू चाहिए सूची में कुछ प्रमुख द्वारा विभाज्य हो, लेकिन रास्ते के कारण q निर्मित, विभाजित q सूची में किसी भी चीज़ से 1 शेष बचता है। तो जाहिरा तौर पर q न तो अभाज्य है और न ही किसी अभाज्य से विभाज्य है, जो एक विरोधाभास है जो यह मानने के परिणामस्वरूप होता है कि केवल बहुत से अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए, इस विरोधाभास से बचने के लिए, वास्तव में असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए।
यह देखते हुए कि उनमें से कई अनंत हैं, आप सोच सकते हैं कि सभी प्रकार के अभाज्य संख्याओं को खोजना आसान है, लेकिन अगली चीजों में से एक एक अभाज्य संख्या जासूस सीखता है कि अभाज्य संख्याएँ कैसे फैल सकती हैं। लगातार अभाज्य संख्याओं के बीच रिक्त स्थान के बारे में एक सरल परिणाम, जिसे अभाज्य अंतराल कहा जाता है, कुछ आश्चर्यजनक रूप से कहता है।
पहले 10 अभाज्य संख्याओं में - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 - आप ऐसे अंतराल देख सकते हैं जिनमें एक या अधिक मिश्रित संख्याएँ होती हैं (संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं, जैसे 4, 12 या 27)। आप इन अंतरालों को संयुक्त संख्याओं को बीच में गिनकर माप सकते हैं: उदाहरण के लिए, 0 और 2 के बीच आकार 3 का अंतर है, 1 और 3 और 5 और 5 दोनों के बीच आकार 7 का अंतर है, 3 के बीच आकार 7 का अंतर है और 11, और इसी तरह। इस सूची में सबसे बड़े अभाज्य अंतर में 24 और 25 के बीच की पांच संमिश्र संख्याएँ - 26, 27, 28, 23 और 29 - शामिल हैं।
अब अविश्वसनीय परिणाम के लिए: प्राइम अंतराल मनमाने ढंग से लंबे हो सकते हैं। इसका मतलब है कि जहाँ तक आप कल्पना कर सकते हैं, वहाँ लगातार अभाज्य संख्याएँ मौजूद हैं। शायद उतना ही अविश्वसनीय है कि इस तथ्य को साबित करना कितना आसान है।
हमारे पास पहले से ही ऊपर की लंबाई 5 का एक प्रमुख अंतर है। क्या लंबाई 6 में से एक हो सकती है? किसी एक को खोजने की आशा में अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने के बजाय, हम इसे स्वयं बना लेंगे। ऐसा करने के लिए हम बुनियादी गणना फ़ार्मुलों में प्रयुक्त फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे: परिभाषा के अनुसार, $latexn!=n बार(n-1) बार (n-2) बार … बार 3 गुना 2 गुना 1$, इसलिए उदाहरण के लिए $ लेटेक्स3!=3 गुना 2 गुना 1 = 6$ और $latex5!=5 गुना 4 गुना 3 गुना 2 गुना 1=120$।
अब हम अपना प्राइम गैप बनाते हैं। क्रमागत संख्याओं के निम्नलिखित क्रम पर विचार करें:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$।
चूंकि $latex7!=7 गुना 6 गुना 5 गुना 4 गुना 3 गुना2 गुना 1$, हमारे क्रम में पहला नंबर, $latex7!+2$, 2 से विभाज्य है, जिसे आप थोड़ी फैक्टरिंग के बाद देख सकते हैं:
$latex7!+2=7 गुना 6 गुना 5 गुना 4 गुना 3 गुना2 गुना 1+2$
$latex= 2(7 गुना 6 गुना 5 गुना 4 गुना 3 गुना 1+1)$।
इसी तरह, दूसरी संख्या, $latex7!+3$, 3 से विभाज्य है, क्योंकि
$latex7!+3=7 गुना 6 गुना 5 गुना 4 गुना 3 गुना2 गुना 1+3$
$latex= 3(7 गुना 6 गुना 5 गुना 4 गुना2 गुना 1+1)$।
इसी तरह, 7! + 4, 4, 7 से विभाज्य है! + 5 बटा 5, 7! + 6 बटा 6, और 7! + 7 बटा 7, जो 7 बनाता है! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! +7 लगातार छह भाज्य संख्याओं का एक क्रम। हमारे पास कम से कम 6 का प्राइम गैप है।
इस रणनीति को सामान्य बनाना आसान है। क्रम
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$।
$latexn-1$ क्रमागत संमिश्र संख्याओं का एक क्रम है, जिसका अर्थ है कि, किसी के लिए भी n, कम से कम $latexn-1$ की लंबाई के साथ एक प्राइम गैप है। इससे पता चलता है कि मनमाने ढंग से लंबे अभाज्य अंतराल हैं, और इसलिए प्राकृतिक संख्याओं की सूची में ऐसे स्थान हैं जहाँ निकटतम अभाज्य संख्याएँ 100, या 1,000, या 1,000,000,000 संख्याएँ अलग हैं।
इन परिणामों में एक क्लासिक तनाव देखा जा सकता है। अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, फिर भी क्रमागत अभाज्य संख्याएँ भी अपरिमित रूप से दूर हो सकती हैं। क्या अधिक है, असीम रूप से कई क्रमागत अभाज्य संख्याएँ हैं जो एक-दूसरे के निकट हैं। लगभग 10 साल पहले यितांग झांग के महत्वपूर्ण कार्य ने अंतराल को बंद करने और जुड़वां प्राइम अनुमान को साबित करने के लिए एक दौड़ शुरू की, जो दावा करती है कि असीमित रूप से कई जोड़े हैं जो केवल 2 से भिन्न होते हैं। जुड़वां प्राइम अनुमान सबसे अधिक में से एक है गणित में प्रसिद्ध खुले प्रश्न, और जेम्स मेनार्ड ने इस मायावी परिणाम को साबित करने में अपना महत्वपूर्ण योगदान दिया है।
यह तनाव तथाकथित डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम के बारे में हाल के परिणामों में भी मौजूद है। यह जानने के लिए कि ये संख्याएँ क्या हैं और वे कहाँ हो सकती हैं या नहीं, निम्नलिखित अजीब प्रश्न पर विचार करने के लिए कुछ समय दें: क्या कोई दो अंकों की अभाज्य संख्या है जो हमेशा अपने अंक में किसी भी परिवर्तन के साथ संयुक्त हो जाती है?
डिजिटल स्वादिष्टता का अनुभव प्राप्त करने के लिए, आइए 23 नंबर के साथ खेलें। हम जानते हैं कि यह एक अभाज्य संख्या है, लेकिन यदि आप इसका इकाई अंक बदलते हैं तो क्या होगा? खैर, 20, 22, 24, 26 और 28 सभी सम हैं, और इस प्रकार मिश्रित हैं; 21, 3 से विभाज्य है, 25 5 से विभाज्य है, और 27 9 से विभाज्य है। अब तक, कितना अच्छा है। लेकिन अगर आप इकाई के अंक को 9 में बदलते हैं, तो आपको 29 मिलता है, जो अभी भी एक अभाज्य है। तो 23 उस तरह का प्राइम नहीं है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं।
37 के बारे में क्या? जैसा कि हमने ऊपर देखा, हमें सम संख्याओं या संख्याओं की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है जो 5 में समाप्त होती हैं, इसलिए हम केवल 31, 33 और 39 की जाँच करेंगे। चूंकि 31 भी अभाज्य है, 37 भी काम नहीं करता है।
क्या ऐसी संख्या भी मौजूद है? इसका उत्तर हां है, लेकिन हमें इसे खोजने के लिए 97 तक जाना होगा: 97 एक अभाज्य है, लेकिन 91 (7 से विभाज्य), 93 (3 से विभाज्य), और 99 (3 से भी विभाज्य) सभी मिश्रित हैं , सम संख्याओं और 95 के साथ।
एक अभाज्य संख्या "नाजुक" होती है, जब आप इसके किसी एक अंक को किसी अन्य चीज़ में बदलते हैं, तो यह अपनी "प्रधानता" (या तकनीकी शब्द का उपयोग करने के लिए मौलिकता) खो देता है। अब तक हम देखते हैं कि इकाई अंक में 97 नाजुक है - चूंकि उस अंक को बदलने से हमेशा एक संयुक्त संख्या उत्पन्न होती है - लेकिन क्या 97 डिजिटल रूप से नाजुक होने के पूर्ण मानदंड को पूरा करता है? उत्तर नहीं है, क्योंकि यदि आप दहाई के अंक को 1 में बदलते हैं तो आपको 17 प्राप्त होता है, एक अभाज्य। (ध्यान दें कि 37, 47 और 67 सभी अभाज्य भी हैं।)
वास्तव में, कोई दो अंकों का डिजिटल रूप से संवेदनशील प्राइम नहीं है। सभी दो-अंकीय संख्याओं की निम्न तालिका, जिसमें दो-अंकीय अभाज्य छायांकित हैं, यह दर्शाती है कि क्यों।
किसी भी पंक्ति की सभी संख्याओं का दहाई का अंक समान होता है, और किसी दिए गए कॉलम की सभी संख्याओं का एक ही अंक होता है। तथ्य यह है कि 97 इसकी पंक्ति में एकमात्र छायांकित संख्या है, यह इस तथ्य को दर्शाता है कि यह इकाई के अंक में नाजुक है, लेकिन यह अपने कॉलम में एकमात्र अभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह दहाई के अंक में नाजुक नहीं है।
डिजिटल रूप से नाजुक दो अंकों का प्राइम अपनी पंक्ति और कॉलम में एकमात्र प्राइम होना चाहिए। जैसा कि तालिका से पता चलता है, ऐसा कोई दो-अंकीय अभाज्य मौजूद नहीं है। डिजिटल रूप से नाजुक तीन-अंकीय प्राइम के बारे में क्या? यहां एक समान तालिका है जिसमें 100 और 199 के बीच तीन अंकों के अभाज्य संख्याओं का लेआउट दिखाया गया है, जिसमें समग्र संख्याओं को छोड़ दिया गया है।
यहां हम देखते हैं कि 113 अपनी ही पंक्ति में है, जिसका अर्थ है कि यह इकाई के अंक में नाजुक है। लेकिन 113 अपने स्वयं के कॉलम में नहीं है, इसलिए दहाई के अंक में कुछ परिवर्तन (जैसे 0 के लिए 103 या 6 के लिए 163) अभाज्य संख्या उत्पन्न करते हैं। चूँकि इसकी अपनी पंक्ति और अपने स्वयं के कॉलम दोनों में कोई संख्या नहीं दिखाई देती है, हम जल्दी से देखते हैं कि कोई तीन अंकों की संख्या नहीं है जो कि संयुक्त होने की गारंटी है यदि आप इसके अंक या इसके दहाई के अंक को बदलते हैं। इसका मतलब है कि कोई तीन अंकों का डिजिटल रूप से संवेदनशील प्राइम नहीं होगा। ध्यान दें कि हमने सैकड़ों अंकों की जांच भी नहीं की। वास्तव में डिजिटल रूप से नाजुक होने के लिए, तीन अंकों की संख्या को त्रि-आयामी तालिका में तीन दिशाओं में अभाज्य संख्याओं से बचना होगा।
क्या डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम भी मौजूद हैं? जैसे-जैसे आप संख्या रेखा पर आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ विरल हो जाती हैं, जिससे इन उच्च-आयामी तालिकाओं की पंक्तियों और स्तंभों में पथों को पार करने की संभावना कम हो जाती है। लेकिन बड़ी संख्या में अधिक अंक होते हैं, और प्रत्येक अतिरिक्त अंक एक अभाज्य के डिजिटल रूप से संवेदनशील होने की संभावना को कम करता है।
यदि आप जारी रखते हैं, तो आप पाएंगे कि डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम मौजूद हैं। सबसे छोटा 294,001 है। जब आप इसका एक अंक बदलते हैं, तो आपको प्राप्त होने वाली संख्या - 794,001, या 284,001 - संयुक्त होगी। और भी हैं: अगले कुछ 505,447 हैं; 584,141; 604,171; 971,767; और 1,062,599। वास्तव में, वे रुकते नहीं हैं। प्रसिद्ध गणितज्ञ पॉल एर्डोस ने साबित किया कि असीम रूप से कई डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम हैं। और यह इन जिज्ञासु संख्याओं के बारे में कई आश्चर्यजनक परिणामों में से पहला था।
उदाहरण के लिए, Erdős ने केवल यह साबित नहीं किया कि असीमित रूप से कई डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम हैं: उन्होंने साबित किया कि किसी भी आधार में असीम रूप से कई डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम हैं। इसलिए यदि आप बाइनरी, टर्नरी या हेक्साडेसिमल में अपनी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना चुनते हैं, तो आपको अभी भी कई डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम खोजने की गारंटी है।
और डिजिटल रूप से नाजुक अभाज्य संख्याएँ केवल अनंत नहीं हैं: उनमें सभी अभाज्य संख्याओं का एक गैर-शून्य प्रतिशत शामिल है। इसका मतलब यह है कि यदि आप डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम की संख्या के अनुपात को समग्र रूप से प्राइम की संख्या के अनुपात में देखते हैं, तो यह अंश शून्य से कुछ संख्या अधिक है। तकनीकी शब्दों में, सभी प्राइम का एक "सकारात्मक अनुपात" डिजिटल रूप से नाजुक होता है, जैसा कि फील्ड्स मेडलिस्ट टेरेंस ताओ ने 2010 में साबित किया था। प्राइम खुद सभी नंबरों का सकारात्मक अनुपात नहीं बनाते हैं, क्योंकि आपको कम और कम प्राइम मिलेंगे आप संख्या रेखा के साथ जितना दूर जाएंगे। फिर भी उन प्राइम्स के बीच, आपको डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम मिलना जारी रहेगा, जो कि नाजुक प्राइम के अनुपात को शून्य से ऊपर कुल प्राइम में रखने के लिए पर्याप्त है।
शायद सबसे चौंकाने वाली खोज थी a परिणाम 2020 इन अजीब संख्याओं के एक नए रूपांतर के बारे में। अंक क्या है की अवधारणा को शिथिल करके, गणितज्ञों ने एक संख्या के प्रतिनिधित्व की फिर से कल्पना की: 97 के बारे में स्वयं सोचने के बजाय, उन्होंने इसके बजाय इसे अग्रणी शून्य के रूप में सोचा:
… २०।
प्रत्येक अग्रणी शून्य को एक अंक के रूप में माना जा सकता है, और डिजिटल विनम्रता के प्रश्न को इन नए अभ्यावेदन तक बढ़ाया जा सकता है। क्या "व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम" मौजूद हो सकते हैं - अभाज्य संख्याएं जो हमेशा समग्र हो जाती हैं यदि आप किसी भी अंक को बदलते हैं, जिसमें उनमें से कोई भी प्रमुख शून्य शामिल है? गणितज्ञ माइकल फिलासेटा और जेरेमिया साउथविक के काम के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि इसका उत्तर आश्चर्यजनक रूप से हां है। न केवल व्यापक रूप से डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम मौजूद हैं, बल्कि उनमें से कई असीम रूप से हैं।
प्राइम नंबर पेशेवरों और उत्साही लोगों के साथ खेलने के लिए गणितीय पहेली की एक अनंत स्ट्रिंग बनाते हैं। हम उनके सभी रहस्यों को कभी नहीं खोल सकते हैं, लेकिन आप गणितज्ञों पर भरोसा कर सकते हैं कि वे लगातार खोज करें, और खोज करें, नए प्रकार के प्राइम का पता लगाएं।
अभ्यास
1. 2 से 101 तक के अभाज्य संख्याओं में सबसे बड़ा अभाज्य अंतर क्या है?
2. यह साबित करने के लिए कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, यूक्लिड मान लेता है कि बहुत से अभाज्य हैं $latex_1, p_2, p_3, …, p_n$, और फिर यह दर्शाता है कि $latexq=p_1 गुना p_2 गुणा p_3 गुना ... गुणा p_n+1$ है सूची में किसी भी अभाज्य से विभाज्य नहीं है। क्या इसका मतलब यह नहीं है कि q प्रमुख होना है?
3. संख्या सिद्धांत में एक प्रसिद्ध परिणाम यह है कि के बीच हमेशा एक अभाज्य होता है k और 2k (सहित)। यह साबित करना मुश्किल है, लेकिन यह साबित करना आसान है कि बीच में हमेशा एक प्राइम होता है k और $latexq=p_1 गुना p_2 गुना p_3 गुना … गुना p_n+1$ (समावेशी), जहां $latex_1, p_2, p_3, …, p_n$ सभी अभाज्य संख्याएँ इससे कम या बराबर हैं k. इसे साबित करो।
4. क्या आप इकाई और दहाई के अंकों में डिजिटल रूप से नाजुक सबसे छोटी अभाज्य संख्या ज्ञात कर सकते हैं? इसका अर्थ है कि इकाई या दहाई के अंक को बदलने पर हमेशा एक भाज्य संख्या उत्पन्न होगी। (आप ऐसा करने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिखना चाह सकते हैं!)
चुनौती समस्या: क्या आप बाइनरी में दर्शाए जाने पर डिजिटल रूप से नाजुक सबसे छोटी अभाज्य संख्या पा सकते हैं? याद रखें कि बाइनरी या बेस 2 में, केवल अंक 0 और 1 हैं, और प्रत्येक स्थान मान 2 की शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, 8 को $latex1000_2$ के रूप में दर्शाया गया है, क्योंकि $latex 8=1 गुना 2^3 + 0 गुना 2^2 + 0 गुना 2^1 + 0 गुना 2^0$, और आधार 7 में 2 $latex111_2$ है, क्योंकि $latex7=1 गुना2^2 + 1 गुना 2^1 + 1 गुना 2^0$ है।
उत्तर 1 के लिए क्लिक करें:
उत्तर 2 के लिए क्लिक करें:
नहीं। पहले छह अभाज्य संख्याओं पर विचार करें: 2, 3, 5, 7, 11 और 13. इस मामले में संख्या q $latex 2 गुना 3 गुना 5 गुना 7 गुना 11 गुना13 + 1 = 30,031$ होगा। यह 2, 3, 5, 7, 11 या 13 से विभाज्य नहीं है, लेकिन यह अभाज्य नहीं है: यह $latex 30,031 = 59 गुना 509$ के रूप में कारक है। ध्यान दें कि इसके अभाज्य गुणनखंड हैं, लेकिन वे सभी पहले छह अभाज्य संख्याओं से बड़े हैं।
उत्तर 3 के लिए क्लिक करें:
या तो k or q प्रमुख है हम कर रहे हैं। यदि q यह अभाज्य नहीं है यह संयुक्त है, जिसका अर्थ है कि यह किसी अभाज्य संख्या से विभाज्य है, लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि यह किसी भी प्रथम संख्या से विभाज्य नहीं है n अपराध इस प्रकार इसे पहले वाले से बड़े अभाज्य से विभाज्य होना चाहिए n अभाज्य संख्याएँ, और चूँकि ये सभी अभाज्य संख्याएँ से कम हैं k, यह प्राइम से बड़ा होना चाहिए k. लेकिन यह प्राइम डिवाइड q, तो यह से कम होना चाहिए q, इसलिए बीच में एक प्रमुख होना चाहिए k और q.
उत्तर 4 के लिए क्लिक करें:
इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाला पहला अभाज्य 2,459 है, क्योंकि 2,451, 2,453 और 2,457 सभी मिश्रित हैं (नाजुक इकाई अंकों की कसौटी पर खरे उतरते हैं) और 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 और 2,499 सभी मिश्रित हैं ( नाजुक दहाई अंक मानदंड)। फिर भी 2,459 डिजिटल रूप से नाजुक नहीं है, क्योंकि 2,659 प्राइम है, इसलिए जब आप सैकड़ों अंकों पर विचार करना शुरू करते हैं तो यह विफल हो जाता है। (उनके प्रकाशित करने के लिए गणितज्ञ जॉन डी. कुक का धन्यवाद डिजिटल रूप से नाजुक प्राइम-फाइंडिंग पायथन कोड.)
चुनौती समस्या के उत्तर के लिए क्लिक करें:
$latex127=1111111_2$ डिजिटल रूप से नाजुक है, क्योंकि $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111_2$, और $latex63 =0111111_2$ सभी मिश्रित हैं।
