Distance quantique de Wasserstein basée sur une optimisation sur des états séparables

Distance quantique de Wasserstein basée sur une optimisation sur des états séparables

Horodatage: 16 octobre 2023 10h35
Nœud source: 2938953

Géza Toth1,2,3,4,5 et József Pitrik5,6,7

1Physique Théorique, Université du Pays Basque UPV/EHU, ES-48080 Bilbao, Espagne
2EHU Quantum Center, Université du Pays Basque UPV/EHU, Barrio Sarriena s/n, ES-48940 Leioa, Biscaye, Espagne
3Donostia International Physics Center (DIPC), ES-20080 San Sebastián, Espagne
4IKERBASQUE, Fondation basque pour la science, ES-48011 Bilbao, Espagne
5Institut de physique et d'optique du solide, Centre de recherche Wigner pour la physique, HU-1525 Budapest, Hongrie
6Institut de mathématiques Alfréd Rényi, Reáltanoda u. 13-15., HU-1053 Budapest, Hongrie
7Département d'analyse et de recherche opérationnelle, Institut de mathématiques, Université de technologie et d'économie de Budapest, Müegyetem rkp. 3., HU-1111 Budapest, Hongrie

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Abstract

Nous définissons la distance quantique de Wasserstein de telle sorte que l'optimisation du couplage soit effectuée sur des états séparables bipartites plutôt que sur des états quantiques bipartites en général, et examinons ses propriétés. Étonnamment, nous constatons que la distance de soi est liée à l’information quantique de Fisher. Nous présentons une carte de transport correspondant à un état séparable bipartite optimal. Nous discutons de la façon dont la distance quantique de Wasserstein introduite est connectée aux critères de détection de l'intrication quantique. Nous définissons des quantités de type variance qui peuvent être obtenues à partir de la distance quantique de Wasserstein en remplaçant la minimisation sur les états quantiques par une maximisation. Nous étendons nos résultats à une famille de quantités d'informations quantiques généralisées de Fisher.

Image présentée : Représentation géométrique de la distance quantique de Wasserstein entre un état pur $varrho$ et un état mixte $sigma$ pour $N=1.$ La distance quantique de Wasserstein est égale à $1/sqrt2$ fois la distance euclidienne habituelle entre $A'$ et $B'.$

Résumé populaire

Dans la vie de tous les jours, la distance entre deux villes nous indique combien de kilomètres nous devons parcourir pour passer de l'une à l'autre. Il est également possible de caractériser la facilité avec laquelle nous pouvons nous rendre d'une ville à l'autre en mesurant la consommation de carburant au cours de notre trajet. Cette dernière est plus informative dans le sens où elle reflète le coût du déplacement lié à la topographie de la route, c'est-à-dire qu'elle est sensible à la métrique sous-jacente. Imaginons ensuite que nous devions déplacer un tas de sable d’un endroit à un autre et que le nouveau tas puisse avoir une forme différente. Dans ce cas encore, on peut caractériser l’effort de déplacement du sable par le coût du transport.

Les distances jouent un rôle central en mathématiques, en physique et en ingénierie. Un problème fondamental en probabilités et en statistiques est de trouver des mesures utiles de la distance entre deux distributions de probabilité. Malheureusement, de nombreuses notions de distance entre les distributions de probabilité, disons p(x) et q(x), sont maximales si elles ne se chevauchent pas, c'est-à-dire que l'une est toujours nulle lorsque l'autre est non nulle. Ceci n’est pas pratique pour de nombreuses applications. Par exemple, pour revenir à l’analogie avec le sable, deux tas de sable qui ne se chevauchent pas semblent être à égale distance l’un de l’autre, que leur distance soit de 10 km ou de 100 km. La théorie du transport optimal est un moyen de construire une notion alternative de distance entre les distributions de probabilité, appelée distance de Wasserstein. Il peut être non maximal même si les distributions ne se chevauchent pas, il est sensible à la métrique sous-jacente (c'est-à-dire le coût du transport), et essentiellement, il exprime l'effort que nous devons faire pour passer de l'une à l'autre. comme s'il s'agissait de collines de sable.

Récemment, la distance quantique de Wasserstein a été définie en généralisant la distance classique de Wasserstein. Elle est basée sur la minimisation d'une fonction de coût sur les états quantiques d'un système quantique bipartite. Il possède une propriété analogue à celle mentionnée ci-dessus dans le monde quantique. Cela peut être non maximal pour les états orthogonaux, ce qui est utile, par exemple, lorsque nous devons enseigner des données quantiques à un algorithme.

Comme on peut s’y attendre, la distance quantique de Wasserstein possède également des propriétés très différentes de celles de son homologue classique. Par exemple, lorsque nous mesurons la distance d’un état quantique à lui-même, elle peut être différente de zéro. Bien que cela soit déjà déroutant, il a également été découvert que la distance de soi est liée à l'information asymétrique de Wigner-Yanase, introduite en 1963 par le lauréat du prix Nobel EP Wigner, qui a apporté une contribution vitale aux fondements de la physique quantique et de MM Yanase.

Dans notre article, nous examinons cette découverte mystérieuse sous un autre angle. Nous limitons la minimisation mentionnée ci-dessus aux états dits séparables. Ce sont les états quantiques qui ne contiennent pas d’intrication. Nous constatons que la distance de soi devient l’information quantique de Fisher, une quantité centrale en métrologie quantique et en théorie de l’estimation quantique, et apparaissant par exemple dans la célèbre liaison de Cramer-Rao. En examinant les propriétés d’une telle distance de Wasserstein, nos travaux ouvrent la voie à la connexion de la théorie de la distance quantique de Wasserstein à la théorie de l’intrication quantique.

► Données BibTeX

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https://​/​www.mathworks.com/​matlabcentral/​fileexchange/​8433

Cité par

[1] Laurent Laflèche, « Transport quantique optimal et topologies faibles », arXiv: 2306.12944, (2023).

Les citations ci-dessus proviennent de SAO / NASA ADS (dernière mise à jour réussie 2023-10-16 14:47:44). La liste peut être incomplète car tous les éditeurs ne fournissent pas de données de citation appropriées et complètes.

Impossible de récupérer Données de référence croisée lors de la dernière tentative 2023-10-16 14:47:42: Impossible de récupérer les données citées par 10.22331 / q-2023-10-16-1143 de Crossref. C'est normal si le DOI a été enregistré récemment.

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