Kui olete sel kuul matemaatikauudiseid jälginud, siis teate, et 35-aastane numbriteoreetik James Maynard võitis Fieldsi medal — matemaatiku kõrgeim au. Maynardile meeldivad matemaatikaküsimused, mis on "piisavalt lihtsad, et neid keskkooliõpilasele selgitada, kuid piisavalt rasked, et matemaatikuid sajandeid segada". Quanta teatatud, ja üks neist lihtsatest küsimustest on järgmine: kui liigute mööda arvujoont välja, kas algarvud peavad alati olema lähestikku?
Võib-olla olete märganud, et matemaatikud on algarvude kinnisideeks. Mis neid köidab? Võib-olla on asi selles, et algarvud kehastavad matemaatika kõige põhilisemaid struktuure ja saladusi. Algarvud kaardistavad korrutamise universumi, võimaldades meil klassifitseerida ja kategoriseerida iga arvu ainulaadse faktorijaotusega. Kuid kuigi inimesed on algarvudega mänginud korrutamise algusest peale, pole me ikka veel päris kindlad, kus algarvud ilmuvad, kui laiali need on või kui lähedal need peavad olema. Niipalju kui me teame, ei järgi algarvud lihtsat mustrit.
Meie vaimustus nendest põhiobjektidest on viinud sadade erinevat tüüpi algarvude leiutamiseni või avastamiseni: Mersenne'i algarvud (vormi 2 algarvud)n −1), tasakaalustatud algarvud (algarvud, mis on kahe naaberarvu keskmised) ja Sophie Germaini algarvud (algarvud p nii, et 2p + 1 on samuti algväärtus), kui nimetada vaid mõnda.
Huvi nende eriliste algarvude vastu kasvas välja numbritega mängimisest ja millegi uue avastamisest. See kehtib ka "digitaalselt delikaatsete algarvude" kohta, mis on loendi hiljutine täiendus, mis on viinud üllatavate tulemusteni kõige elementaarsemate küsimuste kohta: kui haruldased või tavalised võivad teatud tüüpi algarvud olla?
Selle küsimuse mõistmiseks alustame ühest esimestest intrigeerivatest faktidest, mille ambitsioonikas arvude entusiast teada saab: algarve on lõpmatult palju. Euclid tõestas seda 2,000 aastat tagasi, kasutades üht kuulsaimat vastuolulist tõestust kogu matemaatika ajaloos. Ta alustas oletades, et algarvusid on ainult lõplikult palju, ja kujutas kõike ette n neist nimekirjas:
$lateexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Siis tegi ta midagi tarka: mõtles arvule $latexq=p_1 korda p_2 korda p_3 korda … korda p_n+1$.
Märka seda q ei saa olla algarvude loendis, sest see on suurem kui kõik loendis olevad. Nii et kui algarvude lõplik loend on olemas, siis see arv q ei saa olla parim. Aga kui q ei ole algarv, see peab olema jagatav millegi muuga peale iseenda ja 1. See omakorda tähendab seda q peab olema jagatav mõne loendi algarvuga, kuid viisi tõttu q on ehitatud, jagades q millegi loendis on jääk 1. Nii et ilmselt q ei ole algarv ega jagu ühegi algarvuga, mis on vastuolu, mis tuleneb eeldusest, et algarvu on ainult lõplikult palju. Seetõttu peab selle vastuolu vältimiseks olema tegelikult lõpmatult palju algarvu.
Arvestades, et neid on lõpmatult palju, võite arvata, et igasuguseid algarvusid on lihtne leida, kuid üks järgmistest asjadest, mille algarvudetektiiv teada saab, on see, kuidas algarvud võivad olla hajutatud. Lihtne tulemus järjestikuste algarvude vaheliste tühikute kohta, mida nimetatakse alglünkadeks, ütleb midagi üsna üllatavat.
Esimese 10 algarvu – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29 – hulgas näete lünki, mis koosnevad ühest või mitmest liitarvust (arvud, mis ei ole algarvud, näiteks 4, 12 või 27). Neid lünki saate mõõta, loendades nende vahele jäävaid liitnumbreid: Näiteks suurus 0 on 2 ja 3 vahel, 1 suuruse vahe on 3 ja 5 vahel ning 5 ja 7 vahel, 3 suuruse vahe on 7 vahel. ja 11 jne. Selle loendi suurim algvahe koosneb viiest liitarvust - 24, 25, 26, 27 ja 28 - vahemikus 23 kuni 29.
Nüüd aga uskumatu tulemuse juurde: täitevahed võivad olla meelevaldselt pikad. See tähendab, et on olemas järjestikused algarvud, mis on üksteisest nii kaugel, kui võite ette kujutada. Võib-olla on sama uskumatu, kui lihtne on seda fakti tõestada.
Meil on juba ülalpool 5. pikkuse algvahe. Kas võiks olla üks pikkusega 6? Selle asemel, et otsida algarvude loendeid lootuses leida, loome selle lihtsalt ise. Selleks kasutame põhilistes loendusvalemites kasutatavat faktoriaalfunktsiooni: Definitsiooni järgi $lateksn!=n korda(n-1) korda (n-2) korda … korda 3 korda 2 korda 1$, nii et näiteks $ lateks3!=3 korda 2 korda 1 = 6$ ja $lateks5!=5 korda 4 korda 3 korda 2 korda 1=120$.
Nüüd loome oma peamise lõhe. Mõelge järgmisele järjestikuste numbrite jadale:
$lateks 7!+2$, $lateks7!+3$, $lateks 7!+4$, $lateks7!+5$, $lateks 7!+6$, $lateks 7!+7$.
Kuna $latex7!=7 korda 6 korda 5 korda 4 korda 3 korda2 korda 1$, jagub meie jada esimene number $latex7!+2$ 2-ga, mida näed pärast väikest faktooringut:
$lateks7!+2=7 korda 6 korda 5 korda 4 korda 3 korda2 korda 1+2$
$lateks= 2(7 korda 6 korda 5 korda 4 korda 3 korda 1+1)$.
Samamoodi jagub 7-ga ka teine arv, $latex3!+3$, kuna
$lateks7!+3=7 korda 6 korda 5 korda 4 korda 3 korda2 korda 1+3$
$lateks= 3(7 korda 6 korda 5 korda 4 korda2 korda 1+1)$.
Samamoodi 7! + 4 jagub 4, 7-ga! + 5 korda 5, 7! + 6 korda 6 ja 7! + 7 korda 7, mis teeb 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 kuue järjestikuse liitarvu jada. Meil on algvahe vähemalt 6.
Seda strateegiat on lihtne üldistada. Jada
$lateks!+2$, $lateksn!+3$, $lateksn!+4$, $lateks…$, $lateksn!+n$.
on $latexn-1$ järjestikuste liitarvude jada, mis tähendab, et mis tahes n, on peavahe pikkusega vähemalt $lateksn-1$. See näitab, et seal on meelevaldselt pikki algarvude lünki ja seega on naturaalarvude loendis kohti, kus lähimad algarvud on üksteisest 100 või 1,000 1,000,000,000 või isegi XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX arvu kaugusel.
Nendes tulemustes on näha klassikalist pinget. Algarve on lõpmatult palju, kuid järjestikused algarvud võivad olla ka üksteisest lõpmatult kaugel. Veelgi enam, üksteisele lähedased järjestikused algarvud on lõpmatult palju. Umbes 10 aastat tagasi alustas Yitang Zhangi murranguline töö võidujooksu, et kaotada lõhe ja tõestada kaksik-algarvu oletusi, mis kinnitavad, et on lõpmatult palju algarvude paare, mis erinevad vaid 2 võrra. Kaksik-algarvu oletus on üks kõige enam. kuulsad avatud küsimused matemaatikas ja James Maynard on andnud oma märkimisväärse panuse selle tabamatu tulemuse tõestamisse.
See pinge esineb ka viimastes tulemustes nn digitaalselt õrnade algarvude kohta. Et saada aimu, mis need arvud on ja kus nad võivad olla või mitte, mõelge hetkeks järgmisele kummalisele küsimusele: kas on olemas kahekohaline algarv, mis muutub alati liitarvuks, kui selle ühte numbrit muudetakse?
Digitaalse hõrgutise tunnetamiseks mängime ringi numbriga 23. Teame, et see on suur, aga mis juhtub, kui muudate selle ühe numbri? Noh, 20, 22, 24, 26 ja 28 on kõik paaris ja seega liit; 21 jagub 3-ga, 25 jagub 5-ga ja 27 jagub 9-ga. Seni on kõik hästi. Aga kui muudate ühe numbri 9-ks, saate 29, mis on ikkagi algväärtus. Nii et 23 ei ole selline, mida me otsime.
Aga 37? Nagu eespool nägime, ei pea me vaeva nägema paarisarvude või 5-ga lõppevate numbrite kontrollimisega, seega kontrollime lihtsalt 31, 33 ja 39. Kuna 31 on samuti algarvud, ei tööta ka 37.
Kas selline number on üldse olemas? Vastus on jah, kuid selle leidmiseks peame minema kuni 97-ni: 97 on algarv, kuid 91 (jagub 7-ga), 93 (jagub 3-ga) ja 99 (jagub ka 3-ga) on kõik liitarvud , koos paarisarvude ja 95-ga.
Algarv on "delikaatne", kui selle mõne numbri muutmisel millekski muuks kaotab see oma "alguse" (või tehnilist terminit kasutades primaalsuse). Seni oleme näinud, et 97 on delikaatne ühekohalises numbris – kuna selle numbri muutmine annab alati liitarvu –, kuid kas 97 vastab kõigile digitaalselt õrna olemise kriteeriumidele? Vastus on eitav, sest kui muudate kümnendkoha 1-ks, saate 17, algarvu. (Pange tähele, et 37, 47 ja 67 on samuti kõik algarvud.)
Tegelikult ei ole olemas kahekohalist digitaalselt õrna algarvu. Järgmine tabel kõigi kahekohaliste arvude kohta, mille kahekohalised algarvud on varjutatud, näitab, miks.
Kõik numbrid mis tahes konkreetses reas on samade kümnenditega ja kõigil antud veerus olevatel numbritel on samad numbrid. Asjaolu, et 97 on selle rea ainus varjutatud arv, peegeldab tõsiasja, et see on ühekohalises numbris õrn, kuid see ei ole selle veeru ainus algarv, mis tähendab, et see pole kümnete numbritega õrn.
Digitaalselt õrn kahekohaline algarvu peaks olema oma rea ja veeru ainus algarvu. Nagu tabelist näha, sellist kahekohalist algarvu ei eksisteeri. Kuidas on lood digitaalselt õrna kolmekohalise algarvuga? Siin on sarnane tabel, mis näitab kolmekohaliste algarvude paigutust vahemikus 100 kuni 199, kusjuures liitarvud on välja jäetud.
Siin näeme, et 113 on oma reas, mis tähendab, et see on ühekohalises numbris õrn. Kuid 113 ei ole oma veerus, nii et mõned kümnendkoha muudatused (nt 0 103 puhul või 6 163 puhul) annavad algarvud. Kuna ühtegi numbrit ei kuvata nii oma reas kui ka oma veerus, näeme kiiresti, et pole kolmekohalist numbrit, mis oleks garanteeritud liitarvu, kui muudate selle ühekohalist või kümnelist numbrit. See tähendab, et ei saa olla kolmekohalist digitaalselt õrna algarvu. Pange tähele, et me isegi ei kontrollinud sadade numbrit. Et olla tõeliselt digitaalselt õrn, peaks kolmekohaline arv vältima kolmemõõtmelises tabelis algarvusid kolmes suunas.
Kas digitaalselt õrnad algarvud on üldse olemas? Kui liigute arvurealt kaugemale, kipuvad algarvud muutuma hõredamaks, mistõttu on nende suuremõõtmeliste tabelite ridades ja veergudes vähem tõenäoline. Kuid suurematel numbritel on rohkem numbreid ja iga täiendav number vähendab tõenäosust, et algarvu on digitaalselt õrn.
Kui jätkate, avastate, et digitaalselt õrnad algarvud on olemas. Väikseim on 294,001 794,001. Kui muudate selle ühte numbrit, on saadav arv - näiteks 284,001 505,447 või 584,141 604,171 - liitarv. Ja neid on veel: järgmised paar on 971,767 1,062,599; XNUMX XNUMX; XNUMX XNUMX; XNUMX XNUMX; ja XNUMX XNUMX XNUMX. Tegelikult nad ei peatu. Kuulus matemaatik Paul Erdős tõestas, et digitaalselt õrnaid algarvusid on lõpmatult palju. Ja see oli vaid esimene paljudest üllatavatest tulemustest nende uudishimulike numbrite kohta.
Näiteks Erdős ei tõestanud lihtsalt seda, et digitaalselt õrnaid algarvusid on lõpmatult palju: ta tõestas, et igas baasis on lõpmatult palju digitaalselt õrnu algarvu. Nii et kui otsustate esitada oma numbreid kahend-, kolme- või kuueteistkümnendsüsteemis, leiate endiselt lõpmatult palju digitaalselt õrnu algarvu.
Ja digitaalselt õrnad algarvud ei ole ainult lõpmatud: need moodustavad nullist erineva protsendi kõigist algarvudest. See tähendab, et kui vaadata digitaalselt õrnade algarvude ja algarvude üldarvu suhet, on see murd mõni arv suurem kui null. Tehnilises mõttes on „positiivne osa” kõigist algarvudest digitaalselt õrn, nagu tõestas Fieldsi medalivõitja Terence Tao 2010. aastal. Algarvud ise ei moodusta positiivset osa kõigist arvudest, kuna leiate järjest vähem algarvusid. mida kaugemale mööda numbrijoont liigute. Kuid nende hulgast leiate jätkuvalt digitaalselt delikaatseid algarvusid piisavalt sageli, et hoida õrnade algarvude ja koguarvu algarvude suhe üle nulli.
Võib-olla oli kõige šokeerivam avastus a tulemus aastast 2020 nende kummaliste numbrite uue variatsiooni kohta. Lõõgastades arusaama sellest, mis on number, kujutlesid matemaatikud ümber arvu esituse: selle asemel, et mõelda 97-le iseenesest, arvasid nad selle asemel, et sellel on eesmised nullid:
…0000000097.
Iga eesolevat nulli võib pidada numbriks ja digitaalse delikaatsuse küsimust saab laiendada nendele uutele esitusviisidele. Kas võib eksisteerida "laialdaselt digitaalselt delikaatseid algarvusid" – algarvusid, mis muutuvad alati liitarvuks, kui muudate mõnda numbrit, sealhulgas mõnda nendest esinullidest? Tänu matemaatikute Michael Filaseta ja Jeremiah Southwicki tööle teame, et vastus on üllatavalt jah. Mitte ainult ei eksisteeri laialdaselt digitaalselt delikaatseid algarvusid, vaid neid on lõpmatult palju.
Algarvud moodustavad lõpmatu rea matemaatilisi mõistatusi, millega professionaalid ja entusiastid saavad mängida. Me ei pruugi kunagi kõiki nende saladusi lahti harutada, kuid võite loota, et matemaatikud avastavad ja leiutavad pidevalt uut tüüpi algarvu, mida uurida.
Harjutused
1. Mis on suurim algarvude vahe 2–101?
2. Tõestamaks, et algarvusid on lõpmatult palju, eeldab Euclid, et algarvu $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ on lõputult palju, ja näitab seejärel, et $latexq=p_1 korda p_2 korda p_3 korda … korda p_n+1$ ei ole ' ei jagu ühegi loendi algarvuga. Kas see ei tähenda seda q peab olema parim?
3. Arvuteooria kuulus tulemus on see, et nende vahel on alati algarvu k ja 2k (kaasa arvatud). Seda on raske tõestada, kuid lihtne on tõestada, et nende vahel on alati esmatähtis k ja $lateksq=p_1 korda p_2 korda p_3 korda … korda p_n+1$ (kaasa arvatud), kus $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ on kõik algarvud, mis on väiksemad või võrdsed k. Tõesta seda.
4. Kas leiate väikseima algarvu, mis on digitaalselt õrn ühe- ja kümnekohalises numbris? See tähendab, et ühe- või kümnekohaliste numbrite muutmisel saadakse alati liitarv. (Selleks võiksite kirjutada arvutiprogrammi!)
Väljakutseülesanne: kas leiate väikseima algarvu, mis on kahendarvuna esitatud digitaalselt õrn? Tuletage meelde, et kahendkoodis ehk 2. aluses on ainsad numbrid 0 ja 1 ning iga kohaväärtus tähistab astme 2. Näiteks 8 on esitatud kui $latex1000_2$, kuna $lateks 8 = 1 korda 2^3 + 0 korda 2^2 + 0 korda 2^1 + 0 korda 2^0$ ja 7. aluses 2 on $latex111_2$, kuna $lateks7=1 korda2^2 + 1 korda 2^1 + 1 korda 2^0$.
Klõpsake vastuse 1 jaoks:
Klõpsake vastuse 2 jaoks:
Ei. Võtke arvesse kuut esimest algarvu: 2, 3, 5, 7, 11 ja 13. Sel juhul on arv q oleks $lateks 2 korda 3 korda 5 korda 7 korda 11 korda13 + 1 = 30,031 2 $ . See ei jagu 3, 5, 7, 11, 13 ega 30,031-ga, kuid see ei ole algväärtus: see koefitsient on $lateks 59 509 = XNUMX korda XNUMX $. Pange tähele, et sellel on algtegurid, kuid need on kõik suuremad kui esimesed kuus algarvu.
Klõpsake vastuse 3 jaoks:
Kui kumbagi k or q on parim, et oleme valmis. Kui q ei ole algarvuga, see on liit, mis tähendab, et see jagub mõne algarvuga, kuid me juba teame, et see ei jagu ühegi algarvuga n algarvud. Seega peab see olema jagatav esimesest suurema algarvuga n algarvud ja kuna need kõik on väiksemad kui k, peab see algarvu olema suurem kui k. Kuid see peamine jaguneb q, seega peab see olema väiksem kui q, seega peab nende vahel olema algustäht k ja q.
Klõpsake vastuse 4 jaoks:
Esimene algarv, mis seda omadust rahuldab, on 2,459, kuna 2,451, 2,453 ja 2,457 on kõik liitarvud (vastavad õrnade numbrite kriteeriumile) ja 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469 2,479 on kõik komposiit (rahuldav delikaatne kümnekohaline kriteerium). Kuid 2,489 ei ole digitaalselt õrn, sest 2,499 on esmane, nii et see ebaõnnestub, kui hakkate arvestama sadade numbritega. (Täname matemaatikut John D. Cooki, et ta avaldas oma digitaalselt delikaatne algotsinguga Pythoni kood.)
Väljakutse probleemile vastuse saamiseks klõpsake nuppu:
$latex127=1111111_2$ on digitaalselt delikaatne, kuna $lateks 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111, $latex2=111, $latex1101111=2$95x1011111=2 63_0111111$ ja lateks2 $ =XNUMX_XNUMX$ on kõik liitmaterjalid.
