Les mathématiques étonnamment simples derrière des confrontations déroutantes | Magazine Quanta

C'est le match de championnat de l'Imaginary Math League, où les Atlanta Algebras affronteront les Carolina Cross Products. Les deux équipes ne se sont pas affrontées cette saison, mais plus tôt dans l'année, Atlanta a battu les Brooklyn Bisectors par un score de 10 à 5, et Brooklyn a battu la Caroline par un score de 7 à 3. Cela nous donne-t-il une idée de qui prendra-t-il le titre ?

Eh bien, voici une piste de réflexion. Si Atlanta bat Brooklyn, alors Atlanta est meilleur que Brooklyn, et si Brooklyn bat Carolina, alors Brooklyn est meilleur que Carolina. Donc, si Atlanta est meilleur que Brooklyn et que Brooklyn est meilleur que la Caroline, alors Atlanta devrait être meilleur que la Caroline et remporter le championnat.

Si vous jouez à des jeux ou à des sports de compétition, vous savez que prédire l’issue d’un match n’est jamais aussi simple. Mais d’un point de vue purement mathématique, cet argument présente un certain attrait. Il utilise une idée importante en mathématiques connue sous le nom de transitivité, une propriété familière qui nous permet de construire des chaînes de comparaisons entre relations. La transitivité est l’une de ces propriétés mathématiques si fondamentales que vous ne la remarquerez peut-être même pas.

Par exemple, l'égalité des nombres est transitive. Cela signifie que si nous savons que a = b ainsi que le b = c, nous pouvons conclure que a = c. La relation « supérieur à » est également transitive : pour les nombres réels, si a > b ainsi que le b > c, puis a > c. Lorsque les relations sont transitives, nous pouvons les comparer et les combiner, créant ainsi un ordre d’objets. Si Anna est plus grande que Benji et que Benji est plus grand que Carl, alors nous pouvons classer les trois selon leur taille : A, B, C. La transitivité est également à l’origine de notre argument naïf selon lequel si A est mieux que B ainsi que le B est mieux que C, puis A est mieux que C.

La transitivité est présente dans l'égalité, la congruence, la similitude, voire le parallélisme. Cela fait partie de toutes les mathématiques de base que nous effectuons, ce qui les rend particulièrement intéressants sur le plan mathématique lorsqu'ils n'existent pas. Lorsque les analystes classent les équipes, que les économistes étudient les préférences des consommateurs ou que les citoyens votent pour leurs candidats préférés, un manque de transitivité peut conduire à des résultats surprenants. Pour mieux comprendre ce type de systèmes, les mathématiciens étudient les « dés intransitifs » depuis plus de 50 ans. étude récente du projet collaboratif mathématique en ligne connu sous le nom de projet Polymath a fait progresser cette compréhension. Pour avoir une idée de ce à quoi ressemble l'intransitivité, formons notre propre ligue et jouons.

Dans notre nouvelle ligue mathématique, les joueurs s'affrontent en lançant des pièces personnalisées et en comparant les résultats. Disons joueur A a une pièce avec le chiffre 10 d'un côté et le chiffre 6 de l'autre, et le joueur BLa pièce de monnaie porte les chiffres 8 et 3. Nous supposerons que les pièces sont équitables – ce qui signifie que chaque côté a la même probabilité d'apparaître lorsque les pièces sont retournées – et nous représenterons les chiffres sur les pièces comme ceci.

Dans un jeu, les joueurs lancent leurs pièces, et celui qui montre le nombre le plus élevé est le gagnant. Qui gagnera quand A joue B?

Bien sûr, cela dépend. Parfois A je gagnerai, parfois B gagnera. Mais ce n'est pas difficile à voir A est favori pour gagner contre B. Il y a quatre façons dont le jeu pourrait se dérouler, et A gagne dans trois d’entre eux.

Donc dans le jeu de A versus B, A a 75% de chances de gagner.

Maintenant C arrive et défie B à un jeu. CLa pièce de monnaie porte un 5 d'un côté et un 4 de l'autre. Encore une fois, il y a quatre possibilités.

Ici B ainsi que le C chacun remporte deux des quatre affrontements, ils gagneront donc chacun 50 % des matchs. B ainsi que le C sont à égalité.

Maintenant, à quoi vous attendriez-vous quand A ainsi que le C jouer? Bien, A bat habituellement Bet une B est à égalité avec C, il semble donc raisonnable de s'attendre à ce que A sera probablement favorisé contre C.

Mais A est plus qu'un favori. A domine C, gagnant 100% du temps.

Cela peut paraître surprenant, mais mathématiquement, il n'est pas difficile de comprendre pourquoi cela se produit. Cles chiffres sont entre les deux Bc'est, donc C gagne à tout moment B retourne leur nombre inférieur. Mais Cles numéros sont tous deux ci-dessous Ac'est, donc C ne gagnera jamais ce match. Cet exemple ne viole pas l'idée de transitivité, mais il montre que les choses pourraient être plus compliquées que simplement A > B > C. Un léger changement dans notre jeu montre à quel point cela peut être beaucoup plus compliqué.

Nos concurrents se lassent rapidement du jeu de pile ou face à pile ou face, car il est facile à comprendre mathématiquement (voir les exercices en fin de colonne pour plus de détails), la ligue décide donc de passer aux pièces à trois faces. (L’un des avantages de jouer dans une ligue mathématique imaginaire est que tout est possible.)

Voici A ainsi que le BLes pièces de monnaie :

Qui est favorisé dans un jeu entre A ainsi que le B? Eh bien, il y a trois résultats pour Aun tirage au sort et trois pour B, conduisant à neuf résultats de jeu possibles que nous pouvons facilement tracer.

En supposant encore une fois que tous les résultats sont également probables, A battements B dans cinq des neuf résultats. Cela signifie A devrait gagner $latex frac{5}{9} environ$ 55 % du temps, donc A est favorisé contre B.

Se sentant un peu déprimé par rapport à leurs perspectives, B globaux C à un jeu. CLes numéros de sont indiqués ci-dessous. Aimez-vous BIl y a des chances ?

Encore une fois, il y a neuf résultats possibles dans un jeu de B versus C, nous pouvons donc simplement les énumérer.

On peut voir ça B ça a l'air plutôt bien contre C. Dans cinq des neuf résultats possibles, B gagne. Donc B est favorisé contre C.

Mauvais C il faut maintenant jouer A. Avec A favorisé contre B ainsi que le B favorisé contre C, quelle chance C faut-il gagner ? Il s’avère qu’il s’agit d’un plutôt bon projet.

Dans cinq des neuf résultats possibles ici, C battements A. Cela signifie que C est favorisé contre A, même si Aest favorisé contre B ainsi que le B est favorisé contre C.

Ceci est un exemple de système intransitif. En termes plus techniques, la relation « être favorisé contre » dans notre jeu n’est pas transitive : A est favorisé contre Bet une B est favorisé contre C, mais A n'est pas nécessairement favorisé contre C.

On ne le voit pas souvent en mathématiques, mais ce genre de comportement ne surprendrait pas les amateurs de sport. Si les Giants battent les Eagles et que les Eagles battent les Cowboys, les Cowboys pourraient toujours très bien battre les Giants. De nombreux facteurs contribuent au résultat d’un match individuel. Les équipes peuvent s'améliorer avec la pratique ou stagner si elles n'innovent pas. Les joueurs peuvent changer d'équipe. Des détails tels que le lieu du match (à domicile ou à l'extérieur) ou la date à laquelle les équipes ont joué récemment peuvent avoir un impact sur qui gagne et qui perd.

Mais cet exemple simple montre qu’il y a aussi des raisons purement mathématiques derrière ce type d’intransitivité. Et cette considération purement mathématique a quelque chose en commun avec les contraintes réelles de la compétition : les confrontations.

Voici les chiffres pour A, B ainsi que le C.

Lorsque nous les regardons côte à côte, il est plus facile de comprendre pourquoi l’intransitivité se produit dans cette situation. Bien que B est favori pour gagner contre C, CLes deux nombres moyens-élevés de - le 7 et le 6 - leur donnent un avantage sur A qui B n'a pas. Même si A est favorisé contre B ainsi que le B est favorisé contre C, C s'affronte contre A mieux que B fait. Ceci est similaire à la façon dont une équipe sportive outsider peut bien se mesurer à un adversaire supérieur parce que son style de jeu est difficile à gérer pour cette équipe, ou parce qu'un joueur ou un entraîneur lui donne un avantage contre cet adversaire particulier.

Le fait que les sports soient intransitifs fait partie de ce qui les rend amusants et fascinants. Après tout, si A battements B ainsi que le B battements C, C ne va pas simplement déclarer forfait à cause de la transitivité lorsqu'ils affronteront A. En compétition, tout peut arriver. Comme l’ont dit de nombreux commentateurs après une surprise : « C’est pour cela qu’ils jouent à ce jeu. »

Et c'est pourquoi nous jouons avec les mathématiques. Pour trouver ce qui est amusant, convaincant et surprenant. Tout peut arriver.

Des exercices

1. Supposons que deux joueurs jouent au jeu de pièces à deux faces et que les quatre nombres des deux pièces soient tous différents. Il n’existe essentiellement que six scénarios possibles pour savoir qui gagne et à quelle fréquence. Quels sont-ils?

2. Dans le scénario de jeu à trois faces décrit ci-dessus, trouvez une pièce à trois faces différente pour C de sorte que B est toujours favorisé contre C ainsi que le C est toujours favorisé contre A.

3. Prouver que dans un jeu à pièces à deux faces, il est impossible d'avoir trois joueurs A, B, C tel que A est favorisé contre B, B est favorisé contre Cet une C est favorisé contre A.

Correction: 26 janvier 2024
Deux chiffres publiés précédemment montraient des confrontations mal étiquetées entre les joueurs A contre C et B contre C. Les chiffres ont été corrigés.