Üllatavalt lihtne matemaatika mõistatuslike kohtumiste taga | Ajakiri Quanta

See on Imaginary Math League meistrivõistluste mäng, kus Atlanta Algebras läheb vastamisi Carolina Cross Productsiga. Need kaks meeskonda pole sel hooajal omavahel mänginud, kuid aasta alguses alistas Atlanta Brooklyn Bisectorsi tulemusega 10:5 ja Brooklyn alistas Carolina skooriga 7:3. Kas see annab meile ülevaate sellest, kes võtab tiitli?

Noh, siin on üks mõttekäik. Kui Atlanta võitis Brooklyni, siis Atlanta on parem kui Brooklyn ja kui Brooklyn võitis Carolinat, siis Brooklyn on parem kui Carolina. Seega, kui Atlanta on parem kui Brooklyn ja Brooklyn on parem kui Carolina, peaks Atlanta olema parem Carolinast ja võitma meistritiitli.

Kui mängite võistlusmänge või sporti, teate, et matši tulemuse ennustamine pole kunagi nii lihtne. Kuid puhtalt matemaatilisest vaatevinklist on sellel argumendil teatud huvi. See kasutab matemaatikas olulist ideed, mida tuntakse transitiivsusena, tuttavat omadust, mis võimaldab meil luua suhete jada võrdlusi. Transitiivsus on üks neist matemaatilistest omadustest, mis on nii põhjapanevad, et te ei pruugi seda isegi märgata.

Näiteks arvude võrdsus on transitiivne. See tähendab, et kui me seda teame a = b ja b = c, võime sellest järeldada a = c. Suhe „suurem kui” on samuti transitiivne: reaalarvude puhul, kui a > b ja b > c, Siis a > c. Kui suhted on transitiivsed, saame neid võrrelda ja kombineerida, luues objektide järjestuse. Kui Anna on pikem kui Benji ja Benji on pikem kui Carl, siis saame neid kolme pikkuse järgi järjestada: A, B, C. Transitiivsus on ka meie naiivse argumendi taga, et kui A on parem kui B ja B on parem kui C, Siis A on parem kui C.

Transitiivsus esineb võrdsuses, kongruentsis, sarnasuses, isegi paralleelsuses. See on osa kogu meie põhilisest matemaatikast, mis muudab selle matemaatiliselt eriti huvitavaks, kui seda pole. Kui analüütikud järjestavad meeskondi, majandusteadlased uurivad tarbijate eelistusi või kodanikud hääletavad oma eelistatud kandidaatide üle, võib transitiivsuse puudumine viia üllatavate tulemusteni. Seda tüüpi süsteemide paremaks mõistmiseks on matemaatikud uurinud "intransitiivseid täringuid" üle 50 aasta ja viimastel paber Polymath projektina tuntud online matemaatiline koostöö on seda arusaamist edasi arendanud. Et saada aimu sellest, kuidas intransitiivsus välja näeb ja tundub, moodustame oma liiga ja mängime ringi.

Meie uues matemaatika liigas võistlevad mängijad kohandatud münte viskades ja tulemusi võrdledes. Ütleme, et mängija A on münt, mille ühel küljel on number 10 ja teisel küljel number 6, ning mängija BMündil on numbrid 8 ja 3. Eeldame, et mündid on õiglased – see tähendab, et müntide ümberviskamisel ilmuvad mõlemad pooled võrdselt – ja kujutame müntide numbreid niimoodi.

Mängus viskavad mängijad oma münte ja see, kelle münt näitab suuremat numbrit, on võitja. Kes millal võidab A mängib B?

Muidugi oleneb. Mõnikord A vahel võidab B võidab. Kuid seda pole raske näha A vastu eelistatakse võita B. Mängul on neli võimalust ja A võidab neist kolmes.

Nii et mängus A versus B, A võiduvõimalus on 75%.

Nüüd C tuleb kaasa ja väljakutseid B mängule. Cmündi ühel küljel on 5 ja teisel küljel 4. Jällegi on neli võimalust.

Siin B ja C kumbki võidab neljast mängust kaks, seega võidab igaüks 50% mängudest. B ja C on ühtlaselt sobitatud.

Nüüd, mida te ootate, millal juhtub A ja C mängida? Noh, A tavaliselt lööb Bja B on ühtlaselt sobitatud C, seega tundub mõistlik seda eeldada A arvatavasti soositakse C.

Kuid A on rohkem kui lemmik. A domineerib C, võitis 100% ajast.

See võib tunduda üllatav, kuid matemaatiliselt pole raske mõista, miks see juhtub. Cnumbrid on vahepeal B's, nii C võidab igal ajal B muudab nende väiksemat numbrit. Aga Cmõlemad numbrid on allpool A's, nii C ei võida kunagi seda matši. See näide ei riku transitiivsuse ideed, kuid see näitab, et asjad võivad olla keerulisemad kui lihtsalt A > B > C. Väike muudatus meie mängus näitab, kui palju keerulisem see võib olla.

Meie konkurendid tüdivad kiiresti kahepoolse müntide viskamise mängust, kuna seda on matemaatiliselt lihtne täielikult mõista (vt täpsemalt veeru lõpus olevatest harjutustest), mistõttu liiga otsustab minna üle kolmepoolsetele müntidele. (Üks kujuteldavas matemaatikaliigas mängimise eeliseid on see, et kõik on võimalik.)

Siin on A ja Bmündid:

Kes on omavahelises mängus eelistatud A ja B? Noh, sellel on kolm tulemust A's mündiviske ja kolm eest B, mille tulemuseks on üheksa võimalikku mängutulemust, mida saame hõlpsasti graafikustada.

Kui jällegi eeldada, et kõik tulemused on võrdselt tõenäolised, A võidab B üheksast tulemusest viiel. See tähendab A peaks võitma $lateksifraktsiooni{5}{9} umbes 55% juhtudest, seega A on pooldatud B.

Tundes pisut alla oma väljavaateid, B väljakutseid C mängule. Cnumbrid on näidatud allpool. Kas sulle meeldib Bvõimalused?

Jällegi on mängus üheksa võimalikku tulemust B versus C, nii et saame need lihtsalt loetleda.

Me näeme seda B vastu näeb päris hea välja C. Üheksast võimalikust tulemusest viies B võidab. Niisiis B on pooldatud C.

vaene C nüüd peab mängima A. Koos A pooldas vastu B ja B pooldas vastu C, mis juhus teeb C peab võitma? Päris hea, nagu selgub.

Üheksast võimalikust tulemusest viies C võidab A. See tähendab seda C on pooldatud A, kuigi Aon pooldatud B ja B on pooldatud C.

See on näide intransitiivsest süsteemist. Tehnilisemalt öeldes ei ole meie mängu suhe "soositud" transitiivne: A on pooldatud Bja B on pooldatud C, Kuid A ei pruugi vastu olla C.

Matemaatikas me seda sageli ei näe, kuid spordisõpru selline käitumine ei üllataks. Kui hiiglased võitsid Eaglesi ja Eagles võitsid kauboid, suudaksid Cowboys ikka väga hästi hiiglasi võita. Üksiku mängu tulemust mõjutavad paljud tegurid. Meeskonnad võivad harjutades paremaks saada või stagneeruda, kui nad uuendusi ei tee. Mängijad saavad meeskondi vahetada. Üksikasjad, nagu mängu asukoht – kodus või võõrsil – või see, kui hiljuti meeskonnad on mänginud, võivad mõjutada seda, kes võidab ja kes kaotab.

Kuid see lihtne näide näitab, et ka sellise intransitiivsuse taga on puhtalt matemaatilised põhjused. Ja sellel puhtalt matemaatilisel kaalutlusel on midagi ühist tegelike konkurentsipiirangutega: kokkusattumistega.

Siin on numbrid A, B ja C.

Kui vaatame neid kõrvuti, on lihtsam mõista, miks selles olukorras esineb intransitiivsust. Kuigi B vastu eelistatakse võita C, Ckaks keskmiselt kõrget numbrit – 7 ja 6 – annavad neile eelise A et B ei oma. Kuigi A on pooldatud B ja B on pooldatud C, C vastamisi A paremini kui B teeb. See sarnaneb sellega, kuidas allajäänud spordimeeskond võib parema vastase vastu hästi sobida, kuna nende mängustiiliga on sellel meeskonnal raske hakkama saada või kuna mängija või treener annab neile selle konkreetse vastase vastu eelise.

Asjaolu, et sport on ebaloomulik, on osa sellest, mis teeb selle lõbusaks ja köitvaks. Lõppude lõpuks, kui A võidab B ja B võidab C, C ei kaota lihtsalt transitiivsuse tõttu, kui nad sellega silmitsi seisavad A. Võistluses võib kõike juhtuda. Nagu paljud kommentaatorid on pärast ärritust öelnud: "Sellepärast nad seda mängu mängivad."

Ja sellepärast me mängime matemaatikaga. Et leida, mis on lõbus, köitev ja üllatav. Kõik võib juhtuda.

Harjutused

1. Oletame, et kaks mängijat mängivad kahepoolse mündi mängu ja kahe mündi neli numbrit on kõik erinevad. Sisuliselt on ainult kuus võimalikku stsenaariumi, kes võidab ja kui sageli. Mis need on?

2. Ülalkirjeldatud kolmepoolse mängu stsenaariumi puhul leidke jaoks erinev kolmepoolne münt C nii et B on endiselt pooldatav C ja C on endiselt pooldatav A.

3. Tõesta, et kahepoolses mündimängus ei saa olla kolm mängijat A, B, C selline, et A on pooldatud B, B on pooldatud Cja C on pooldatud A.

Parandus: Jaanuar 26, 2024
Two previously published figures showed mislabeled matchups between players A versus C and B versus C. The figures have been corrected.