تلاش برای رمزگشایی مجموعه ماندلبروت، فراکتال معروف ریاضی | مجله کوانتا

در اواسط دهه 1980، مانند نوازنده‌های نوار کاست واکمن و پیراهن‌های کراوات‌شده، شباهت باگلیک مجموعه Mandelbrot در همه جا وجود داشت.

دانشجویان آن را به دیوارهای اتاق خوابگاه در سراسر جهان گچ کردند. ریاضیدانان صدها نامه دریافت کردند، درخواست های مشتاقانه برای چاپ این مجموعه. (در پاسخ، برخی از آنها کاتالوگ‌هایی به همراه فهرست قیمت‌ها تهیه کردند؛ برخی دیگر برجسته‌ترین ویژگی‌های آن را در کتاب‌ها جمع‌آوری کردند.) طرفداران بیشتر فن‌آوری می‌توانند به شماره اوت 1985 مراجعه کنند. علمی آمریکا. روی جلدش، مجموعه ماندلبرو در پیچک‌های آتشین باز شد و مرز آن شعله‌ور بود. در داخل دستورالعمل‌های برنامه‌نویسی دقیقی وجود داشت، که جزئیات نحوه ایجاد تصویر نمادین توسط خوانندگان را توضیح می‌داد.

در آن زمان، آن پیچک‌ها دامنه خود را بسیار فراتر از ریاضیات، به گوشه‌های به ظاهر نامرتبط زندگی روزمره گسترش داده بودند. ظرف چند سال آینده، مجموعه ماندلبرو الهام‌بخش جدیدترین نقاشی‌های دیوید هاکنی و جدیدترین ساخته‌های چند نوازنده خواهد بود - قطعات فوگ مانند به سبک باخ. این در صفحات داستان جان آپدایک ظاهر می شود و نشان می دهد که منتقد ادبی هیو کنر چگونه شعر ازرا پاوند را تحلیل می کند. این موضوع تبدیل به سوژه توهمات روانگردان و مستندی محبوب می شود که توسط آرتور سی. کلارک بزرگ علمی تخیلی روایت می شود.

مجموعه Mandelbrot یک شکل خاص است، با طرحی فراکتال. از رایانه برای زوم کردن بر روی مرز ناهموار مجموعه استفاده کنید و با دره هایی از اسب های دریایی و رژه فیل ها، کهکشان های مارپیچی و رشته های نورون مانند روبرو خواهید شد. مهم نیست چقدر عمیق کاوش می کنید، همیشه نسخه های نزدیک به مجموعه اصلی را خواهید دید - یک آبشار بی نهایت و گیج کننده از شباهت خود.

این شباهت خود یکی از عناصر اصلی کتاب پرفروش جیمز گلیک بود هرج و مرجکه جایگاه مجموعه ماندلبرو را در فرهنگ عامه تثبیت کرد. گلیک نوشت: «این مجموعه ایده‌ها را در خود جای داده بود. "فلسفه هنر مدرن، توجیهی برای نقش جدید آزمایش در ریاضیات، راهی برای ارائه سیستم های پیچیده در برابر عموم مردم."

مجموعه ماندلبرو به یک نماد تبدیل شده بود. این نیاز به یک زبان ریاضی جدید را نشان می‌دهد، راهی بهتر برای توصیف ماهیت فراکتالی دنیای اطراف ما. این نشان می‌دهد که چگونه پیچیدگی عمیقی می‌تواند از ساده‌ترین قوانین پدید آید - بسیار شبیه زندگی. («بنابراین این یک پیام واقعی امید است،» جان هاباردیکی از اولین ریاضیدانانی که این مجموعه را مطالعه کرد، در ویدئویی در سال 1989 گفت: «احتمالاً زیست‌شناسی را می‌توان به همان شکلی که این تصاویر را می‌توان فهمید.») در مجموعه ماندلبرو، نظم و هرج و مرج در هماهنگی زندگی می‌کردند. جبر و اراده آزاد قابل آشتی بود. یکی از ریاضیدانان به یاد می آورد که در نوجوانی به طور تصادفی با این مجموعه برخورد کرده بود و آن را استعاره ای از مرز پیچیده بین حقیقت و دروغ می دانست.

مجموعه Mandelbrot همه جا بود، تا زمانی که نبود.

در عرض یک دهه، به نظر می رسید که ناپدید شود. ریاضیدانان به سراغ موضوعات دیگر رفتند و عموم مردم به سراغ نمادهای دیگر رفتند. امروزه، تنها 40 سال پس از کشف آن، فراکتال به یک کیچ مرزی و کلیشه ای تبدیل شده است.

اما تعداد انگشت شماری از ریاضیدانان از رها کردن آن خودداری کرده اند. آنها زندگی خود را وقف کشف رازهای مجموعه ماندلبروت کرده اند. اکنون، آنها فکر می کنند که بالاخره در آستانه درک واقعی آن هستند.

داستان آن‌ها داستان اکتشاف، آزمایش و چگونگی شکل‌دهی فناوری به طرز تفکر ما و سؤالاتی است که درباره جهان می‌پرسیم.

شکارچیان جایزه

در اکتبر 2023، 20 ریاضیدان از سراسر جهان در یک ساختمان آجری چمباتمه‌ای در جایی که زمانی پایگاه تحقیقاتی ارتش دانمارک بود، گرد هم آمدند. این پایگاه که در اواخر دهه 1800 در میان جنگل ساخته شد، در آبدره‌ای در ساحل شمال غربی پرجمعیت‌ترین جزیره دانمارک قرار داشت. یک اژدر قدیمی از ورودی محافظت می کرد. عکس‌های سیاه و سفید، که افسران نیروی دریایی را با لباس متحدالشکل، قایق‌هایی که در اسکله صف کشیده‌اند و آزمایش‌های زیردریایی در حال انجام است، دیوارها را تزئین کرده‌اند. به مدت سه روز، زمانی که باد شدیدی آب بیرون پنجره‌ها را به صورت کلاهک‌های سفید کف‌کرده می‌کوبید، گروه در یک سری صحبت‌ها که بیشتر آن‌ها توسط دو ریاضی‌دان از دانشگاه استونی بروک در نیویورک بود، شرکت کردند: میشا لیوبیچ و دیما دودکو.

در میان مخاطبان کارگاه، برخی از باهوش ترین کاوشگران مجموعه ماندلبرو حضور داشتند. نزدیک جلو نشست میتسوهیرو شیشیکورا از دانشگاه کیوتو، که در دهه 1990 ثابت کرد که مرز مجموعه تا آنجا که ممکن است پیچیده باشد. چند صندلی بیشتر بود هیرویوکی اینو، که در کنار شیشیکورا تکنیک های مهمی را برای مطالعه منطقه ای خاص از مجموعه مندلبرو توسعه دادند. در ردیف آخر بود گرگ یونگ، خالق مندل، نرم افزار پیشرو ریاضیدانان برای بررسی تعاملی مجموعه مندلبروت. نیز حضور داشتند Arnaud Chéritat از دانشگاه تولوز، کارستن پترسن از دانشگاه روسکیلد (که کارگاه را سازماندهی کرد)، و چندین نفر دیگر که سهم عمده ای در درک ریاضیدانان از مجموعه مندلبرو داشتند.

و لیوبیچ، برجسته‌ترین متخصص جهان در این موضوع، و دودکو، یکی از نزدیک‌ترین همکارانش، روی تخته سفید ایستادند. همراه با ریاضیدانان جرمی کان و الکس کاپیامبا، آنها برای اثبات یک حدس دیرینه در مورد ساختار هندسی مجموعه مندلبرو کار کرده اند. این حدس، که به عنوان MLC شناخته می شود، آخرین مانع در تلاش چند دهه ای برای توصیف فراکتال، برای رام کردن بیابان درهم پیچیده آن است.

با ساختن و تیز کردن مجموعه ای قدرتمند از ابزارها، ریاضیدانان کنترل هندسه «تقریبا همه چیز در مجموعه ماندلبرو» را به دست آورده اند. کارولین دیویس دانشگاه ایندیانا - به جز چند مورد باقی مانده. "میشا و دیما و جرمی و الکس مانند شکارچیان جایزه هستند که سعی می کنند این آخرین ها را ردیابی کنند."

لیوبیچ و دودکو در دانمارک بودند تا سایر ریاضیدانان را در مورد پیشرفت اخیر در جهت اثبات MLC و تکنیک هایی که برای انجام این کار توسعه داده بودند به روز کنند. در 20 سال گذشته، محققان در اینجا برای کارگاه‌هایی گرد هم آمده‌اند که به باز کردن نتایج و روش‌ها در زمینه تحلیل پیچیده، مطالعه ریاضی انواع اعداد و توابع مورد استفاده برای تولید مجموعه مندلبرو اختصاص داده شده است.

این یک تنظیم غیرمعمول بود: ریاضیدانان تمام وعده های غذایی خود را با هم می خوردند و تا ساعت های آخر با آبجو صحبت می کردند و می خندیدند. وقتی بالاخره تصمیم گرفتند بخوابند، به تخت‌های دو طبقه یا تخت خواب در اتاق‌های کوچکی که در طبقه دوم مرکز مشترک بودند، رفتند. (به محض ورود، به ما گفته شد که ملحفه ها و روبالشی ها را از روی انبوهی برداریم و آنها را به طبقه بالا ببریم تا رختخواب هایمان را مرتب کنیم.) در برخی سال ها، شرکت کنندگان در کنفرانس شجاعانه در آب سرد شنا می کنند. بیشتر اوقات، آنها از طریق جنگل سرگردان می شوند. اما در بیشتر موارد، کاری جز ریاضی برای انجام دادن وجود ندارد.

به طور معمول، یکی از شرکت کنندگان به من گفت، این کارگاه ریاضیدانان جوان بسیاری را جذب می کند. اما این بار اینطور نبود - شاید به این دلیل که اواسط ترم بود، یا حدس می زد، به دلیل مشکل بودن موضوع. او اعتراف کرد که در آن لحظه، نسبت به دورنمای سخنرانی در مقابل بسیاری از بزرگان این رشته، کمی ترسیده بود.

اما با توجه به اینکه اکثر ریاضیدانان در حوزه گسترده تر آنالیز پیچیده دیگر مستقیماً روی مجموعه مندلبرو کار نمی کنند، چرا یک کارگاه کامل را به MLC اختصاص دهید؟

مجموعه مندلبرو چیزی فراتر از یک فراکتال است و نه فقط به معنای استعاری. این به عنوان نوعی کاتالوگ اصلی سیستم های دینامیکی عمل می کند - از همه راه های مختلف که یک نقطه ممکن است در فضا بر اساس یک قانون ساده حرکت کند. برای درک این کاتالوگ اصلی، باید بسیاری از مناظر مختلف ریاضی را طی کرد. مجموعه مندلبرو نه تنها به دینامیک، بلکه با نظریه اعداد، توپولوژی، هندسه جبری، نظریه گروه و حتی فیزیک نیز عمیقاً مرتبط است. گفت: "این به روشی زیبا با بقیه ریاضیات تعامل دارد." Sabyasachi Mukherjee موسسه تحقیقات بنیادی تاتا در هند.

برای پیشرفت در MLC، ریاضیدانان باید مجموعه پیچیده ای از تکنیک ها را توسعه دهند - چیزی که Chéritat آن را "فلسفه قدرتمند" می نامد. این ابزارها توجه زیادی را به خود جلب کرده اند. امروزه، آنها یک ستون مرکزی در مطالعه سیستم های دینامیکی به طور گسترده تر را تشکیل می دهند. مشخص شده است که آنها برای حل یک سری مشکلات دیگر حیاتی هستند - مشکلاتی که هیچ ربطی به مجموعه ماندلبروت ندارند. و آنها MLC را از یک سوال خاص به یکی از عمیق ترین و مهم ترین حدس های باز در این زمینه تبدیل کرده اند.

لیوبیچ، ریاضیدانی که مسلماً بیشترین مسئولیت را در شکل دادن این «فلسفه» به شکل کنونی آن دارد، قد بلند و راست می ایستد و آرام صحبت می کند. وقتی دیگر ریاضیدانان در کارگاه به او نزدیک می‌شوند تا درباره مفهومی بحث کنند یا سؤالی بپرسند، او چشمانش را می‌بندد و با دقت گوش می‌دهد، ابروهای پرپشتش درهم است. او با دقت و با لهجه روسی پاسخ می دهد.

اما او همچنین سریع به خنده‌های بلند و گرم و شوخی‌های تند می‌پردازد. او با وقت و توصیه هایش سخاوتمند است. موکرجی، یکی از فوق دکترای سابق لیوبیچ و یکی از همکاران مکرر، گفت: او «واقعاً چندین نسل از ریاضیدانان را پرورش داده است». همانطور که او می گوید، هر کسی که علاقه مند به مطالعه دینامیک پیچیده است مدتی را در استونی بروک می گذراند که از لیوبیچ یاد می گیرد. موکرجی گفت: "میشا این دیدگاه را دارد که چگونه باید در مورد یک پروژه خاص پیش برویم، یا در آینده به چه چیزی نگاه کنیم." او این تصویر بزرگ را در ذهن خود دارد. و او خوشحال است که آن را با مردم به اشتراک می گذارد.»

لیوبیچ برای اولین بار احساس می کند که می تواند آن تصویر بزرگ را در تمامیت آن ببیند.

مبارزان جایزه

مجموعه Mandelbrot با یک جایزه آغاز شد.

در سال 1915، با انگیزه پیشرفت اخیر در مطالعه توابع، آکادمی علوم فرانسه مسابقه ای را اعلام کرد: در مدت سه سال، جایزه بزرگ 3,000 فرانک را برای کار بر روی فرآیند تکرار ارائه می کند - همان فرآیندی که می تواند انجام شود. بعداً مجموعه Mandelbrot را تولید کنید.

تکرار عبارت است از اعمال مکرر یک قانون. یک عدد را به یک تابع وصل کنید، سپس از خروجی به عنوان ورودی بعدی خود استفاده کنید. این کار را ادامه دهید و ببینید در طول زمان چه اتفاقی می افتد. همانطور که به تکرار تابع خود ادامه می دهید، اعدادی که به دست می آورید ممکن است به سرعت به سمت بی نهایت افزایش یابند. یا ممکن است به طور خاص به سمت یک عدد کشیده شوند، مانند براده های آهن که به سمت آهنربا حرکت می کنند. یا در نهایت بین همان دو عدد، یا سه یا هزار، در مداری پایدار که هرگز نمی توانند از آن فرار کنند، پرش می کنند. یا بدون قافیه یا دلیل از یک عدد به عدد دیگر بپرید و مسیری پر هرج و مرج و غیرقابل پیش بینی را دنبال کنید.

آکادمی فرانسه و به طور کلی ریاضیدانان دلیل دیگری برای علاقه مندی به تکرار داشتند. این فرآیند نقش مهمی در مطالعه سیستم‌های دینامیکی ایفا کرد - سیستم‌هایی مانند چرخش سیارات به دور خورشید یا جریان یک جریان متلاطم، سیستم‌هایی که در طول زمان بر اساس مجموعه‌ای از قوانین مشخص تغییر می‌کنند.

این جایزه دو ریاضی دان الهام بخش شد تا رشته تحصیلی کاملا جدیدی را توسعه دهند.

اول پیر فاتو بود که اگر سلامتی ضعیفش نبود، در زندگی دیگری ممکن بود مرد نیروی دریایی (یک سنت خانوادگی) باشد. او در عوض حرفه ای را در ریاضیات و نجوم دنبال کرد و تا سال 1915 چندین نتیجه اصلی را در تجزیه و تحلیل به اثبات رسانده بود. سپس گاستون جولیا، ریاضیدان جوان آینده‌دار متولد الجزایر تحت اشغال فرانسه بود که تحصیلاتش با جنگ جهانی اول و اجباری شدنش به ارتش فرانسه قطع شد. در سن 22 سالگی، پس از اینکه مدت کوتاهی پس از شروع خدمت خود دچار آسیب شدید شد - او تا پایان عمر یک بند چرمی روی صورت خود می بست، پس از اینکه پزشکان قادر به ترمیم آسیب نبودند - او به ریاضیات بازگشت و برخی از کارها را انجام داد. کاری که او از روی تخت بیمارستان برای جایزه آکادمی ارسال می کرد.

این جایزه هم فاتو و هم جولیا را برانگیخت تا بررسی کنند که با تکرار توابع چه اتفاقی می‌افتد. آنها به طور مستقل کار کردند، اما در نهایت به اکتشافات بسیار مشابهی دست یافتند. همپوشانی زیادی در نتایج آنها وجود داشت که حتی در حال حاضر، همیشه نحوه تخصیص اعتبار مشخص نیست. (جولیا برون‌گراتر بود و به همین دلیل بیشتر مورد توجه قرار گرفت. او در نهایت برنده جایزه شد؛ فاتو حتی درخواست نداد.) با توجه به این کار، این دو اکنون بنیان‌گذاران حوزه دینامیک پیچیده در نظر گرفته می‌شوند.

"مختلط"، زیرا فاتو و جولیا توابع اعداد مختلط را تکرار کردند - اعدادی که یک عدد واقعی آشنا را با یک عدد به اصطلاح خیالی ترکیب می کنند (مضربی از i، نمادی که ریاضیدانان برای نشان دادن جذر 1- استفاده می کنند. در حالی که اعداد واقعی را می توان به عنوان نقاط روی یک خط قرار داد، اعداد مختلط به صورت نقاط روی صفحه تجسم می شوند، مانند:

فاتو و جولیا دریافتند که تکرار حتی توابع پیچیده ساده (نه پارادوکس در قلمرو ریاضیات!) بسته به نقطه شروع شما می تواند منجر به رفتار غنی و پیچیده شود. آنها شروع به مستندسازی این رفتارها و نمایش هندسی آنها کردند.

اما پس از آن کار آنها برای نیم قرن در ابهام محو شد. «مردم حتی نمی‌دانستند دنبال چه چیزی بگردند. آنها حتی در مورد سؤالاتی که بپرسند محدود بودند.» آرتور آویلا، استاد دانشگاه زوریخ.

زمانی که گرافیک کامپیوتری در دهه 1970 روی کار آمد، این تغییر کرد.

در آن زمان، ریاضیدان بنویت ماندلبرو به عنوان یک دانشمند آکادمیک شهرت پیدا کرده بود. او در زمان کار در مرکز تحقیقات IBM در شمال شهر نیویورک، در زمینه‌های مختلف، از اقتصاد گرفته تا نجوم، مشغول بود. هنگامی که او در سال 1974 به عنوان همکار آی‌بی‌ام منصوب شد، آزادی بیشتری برای پیگیری پروژه‌های مستقل داشت. او تصمیم گرفت از قدرت محاسباتی قابل توجه مرکز برای خارج کردن دینامیک پیچیده از خواب زمستانی استفاده کند.

در ابتدا، ماندلبرو از کامپیوترها برای تولید انواع اشکالی که فاتو و جولیا مطالعه کرده بودند استفاده کرد. این تصاویر اطلاعاتی را در مورد زمانی که یک نقطه شروع، زمانی که تکرار می شود، تا بی نهایت فرار می کند و زمانی که در الگوی دیگری به دام می افتد، رمزگذاری می کند. نقاشی‌های فاتو و جولیا از 60 سال قبل، شبیه به خوشه‌هایی از دایره‌ها و مثلث‌ها بودند - اما تصاویر کامپیوتری که ماندلبرو ساخته بود، شبیه اژدها و پروانه، خرگوش و کلیسای جامع و سرهای گل کلم بودند که گاهی حتی ابرهای غبار را جدا می‌کردند. در آن زمان، مندلبروت قبلاً کلمه "فرکتال" را برای اشکالی که در مقیاس های مختلف مشابه به نظر می رسید، ابداع کرده بود. این کلمه مفهوم نوع جدیدی از هندسه را برانگیخت - چیزی تکه تکه، کسری یا شکسته.

تصاویری که روی صفحه کامپیوتر او ظاهر می‌شوند - که امروزه به مجموعه‌های جولیا معروف هستند - برخی از زیباترین و پیچیده‌ترین نمونه‌های فراکتال‌هایی بودند که ماندلبروت تا به حال دیده بود.

کار فاتو و جولیا بر هندسه و دینامیک هر یک از این مجموعه ها (و عملکردهای مربوط به آنها) به صورت جداگانه متمرکز شده بود. اما رایانه‌ها به ماندلبرات راهی دادند تا به یکباره به کل خانواده عملکردها فکر کند. او می‌توانست همه آن‌ها را در تصویری که نامش را به تصویر می‌کشد رمزگذاری کند، اگرچه این موضوع بحث است که آیا او واقعاً اولین کسی بود که آن را کشف کرد یا خیر.

مجموعه Mandelbrot با ساده‌ترین معادله‌هایی سروکار دارد که در صورت تکرار، کار جالبی انجام می‌دهند. اینها توابع درجه دوم فرم هستند f(z) = z² + c. یک مقدار را ثابت کنید c - می تواند هر عدد مختلطی باشد. اگر معادله را با شروع تکرار کنید z = 0 و دریابید که اعدادی که تولید می کنید کوچک می مانند (یا به قول ریاضیدانان محدود می شوند)، سپس c در مجموعه ماندلبروت قرار دارد. از سوی دیگر، اگر تکرار کنید و متوجه شوید که در نهایت اعداد شما شروع به رشد به سمت بی نهایت می کنند، c در مجموعه Mandelbrot نیست.

نشان دادن این مقادیر ساده است c نزدیک به صفر در مجموعه هستند. و نشان دادن این مقادیر بزرگ به همین شکل ساده است c نیستند. اما اعداد مختلط مطابق با نام خود هستند: مرز مجموعه به طرز باشکوهی پیچیده است. هیچ دلیل واضحی برای تغییر وجود ندارد c با مقادیر ناچیز باید باعث شود که شما همچنان از مرز عبور کنید، اما وقتی روی آن زوم می کنید، جزئیات بی پایانی ظاهر می شود.

علاوه بر این، مجموعه Mandelbrot مانند نقشه مجموعه های جولیا عمل می کند، همانطور که در شکل تعاملی زیر مشاهده می شود. یک مقدار را انتخاب کنید c در مجموعه ماندلبروت مجموعه جولیا مربوطه متصل خواهد شد. اما اگر مجموعه Mandelbrot را ترک کنید، مجموعه جولیا مربوطه از گرد و غبار جدا می شود.