Mandelbroti komplekti dekodeerimine, matemaatika kuulus fraktal | Ajakiri Quanta

1980. aastate keskel, nagu Walkmani kassetimängijad ja lipsuga värvitud särgid, oli Mandelbroti komplekti lollakas siluett kõikjal.

Õpilased krohvisid selle ühiselamu seinte külge üle maailma. Matemaatikud said sadu kirju, innukalt sooviti komplekti väljatrükke. (Mõned neist koostasid vastuseks katalooge koos hinnakirjadega; teised koostasid selle kõige silmatorkavamad funktsioonid raamatuteks.) Tehnikateadlikumad fännid võiksid pöörduda 1985. aasta augustinumbri poole. Scientific American. Selle kaanel rullus Mandelbroti komplekt lahti tulistes kõõlustes, selle piir leekides; sees olid hoolikad programmeerimisjuhised, milles kirjeldati üksikasjalikult, kuidas lugejad võivad endale ikoonilise pildi luua.

Selleks ajaks olid need kõõlused ulatunud ka matemaatikast kaugele, näiliselt mitteseotud igapäevaelu nurkadesse. Järgmise paari aasta jooksul inspireerib Mandelbroti komplekt David Hockney uusimaid maale ja mitme muusiku uusimaid kompositsioone - Bachi stiilis fuugalaadseid palasid. See ilmub John Updike'i ilukirjanduse lehekülgedel ja juhib seda, kuidas kirjanduskriitik Hugh Kenner Ezra Poundi luulet analüüsis. Sellest saaks psühhedeelsete hallutsinatsioonide ja ulme suurkuju Arthur C. Clarke'i jutustatava populaarse dokumentaalfilmi teema.

Mandelbroti komplekt on erikujuline, fraktaalkontuuriga. Kasutage arvutit, et suumida sisse komplekti sakiline piir, ja kohtate merihobuste orge ning elevantide, spiraalgalaktikate ja neuronilaadsete filamentide paraade. Olenemata sellest, kui sügavuti te uurite, näete alati peaaegu originaalkomplekti koopiaid – lõputut, peadpööritavat enesesarnasuse kaskaadi.

See enesesarnasus oli James Gleicki enimmüüdud raamatu põhielement Kaos, mis kinnitas Mandelbroti komplekti koha populaarses kultuuris. "Selles oli ideede universum," kirjutas Gleick. "Moodne kunstifilosoofia, eksperimenteerimise uue rolli õigustus matemaatikas, viis keerukate süsteemide toomiseks suure avalikkuse ette."

Mandelbroti komplektist oli saanud sümbol. See esindas vajadust uue matemaatilise keele järele, mis oleks parem viis meid ümbritseva maailma fraktaalsuse kirjeldamiseks. See näitas, kui põhjalik keerukus võib tekkida kõige lihtsamatest reeglitest – sarnaselt elule enesele. (Seetõttu on see tõeline lootuse sõnum, John Hubbard, üks esimesi matemaatikuid, kes seda komplekti uuris, ütles 1989. aasta videos, et "võimalik, et bioloogiat saab tõesti mõista samamoodi nagu neid pilte.") Mandelbroti komplektis elasid kord ja kaos harmoonias; determinismi ja vaba tahte võiks ühitada. Üks matemaatik meenutas, et komistas teismelisena võtteplatsil ja nägi seda tõe ja vale vahelise keerulise piiri metafoorina.

Mandelbroti komplekt oli kõikjal, kuni seda polnud.

Kümne aastaga näis see kaduvat. Matemaatikud liikusid edasi teiste ainete juurde ja avalikkus muude sümbolite juurde. Täna, vaid 40 aastat pärast avastamist, on fraktalist saanud klišeelik piiripealne kitš.

Kuid käputäis matemaatikuid on keeldunud seda lahti laskmast. Nad on pühendanud oma elu Mandelbroti komplekti saladuste paljastamisele. Nüüd arvavad nad, et on lõpuks sellest tõeliselt mõistmise äärel.

Nende lugu räägib uurimisest, eksperimenteerimisest ja sellest, kuidas tehnoloogia kujundab meie mõtteviisi ja küsimusi, mida me maailma kohta esitame.

Pearahakütid

2023. aasta oktoobris kogunesid 20 matemaatikut üle maailma kunagisel Taani sõjaväe uurimisbaasil asuvasse tellistest majja. 1800. aastate lõpus keset metsi ehitatud baas oli Taani suurima rahvaarvuga saare looderannikul asuva fjordi küljes. Sissepääsu valvas vana torpeedo. Seinu ehtisid must-valged fotod, millel on kujutatud mundris mereväe ohvitsere, dokki rivistatud paate ja käimasolevaid allveelaevakatsetusi. Kolm päeva, mil äge tuul akende taga oleva vee vahutavateks valgemütsideks virutas, pidas rühm läbi rea kõnesid, millest enamiku pidasid kaks matemaatikut New Yorgi Stony Brooki ülikoolist: Miša Ljubitš ja Dima Dudko.

Töötoa publiku hulgas olid mõned Mandelbroti komplekti kõige kartlikumad uurijad. Esikülje lähedal istus Mitsuhiro Shishikura Kyoto ülikoolist, kes 1990. aastatel tõestas, et komplekti piir on nii keeruline, kui see üldse olla saab. Paar kohta oli üle Hiroyuki Inou, kes töötas koos Shishikuraga välja olulisi tehnikaid Mandelbroti komplekti eriti kõrge profiiliga piirkonna uurimiseks. Viimases reas oli Wolf Jung, Mandeli looja, matemaatikute tarkvara Mandelbroti komplekti interaktiivseks uurimiseks. Kohal olid ka Arnaud Chéritat Toulouse'i ülikoolist, Carsten Petersen Roskilde ülikoolist (kes korraldas töötoa) ja mitmed teised, kes olid andnud olulise panuse matemaatikute arusaamisesse Mandelbroti komplektist.

Tahvli ääres seisid selle teema maailma juhtiv ekspert Ljubitš ja üks tema lähemaid kaastöötajaid Dudko. Koos matemaatikutega Jeremy Kahn ja Alex Kapiamba, on nad püüdnud tõestada pikaajalist oletust Mandelbroti komplekti geomeetrilise struktuuri kohta. See oletus, tuntud kui MLC, on viimane takistus aastakümneid kestnud püüdlustes iseloomustada fraktaali, taltsutada selle sassis kõrbes.

Võimsa tööriistakomplekti loomise ja teritamise abil on matemaatikud suutnud kontrollida "peaaegu kõike Mandelbroti komplektis olevate asjade" geomeetriat. Caroline Davis Indiana ülikoolist – välja arvatud mõned ülejäänud juhtumid. "Misha ja Dima ning Jeremy ja Alex on nagu pearahakütid, kes üritavad nendele viimastele jälile saada."

Lyubich ja Dudko olid Taanis, et teavitada teisi matemaatikuid hiljutistest edusammudest MLC tõestamisel ja nende poolt selleks välja töötatud tehnikatest. Viimase 20 aasta jooksul on teadlased kogunenud siin töötubadesse, mis on pühendatud kompleksanalüüsi tulemuste ja meetodite lahtipakkimisele, Mandelbroti komplekti genereerimiseks kasutatavate arvude ja funktsioonide matemaatilisele uurimisele.

See oli ebatavaline seadistus: matemaatikud sõid kõik oma toidukorrad koos ning rääkisid ja naersid õlle kõrval kuni hilise tundide lõpuni. Kui nad lõpuks otsustasid magama minna, läksid nad narivooditesse või võrevooditesse väikestesse tubadesse, mida nad hoone teisel korrusel jagasid. (Saabudes kästi meil haarata linad ja padjapüürid hunnikust ning viia need üles korrusele, et voodit teha.) Mõnel aastal ujuvad konverentsikülastajad julgelt külmas vees; sagedamini rändavad nad läbi metsa. Aga enamasti pole peale matemaatika midagi teha.

Tavaliselt ütles üks kohalviibijatest, et töötuba meelitab palju nooremaid matemaatikuid. Kuid seekord see nii ei olnud - võib-olla sellepärast, et oli semestri keskpaik või, ta oletas, selle aine keerukuse tõttu. Ta tunnistas, et sel hetkel tundis ta end veidi hirmununa võimalusest pidada kõnet nii mõnegi ala tipptegija ees.

Kuid arvestades, et enamik kompleksanalüüsi laiema valdkonna matemaatikuid ei tööta enam otse Mandelbroti komplektiga, miks pühendada terve töötuba MLC-le?

Mandelbroti komplekt on midagi enamat kui fraktal ja mitte ainult metafoorilises mõttes. See toimib omamoodi dünaamiliste süsteemide põhikataloogina – kõigist erinevatest viisidest, kuidas punkt võib lihtsa reegli kohaselt liikuda läbi ruumi. Selle põhikataloogi mõistmiseks tuleb läbida palju erinevaid matemaatilisi maastikke. Mandelbroti komplekt on sügavalt seotud mitte ainult dünaamikaga, vaid ka arvuteooria, topoloogia, algebralise geomeetria, rühmateooria ja isegi füüsikaga. "See suhtleb ülejäänud matemaatikaga kaunil viisil," ütles Sabyasachi Mukherjee Tata Fundamentaaluuringute Instituudist Indias.

MLC-s edu saavutamiseks on matemaatikud pidanud välja töötama keeruka tehnikakomplekti – seda, mida Chéritat nimetab "võimsaks filosoofiaks". Need tööriistad on pälvinud palju tähelepanu. Tänapäeval moodustavad need keskse tugisamba dünaamiliste süsteemide uurimisel laiemalt. Need on osutunud paljude muude probleemide lahendamisel otsustava tähtsusega - probleemid, millel pole Mandelbroti komplektiga mingit pistmist. Ja nad on muutnud MLC nišiküsimusest üheks valdkonna sügavaimaks ja olulisemaks avatud oletuseks.

Ljubitš, matemaatik, kes vastutab vaieldamatult selle "filosoofia" praegusesse vormi vormimise eest, seisab kõrgel ja sirgelt ning räägib vaikselt. Kui teised matemaatikud töökojas tema juurde tulevad, et kontseptsiooni arutada või küsimust esitada, sulgeb ta silmad ja kuulab tähelepanelikult, paksud kulmud kortsus. Ta vastab ettevaatlikult, vene aktsendiga.

Kuid ta on ka kiire valju ja sooja naeru murdma ja veidraid nalju tegema. Ta on helde oma aja ja nõuannete osas. Ta on "tõeliselt kasvatanud mitu põlvkonda matemaatikuid," ütles Mukherjee, üks Ljubichi endistest järeldoktoritest ja sage kaastööline. Nagu ta ütleb, veedavad kõik keeruka dünaamika uurimisest huvitatud inimesed mõnda aega Stony Brookis, õppides Lyubichilt. "Mishal on selline nägemus, kuidas peaksime teatud projektiga tegelema või mida järgmiseks vaadata," ütles Mukherjee. "Tal on selline suur pilt meeles. Ja tal on hea meel seda inimestega jagada.

Ljubitš tunneb esimest korda, et suudab näha seda suurejoonelist pilti selle terviklikkuses.

Auhinnavõitlejad

Mandelbroti komplekt algas auhinnaga.

1915. aastal, ajendatuna hiljutisest edusammudest funktsioonide uurimisel, kuulutas Prantsuse Teaduste Akadeemia välja konkursi: kolme aasta pärast pakuks ta välja 3,000-frangise peaauhinna iteratsiooniprotsessiga seotud töö eest – see protsess, mis hiljem luua Mandelbroti komplekt.

Iteratsioon on reegli korduv rakendamine. Ühendage arv funktsiooniga, seejärel kasutage väljundit järgmise sisendina. Jätkake seda ja jälgige, mis aja jooksul juhtub. Kui jätkate oma funktsiooni kordamist, võivad saadavad numbrid tõusta kiiresti lõpmatuseni. Või võidakse neid tõmmata konkreetselt ühe numbri poole, nagu magneti poole liikuvad rauaviilud. Või põrkavad sama kahe numbri, kolme või tuhande vahel stabiilsel orbiidil, kust nad kunagi ei pääse. Või hüpata ühelt numbrilt teisele ilma riimi või põhjuseta, järgides kaootilist, ettearvamatut rada.

Prantsuse Akadeemial ja matemaatikutel laiemalt oli veel üks põhjus iteratsiooni vastu huvi tunda. Protsess mängis olulist rolli dünaamiliste süsteemide uurimisel - süsteemid, nagu planeetide pöörlemine ümber päikese või turbulentse voo vool, süsteemid, mis aja jooksul muutuvad vastavalt teatud kindlatele reeglitele.

Auhind inspireeris kaht matemaatikut arendama täiesti uut õppevaldkonda.

Esimene oli Pierre Fatou, kes teises elus oleks võinud olla mereväelane (perekonna traditsioon), kui see poleks tema kehva tervise pärast. Selle asemel tegi ta karjääri matemaatikas ja astronoomias ning 1915. aastaks oli ta juba tõestanud mitmeid olulisi analüüsitulemusi. Siis oli Gaston Julia, paljutõotav noor matemaatik, kes sündis Prantsuse okupeeritud Alžeerias, kelle õpingud katkestasid Esimene maailmasõda ja tema ajateenistus Prantsuse armeesse. 22-aastaselt, pärast seda, kui ta sai vahetult pärast teenistuse algust rasket vigastust – ta kandis elu lõpuni üle näo nahkrihma, pärast seda, kui arstid ei suutnud kahjustusi parandada – naasis ta matemaatika juurde, tehes mõningaid töö, mille ta esitaks Akadeemia auhinnale haiglavoodist.

Auhind motiveeris nii Fatoud kui Juliat uurima, mis juhtub funktsioonide kordamisel. Nad töötasid iseseisvalt, kuid tegid lõpuks väga sarnaseid avastusi. Nende tulemustes oli nii palju kattumist, et isegi praegu pole alati selge, kuidas krediiti määrata. (Julia oli avameelsem ja sai seetõttu rohkem tähelepanu. Ta võitis lõpuks auhinna; Fatou isegi ei kandideerinud.) Tänu sellele tööle peetakse neid kahte nüüd keerulise dünaamika valdkonna rajajateks.

"Kompleks", sest Fatou ja Julia itereerisid kompleksarvude funktsioone – numbreid, mis ühendavad tuttava reaalarvu nn imaginaararvuga (arvu kordne i, sümbolit matemaatikud kasutavad ruutjuure tähistamiseks -1). Kui reaalnumbreid saab paigutada punktidena joonele, siis kompleksarvud visualiseeritakse punktidena tasapinnal, näiteks:

Fatou ja Julia leidsid, et isegi lihtsate keerukate funktsioonide kordamine (mitte paradoks matemaatika vallas!) võib sõltuvalt teie lähtepunktist viia rikkaliku ja keerulise käitumiseni. Nad hakkasid neid käitumisi dokumenteerima ja geomeetriliselt esitama.

Kuid siis jäi nende töö pooleks sajandiks hämarusse. "Inimesed ei teadnud isegi, mida otsida. Neil oli piiratud küsimusi, mida isegi küsida, ”ütles Artur Avila, Zürichi ülikooli professor.

See muutus, kui arvutigraafika sai 1970. aastatel täisealiseks.

Selleks ajaks oli matemaatik Benoît Mandelbrot omandanud akadeemilise diletandina maine. Ta oli tegelenud paljudes erinevates valdkondades, alates majandusest kuni astronoomiani, töötades samal ajal IBMi uurimiskeskuses New Yorgist põhja pool. Kui ta 1974. aastal IBM-i stipendiaadiks määrati, oli tal veelgi suurem vabadus iseseisvate projektide elluviimisel. Ta otsustas rakendada keskuse märkimisväärset arvutusvõimsust keeruka dünaamika väljatoomiseks talveunest.

Alguses kasutas Mandelbrot arvuteid selliste kujundite genereerimiseks, mida Fatou ja Julia olid uurinud. Kujutised kodeerisid teavet selle kohta, millal lähtepunkt itereerimisel lõpmatuseni pääseb ja millal see mõne muu mustri lõksu jääb. Fatou ja Julia 60 aastat varasemad joonistused nägid välja nagu ringide ja kolmnurkade kobarad, kuid Mandelbroti arvutiga loodud pildid nägid välja nagu draakonid ja liblikad, jänesed ja katedraalid ning lillkapsapead, mõnikord isegi lahti ühendatud tolmupilved. Selleks ajaks oli Mandelbrot juba loonud sõna "fraktal" kujundite jaoks, mis tundusid erinevates mõõtkavades sarnased; see sõna kutsus esile arusaama uut tüüpi geomeetriast – millestki killustatud, murdosast või katkisest.

Tema arvutiekraanile ilmuvad pildid – tänapäeval tuntud kui Julia komplektid – olid ühed kaunimad ja keerulisemad näited fraktalidest, mida Mandelbrot oli kunagi näinud.

Fatou ja Julia töö keskendus iga komplekti (ja nende vastavate funktsioonide) geomeetriale ja dünaamikale eraldi. Kuid arvutid andsid Mandelbrotile võimaluse mõelda korraga tervele funktsioonide perekonnale. Ta võiks kodeerida need kõik kujundisse, mis hakkab tema nime kandma, ehkki jääb vaidluse teemaks, kas ta oli tegelikult esimene, kes selle avastas.

Mandelbroti komplekt tegeleb kõige lihtsamate võrranditega, mis kordamisel ikka midagi huvitavat teevad. Need on vormi ruutfunktsioonid f(z) = z² + c. Parandage väärtus c — see võib olla mis tahes kompleksarv. Kui kordate võrrandit, alustades tähega z = 0 ja leia, et genereeritud arvud jäävad väikesteks (või piiratud, nagu matemaatikud ütlevad), siis c on Mandelbroti komplektis. Teisest küljest, kui te kordate ja leiate, et lõpuks hakkavad teie numbrid kasvama lõpmatuseni, siis c ei ole Mandelbroti komplektis.

Neid väärtusi on lihtne näidata c nullilähedased on komplektis. Ja samamoodi on lihtne näidata, et suured väärtused c ei ole. Kuid kompleksarvud vastavad oma nimele: komplekti piir on suurepäraselt keeruline. Muutumisel pole ilmset põhjust c Väikeste koguste kaupa peaks teid pidevalt piiri ületama, kuid seda sisse suumides ilmub lõputult palju detaile.

Veelgi enam, Mandelbroti komplekt toimib nagu Julia komplektide kaart, nagu on näha allolevalt interaktiivselt jooniselt. Valige väärtus c Mandelbroti komplektis. Vastav Julia komplekt ühendatakse. Kuid kui jätate Mandelbroti komplekti, eemaldatakse vastav Julia komplekt tolmust.