معرفی
ما تمایل داریم که ریاضیات را کاملاً منطقی بدانیم، اما آموزش ریاضی، ارزشها، سودمندی و عملکرد آن مملو از نکات ظریف است. پس ریاضیات "خوب" چیست؟ در سال 2007، ریاضیدان ترنس تائو مقاله ای برای بولتن انجمن ریاضی آمریکا که به دنبال پاسخ به این سوال بود. امروزه، تائو به عنوان دریافت کننده مدال فیلدز، جایزه پیشرفت در ریاضیات و کمک هزینه تحصیلی مک آرتور، یکی از پرافتخارترین و پرکارترین ریاضیدانان زنده است. در این قسمت او به میزبان و همکار ریاضی مان می پیوندد استیون استروگاتز برای بازبینی دستاوردهای ریاضیات خوب.
گوش دادن به پادکست های اپل, Spotify, پادکست های Google, Stitcher به, TuneIn یا برنامه پادکست مورد علاقه شما، یا می توانید آن را از کوانتوم.
رونوشت
استیون استروگاتز: در اکتبر 2007، زمانی که نسل اول آیفون هنوز یک کالای داغ بود و بازار سهام قبل از رکود بزرگ در بالاترین سطح خود قرار داشت، ترنس تائو، استاد ریاضی دانشگاه UCLA، مصمم شد به یک سوال پاسخ دهد. سوالی که مدتهاست بین ریاضیدانان مورد بحث بوده است: ریاضیات خوب دقیقا چیست؟
آیا در مورد سختگیری است؟ ظرافت؟ ابزار دنیای واقعی؟ تری یک مقاله بسیار متفکرانه و سخاوتمندانه، حتی می توانم بگویم با دل باز، درباره همه راه هایی که ریاضی می تواند خوب باشد، نوشت. اما اکنون، پس از گذشت بیش از 15 سال، آیا لازم است دوباره فکر کنیم که ریاضیات خوب چیست؟
من استیو استروگاتز هستم، و این پادکست «لذت چرا» است مجله Quanta جایی که من و مجری همکارم، جانا لوین، به نوبت به بررسی برخی از بزرگترین سوالات بی پاسخ در ریاضیات و علوم امروزی می پردازیم.
(نمایش های موضوعی)
امروز اینجاست تا به این سوال ابدی که چه چیزی ریاضیات را خوب میکند، خود تری تائو را بازبینی کند. پروفسور تائو بیش از 300 مقاله تحقیقاتی در زمینه وسیعی از ریاضیات از جمله تجزیه و تحلیل هارمونیک، معادلات دیفرانسیل جزئی، ترکیبات، تئوری اعداد، علم داده، ماتریس های تصادفی و بسیاری دیگر نوشته است. از او به عنوان "موتسارت ریاضیات" یاد می شود. و به عنوان برنده مدال فیلدز، جایزه پیشرفت در ریاضیات، کمک هزینه تحصیلی مک آرتور و بسیاری جوایز دیگر، مطمئناً این نام مستحق است.
تری، به «لذت چرا» خوش آمدید.
ترنس تائو: از بودن در اینجا خوشحالم.
استروگاتز: من بسیار هیجان زده هستم که می توانم در مورد این سوال با شما صحبت کنم که چه چیزی باعث می شود برخی از انواع تحقیقات ریاضی خوب باشد. یادم میآید که به وضوح در حال ورق زدن آن بودم بولتن انجمن ریاضی آمریکا در سال 2007 و آمدن به آن مقاله شما در مورد این موضوع که برای ما ژست گرفتی این چیزی است که همه ریاضیدانان به آن فکر می کنند. اما برای افرادی که ممکن است چندان آشنا نباشند، میتوانید به ما بگویید، چگونه به این سوال رسیدید؟ در آن زمان ریاضیات خوب را چگونه تعریف می کردید؟
TAO: درسته بله در واقع یک درخواست بود. بنابراین سردبیر پژوهشنامه در آن زمان از من خواسته بود که در مقاله ای مشارکت کنم. فکر می کنم در دوران دانش آموزی تصوری بسیار ساده از ریاضیات داشتم. من به نوعی این ایده را داشتم که نوعی شورای ریش خاکستری وجود دارد که مشکلات را به مردم واگذار می کند تا روی آن کار کنند. و این برای من به عنوان یک دانشجوی فارغ التحصیل نوعی شوک بود، زیرا متوجه شدم که در واقع این مرجع مرکزی برای حل مشکلات وجود ندارد و مردم تحقیقات خود را انجام می دهند.
من مدام به صحبتها میرفتم و گوش میدادم که چگونه ریاضیدانان دیگر درباره چیزهایی که به نظرشان هیجانانگیز است و چه چیزی آنها را در مورد ریاضی هیجانزده میکند، و این واقعیت که هر ریاضیدان روش متفاوتی برای رویکرد به ریاضیات دارد، صحبت میکنند. مثلاً، برخی برنامههای کاربردی را دنبال میکنند، برخی از نظر زیباییشناختی، برخی فقط با حل مسئله. آنها می خواستند مشکلی را حل کنند و روی سخت ترین و چالش برانگیزترین کارها تمرکز می کردند. برخی بر روی تکنیک تمرکز می کنند. برخی سعی می کنند تا جایی که ممکن است چیزها را زیبا کنند.
اما چیزی که من را تحت تاثیر قرار داد وقتی به نوعی گوش دادن به بسیاری از این ریاضیدانان مختلف در مورد چیزهایی که در ریاضیات ارزشمند میدانند صحبت میکنند این است که، اگرچه همه ما ایدههای متفاوتی در مورد اینکه ریاضیات خوب چگونه باید باشد، داشتیم، اما همه آنها تمایل دارند به همان چیز همگرا شوند.
اگر یک قطعه از ریاضیات واقعا خوب باشد، افرادی که به دنبال زیبایی هستند در نهایت در سراسر آن اتفاق خواهند افتاد. می دانید افرادی که به دنبال قدرت فنی یا برنامه های کاربردی هستند و برای آنها ارزش قائل هستند، در نهایت بر آن خواهند رسید.
یوجین واگنر یک مقاله بسیار معروف در مورد اثربخشی غیر منطقی ریاضیات در علوم فیزیک تقریباً یک قرن پیش، جایی که او به تازگی مشاهده کرد که حوزههایی از ریاضیات وجود دارد - به عنوان مثال، هندسه ریمانی، مطالعه فضای منحنی - که در ابتدا فقط یک تمرین نظری صرف برای ریاضیدانان بود، میدانید که تلاش برای اثبات فرض موازی و غیره، مشخص شد که دقیقاً همان چیزی است که انیشتین و پوانکاره و هیلبرت برای توصیف ریاضیات نسبیت عام به آن نیاز داشتند. و این فقط یک پدیده است که رخ می دهد.
بنابراین این فقط ریاضیات نیست، که [آنچه] ریاضیدانان از نظر فکری جالب میآیند، از نظر فیزیکی مهم است. اما حتی در ریاضیات، موضوعاتی که ریاضیدانان زیبا میدانند نیز بینش عمیقی را ارائه میکنند.
چیزی که من احساس میکنم این است که، میدانید، برخی از ریاضیات خوب افلاطونی وجود دارد، و همه نظامهای ارزشی مختلف ما فقط راههای متفاوتی برای دسترسی به آن چیزهای خوب عینی هستند.
استروگاتز: خیلی جالبه. از آنجایی که خودم به نوعی تمایل به تفکر افلاطونی دارم، وسوسه میشوم که موافق باشم. اگرچه از شنیدن این حرف شما کمی متعجب شدم، زیرا فکر میکردم در ابتدا به کجا میروید، دیدگاههای بسیار متفاوتی در مورد این موضوع وجود دارد. این یک واقعیت جالب است، به نوعی یک واقعیت تجربی، که ما بر سر توافق در مورد اینکه چه چیزی خوب است یا نه، همگرا می شویم، حتی اگر، همانطور که شما می گویید، از ارزش های بسیار متفاوتی به آن می رسیم.
TAO: درست. همگرایی ممکن است زمان ببرد. میدانید، بنابراین قطعاً فیلدهایی وجود دارد، برای مثال، که در آنها با اندازهگیری یک معیار بسیار بهتر از سایرین به نظر میرسند. شاید آنها برنامه های زیادی داشته باشند، اما ارائه آنها بسیار منزجر کننده است، می دانید.
(استروگاتز می خندد)
یا چیزهایی که بسیار ظریف هستند اما هنوز کاربردهای خوبی در دنیای واقعی ندارند. اما من احساس می کنم که در نهایت به هم نزدیک خواهد شد.
استروگاتز: خب، اجازه بدهید در مورد این نقطه تماس با دنیای واقعی از شما بپرسم. تنش جالبی در ریاضی است. و، میدانید، مثلاً وقتی بچههای کوچکی برای اولین بار هندسه را یاد میگیریم، ممکن است در آن نقطه فکر کنید که مثلثها واقعی هستند، یا دایرهها یا خطوط مستقیم واقعی هستند، و آنها میتوانند در مورد اشکال مستطیلی که میبینید به شما بگویند. در ساختمان های خارج از دنیا، یا اینکه نقشه برداران نیاز به استفاده از هندسه دارند. و پس از همه، این کلمه از اندازه گیری زمین، درست، "هندسه" می آید. و بنابراین، زمانی بود که هندسه تجربی بود.
اما چیزی که می خواستم از شما بپرسم مربوط به یک نظر است جان فون نویمان ساخته شده است. بنابراین فون نویمان، برای هر کسی که آشنا نیست، خود یک ریاضیدان بزرگ بود. و او این نظر را در این مقاله بیان کرد:ریاضیداندر مورد رابطه بین ریاضی و دنیای تجربی، دنیای واقعی، جایی که او تقریباً میگوید که ایدههای ریاضی از تجربیات سرچشمه میگیرند، اما زمانی که ایدههای ریاضی را به دست میآورید، موضوع شروع به زندگی میکند. خود. و سپس بیشتر شبیه یک اثر هنری خلاقانه است. معیارهای زیبایی شناختی مهم می شوند. اما او می گوید که این باعث ایجاد خطر می شود. وقتی موضوعی شروع به دور شدن از منبع تجربی خود می کند، به ویژه در نسل دوم یا سوم، او می گوید که این احتمال وجود دارد که سوژه از همخونی انتزاعی بیش از حد رنج ببرد و در خطر انحطاط باشد.
نظری در مورد آن دارید؟ منظورم این است که آیا ریاضی باید با منبع تجربی خود در تماس باشد؟
TAO: بله، من فکر می کنم باید زمین باشد. وقتی میگویم که از نظر تجربی، همه این روشهای مختلف انجام ریاضیات با هم همگرا میشوند، فقط به این دلیل است که - این فقط زمانی اتفاق میافتد که موضوع سالم باشد. بنابراین، می دانید، خبر خوب این است که معمولاً همینطور است.
اما، برای مثال، ریاضیدانان برهان های کوتاه را بیش از اثبات های بلند ارزش می گذارند، در حالی که همه چیزهای دیگر برابر هستند. اما میتوان تصور کرد که مردم در حال فراتر رفتن هستند و مثلاً یکی از زیرشاخههای ریاضیات وسواس زیادی به ایجاد برهانهای کوتاهترین حد ممکن و داشتن این اثباتهای دو خطی بسیار مبهم قضایای عمیق دارند. و آنها آن را به نوعی این مسابقه می سازند، و سپس تبدیل به این نوع بازی مزخرف می شود و سپس شما تمام شهود را از دست می دهید. شاید درک عمیقتری را از دست میدهید، زیرا فقط وسواس زیادی دارید که تمام دلایل خود را تا حد امکان کوتاه کنید. در حال حاضر، در عمل این اتفاق نمی افتد. اما این یک نمونه تئوریک است، و فکر میکنم فون نویمان نیز همین نکته را بیان میکرد.
و در دهههای شصت و هفتاد، دورهای از ریاضیات وجود داشت که در آن انتزاع گامهای بزرگی در سادهسازی و متحد کردن بسیاری از ریاضیات که قبلاً بسیار تجربی بودند، برداشته بود. به خصوص در جبر، مردم متوجه می شدند، می دانید، اعداد و چند جمله ای ها و بسیاری از اشیاء دیگر که قبلا به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گرفتند، همه شما می توانید آنها را اعضای یک کلاس جبری، در این مورد یک حلقه، تصور کنید.
و پیشرفت زیادی در ریاضیات با یافتن انتزاع درست انجام شد، میدانید، چه فضای توپولوژیکی باشد یا یک فضای برداری، هر چه باشد، و اثبات قضایا به طور کلی. و این همان چیزی است که ما در ریاضیات دوره بوربکی می نامیم. و کمی بیش از حد از زمین شدن منحرف شد.
ما البته مانند کل قسمت ریاضی جدید را در ایالات متحده داشتیم، جایی که مربیان تلاش کردند تدریس ریاضی به سبک بوربکی و در نهایت متوجه شد که این آموزش مناسب در آن سطح نیست.
اما اکنون آونگ کمی به عقب برگشته است. ما یک جورهایی داریم - موضوع تا حد زیادی بالغ شده است و هر زمینه ای از ریاضیات، هندسه، توپولوژی، هر چه باشد، نوعی رسمی سازی رضایت بخش داریم و به نوعی می دانیم که انتزاعات درست چیست. و اکنون این زمینه دوباره بر روی اتصالات و برنامه های کاربردی متمرکز شده است. اکنون بسیار بیشتر به دنیای واقعی متصل شده است.
منظورم این است که نه فقط نوعی از فیزیک، که یک ارتباط سنتی است، بلکه، می دانید، علوم کامپیوتر، علوم زیستی، علوم اجتماعی، شما می دانید. با ظهور کلان داده ها، تقریباً هر رشته انسانی در حال حاضر می تواند تا حدی ریاضی شود.
استروگاتز: من به کلمه ای که یک دقیقه پیش در مورد "ارتباطات متقابل" استفاده کردید بسیار علاقه مند هستم، زیرا به نظر می رسد که این یک نقطه مرکزی برای بحث ما باشد. این چیزی است که شما در مقاله خود به آن اشاره می کنید که، همراه با این معیارها، معیارهای «محلی» در مورد ظرافت، یا کاربردهای دنیای واقعی، یا هر چیز دیگری، به این جنبه «جهانی» ریاضیات خوب اشاره می کنید: اینکه ریاضیات خوب به سایرین متصل می شود. ریاضیات خوب
این تقریباً برای چیزی که آن را خوب می کند، یکپارچه شدن با سایر بخش ها کلیدی است. اما جالب است زیرا تقریباً شبیه استدلال دایرهای به نظر میرسد: ریاضی خوب، ریاضیاتی است که به ریاضیات خوب دیگر متصل میشود. اما این یک ایده واقعا قدرتمند است، و من فقط میپرسم آیا میتوانید آن را کمی بیشتر گسترش دهید.
TAO: بله، بنابراین، منظورم این است که ریاضیات در مورد چیست - یکی از کارهایی که ریاضیات انجام می دهد این است که ارتباطاتی ایجاد می کند که بسیار اساسی و اساسی هستند، اما اگر فقط از سطح سطحی به آن نگاه کنید، واضح نیستند. نمونه بسیار اولیه آن اختراع مختصات دکارتی توسط دکارت است که ارتباطی اساسی بین هندسه - مطالعه نقاط و خطوط و اشیاء فضایی - و اعداد، جبر ایجاد کرد.
بنابراین، برای مثال، دایره ای را می توانید به عنوان یک شی هندسی در نظر بگیرید، اما همچنین می توانید آن را به عنوان یک معادله در نظر بگیرید: x2 + y2 = 1 معادله یک دایره است. در آن زمان، این یک ارتباط بسیار انقلابی بود. می دانید، یونانیان باستان نظریه اعداد و هندسه را موضوعاتی تقریباً کاملاً از هم گسیخته می دانستند.
اما با دکارت این ارتباط اساسی وجود داشت. و اکنون درونی شده است. می دانید، روشی که ما ریاضیات را آموزش می دهیم. دیگر جای تعجب نیست که اگر مشکل هندسی دارید با اعداد به آن حمله کنید. یا اگر با اعداد مشکل دارید، ممکن است با هندسه به آن حمله کنید.
تا حدودی به این دلیل است که هم هندسه و هم اعداد جنبه هایی از یک مفهوم ریاضی هستند. ما یک رشته کامل به نام هندسه جبری داریم که نه جبر است و نه هندسه، اما یک موضوع واحد است که در حال مطالعه اشیاء است که شما می توانید آنها را به عنوان اشکال هندسی، مانند خطوط و دایره ها و غیره، یا به عنوان معادله در نظر بگیرید.
اما در واقع، این یک اتحاد کل نگر از دو موردی است که ما مطالعه می کنیم. و همانطور که موضوع عمیق تر شد، متوجه شدیم که به نوعی از جبر یا هندسه به طور جداگانه، از جهاتی، اساسی تر است. بنابراین، این ارتباطات به ما کمک میکنند تا نوعی از ریاضیات واقعی را کشف کنیم که در ابتدا، به نوعی، مطالعات تجربی ما تنها گوشهای از موضوع را به ما میدهد.
این تمثیل معروف فیل وجود دارد، من فراموش می کنم کجا، که اگر دارید... چهار مرد کور هستند و یک فیل را کشف می کنند. و یکی از آنها پای فیل را احساس می کند و فکر می کند: "اوه، این، خیلی خشن است. باید مثل درخت یا چیزی شبیه باشد.»
و یکی از آنها خرطوم را احساس می کند، و فقط بعداً می بینند که یک شیء فیل وجود دارد که تمام فرضیه های جداگانه آنها را توضیح می دهد. بله، پس همه ما در ابتدا کور هستیم، می دانید. ما فقط سایه های غار افلاطون را تماشا می کنیم و بعداً متوجه می شویم -
استروگاتز: وای تو اینجا خیلی فیلسوفی. این چیزی است. حالا نمیتوانم مقاومت کنم: اگر میخواهید درباره فیل و افراد نابینا صحبت کنید، این نشان میدهد که فکر میکنید ریاضیات وجود دارد - که چیزی شبیه به فیل است و ما کور هستیم... یا، شما بدانید، ما در حال تلاش برای دیدن چیزی هستیم که مستقل از انسان وجود دارد. آیا واقعاً به این اعتقاد دارید؟
TAO: وقتی ریاضیات خوبی انجام میدهید، مثلاً فقط به دنبال فشار دادن نمادها نیست. شما احساس می کنید که یک شی واقعی وجود دارد که سعی در درک آن دارید، و تمام معادلات ما فقط نوعی تقریب از آن یا سایه ها هستند.
شما می توانید در مورد نکته فلسفی این که در واقع واقعیت چیست و غیره بحث کنید. منظورم این است که اینها چیزهایی هستند که واقعاً می توانید لمس کنید، و هر چه چیزها از نظر ریاضی واقعی تر شوند، گاهی اوقات فیزیکی کمتر به نظر می رسند. همانطور که گفتید، هندسه در ابتدا چیز بسیار ملموسی در مورد اجسام در فضای فیزیکی بود که میتوانستید - میدانید، در واقع میتوانید یک دایره و یک مربع و غیره بسازید.
اما در هندسه مدرن، می دانید، ما در ابعاد بالاتر کار می کنیم. ما می توانیم در مورد هندسه های گسسته، انواع توپولوژی های حواس پرت صحبت کنیم. و منظورم این است که این موضوع هنوز هم شایسته نامیده شدن هندسه است، حتی اگر زمینی دیگر اندازه گیری شود. ریشه شناسی یونان باستان بسیار قدیمی است، اما اینطور است، اما قطعاً چیزی در آنجا وجود دارد. آیا - چقدر می خواهید آن را واقعی بنامید. اما حدس میزنم نکته این است که برای انجام ریاضیات، به واقعی بودن آن کمک میکند.
استروگاتز: آره جالب نیست؟ این کار را انجام می دهد. به نظر می رسد این چیزی است که در تاریخ ریاضی بسیار عمیق است. مقاله ای از ارشمیدس که برای دوست یا حداقل همکارش اراتوستن نوشته بود، شگفت زده شدم.
ما اکنون داریم صحبت می کنیم، مانند 250 سال قبل از میلاد، و او این نکته را بیان می کند، او راهی برای یافتن ناحیه چیزی که ما آن را قطعه سهمی می نامیم کشف کرده است. او یک سهمی را می گیرد، آن را با یک پاره خطی که در یک زاویه مایل نسبت به محور سهمی قرار دارد، برش می دهد و این ناحیه را مشخص می کند. او نتیجه بسیار زیبایی می گیرد. اما او چیزی به اراتوستن میگوید: «این نتایج در تمام این ارقام ذاتی بودند.» می دانید، آنها آنجا هستند. آنها آنجا هستند. آنها فقط منتظرند تا او پیدا کند.
اینطور نیست که او آنها را خلق کرده باشد. مثل شعر نیست یعنی در واقع جالب است، اینطور نیست؟ میدانید که بسیاری از هنرمندان بزرگ - میکل آنژ در مورد رها کردن مجسمه از سنگ صحبت میکردند، انگار که برای شروع مجسمه در آنجا بود. و به نظر می رسد که شما و بسیاری از ریاضیدانان بزرگ دیگر دارید - همانطور که شما می گویید، بسیار مفید است که این ایده را باور کنیم، که آنجا منتظر ماست و منتظر ذهن های مناسب برای کشف آن است.
TAO: درست. خوب، من فکر میکنم یکی از جلوههای آن این است که ایدههایی که اغلب برای اولین بار توضیح آنها بسیار پیچیده است، ساده میشوند. منظورم این است که می دانید، اغلب دلیل اینکه چیزی در ابتدا بسیار عمیق یا دشوار به نظر می رسد این است که شما نماد درستی ندارید.
به عنوان مثال، ما اکنون نماد اعشاری برای دستکاری اعداد داریم و بسیار راحت است. اما در گذشته، ما مانند اعداد رومی داشتیم و سپس سیستمهای اعداد ابتداییتری وجود داشت که اگر میخواستید ریاضیات انجام دهید، کار کردن با آنها واقعاً بسیار دشوار بود.
اقلیدس عناصرمی دانید - برخی از استدلال های این متون قدیمی. مثلاً یک قضیه در اقلیدس وجود دارد عناصر فکر کنم بهش میگن پل احمق ها یا چیزی مثل این جمله است که، من فکر میکنم گزاره مانند مثلث متساوی الساقین است، دو زاویه پایه برابرند. این مانند یک اثبات دو خطی در متون هندسی مدرن است، می دانید، با بدیهیات درست. اما اقلیدس این روش وحشتناک را برای انجام آن داشت. و این جایی بود که بسیاری از دانشجویان هندسه در دوره کلاسیک به طور کامل ریاضیات را رها کردند.
استروگاتز: درست است، واقعی. (می خندد)
TAO: اما، می دانید، ما اکنون راه بسیار بهتری برای انجام آن داریم. بنابراین اغلب عوارضی که در ریاضیات می بینیم مصنوعات محدودیت های خود ما هستند. و بنابراین، همانطور که ما بالغ می شویم، می دانید، همه چیز ساده تر می شود. و به این دلیل واقعی تر به نظر می رسد. ما آثار باستانی را نمی بینیم. ما داریم اصل را می بینیم.
استروگاتز: خوب، پس به مقاله خود برگردیم: وقتی آن را نوشتید، در آن زمان - منظورم این است که این تقریباً اوایل کار شما بود، نه در همان آغاز، اما هنوز. چرا در آن زمان احساس کردید که مهم است سعی کنید تعریف کنید که ریاضیات خوب چیست؟
TAO: فکر میکنم... بنابراین در آن نقطه، من از قبل شروع به توصیه به دانشجویان فارغالتحصیل کرده بودم، و متوجه شدم که، میدانید، برخی تصورات غلط در مورد اینکه چه چیزی خوب است و چه چیزی نیست وجود دارد. و همچنین با ریاضیدانان رشتههای مختلف صحبت میکردم، و به نظر میرسید که چه رشتهای در ریاضیات به آن اهمیت میدهد با دیگران متفاوت باشد. اما با این حال، به نوعی همه ما در حال مطالعه یک موضوع بودیم.
و گاهی اوقات کسی چیزی میگفت که به نوعی به من مالش میداد، میدانید، مانند: "این ریاضیات کاربردی ندارد، بنابراین ارزشی ندارد." یا «این اثبات خیلی پیچیده است. بنابراین هیچ ارزشی ندارد، یا چیزی دیگر. یا برعکس، می دانید، «این اثبات خیلی ساده است. بنابراین ارزش آن را ندارد…” می دانید. مثلاً یک جور فحشا و غیره وجود داشت که گاهی اوقات با آن برخورد می کردم.
و بر اساس تجربه من، بهترین ریاضیات زمانی به وجود آمد که دیدگاه متفاوتی را درک کردم، طرز تفکر متفاوتی درباره ریاضیات از فردی در یک زمینه متفاوت و به کار بردن آن در مسئله ای که به آن اهمیت می دادم. و بنابراین تجربه من از نحوه استفاده صحیح از ریاضیات، نحوه استفاده از آن، بسیار متفاوت از اینها بود - به نوعی "یک راه واقعی انجام ریاضیات".
احساس کردم این نکته باید به نحوی مطرح شود. اینکه واقعاً یک روش متکثر برای انجام ریاضیات وجود دارد، اما در حالی که ریاضیات هنوز متحد است.
استروگاتز: این بسیار آشکار کننده است، زیرا من تعجب کرده بودم، می دانید، در مقدمه خود به بسیاری از شاخه های مختلف ریاضی که شما بررسی کرده اید اشاره کردم، و حتی برخی از آنها را درج نکردم. من می توانم همین چند سال پیش کار شما را در مورد این معما در دینامیک سیالات به یاد بیاورم، در مورد اینکه آیا معادلات خاصی که ما فکر می کنیم کار خوبی برای تقریب حرکات آب و هوا دارند یا خیر. من نمیخواهم زیاد وارد جزئیات شوم، اما فقط میخواهم بگویم، اینجا هستید، مردم فکر میکنند که شما در حال انجام تئوری اعداد یا تجزیه و تحلیل هارمونیک هستید، و ناگهان روی سؤالات دینامیک سیالات کار میکنید. منظورم این است که متوجه شدم معادلات دیفرانسیل جزئی است. اما با این حال، به نظر می رسد که وسعت علاقه شما به وسعت پذیرش بینش های مختلف، ایده های ارزشمند متفاوت از همه روش های مختلف انجام ریاضی خوب مرتبط باشد.
TAO: فراموش می کنم چه کسی آن را گفته است، اما دو نوع ریاضیدان وجود دارد. جوجه تیغی و روباه وجود دارد. روباه کسی است که کمی در مورد همه چیز می داند. جوجه تیغی موجودی است که یک چیز را خیلی خیلی خوب می داند. و هیچ کدام بهتر از دیگری نیست. آنها مکمل یکدیگر هستند. منظورم این است که در ریاضیات، به افرادی نیاز دارید که در یک زیر شاخه واقعاً متخصص حوزه عمیق باشند و یک موضوع را از درون به بیرون بلد باشند. و شما به افرادی نیاز دارید که بتوانند ارتباط بین یک رشته و حوزه دیگر را ببینند. بنابراین من قطعا به عنوان یک روباه شناخته می شوم، اما با خارپشت های زیادی کار می کنم. کاری که من بیشتر به آن افتخار می کنم، اغلب چنین همکاری است.
استروگاتز: اوه، آره آیا آنها متوجه می شوند که آنها جوجه تیغی هستند؟
TAO: خوب، خوب، نقش ها به مرور زمان تغییر می کنند. مانند، همکاری های دیگری وجود دارد که من جوجه تیغی هستم و شخص دیگری روباه است. اینها به نوعی دائمی نیستند - می دانید، اینها در DNA شما نیستند.
استروگاتز: آه، نکته خوبی است. ما می توانیم قبول کنیم - می توانیم هر دو مانتو بپوشیم.
خوب، در آن زمان پاسخی به انشاء داده شد؟ آیا مردم چیزی به شما گفتند؟
TAO: در کل جواب نسبتاً مثبتی گرفتم. منظورم، بولتن AMS فکر می کنم یک نشریه پرتیراژ وسیع نیست. و همچنین، من واقعاً هیچ چیز بحث برانگیزی نگفتم. همچنین، این نوع از رسانه های اجتماعی قدیمی، بنابراین، من فکر می کنم شاید چند وبلاگ ریاضی وجود داشته باشد که آن را انتخاب کرده است، اما توییتر وجود نداشت. هیچ چیزی برای ویروسی شدن آن وجود نداشت.
بله، همچنین فکر می کنم، به طور کلی، ریاضیدانان زمان و سرمایه فکری خود را صرف حدس و گمان نمی کنند. منظورم این است که یک ریاضیدان دیگر به نام وجود دارد مینهیونگ کیم که این استعاره بسیار زیبا را داشت که از نظر ریاضیدانان، اعتبار مانند پول است، مانند پول. اگر قضایا را ثابت کنید و نشان دهید که موضوع را می دانید، به نوعی این ارز اعتبار را در بانک جمع می کنید. و هنگامی که پول کافی دارید، می توانید با کمی فلسفی بودن و گفتن آنچه که ممکن است درست باشد به جای آنچه که واقعاً می توانید ثابت کنید، کمی حدس و گمان بپردازید.
اما ما تمایل داریم محافظه کار باشیم و نمی خواهیم اضافه برداشت در حساب بانکی خود داشته باشیم. می دانید، شما نمی خواهید بیشتر نوشته های شما حدس و گمان باشد و فقط یک درصد چیزی را ثابت کند.
استروگاتز: به اندازه کافی منصفانه پس باشه بنابراین، سالهای زیادی از آن زمان می گذرد. ما در مورد چه چیزی صحبت می کنیم؟ بیش از 15 سال است.
TAO: اوه آره، زمان میگذره.
استروگاتز: نظرت عوض شده؟ آیا چیزی هست که باید اصلاح کنیم؟
TAO: خب، فرهنگ ریاضی تا حدودی در حال تغییر است. من قبلاً دیدگاه گستردهتری به ریاضیات داشتم و اکنون دیدگاه گستردهتری دارم.
بنابراین، یک مثال بسیار ملموس این است: اثباتهای به کمک رایانه هنوز در سال 2007 بحثبرانگیز بودند. حدس معروفی به نام حدس کپلر وجود داشت که به کارآمدترین روش برای بستهبندی توپهای واحد در فضای سهبعدی مربوط میشود. و یک بسته بندی استاندارد وجود دارد، من فکر می کنم آن را بسته بندی مرکزی مکعبی یا چیزی دیگر می نامند، که کپلر حدس می زد بهترین حالت ممکن باشد.
این در نهایت حل شد، اما اثبات بسیار به کمک کامپیوتر بود. کاملاً پیچیده بود و [توماس] هیلزدر نهایت در واقع یک زبان کامپیوتری کامل برای تأیید رسمی این مدرک خاص ایجاد کرد، اما برای سالها به عنوان یک مدرک واقعی پذیرفته نشد. اما نشان داد که مفهوم اثبات اینکه برای تأیید نیاز به کمک رایانه ای دارید چقدر بحث برانگیز است.
در سالهای پس از آن، نمونههای بسیار بسیار دیگری از اثبات وجود داشته است که نشان میدهد انسان میتواند یک مشکل پیچیده را به چیزی کاهش دهد که هنوز برای تأیید آن به رایانه نیاز دارد. و سپس کامپیوتر جلو می رود و آن را تأیید می کند. ما به نوعی روش هایی را در مورد چگونگی انجام این کار مسئولانه ایجاد کرده ایم. میدانید که چگونه کد و دادهها و راههای بررسی و چیزهای منبع باز جدید و غیره را منتشر کنید. و در حال حاضر، پذیرش گسترده ای از اثبات به کمک کامپیوتر وجود دارد.
حالا فکر می کنم تغییر فرهنگی بعدی باشد آیا شواهد تولید شده توسط هوش مصنوعی پذیرفته خواهند شد یا خیر. در حال حاضر، ابزارهای هوش مصنوعی در سطحی نیستند که بتوانند شواهدی برای پیشرفت واقعی مسائل ریاضی ایجاد کنند. شاید تکالیف در سطح کارشناسی، آنها بتوانند به نوعی مدیریت کنند، اما در ریاضیات تحقیق کنید، آنها هنوز در آن سطح نیستند. اما در مقطعی، ما شروع به انتشار مقالاتی با کمک هوش مصنوعی خواهیم کرد و بحثی در این زمینه وجود خواهد داشت.
روشی که فرهنگ ما از برخی جهات تغییر کرده است... در سال 2007، تنها بخشی از ریاضیدانان پیش چاپ های خود را قبل از انتشار در دسترس قرار دادند. نویسندگان با حسادت از پیش چاپ های خود محافظت می کردند تا زمانی که اخطار پذیرش از مجله دریافت می کردند. و سپس آنها ممکن است به اشتراک بگذارند.
اما حالا همه کاغذهایشان را می گذارند سرورهای عمومی مانند arXiv. برای قرار دادن ویدیوها و پست های وبلاگ، در مورد اینکه ایده های یک مقاله از کجا می آیند، فضای باز بسیار بیشتری وجود دارد. زیرا مردم متوجه می شوند که این همان چیزی است که کار را تأثیرگذارتر و تأثیرگذارتر می کند. اگر سعی کنید کار خود را عمومی نکنید و در مورد آن بسیار مخفیانه رفتار کنید، سروصدا به پا نمی کند.
ریاضی شده است بسیار مشارکتی تر. می دانید، 50 سال پیش، من می گویم که اکثر مقالات در ریاضیات تک نویسنده بودند. حالا قطعا اکثریت دو یا سه یا چهار نویسنده هستند. و ما تازه شروع به دیدن پروژه های واقعاً بزرگی می کنیم که در علوم انجام می دهیم، می دانید، مانند ده ها، صدها نفر با هم همکاری می کنند. انجام این کار هنوز برای ریاضیدانان دشوار است، اما من فکر می کنم که ما به آنجا خواهیم رسید.
همزمان، ما در حال تبدیل شدن به بین رشته ای بسیار بیشتر هستیم. ما با علوم دیگر خیلی بیشتر کار می کنیم. ما بین رشته های ریاضی کار می کنیم. و به دلیل اینترنت، ما می توانیم با مردم در سراسر جهان همکاری کنیم. بنابراین، نحوه انجام ریاضیات قطعاً در حال تغییر است.
امیدوارم در آینده بتوانیم از انجمن ریاضی آماتور بیشتر استفاده کنیم. رشتههای دیگری مانند نجوم وجود دارد که در آن ستارهشناسان از جامعه نجوم آماتوری استفاده زیادی میکنند، مثلاً میدانید که بسیاری از دنبالهدارها، برای مثال، توسط آماتورها یافت میشوند.
اما ریاضیدانان... چند حوزه جدا شده از ریاضیات مانند کاشی کاری، کاشی کاری دو بعدی و شاید یافتن رکوردها در اعداد اول وجود دارد. رشتههای بسیار منتخبی از ریاضیات وجود دارد که آماتورها در آنها مشارکت میکنند و از آنها استقبال میشود. اما موانع زیادی وجود دارد. در بیشتر زمینههای ریاضی، شما به آموزش و خرد درونی یا متعارف نیاز دارید که نمیتوانیم چیزهای منبع را جمع کنیم. اما این ممکن است در آینده تغییر کند. شاید یکی از تأثیرات هوش مصنوعی این باشد که به ریاضیدانان آماتور اجازه می دهد تا به طور معناداری در ریاضیات مشارکت کنند.
استروگاتز: خیلی جالبه.
[وقفه برای درج آگهی]
استروگاتز: بنابراین آماتورها ممکن است با کمک هوش مصنوعی سؤالات جدیدی بپرسند که خوب هستند یا به کاوش خوب سؤالات موجود کمک کنند.
TAO: روش های مختلفی وجود دارد - بله. بنابراین، به عنوان مثال، اکنون پروژه هایی برای رسمی کردن اثبات قضایای بزرگ در این موارد وجود دارد که به آنها می گویند دستیاران اثبات رسمی، که مانند زبان های کامپیوتری هستند که می توانند صددرصد درستی یا نبودن یک قضیه را تأیید کنند و — اثبات شده یا خیر. این در واقع امکان همکاری در مقیاس بزرگ در ریاضیات را فراهم می کند.
بنابراین، در گذشته، اگر با 10 نفر دیگر برای اثبات یک قضیه همکاری میکردید، و هر کدام یک مرحله را انجام میدادند، همه باید ریاضیات دیگران را تأیید کنند. زیرا نکته ای که در مورد ریاضی وجود دارد این است که اگر یک مرحله دارای خطا باشد، کل آن ممکن است از هم بپاشد.
بنابراین شما نیاز به اعتماد دارید، و بنابراین - بنابراین این مانع از همکاریهای واقعاً بزرگ در ریاضیات میشود. اما در حال حاضر، نمونههای موفقی از قضایای واقعاً بزرگ وجود دارد که در جایی که یک جامعه بزرگ وجود دارد، همدیگر را نمیشناسند، همگی به یکدیگر اعتماد ندارند، اما از طریق آپلود در برخی از مخزن Github یا با هم ارتباط برقرار میکنند. چیزی، مانند، برهان های فردی مراحل فردی در استدلال. و نرم افزار اثبات رسمی همه چیز را تأیید می کند، و بنابراین نیازی نیست نگران اعتماد باشید. بنابراین ما حالتهای جدیدی از همکاری را فعال میکنیم، که واقعاً در گذشته ندیدهایم.
استروگاتز: شنیدن دیدگاه شما واقعاً جالب است، تری. این یک فکر جذاب است. شما عبارت "ریاضیدان شهروند" را نمی شنوید. شما در مورد علوم شهروندی می شنوید، اما چرا ریاضی شهروندی نه؟
اما من فقط میپرسم، آیا روندی وجود دارد که شما نگران آن باشید، مثلاً با اثباتهای کامپیوتری یا اثباتهای تولید شده توسط هوش مصنوعی؟ آیا ما می دانیم که برخی از نتایج درست هستند، اما ما نمی فهمیم چرا؟
TAO: پس این یک مشکل است. منظورم این است که حتی قبل از ظهور هوش مصنوعی هم این مشکل وجود دارد. بنابراین، زمینه های زیادی وجود دارد که در آنها مقالات یک موضوع طولانی و طولانی تر می شوند، صدها صفحه. و من امیدوار هستم که هوش مصنوعی بتواند برعکس به ساده سازی کمک کند و بتواند توضیح دهد و همچنین اثبات کند.
بنابراین در حال حاضر نرمافزار آزمایشی وجود دارد که در آن، مثلاً اگر مدرکی را که رسمی شده است، میگیرید، میتوانید آن را به یک سند تعاملی قابل خواندن برای انسان تبدیل کنید، جایی که شما مدرک دارید و مراحل سطح بالا را مشاهده میکنید و اگر جملهای وجود دارد. متوجه نمیشوید که میتوانید روی آن دوبار کلیک کنید و به مراحل کوچکتر تبدیل میشود. به زودی فکر میکنم میتوانید یک ربات چت هوش مصنوعی در کنار شما بنشینید، در حالی که در حال بررسی اثبات هستید، و آنها میتوانند سؤالاتی را مطرح کنند و میتوانند هر مرحله را طوری توضیح دهند که گویی نویسنده آن هستند. من فکر می کنم ما در حال حاضر بسیار به آن نزدیک شده ایم.
نگرانی هایی وجود دارد. ما باید نحوه آموزش دانش آموزان خود را تغییر دهیم، به ویژه اکنون که بسیاری از روش های سنتی ما برای تعیین تکالیف و غیره، تقریباً در نقطه ای هستیم که این ابزارهای هوش مصنوعی می توانند بلافاصله به بسیاری از سؤالات امتحان استاندارد ما پاسخ دهند. بنابراین، ما باید مهارتهای جدیدی را به دانشآموزان خود بیاموزیم، مانند چگونگی تأیید صحت یا نبودن خروجی تولید شده توسط هوش مصنوعی و نحوه دریافت نظر دوم.
و ممکن است شاهد ظهور جنبه تجربی تری برای ریاضیات باشیم. بنابراین، ریاضیات تقریباً کاملاً نظری است، در حالی که بیشتر علوم دارای مؤلفه نظری و تجربی هستند. ممکن است در نهایت نتایجی داشته باشیم که ابتدا فقط توسط کامپیوتر ثابت می شود و به قول شما متوجه نمی شویم. اما پس از آن که دادههایی را که هوش مصنوعی، شواهد تولید شده توسط رایانه ارائه میکند، در اختیار داریم، ممکن است بتوانیم آزمایشهایی را انجام دهیم.
در حال حاضر کمی ریاضیات تجربی وجود دارد. مردم مطالعه می کنند، مثلاً مجموعه داده های بزرگی از چیزهای مختلف، مثلاً منحنی های بیضوی. اما ممکن است در آینده بسیار بزرگتر شود.
استروگاتز: هی، شما دیدگاه بسیار خوش بینانه ای دارید، به نظر من. اینطور نیست که دوران طلایی در گذشته باشد. اگر درست می شنوم، فکر می کنید که چیزهای بسیار هیجان انگیز زیادی در راه است.
TAO: بله، بسیاری از ابزارهای فناوری جدید بسیار قدرتمند هستند. منظورم این است که هوش مصنوعی به طور کلی دارای فراز و نشیب های پیچیده زیادی است. و خارج از علوم، اختلالات احتمالی زیادی در اقتصاد، حقوق مالکیت معنوی و غیره وجود دارد. اما در ریاضیات، من فکر می کنم نسبت خوب به بد بهتر از بسیاری از زمینه های دیگر است.
و، می دانید، اینترنت واقعاً روش ریاضیات را تغییر داده است. من با افراد زیادی در زمینه های مختلف همکاری دارم. بدون اینترنت نمی توانستم این کار را انجام دهم. این واقعیت که من می توانم به ویکی پدیا یا هر چیز دیگری بروم و شروع به یادگیری یک موضوع کنم، و می توانم به کسی ایمیل بزنم، و ما می توانیم به صورت آنلاین با هم همکاری کنیم. اگر مجبور بودم کارهای قدیمی را انجام دهم که فقط می توانستم با افراد دپارتمان صحبت کنم و از نامه فیزیکی برای هر چیز دیگری استفاده کنم، نمی توانستم ریاضیاتی را که اکنون انجام می دهم انجام دهم.
استروگاتز: وای، باشه. من فقط باید زیر آن چیزی که شما گفتید خط بکشم، زیرا هرگز فکر نمی کردم طی یک میلیون سال این را بشنوم: تری تائو ویکی پدیا را می خواند تا ریاضی بیاموزد؟
TAO: به عنوان نقطه شروع منظورم این است که همیشه ویکیپدیا نیست، بلکه فقط برای به دست آوردن کلمات کلیدی است، و سپس جستجوی تخصصیتر، مثلاً، MathSciNet یا یک پایگاه داده دیگر ولی آره.
استروگاتز: انتقاد نیست. یعنی منم همین کارو میکنم ویکیپدیا در واقع است، اگر انتقادی از ریاضی در ویکیپدیا وجود داشته باشد، شاید به این دلیل است که گاهی اوقات برای خوانندگانی که برای آن در نظر گرفته شده است کمی پیشرفته است. نه همیشه. یعنی بستگی داره از مقاله ای به مقاله دیگر بسیار متفاوت است. اما این فقط خنده دار است. من عاشق شنیدن آن هستم.
TAO: منظورم این است که این ابزارها باید بتوانید خروجی را بررسی کنید. میدانید، بنابراین، منظورم این است که دلیل اینکه من میتوانم از ویکیپدیا برای انجام ریاضیات استفاده کنم این است که از قبل ریاضیات کافی میدانم که حس مشکوک بودن یا نبودن قطعهای از ویکیپدیا در ریاضیات را حس کنم. می دانید، ممکن است برخی منابع را دریافت کند و یکی از آنها منبع بهتری نسبت به دیگری باشد. و من نویسندگان را می شناسم و می دانم که کدام مرجع برای من بهتر است. اگر از ویکیپدیا برای یادگیری در مورد موضوعی استفاده کنم که در آن هیچ تجربهای نداشتم، پس فکر میکنم که بیشتر یک متغیر تصادفی خواهد بود.
استروگاتز: خب، پس ما کمی در مورد اینکه چه چیزی باعث می شود ریاضیات خوب، آینده احتمالی برای انواع جدید ریاضیات خوب صحبت کنیم. اما شاید باید به این سوال بپردازیم که چرا این موضوع اهمیت دارد؟ چرا خوب بودن ریاضی مهم است؟
TAO: خب، اولاً منظورم این است که اصلاً چرا ریاضیدان داریم؟ چرا جامعه برای ریاضیدانان ارزش قائل است و منابع لازم برای انجام کاری را که انجام می دهیم در اختیار ما قرار می دهد؟ می دانید، به این دلیل است که ما مقداری ارزش ارائه می کنیم. ما می توانیم برنامه های کاربردی در دنیای واقعی داشته باشیم. علاقه فکری وجود دارد، و برخی از نظریههایی که ما توسعه میدهیم در نهایت به ارائه بینشی نسبت به سایر پدیدهها میپردازند.
و همه ریاضیات ارزش یکسانی ندارند. منظورم این است که شما میتوانید ارقام پی را بیشتر و بیشتر محاسبه کنید، اما در یک نقطه، چیزی یاد نمیگیرید. هر موضوعی به نوعی قضاوت ارزشی نیاز دارد زیرا شما باید منابع را تخصیص دهید. ریاضیات زیادی وجود دارد. چه پیشرفتهایی را میخواهید برجسته و عمومی کنید و به دیگران اطلاع دهید، و کدام یک شاید باید در جایی بیصدا در یک مجله بنشینند؟
حتی اگر فکر میکنید موضوعی کاملاً عینی است و میدانید که فقط درست یا نادرست وجود دارد، باز هم باید انتخاب کنیم. می دانید، فقط به این دلیل که زمان یک منبع محدود است. توجه یک منبع محدود است. پول یک منبع محدود است. بنابراین، اینها همیشه سوالات مهمی هستند.
استروگاتز: خوب، جالب است که شما در مورد تبلیغات به آن اشاره می کنید، زیرا این چیزی است که به نظر من یکی از ویژگی های بارز کار شما است، که شما همچنین تلاش زیادی کرده اید تا ریاضیات را از طریق وبلاگ خود، از طریق مقالات مختلف، در دسترس عموم قرار دهید. نوشته ام یادم میآید در مورد یکی که نوشتی بحث کردم دانشمند آمریکایی درباره جهانی بودن و آن ایده. چرا مهم است که ریاضیات را برای عموم در دسترس و قابل درک کنیم؟ منظورم این است که این چه کاری است که می خواهید انجام دهید؟
TAO: به نوعی ارگانیک اتفاق افتاد. در اوایل کار من، شبکه جهانی وب هنوز بسیار جدید بود، و ریاضیدانان شروع به داشتن صفحات وب با محتوای مختلف کردند، اما دایرکتوری مرکزی زیادی وجود نداشت. قبل از گوگل و غیره، یافتن منابع فردی در واقع سخت بود.
بنابراین، شروع به ساختن کردم دایرکتوری های کوچک در صفحه وب من. و همچنین صفحات وب را برای مقالات خود می سازم، و برخی از نظرات را ارائه می کنم. در ابتدا، بیشتر به نفع خودم بود، فقط به عنوان یک ابزار سازمانی، فقط برای کمک به پیدا کردن چیزها. به عنوان یک محصول جانبی، در دسترس عموم بود، اما من به نوعی مصرف کننده اصلی صفحات وب خودم بودم، یا حداقل اینطور فکر می کردم.
اما کاملاً به یاد دارم، زمانی بود که مقاله ای نوشتم و آن را در صفحه وب خود قرار دادم، و یک صفحه فرعی کوچک داشتم به نام "چه خبر؟" و من فقط گفتم: «اینم یه کاغذ. یک سوال در آن وجود دارد که من هنوز نتوانستم به آن پاسخ دهم و نمی دانم چگونه آن را حل کنم. و من همین الان این نظر رو دادم و بعد مثل دو روز بعد، ایمیلی دریافت کردم که می گفت: «اوه، من فقط صفحه اصلی شما را چک می کردم. من جواب این را می دانم. یک کاغذ وجود دارد که مشکل شما را حل می کند.»
و این باعث شد که اول از همه متوجه شوم که مردم واقعاً از صفحه وب من بازدید می کنند که من واقعاً نمی دانستم. اما این تعامل با جامعه واقعاً می تواند - خوب، می تواند به من کمک کند مستقیماً سؤالاتم را حل کنم.
اسم این قانون هست قانون متکالف در شبکه که، می دانید، اگر دارید n مردم، و همه آنها با یکدیگر صحبت می کنند، وجود دارد n2 ارتباطات بین آنها و بنابراین، هرچه تعداد مخاطبان بیشتر باشد و تالار گفتگو بزرگتر باشد که در آن همه می توانند با دیگران صحبت کنند، ارتباطات بالقوه بیشتری می توانید ایجاد کنید و اتفاقات خوب بیشتری می تواند رخ دهد.
منظورم این است که در حرفهام، بسیاری از اکتشافاتی که انجام دادهام یا ارتباطاتی که ایجاد کردهام به دلیل یک ارتباط غیرمنتظره است. تمام تجربه شغلی من به نوعی این بوده است که ارتباطات بیشتر مساوی است با اتفاقات بهتر.
استروگاتز: فکر میکنم یک مثال زیبا از آنچه شما فقط به آن اشاره میکنید، اما دوست دارم در مورد آن صحبت کنید، ارتباطی است که شما با افرادی در علم داده ایجاد کردید که به سوالات مربوط به تصویربرداری تشدید پزشکی علاقهمند هستند. ، ام آر آی. ممکن است کمی از آن داستان برایمان بگویید؟
TAO: بنابراین، فکر می کنم این مربوط به سال های 2006، 2005 بود. بنابراین، یک برنامه میان رشته ای اینجا در دانشگاه UCLA در مورد تجزیه و تحلیل هندسی چند مقیاسی یا چیزی شبیه به آن وجود داشت، جایی که آنها ریاضیدانان محض را که به نوعی هندسه نوع چند مقیاسی به خودی خود علاقه مند بودند گرد هم می آوردند، و سپس، می دانید، افرادی که مشکلات نوع داده بسیار مشخصی داشتند.
و من به تازگی شروع به کار روی برخی مسائل در نظریه ماتریس تصادفی کرده بودم، بنابراین به نوعی به عنوان کسی که می توانست ماتریس ها را دستکاری کند شناخته می شدم. و با کسی آشنا شدم که از قبل می شناختم امانوئل کاندس، زیرا در آن زمان او دقیقاً همسایه در Caltech کار می کرد. و او و یکی دیگر از همکاران، جاستین رومبرگ، آنها این پدیده غیرعادی را کشف کرده بودند.
بنابراین آنها به تصاویر MRI نگاه می کردند، اما آنها بسیار کند هستند. برای جمعآوری تصویر بسیار با وضوح بالا از بدن انسان، یا به اندازه کافی برای گرفتن تومور، یا هر ویژگی مهم پزشکی که میخواهید پیدا کنید، اغلب چندین دقیقه طول میکشد زیرا آنها باید تمام این زوایای مختلف را اسکن کنند و سپس دادهها را ترکیب کنند. . و این یک مشکل بود، در واقع، زیرا بچههای کوچک، برای مثال، فقط سه دقیقه بیحرکت در دستگاه MRI کاملاً مشکلساز بود.
بنابراین آنها با استفاده از جبر خطی، روش دیگری را آزمایش کردند. آنها امیدوار بودند که 10٪، 20٪ بهبود عملکرد بهتری داشته باشند. می دانید، با کمی تغییر دادن الگوریتم استاندارد، تصویر کمی واضح تر است.
بنابراین الگوریتم استاندارد را تقریب حداقل مربعات می نامیدند و آنها کار دیگری را انجام می دادند که به آن کمینه سازی کل تنوع می گویند. اما زمانی که نرم افزار کامپیوتری را اجرا کردند، تصویر آزمایشی خود را بازسازی کردند. بهبود عظیم، عظیم و آنها نتوانستند این را توضیح دهند.
اما امانوئل در این برنامه بود و ما در حال چت کردن در چای یا چیزی بودیم. و او فقط به این اشاره کرد و در واقع، اولین فکر من این بود که شما باید در محاسبه خود اشتباه کرده باشید، که آنچه شما می گویید در واقع امکان پذیر نیست. و به یاد میآورم که آن شب به خانه برگشتم و سعی کردم یک مدرک واقعی بنویسم مبنی بر اینکه آنچه آنها میدیدند واقعاً نمیتوانست اتفاق بیفتد. و سپس در نیمه راه، متوجه شدم که یک فرضی ساخته بودم که درست نبود. و سپس متوجه شدم که در واقع می تواند کار کند. و بعد فهمیدم که چه توضیحی می تواند باشد. و بعد با هم کار کردیم و در واقع توضیح خوبی پیدا کردیم و آن را منتشر کردیم.
و هنگامی که این کار را انجام دادیم، مردم متوجه شدند که موقعیتهای زیادی وجود دارد که در آن شما باید اندازهگیری را انجام دهید که معمولاً به دادههای زیادی نیاز دارد، و در برخی موارد میتوانید مقدار بسیار کمتری از دادهها را بردارید و با این حال، مقدار بسیار بالایی دریافت کنید. اندازه گیری وضوح
بنابراین اکنون، برای مثال، دستگاههای MRI مدرن - اسکنی که قبلاً سه دقیقه طول میکشید، اکنون میتواند 30 ثانیه طول بکشد، زیرا این نرمافزار، این الگوریتم در حال حاضر بهصورت سخت در دستگاهها کدگذاری شده است.
استروگاتز: داستان زیبایی است، داستان فوق العاده ای است. منظورم این است که در مورد ریاضیات مهمی که زندگی را تغییر می دهد، به معنای واقعی کلمه، در این زمینه تصویربرداری پزشکی صحبت کنید. میدانی که من عاشق آن و ذهن باز تو هستم که این ایده را میشنوم و بعد فکر میکنی، "این غیرممکن است، من میتوانم آن را ثابت کنم." و بعد متوجه شدم، نه، در واقع. دیدن ریاضیات که چنین تاثیری دارد فوق العاده است.
خب، باشه، فکر کنم بهتره بذارم بری تری. بسیار لذت بخش بود که با شما در مورد ماهیت ریاضیات خوب صحبت کردم. از اینکه امروز به ما پیوستید بسیار سپاسگزاریم.
TAO: آره، نه، لذت بخش بود.
[وقفه برای درج آگهی]
استروگاتز: «لذت چرا» پادکستی از مجله Quanta، یک نشریه مستقل که توسط بنیاد سیمونز پشتیبانی می شود. تصمیمات تامین مالی توسط بنیاد سیمونز هیچ تاثیری بر انتخاب موضوعات، مهمانان یا سایر تصمیمات سرمقاله در این پادکست یا در مجله Quanta.
«لذت چرا» تولید شده توسط PRX Productions. تیم تولید کیتلین فاولدز، لیویا براک، ژنیو اسپانسلر و مریت جیکوب هستند. تهیه کننده اجرایی PRX Productions Jocelyn Gonzales است. مورگان چرچ و ادوین اوچوا کمک های بیشتری ارائه کردند. از جانب مجله Quanta، جان رنی و توماس لین با پشتیبانی مت کارلستروم، ساموئل ولاسکو، نونا گریفین، آرلین سانتانا و مدیسون گلدبرگ، راهنمایی های تحریریه را ارائه کردند.
موسیقی تم ما از APM Music است. جولیان لین نام پادکست را انتخاب کرد. هنر قسمت توسط پیتر گرین وود و لوگوی ما توسط جکی کینگ و کریستینا آرمیتاژ است. تشکر ویژه از مدرسه روزنامه نگاری کلمبیا و برت اودوم رید در استودیو پخش کورنل.
من میزبان شما هستم، استیو استروگاتز. اگر سؤال یا نظری در مورد ما دارید، لطفاً به ما ایمیل بزنید . متشکرم که گوش دادید.
- محتوای مبتنی بر SEO و توزیع روابط عمومی. امروز تقویت شوید.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. به خودت قدرت بده دسترسی به اینجا.
- PlatoAiStream. هوش وب 3 دانش تقویت شده دسترسی به اینجا.
- PlatoESG. کربن ، CleanTech، انرژی، محیط، خورشیدی، مدیریت پسماند دسترسی به اینجا.
- PlatoHealth. هوش بیوتکنولوژی و آزمایشات بالینی. دسترسی به اینجا.
- منبع: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- : دارد
- :است
- :نه
- :جایی که
- ][پ
- $UP
- 1
- 10
- سال 15
- ٪۱۰۰
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 سال
- a
- قادر
- درباره ما
- در مورد IT
- چکیده
- انتزاع - مفهوم - برداشت
- AC
- پذیرش
- پذیرفته
- پذیرش
- در دسترس
- دسترسی
- حساب
- در میان
- واقعی
- واقعا
- Ad
- اضافی
- نشانی
- اتخاذ
- پیشرفت
- پیشرفته
- پیشرفت
- ظهور
- توصیه
- پس از
- از نو
- سن
- پیش
- موافقم
- پیش
- AI
- AI chatbot
- AIR
- AIS
- الگوریتم
- زنده
- معرفی
- اختصاص دادن
- اجازه دادن
- تقریبا
- در امتداد
- قبلا
- همچنین
- هر چند
- همیشه
- اماتور
- امریکایی
- در میان
- مقدار
- an
- تحلیل
- باستانی
- و
- دیگر
- پاسخ
- هر
- دیگر
- هر کس
- هر چیزی
- جدا
- نرم افزار
- اپل
- برنامه های کاربردی
- با استفاده از
- نزدیک شدن
- مناسب
- هستند
- محدوده
- مناطق
- استدلال
- استدلال
- دور و بر
- هنر
- مقاله
- مقالات
- هنرمندان
- AS
- پرسیدن
- ظاهر
- جنبه
- کمک
- فرض
- ستاره شناسی
- At
- حمله
- توجه
- حضار
- نویسنده
- نویسنده
- قدرت
- نویسندگان
- در دسترس
- جوایز
- محور
- b
- به عقب
- بد
- بانک
- حساب بانکی
- موانع
- پایه
- اساسی
- BE
- خوشگل
- زیبایی
- زیرا
- شدن
- شود
- تبدیل شدن به
- بوده
- قبل از
- شروع
- شروع
- بودن
- موجودات
- باور
- سود
- بهترین
- بهتر
- میان
- بزرگ
- بزرگ داده
- بزرگتر
- بزرگترین
- بیت
- نابینا
- بلاگ
- پست های وبلاگ
- وبلاگ ها
- بدن
- هر دو
- شاخه ها
- وسعت
- شکستن
- دستیابی به موفقیت
- بریج
- آوردن
- پهن
- پخش
- گسترده تر
- گورکن اروپایی
- ساختن
- اما
- by
- محاسبه
- صدا
- نام
- آمد
- دانشگاه
- CAN
- سرمایه
- کاریابی
- مورد
- موارد
- کشتی
- علل
- غار
- مرکزی
- قدرت مرکزی
- قرن
- معین
- قطعا
- به چالش کشیدن
- شانس
- تغییر دادن
- تغییر
- متغیر
- chatbot
- چت
- بررسی
- بررسی
- انتخاب
- کلیسا
- دایره
- محافل
- بخشنامه
- شهروند
- کلاس
- نزدیک
- میزبان مشترک
- رمز
- همکاری
- همکاری
- مشارکت
- هم قطار
- جمع آوری
- کلمبیا
- بیا
- می آید
- دنباله دار
- آینده
- توضیح
- تفسیر
- نظرات
- کالا
- ارتباط
- انجمن
- متمم
- به طور کامل
- پیچیده
- بغرنج
- عوارض
- جزء
- محاسبه
- کامپیوتر
- علم کامپیوتر
- نرم افزار کامپیوتر
- تولید شده توسط رایانه
- کامپیوتر
- مفهوم
- نگرانی ها
- بتون
- حدس
- اتصال
- ارتباط
- اتصالات
- متصل
- محافظه کار
- مصرف کننده
- تماس
- محتوا
- مسابقه
- زمینه
- کمک
- کمک می کند
- بحث برانگیز
- مناسب
- معمولی
- همگرا
- همگرایی
- متقابلا
- تبدیل
- کرنل
- گوشه
- اصلاح
- میتوانست
- شورا
- دوره
- ایجاد شده
- خالق
- موجود
- اعتبار
- ضوابط
- انتقاد
- جمعیت
- فرهنگی
- فرهنگ
- واحد پول
- کاهش
- خطر
- داده ها
- علم اطلاعات
- مجموعه داده ها
- پایگاه داده
- روز
- مناظره
- تصمیم گیری
- عمیق
- عمیق تر
- تعريف كردن
- قطعا
- نشان دادن
- بخش
- بستگی دارد
- توصیف
- سزاوار است
- جزئیات
- مشخص
- توسعه
- توسعه
- DID
- مختلف
- مشکل
- رقم
- ابعاد
- مستقیما
- دایرکتوری
- انضباط
- كشف كردن
- کشف
- بحث و تبادل نظر
- بحث در مورد
- قطع
- متمایز
- مجزا
- DNA
- do
- سند
- میکند
- نمی کند
- عمل
- دامنه
- آیا
- توسط
- پایین
- سقوط
- دینامیک
- هر
- در اوایل
- زمین
- اقتصاد
- سردبیر
- سرمقاله
- تعلیم دادن
- مربیان
- ادوین
- اثر
- موثر
- تلاش
- انیشتین
- هر دو
- فیل
- بیضوی
- دیگر
- دیگر
- پست الکترونیک
- توانمندسازی
- را قادر می سازد
- را قادر می سازد
- رویارویی
- پایان
- کافی
- تمام
- به طور کامل
- قسمت
- برابر
- برابر
- معادلات
- عصر
- خطا
- به خصوص
- مقاله
- ماهیت
- حتی
- در نهایت
- هر
- هر کس
- هر کس
- همه چیز
- کاملا
- امتحان
- مثال
- مثال ها
- برانگیخته
- مهیج
- اجرایی
- تهیه کننده اجرایی
- ورزش
- موجود
- وجود دارد
- گسترش
- تجربه
- تجربی
- تجربه
- آزمایش
- کارشناسان
- توضیح دهید
- توضیح دادن
- توضیح
- کشف
- بررسی
- حد
- خیلی
- واقعیت
- منصفانه
- منصفانه
- سقوط
- غلط
- آشنا
- معروف
- خارق العاده
- بسیار
- شگفت انگیز
- محبوب
- ویژگی
- احساس
- احساس
- همکار
- خطا
- کمی از
- رشته
- زمینه
- شکل گرفت
- آمار و ارقام
- سرانجام
- پیدا کردن
- پیدا کردن
- نام خانوادگی
- مایع
- دینامیک سیالات
- تمرکز
- تمرکز
- برای
- رسمی
- رسما
- چهارم
- انجمن
- یافت
- پایه
- چهار
- روباه
- کسر
- دوست
- از جانب
- اساسی
- بودجه
- خنده دار
- آینده
- بازی
- به
- سوالات عمومی
- تولید می کنند
- نسل
- سخاوتمندانه
- هندسه
- دریافت کنید
- می شود
- گرفتن
- GitHub
- دادن
- Go
- می رود
- رفتن
- طلایی
- خوب
- افرین
- گوگل
- کردم
- فارغ التحصیل
- بزرگ
- یونانی
- گرینوود
- جانوری که نیم بدنش شیر و نیم بدنش دال بوده
- مبتنی بر
- گارد
- حدس
- مهمان
- راهنمایی
- بود
- نیمه راه
- دست
- رخ دادن
- اتفاق افتاده است
- اتفاق می افتد
- اتفاق می افتد
- سخت
- آیا
- داشتن
- he
- سالم
- شنیدن
- شنوایی
- جوجه تیغی
- کمک
- کمک
- کمک می کند
- اینجا کلیک نمایید
- زیاد
- در سطح بالا
- کیفیت بالا
- بالاتر
- نماد
- او را
- خود
- خود را
- تاریخ
- جامع
- صفحه اصلی
- صفحه خانگی
- مشق شب
- افتخار میکنم
- امید
- امیدوار
- امید
- میزبان
- HOT
- چگونه
- چگونه
- HTTPS
- بزرگ
- به شدت
- انسان
- قابل خواندن انسان است
- صدها نفر
- i
- اندیشه
- ایده آل ها
- ایده ها
- شناسایی
- if
- تصویر
- تصاویر
- تصور کنید
- تصویربرداری
- تأثیر
- تأثیرگذار
- مهم
- غیر ممکن
- بهبود
- in
- شیب دار
- شامل
- از جمله
- مستقل
- فرد
- نفوذ
- موثر
- ذاتی
- در ابتدا
- بینش
- بینش
- فورا
- یکپارچه
- فکری
- مالکیت معنوی
- مورد نظر
- اثر متقابل
- تعاملی
- علاقه
- علاقه مند
- جالب
- اینترنت
- به
- معرفی
- شهود
- اختراع
- آیفون
- جدا شده
- IT
- ITS
- کار
- جان
- پیوستن
- پیوستن به ما
- می پیوندد
- روزنامه
- روزنامه نگاری
- لذت
- تنها
- نگه داشته شد
- کلید
- کلید واژه ها
- بچه ها
- نوع
- انواع
- پادشاه
- دانستن
- شناخته شده
- می داند
- زمین
- زبان
- زبان ها
- بزرگ
- در مقیاس بزرگ
- بزرگتر
- بعد
- قانون
- یاد گرفتن
- یادگیری
- کمترین
- کمتر
- اجازه
- سطح
- زندگی
- علوم زندگی
- پسندیدن
- محدودیت
- محدود شده
- ابشار
- لاین
- خطی
- خطوط
- استماع
- کوچک
- زندگی
- منطقی
- آرم
- طولانی
- دیگر
- نگاه کنيد
- شبیه
- به دنبال
- مطالب
- از دست دادن
- خیلی
- مقدار زیادی
- عشق
- دستگاه
- ماشین آلات
- ساخته
- مجله
- اکثریت
- ساخت
- باعث می شود
- ساخت
- مدیریت
- بسیاری
- بازار
- عظیم
- ریاضی
- ریاضی
- از نظر ریاضی
- ریاضیات
- ماتریس
- تکمیل یا پرداخت مات و بی جلا
- ماده
- بالغ
- ممکن است..
- شاید
- me
- متوسط
- اندازه گیری
- اندازه گیری
- رسانه ها
- پزشکی
- تصویربرداری پزشکی
- اعضا
- مردان
- ذکر
- ذکر شده
- با
- متری
- قدرت
- میلیون
- ذهن
- به حداقل رساندن
- دقیقه
- دقیقه
- تصورات غلط
- اشتباه
- روشها
- مدرن
- حالت های
- پول
- بیش
- مورگان
- اکثر
- حرکات
- MRI
- بسیار
- موسیقی
- باید
- my
- yo mismo
- راز
- آدم ساده
- نام
- نیاز
- ضروری
- نیازهای
- نه
- هرگز
- جدید
- اخبار
- بعد
- خوب
- شب
- نه
- نه
- به طور معمول
- هیچ چی
- اخطار
- اکنون
- نیسان
- عدد
- تعداد
- هدف
- هدف
- اشیاء
- مشاهده
- واضح
- اوچوآ
- اکتبر
- of
- غالبا
- oh
- خوب
- on
- یک بار
- ONE
- آنهایی که
- آنلاین
- فقط
- مات
- منبع باز
- باز بودن
- نظر
- خوش بین
- or
- ارگانیک
- سازمانی
- دیگر
- دیگران
- ما
- خارج
- قدیمی
- تولید
- خارج از
- روی
- خود
- بسته
- بسته بندی شده
- صفحات
- مقاله
- اوراق
- موازی
- جزئي
- ویژه
- ویژه
- بخش
- گذشت
- گذشته
- مردم
- در صد
- کامل
- کارایی
- دائمي
- شخص
- از پا افتادن
- پدیده
- فیزیکی
- علوم طبیعی
- از نظر جسمی
- فیزیک
- برگزیده
- قطعه
- افلاطون
- هوش داده افلاطون
- افلاطون
- PlatoData
- لطفا
- لذت
- پادکست
- پادکست
- شعر
- نقطه
- نقطه مشاهده
- نقطه
- مطرح
- مثبت
- ممکن
- پست ها
- پتانسیل
- قدرت
- قوی
- تمرین
- شیوه های
- دقیقا
- ارائه
- زیبا
- جلوگیری از
- قبلا
- اصلی
- نخستین
- بدوی
- جایزه
- مشکل
- مشکلات
- ساخته
- تهيه كننده
- تولید
- تولیدات
- معلم
- برنامه
- پیشرفت
- پروژه ها
- پربار
- اثبات
- اثبات
- به درستی
- ویژگی
- حقوق مالکیت
- محفوظ
- مغرور
- ثابت كردن
- اثبات شده
- ارائه
- ارائه
- ارائه
- اثبات كردن
- عمومی
- انتشار
- عمومی
- منتشر کردن
- منتشر شده
- انتشار
- خالص
- صرفا
- هدف
- دنبال کردن
- هل دادن
- قرار دادن
- قرار می دهد
- مجله کوانتاما
- سوال
- سوالات
- ملایم
- کاملا
- تصادفی
- نسبتا
- نسبت
- خوانندگان
- واقعی
- دنیای واقعی
- واقعیت
- تحقق بخشیدن
- متوجه
- تحقق
- واقعا
- دلیل
- بحران اقتصادی
- سوابق
- كاهش دادن
- مرجع
- اشاره
- مربوط
- ارتباط
- نسبیت
- آزاد
- به یاد داشته باشید
- حذف شده
- مخزن
- ضروری
- نیاز
- تحقیق
- مصمم
- تشدید
- منابع
- منابع
- پاسخ
- مسئولانه
- نتیجه
- نتایج
- آشکار
- تجدید نظر کردن
- انقلابی
- راست
- حقوق
- حلقه
- طلوع
- نقش
- تقریبا
- دویدن
- سعید
- همان
- گفتن
- گفته
- می گوید:
- اسکن
- مدرسه
- علم
- علوم
- جستجو
- دوم
- ثانیه
- دیدن
- مشاهده
- به نظر می رسد
- به نظر می رسید
- به نظر می رسد
- مشاهده گردید
- بخش
- را انتخاب کنید
- انتخاب
- خود کارگردانی
- جمله
- جداگانه
- سرورها
- مجموعه
- چند
- اشکال
- اشتراک گذاری
- تغییر
- کوتاه
- باید
- طرف
- مشابه
- ساده
- ساده تر
- ساده شده
- ساده کردن
- ساده
- پس از
- تنها
- نشستن
- نشسته
- شرایط
- مهارت ها
- کند
- کوچکتر
- بو
- So
- آگاهی
- رسانه های اجتماعی
- جامعه
- نرم افزار
- وکالت
- حل
- حل کردن
- برخی از
- به نحوی
- کسی
- چیزی
- گاهی
- تاحدی
- یک جایی
- بزودی
- به دنبال
- برای تلفن های موبایل
- منبع
- منابع
- فضا
- فضایی
- ویژه
- تخصصی
- حدس و گمان
- نظری
- خرج کردن
- Spotify
- مربع
- مربع
- استاندارد
- استنفورد
- شروع
- آغاز شده
- راه افتادن
- شروع می شود
- بیانیه
- ایالات
- ماندن
- گام
- مراحل
- استیو
- هنوز
- موجودی
- بازار سهام
- STONE
- داستان
- راست
- قدم می گذارد
- دانشجو
- دانشجویان
- مطالعات
- استودیو
- مهاجرت تحصیلی
- در حال مطالعه
- موضوع
- موفق
- چنین
- حاکی از
- پشتیبانی
- پشتیبانی
- سطح
- غافلگیر شدن
- تعجب آور
- مشکوک
- ترکیب کردن
- سیستم های
- گرفتن
- طول می کشد
- مصرف
- صحبت
- سخنگو
- مذاکرات
- محسوس
- وظایف
- چای
- تعلیم
- تیم
- فنی
- تکنیک
- فنی
- گفتن
- تمایل
- ده ها
- آزمون
- نسبت به
- با تشکر
- که
- La
- محوطه
- آینده
- جهان
- شان
- آنها
- موضوع
- سپس
- نظری
- نظریه
- آنجا.
- از این رو
- اینها
- آنها
- چیز
- اشیاء
- فکر می کنم
- تفکر
- سوم
- نسل سوم
- این
- اگر چه؟
- فکر
- سه
- سه بعدی
- از طریق
- زمان
- به
- امروز
- با هم
- هم
- ابزار
- ابزار
- تاپیک
- جمع
- لمس
- سنتی
- آموزش
- مبدل
- درمان
- درخت
- روند
- سعی
- درست
- اعتماد
- امتحان
- تلاش
- تومور
- عطف
- تبدیل
- پیچاندن
- توییتر
- دو
- نوع
- انواع
- UCLA
- زیر خط دار خط
- فهمیدن
- قابل فهم
- درک
- فهمید
- غیر منتظره
- یکپارچه
- اتحادیه
- واحد
- متحد
- تا
- غیر معمول
- آپلود
- بر
- یو پی اس
- us
- استفاده کنید
- استفاده
- مفید
- با استفاده از
- معمولا
- سودمندی
- استفاده کنید
- ارزشمند
- ارزش
- ارزش
- ارزشها
- متغیر
- مختلف
- VeeR
- بررسی
- بسیار
- آموزش و پرورش
- فیلم های
- چشم انداز
- مشاهده شده
- ویروسی
- دید
- از
- منتظر
- می خواهم
- خواسته
- بود
- تماشای
- آب
- مسیر..
- راه
- we
- پوشیدن
- وب
- وب سایت
- خوش آمد
- استقبال
- خوب
- بود
- چی
- چه شده است
- هر چه
- چه زمانی
- در حالیکه
- چه
- که
- در حین
- WHO
- تمام
- چرا
- وسیع
- به طور گسترده ای
- بطور گسترده
- بدست آوردن
- ویکیپدیا
- اراده
- برنده
- خرد
- با
- در داخل
- بدون
- تعجب کردم
- کلمه
- وردپرس
- مهاجرت کاری
- مشغول به کار
- کارگر
- کارها
- جهان
- وب جهان گستر
- نگران
- نگرانی
- خواهد بود
- وای
- نوشتن
- نوشته
- کتبی
- اشتباه
- نوشت
- سال
- بله
- هنوز
- شما
- شما
- زفیرنت