Si vous avez suivi l'actualité mathématique ce mois-ci, vous savez que James Maynard, théoricien des nombres âgé de 35 ans, a remporté un Médaille Fields — la plus haute distinction pour un mathématicien. Maynard aime les questions mathématiques qui « sont assez simples pour être expliquées à un lycéen mais suffisamment difficiles à dérouter les mathématiciens pendant des siècles ». Quanta rapporté, et l’une de ces questions simples est la suivante : à mesure que vous avancez le long de la droite numérique, doit-il toujours y avoir des nombres premiers proches les uns des autres ?
Vous avez peut-être remarqué que les mathématiciens sont obsédés par les nombres premiers. Qu’est-ce qui les attire ? C’est peut-être le fait que les nombres premiers incarnent certaines des structures et des mystères les plus fondamentaux des mathématiques. Les nombres premiers tracent l'univers de la multiplication en nous permettant de classer et de catégoriser chaque nombre avec une factorisation unique. Mais même si les humains jouent avec les nombres premiers depuis l’aube de la multiplication, nous ne savons toujours pas exactement où les nombres premiers apparaîtront, dans quelle mesure ils sont répartis ou à quel point ils doivent être proches. À notre connaissance, les nombres premiers ne suivent pas de modèle simple.
Notre fascination pour ces objets fondamentaux a conduit à l'invention, ou à la découverte, de centaines de types différents de nombres premiers : les nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2n − 1), les nombres premiers équilibrés (des nombres premiers qui sont la moyenne de deux nombres premiers voisins) et les nombres premiers de Sophie Germain (un nombre premier p tel que 2p + 1 est également premier), pour n'en nommer que quelques-uns.
L'intérêt pour ces nombres premiers spéciaux est né du fait de jouer avec les nombres et de découvrir quelque chose de nouveau. Cela est également vrai pour les « nombres premiers numériquement délicats », un ajout récent à la liste qui a conduit à des résultats surprenants sur les questions les plus fondamentales : à quel point certains types de nombres premiers peuvent-ils être rares ou courants ?
Pour comprendre cette question, commençons par l’un des premiers faits intrigants qu’un aspirant passionné de nombres apprend : il existe une infinité de nombres premiers. Euclide l'a prouvé il y a 2,000 XNUMX ans en utilisant l'une des preuves par contradiction les plus célèbres de toute l'histoire des mathématiques. Il a commencé par supposer qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers et a imaginé tous n d'entre eux dans une liste :
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Puis il a fait quelque chose d'intelligent : il a pensé au nombre $latexq=p_1 fois p_2 fois p_3 fois… fois p_n+1$.
Remarquerez que q ne peut pas figurer sur la liste des nombres premiers, car il est plus grand que tout ce qui figure sur la liste. Donc si une liste finie de nombres premiers existe, ce nombre q ne peut pas être premier. Mais si q n'est pas un nombre premier, il doit être divisible par quelque chose d'autre que lui-même et 1. Cela signifie à son tour que q doit être divisible par un nombre premier de la liste, mais à cause de la façon dont q est construit, divisant q par quoi que ce soit sur la liste laisse un reste de 1. Donc apparemment q n'est ni premier ni divisible par aucun nombre premier, ce qui est une contradiction qui résulte de l'hypothèse qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers. Par conséquent, pour éviter cette contradiction, il faut en fait qu’il y ait une infinité de nombres premiers.
Étant donné qu'il y en a une infinité, vous pourriez penser que les nombres premiers de toutes sortes sont faciles à trouver, mais l'une des prochaines choses qu'un détective sur les nombres premiers apprend est la façon dont les nombres premiers peuvent être répartis. Un simple résultat sur les espaces entre nombres premiers consécutifs, appelés écarts premiers, révèle quelque chose d’assez surprenant.
Parmi les 10 premiers nombres premiers — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29 — vous pouvez voir des espaces constitués d'un ou plusieurs nombres composés (nombres qui ne sont pas premiers, comme 4, 12). ou 27). Vous pouvez mesurer ces écarts en comptant les nombres composés intermédiaires : par exemple, il y a un écart de taille 0 entre 2 et 3, un écart de taille 1 entre 3 et 5 et 5 et 7, un écart de taille 3 entre 7. et 11, et ainsi de suite. Le plus grand écart premier de cette liste est constitué des cinq nombres composés – 24, 25, 26, 27 et 28 – compris entre 23 et 29.
Passons maintenant au résultat incroyable : les écarts principaux peuvent être arbitrairement longs. Cela signifie qu’il existe des nombres premiers consécutifs aussi éloignés que vous pouvez l’imaginer. Ce qui est peut-être tout aussi incroyable est la facilité avec laquelle ce fait est à prouver.
Nous avons déjà un écart premier de longueur 5 ci-dessus. Pourrait-il y en avoir un de longueur 6 ? Au lieu de chercher des listes de nombres premiers dans l’espoir d’en trouver une, nous allons simplement la construire nous-mêmes. Pour ce faire, nous utiliserons la fonction factorielle utilisée dans les formules de comptage de base : Par définition, $latexn!=n fois(n-1) fois (n-2) fois… fois 3 fois 2 fois 1$, donc par exemple $ latex3!=3 fois 2 fois 1 = 6$ et $latex5!=5 fois 4 fois 3 fois 2 fois 1=120$.
Maintenant, construisons notre principal écart. Considérons la séquence suivante de nombres consécutifs :
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Puisque $latex7!=7 fois 6 fois 5 fois 4 fois 3 fois2 fois 1$, le premier nombre de notre séquence, $latex7!+2$, est divisible par 2, ce que vous pouvez voir après un peu de factorisation :
$latex7!+2=7 fois 6 fois 5 fois 4 fois 3 fois2 fois 1+2$
$latex= 2(7 fois 6 fois 5 fois 4 fois 3 fois 1+1)$.
De même, le deuxième nombre, $latex7!+3$, est divisible par 3, puisque
$latex7!+3=7 fois 6 fois 5 fois 4 fois 3 fois2 fois 1+3$
$latex= 3(7 fois 6 fois 5 fois 4 fois2 fois 1+1)$.
De même, 7 ! + 4 est divisible par 4, 7 ! + 5 par 5, 7 ! + 6 par 6, et 7 ! + 7 par 7, ce qui fait 7 ! +2 ! +7 ! +3 ! +7 ! +4 ! + 7 une séquence de six nombres composés consécutifs. Nous avons un écart premier d’au moins 5.
Cette stratégie est facile à généraliser. La séquence
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
est une séquence de nombres composés consécutifs $latexn-1$ , ce qui signifie que, pour tout n, il existe un écart principal d'une longueur d'au moins $latexn-1$. Cela montre qu'il existe des écarts premiers arbitrairement longs, et ainsi, le long de la liste des nombres naturels, il y a des endroits où les nombres premiers les plus proches sont espacés de 100, ou 1,000 1,000,000,000, voire XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX de nombres.
Une tension classique peut être observée dans ces résultats. Il existe une infinité de nombres premiers, mais les nombres premiers consécutifs peuvent aussi être infiniment éloignés les uns des autres. De plus, il existe une infinité de nombres premiers consécutifs proches les uns des autres. Il y a environ 10 ans, les travaux révolutionnaires de Yitang Zhang ont lancé une course pour combler l'écart et prouver la conjecture des nombres premiers jumeaux, qui affirme qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent de seulement 2. La conjecture des nombres premiers jumeaux est l'une des plus répandues. Célèbres questions ouvertes en mathématiques, et James Maynard a apporté sa propre contribution significative à la preuve de ce résultat insaisissable.
Cette tension est également présente dans les résultats récents sur les nombres premiers dits numériquement délicats. Pour avoir une idée de ce que sont ces nombres et où ils peuvent se trouver ou non, prenez un moment pour réfléchir à l’étrange question suivante : existe-t-il un nombre premier à deux chiffres qui devient toujours composé à chaque modification de son chiffre un ?
Pour avoir une idée de la délicatesse numérique, jouons avec le nombre 23. Nous savons que c’est un nombre premier, mais que se passe-t-il si vous changez son chiffre des unités ? Eh bien, 20, 22, 24, 26 et 28 sont tous pairs, et donc composites ; 21 est divisible par 3, 25 est divisible par 5 et 27 est divisible par 9. Jusqu’ici, tout va bien. Mais si vous remplacez le chiffre des unités par 9, vous obtenez 29, ce qui est toujours un nombre premier. Donc 23 n’est pas le genre de nombre premier que nous recherchons.
Et le 37 ? Comme nous l’avons vu ci-dessus, nous n’avons pas besoin de vérifier les nombres pairs ou ceux qui se terminent par 5, nous allons donc simplement vérifier 31, 33 et 39. Puisque 31 est également premier, 37 ne fonctionne pas non plus.
Un tel numéro existe-t-il réellement ? La réponse est oui, mais il faut remonter jusqu'à 97 pour la trouver : 97 est un nombre premier, mais 91 (divisible par 7), 93 (divisible par 3) et 99 (également divisible par 3) sont tous composés. , ainsi que les nombres pairs et 95.
Un nombre premier est « délicat » si, lorsque vous remplacez l’un de ses chiffres par un autre, il perd sa « primeur » (ou primalité, pour utiliser le terme technique). Jusqu’à présent, nous voyons que 97 est délicat dans le chiffre des unités – puisque changer ce chiffre produit toujours un nombre composé – mais 97 satisfait-il à tous les critères de délicatesse numérique ? La réponse est non, car si vous changez le chiffre des dizaines en 1, vous obtenez 17, un chiffre premier. (Notez que 37, 47 et 67 sont également tous premiers.)
En fait, il n’existe pas de nombre premier numériquement délicat à deux chiffres. Le tableau suivant de tous les nombres à deux chiffres, avec les nombres premiers à deux chiffres ombrés, montre pourquoi.
Tous les nombres d’une ligne donnée ont le même chiffre des dizaines, et tous les nombres d’une colonne donnée ont le même chiffre des unités. Le fait que 97 soit le seul nombre ombré dans sa rangée reflète le fait qu’il est délicat dans le chiffre des unités, mais ce n’est pas le seul nombre premier dans sa colonne, ce qui signifie qu’il n’est pas délicat dans le chiffre des dizaines.
Un nombre premier à deux chiffres numériquement délicat devrait être le seul nombre premier de sa ligne et de sa colonne. Comme le montre le tableau, il n’existe pas de nombre premier à deux chiffres. Qu’en est-il d’un nombre premier à trois chiffres numériquement délicat ? Voici un tableau similaire montrant la disposition des nombres premiers à trois chiffres entre 100 et 199, les nombres composés étant omis.
Ici, nous voyons que 113 est dans sa propre rangée, ce qui signifie qu’il est délicat dans le chiffre des unités. Mais 113 n’est pas dans sa propre colonne, donc certaines modifications du chiffre des dizaines (comme 0 pour 103 ou 6 pour 163) produisent des nombres premiers. Puisqu’aucun nombre n’apparaît à la fois dans sa propre ligne et dans sa propre colonne, nous voyons rapidement qu’il n’existe pas de nombre à trois chiffres dont la composition est garantie si vous modifiez son chiffre des unités ou celui des dizaines. Cela signifie qu’il ne peut y avoir de nombre premier numériquement délicat à trois chiffres. Notez que nous n’avons même pas vérifié le chiffre des centaines. Pour être vraiment délicat sur le plan numérique, un nombre à trois chiffres devrait éviter les nombres premiers dans trois directions dans un tableau tridimensionnel.
Existe-t-il des nombres premiers numériquement délicats ? À mesure que vous avancez sur la droite numérique, les nombres premiers ont tendance à devenir plus clairsemés, ce qui les rend moins susceptibles de se croiser dans les lignes et les colonnes de ces tableaux de grande dimension. Mais les nombres plus grands ont plus de chiffres, et chaque chiffre supplémentaire diminue la probabilité qu'un nombre premier soit numériquement délicat.
Si vous continuez, vous découvrirez qu’il existe des nombres premiers numériquement délicats. Le plus petit est 294,001 794,001. Lorsque vous modifiez l’un de ses chiffres, le nombre que vous obtenez – par exemple 284,001 505,447 ou 584,141 604,171 – sera composite. Et il y en a d’autres : les prochains sont 971,767 1,062,599 ; XNUMX XNUMX ; XNUMX XNUMX ; XNUMX XNUMX ; et XNUMX XNUMX XNUMX. En fait, ils ne s’arrêtent pas. Le célèbre mathématicien Paul Erdős a prouvé qu’il existe une infinité de nombres premiers numériquement délicats. Et ce n’était que le premier d’une longue série de résultats surprenants concernant ces chiffres curieux.
Par exemple, Erdős n’a pas seulement prouvé qu’il existe une infinité de nombres premiers numériquement délicats : il a prouvé qu’il existe une infinité de nombres premiers numériquement délicats dans n’importe quelle base. Ainsi, si vous choisissez de représenter vos nombres en binaire, ternaire ou hexadécimal, vous êtes toujours assuré de trouver une infinité de nombres premiers numériquement délicats.
Et les nombres premiers numériquement délicats ne sont pas seulement infinis : ils représentent un pourcentage non nul de tous les nombres premiers. Cela signifie que si vous regardez le rapport entre le nombre de nombres premiers numériquement délicats et le nombre de nombres premiers global, cette fraction est un nombre supérieur à zéro. En termes techniques, une « proportion positive » de tous les nombres premiers est numériquement délicate, comme l'a prouvé le médaillé Fields Terence Tao en 2010. Les nombres premiers eux-mêmes ne constituent pas une proportion positive de tous les nombres, car vous trouverez de moins en moins de nombres premiers. plus vous avancez le long de la droite numérique. Pourtant, parmi ces nombres premiers, vous continuerez à trouver des nombres premiers numériquement délicats assez souvent pour maintenir le rapport entre les nombres premiers délicats et les nombres premiers totaux au-dessus de zéro.
La découverte la plus choquante a peut-être été celle d'un résultat de 2020 à propos d'une nouvelle variation de ces nombres étranges. En assouplissant le concept de ce qu'est un chiffre, les mathématiciens ont réinventé la représentation d'un nombre : au lieu de penser à 97 seul, ils l'ont plutôt pensé comme ayant des zéros non significatifs :
… 0000000097.
Chaque zéro non significatif peut être pensé comme un chiffre, et la question de la délicatesse numérique peut être étendue à ces nouvelles représentations. Pourrait-il exister des « nombres premiers numériquement délicats » – des nombres premiers qui deviennent toujours composites si vous modifiez l’un des chiffres, y compris l’un de ces zéros non significatifs ? Grâce aux travaux des mathématiciens Michael Filaseta et Jeremiah Southwick, nous savons que la réponse, étonnamment, est oui. Non seulement il existe des nombres premiers numériquement délicats, mais il en existe une infinité.
Les nombres premiers forment une chaîne infinie d’énigmes mathématiques avec lesquelles les professionnels et les passionnés peuvent jouer. Nous ne percerons peut-être jamais tous leurs mystères, mais vous pouvez compter sur les mathématiciens pour découvrir et inventer continuellement de nouveaux types de nombres premiers à explorer.
Des exercices
1. Quel est le plus grand écart entre les nombres premiers de 2 à 101 ?
2. Pour prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers, Euclide suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, puis montre que $latexq=p_1 fois p_2 fois p_3 fois… fois p_n+1$ n'est pas 'n'est divisible par aucun nombre premier de la liste. Cela ne veut-il pas dire que q doit être premier ?
3. Un résultat célèbre de la théorie des nombres est qu’il existe toujours un nombre premier entre k 2k (compris). C’est difficile à prouver, mais il est facile de prouver qu’il existe toujours un nombre premier entre k et $latexq=p_1 fois p_2 fois p_3 fois… fois p_n+1$ (inclus), où $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ sont tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à k. Prouve le.
4. Pouvez-vous trouver le plus petit nombre premier numériquement délicat parmi les chiffres des unités et des dizaines ? Cela signifie que changer le chiffre des unités ou des dizaines produira toujours un nombre composé. (Vous voudrez peut-être écrire un programme informatique pour ce faire !)
Problème du défi : Pouvez-vous trouver le plus petit nombre premier qui est numériquement délicat lorsqu'il est représenté en binaire ? Rappelez-vous qu'en binaire, ou base 2, les seuls chiffres sont 0 et 1, et chaque valeur de position représente une puissance de 2. Par exemple, 8 est représenté par $latex1000_2$, puisque $latex 8=1 fois 2^3 + 0 fois 2^2 + 0 fois 2^1 + 0 fois 2^0$, et 7 en base 2 est $latex111_2$, puisque $latex7=1 fois2^2 + 1 fois 2^1 + 1 fois 2^0$.
Cliquez pour la réponse 1:
Cliquez pour la réponse 2:
Non. Considérons les six premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Dans ce cas, le nombre q serait $latex 2 fois 3 fois 5 fois 7 fois 11 fois13 + 1 = 30,031 2$. Ce n'est pas divisible par 3, 5, 7, 11, 13 ou 30,031, mais ce n'est pas un nombre premier : cela se calcule comme $latex 59 509 = XNUMX fois XNUMX$. Notez qu'il a des facteurs premiers, mais ils sont tous plus grands que les six premiers nombres premiers.
Cliquez pour la réponse 3:
Si soit k or q c'est premier, nous avons terminé. Si q n’est pas premier, c’est composite, ce qui signifie qu’il est divisible par un nombre premier, mais nous savons déjà qu’il n’est divisible par aucun des premiers n prime. Il doit donc être divisible par un nombre premier plus grand que le premier n nombres premiers, et puisque ce sont tous les nombres premiers inférieurs à k, ce premier doit être plus grand que k. Mais ce premier divise q, il doit donc être inférieur à q, il doit donc y avoir un nombre premier entre k ainsi que q.
Cliquez pour la réponse 4:
Le premier nombre premier qui satisfait cette propriété est 2,459 2,451, puisque 2,453 2,457, 2,409 2,419 et 2,429 2,439 sont tous composites (satisfaisant le critère délicat des chiffres) et 2,449 2,469, 2,479 2,489, 2,499 2,459, 2,659 XNUMX, XNUMX XNUMX, XNUMX XNUMX, XNUMX XNUMX, XNUMX XNUMX et XNUMX XNUMX sont tous composites (satisfaisant le délicat critère des dizaines). Pourtant, XNUMX XNUMX n’est pas numériquement délicat, car XNUMX XNUMX est premier, donc il échoue une fois que vous commencez à considérer le chiffre des centaines. (Merci au mathématicien John D. Cook pour avoir publié son Code Python de recherche d'amorce numériquement délicat.)
Cliquez pour répondre au problème du défi :
$latex127=1111111_2$ est numériquement délicat, puisque $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111 2_63$ et $latex0111111 =2_XNUMX$ sont tous composites.
