La búsqueda para decodificar el conjunto de Mandelbrot, el famoso fractal de las matemáticas | Revista Quanta

A mediados de la década de 1980, al igual que los reproductores de casetes Walkman y las camisas teñidas, la silueta parecida a un insecto del set de Mandelbrot estaba por todas partes.

Los estudiantes lo pegaron en las paredes de los dormitorios de todo el mundo. Los matemáticos recibieron cientos de cartas, solicitando ansiosamente copias impresas del conjunto. (En respuesta, algunos de ellos produjeron catálogos, completos con listas de precios; otros compilaron sus características más llamativas en libros). Los fanáticos más conocedores de la tecnología podrían consultar el número de agosto de 1985 de Scientific American. En su portada, el conjunto de Mandelbrot se desplegaba en zarcillos ardientes, con su borde en llamas; en el interior había cuidadosas instrucciones de programación, que detallaban cómo los lectores podrían generar la imagen icónica por sí mismos.

Para entonces, esos zarcillos también habían extendido su alcance mucho más allá de las matemáticas, hacia rincones aparentemente no relacionados de la vida cotidiana. En los años siguientes, el conjunto de Mandelbrot inspiraría las pinturas más recientes de David Hockney y las composiciones más recientes de varios músicos: piezas parecidas a fugas al estilo de Bach. Aparecería en las páginas de la ficción de John Updike y guiaría cómo el crítico literario Hugh Kenner analizó la poesía de Ezra Pound. Se convertiría en tema de alucinaciones psicodélicas y de un popular documental narrado por el gran científico de ciencia ficción Arthur C. Clarke.

El conjunto de Mandelbrot tiene una forma especial, con un contorno fractal. Utilice una computadora para ampliar el límite irregular del conjunto y encontrará valles de caballitos de mar y desfiles de elefantes, galaxias espirales y filamentos parecidos a neuronas. No importa qué tan profundo explores, siempre verás casi copias del conjunto original: una cascada infinita y vertiginosa de autosemejanza.

Esa autosemejanza fue un elemento central del libro más vendido de James Gleick. Chaos, que consolidó el lugar del conjunto de Mandelbrot en la cultura popular. "Contenía un universo de ideas", escribió Gleick. “Una filosofía moderna del arte, una justificación del nuevo papel de la experimentación en matemáticas, una forma de presentar sistemas complejos ante un gran público”.

El conjunto de Mandelbrot se había convertido en un símbolo. Representaba la necesidad de un nuevo lenguaje matemático, una mejor manera de describir la naturaleza fractal del mundo que nos rodea. Ilustró cuán profunda complejidad puede surgir de las reglas más simples, de manera muy similar a la vida misma. (“Es, por tanto, un verdadero mensaje de esperanza”, John Hubbard, uno de los primeros matemáticos en estudiar el conjunto, dijo en un vídeo de 1989, “que posiblemente la biología realmente pueda entenderse de la misma manera que se pueden entender estas imágenes”). En el conjunto de Mandelbrot, el orden y el caos vivían en armonía; el determinismo y el libre albedrío podrían reconciliarse. Un matemático recordó haber tropezado con el conjunto cuando era adolescente y haberlo visto como una metáfora de la complicada frontera entre la verdad y la falsedad.

El conjunto de Mandelbrot estaba en todas partes, hasta que dejó de estarlo.

Al cabo de una década, pareció desaparecer. Los matemáticos pasaron a otros temas y el público pasó a otros símbolos. Hoy, apenas 40 años después de su descubrimiento, el fractal se ha convertido en un cliché, casi kitsch.

Pero un puñado de matemáticos se han negado a dejarlo pasar. Han dedicado sus vidas a descubrir los secretos del conjunto de Mandelbrot. Ahora creen que finalmente están a punto de comprenderlo verdaderamente.

Su historia es de exploración, de experimentación y de cómo la tecnología da forma a nuestra forma de pensar y a las preguntas que hacemos sobre el mundo.

Los cazarrecompensas

En octubre de 2023, 20 matemáticos de todo el mundo se congregaron en un edificio achaparrado de ladrillo en lo que alguna vez fue una base de investigación militar danesa. La base, construida a finales del siglo XIX en medio del bosque, estaba escondida en un fiordo en la costa noroeste de la isla más poblada de Dinamarca. Un viejo torpedo custodiaba la entrada. Fotografías en blanco y negro que mostraban a oficiales de la marina en uniforme, barcos alineados en un muelle y pruebas submarinas en curso adornaban las paredes. Durante tres días, mientras un viento feroz azotaba el agua fuera de las ventanas hasta convertirla en espumantes espumantes, el grupo asistió a una serie de charlas, la mayoría de ellas a cargo de dos matemáticos de la Universidad Stony Brook de Nueva York: Misha Lyubich y Dima Dudko.

Entre el público del taller se encontraban algunos de los exploradores más intrépidos del conjunto de Mandelbrot. Cerca del asiento delantero Mitsuhiro Shishikura de la Universidad de Kyoto, quien en la década de 1990 demostró que los límites del conjunto son tan complicados como sea posible. Unos cuantos asientos más estaban Hiroyuki Inou, quien junto con Shishikura desarrolló importantes técnicas para estudiar una región particularmente destacada del conjunto de Mandelbrot. En la última fila estaba lobo jung, el creador de Mandel, el software de referencia de los matemáticos para investigar interactivamente el conjunto de Mandelbrot. También estuvieron presentes Arnaud Cheritat de la Universidad de Toulouse, carsten petersen de la Universidad de Roskilde (que organizó el taller), y varios otros que habían hecho importantes contribuciones a la comprensión de los matemáticos del conjunto de Mandelbrot.

Y ante la pizarra estaban Lyubich, el mayor experto del mundo en el tema, y ​​Dudko, uno de sus colaboradores más cercanos. Junto con los matemáticos Jeremy Kahn y Alex Kapiamba, han estado trabajando para demostrar una conjetura de larga data sobre la estructura geométrica del conjunto de Mandelbrot. Esa conjetura, conocida como MLC, es el último obstáculo en la búsqueda de décadas para caracterizar el fractal, para domar su enmarañada naturaleza.

Al construir y perfeccionar un poderoso conjunto de herramientas, los matemáticos han luchado por el control de la geometría de "casi todo lo que forma parte del conjunto de Mandelbrot", dijo Caroline davis de la Universidad de Indiana, excepto por unos pocos casos restantes. "Misha, Dima, Jeremy y Alex son como cazarrecompensas que intentan localizar a estos últimos".

Lyubich y Dudko estaban en Dinamarca para actualizar a otros matemáticos sobre los avances recientes hacia la demostración de MLC y las técnicas que habían desarrollado para hacerlo. Durante los últimos 20 años, los investigadores se han reunido aquí para talleres dedicados a analizar resultados y métodos en el campo del análisis complejo, el estudio matemático de los tipos de números y funciones utilizadas para generar el conjunto de Mandelbrot.

Era una situación inusual: los matemáticos comían todos juntos, hablaban y reían con cervezas hasta altas horas de la madrugada. Cuando finalmente decidieron irse a dormir, se retiraron a literas o catres en pequeñas habitaciones que compartían en el segundo piso de la instalación. (A nuestra llegada, nos dijeron que tomáramos sábanas y fundas de almohada de una pila y las subiéramos arriba para hacer nuestras camas). En algunos años, los asistentes a la conferencia se atreven a nadar en el agua helada; más a menudo, deambulan por el bosque. Pero en su mayor parte, no hay nada que hacer excepto matemáticas.

Normalmente, me dijo uno de los asistentes, el taller atrae a muchos matemáticos jóvenes. Pero ese no fue el caso esta vez, tal vez porque era la mitad del semestre o, especuló, debido a lo difícil que era el tema. Confesó que en ese momento se sintió un poco intimidado ante la perspectiva de dar una charla frente a tantos de los grandes del campo.

Pero dado que la mayoría de los matemáticos en el área más amplia del análisis complejo ya no trabajan directamente en el conjunto de Mandelbrot, ¿por qué dedicar un taller completo al MLC?

El conjunto de Mandelbrot es más que un fractal, y no sólo en un sentido metafórico. Sirve como una especie de catálogo maestro de sistemas dinámicos, de todas las diferentes formas en que un punto podría moverse a través del espacio según una regla simple. Para comprender este catálogo maestro, es necesario atravesar muchos paisajes matemáticos diferentes. El conjunto de Mandelbrot está profundamente relacionado no sólo con la dinámica, sino también con la teoría de números, la topología, la geometría algebraica, la teoría de grupos e incluso la física. "Interactúa con el resto de las matemáticas de una manera hermosa", dijo Sabyasachi Mukherjee del Instituto Tata de Investigación Fundamental de la India.

Para avanzar en MLC, los matemáticos han tenido que desarrollar un sofisticado conjunto de técnicas, lo que Chéritat llama "una filosofía poderosa". Estas herramientas han atraído mucha atención. Hoy en día, constituyen un pilar central en el estudio de los sistemas dinámicos en un sentido más amplio. Han resultado ser cruciales para resolver muchos otros problemas, problemas que no tienen nada que ver con el conjunto de Mandelbrot. Y han transformado el MLC de una pregunta de nicho a una de las conjeturas abiertas más profundas e importantes del campo.

Lyubich, el matemático posiblemente más responsable de moldear esta “filosofía” en su forma actual, se mantiene erguido y habla en voz baja. Cuando otros matemáticos del taller se acercan a él para discutir un concepto o hacerle una pregunta, él cierra los ojos y escucha atentamente, con el ceño fruncido. Responde con cuidado, con acento ruso.

Pero también es rápido para estallar en carcajadas fuertes y cálidas y para hacer chistes irónicos. Es generoso con su tiempo y sus consejos. "Realmente ha nutrido a bastantes generaciones de matemáticos", dijo Mukherjee, uno de los antiguos posdoctorados de Lyubich y colaborador frecuente. Según él, cualquiera interesado en el estudio de la dinámica compleja pasa algún tiempo en Stony Brook aprendiendo de Lyubich. "Misha tiene esta visión de cómo debemos abordar un determinado proyecto o qué mirar a continuación", dijo Mukherjee. “Tiene esta gran imagen en mente. Y está feliz de compartir eso con la gente”.

Por primera vez, Lyubich siente que puede ver esa gran imagen en su totalidad.

Los luchadores premiados

El conjunto de Mandelbrot empezó con premio.

En 1915, motivada por los recientes avances en el estudio de las funciones, la Academia Francesa de Ciencias anunció un concurso: dentro de tres años, ofrecería un gran premio de 3,000 francos por trabajos sobre el proceso de iteración, el mismo proceso que posteriormente generar el conjunto de Mandelbrot.

La iteración es la aplicación repetida de una regla. Conecte un número a una función, luego use la salida como su siguiente entrada. Continúe haciendo eso y observe lo que sucede con el tiempo. A medida que continúa iterando su función, los números que obtenga pueden aumentar rápidamente hacia el infinito. O podrían ser atraídos hacia un número en particular, como limaduras de hierro que se mueven hacia un imán. O terminar rebotando entre los mismos dos números, o tres, o mil, en una órbita estable de la que nunca podrán escapar. O saltar de un número a otro sin ton ni son, siguiendo un camino caótico e impredecible.

La Academia Francesa, y los matemáticos en general, tenían otra razón para estar interesados ​​en la iteración. El proceso jugó un papel importante en el estudio de los sistemas dinámicos: sistemas como la rotación de los planetas alrededor del sol o el flujo de una corriente turbulenta, sistemas que cambian con el tiempo de acuerdo con un conjunto específico de reglas.

El premio inspiró a dos matemáticos a desarrollar un campo de estudio completamente nuevo.

El primero fue Pierre Fatou, que en otra vida podría haber sido marino (una tradición familiar), si no fuera por su mala salud. En cambio, siguió una carrera en matemáticas y astronomía, y en 1915 ya había demostrado varios resultados importantes en análisis. Luego estaba Gaston Julia, un joven matemático prometedor nacido en la Argelia ocupada por los franceses cuyos estudios fueron interrumpidos por la Primera Guerra Mundial y su reclutamiento en el ejército francés. A la edad de 22 años, después de sufrir una lesión grave poco después de comenzar su servicio (llevaría una correa de cuero en la cara por el resto de su vida, después de que los médicos no pudieran reparar el daño), regresó a las matemáticas, haciendo algunas de la obra que presentaría al premio de la Academia desde una cama de hospital.

El premio motivó tanto a Fatou como a Julia a estudiar qué sucede cuando se iteran funciones. Trabajaron de forma independiente, pero acabaron haciendo descubrimientos muy similares. Hubo tanta superposición en sus resultados que, incluso ahora, no siempre está claro cómo asignar el crédito. (Julia era más extrovertida y, por lo tanto, recibió más atención. Terminó ganando el premio; Fatou ni siquiera se postuló). Debido a este trabajo, los dos ahora son considerados los fundadores del campo de la dinámica compleja.

“Complejo”, porque Fatou y Julia iteraron funciones de números complejos, números que combinan un número real familiar con el llamado número imaginario (un múltiplo de i, el símbolo que usan los matemáticos para denotar la raíz cuadrada de −1). Mientras que los números reales se pueden representar como puntos en una recta, los números complejos se visualizan como puntos en un plano, así:

Fatou y Julia descubrieron que iterar incluso funciones complejas simples (¡no es una paradoja en el ámbito de las matemáticas!) podría conducir a comportamientos ricos y complicados, dependiendo del punto de partida. Comenzaron a documentar estos comportamientos y a representarlos geométricamente.

Pero luego su trabajo quedó en el olvido durante medio siglo. “La gente ni siquiera sabía qué buscar. Estaban limitados en cuanto a las preguntas que podían hacer”, dijo Artur Avila, profesor de la Universidad de Zúrich.

Esto cambió cuando los gráficos por computadora alcanzaron la mayoría de edad en la década de 1970.

Para entonces, el matemático Benoît Mandelbrot se había ganado la reputación de diletante académico. Había incursionado en muchos campos diferentes, desde la economía hasta la astronomía, mientras trabajaba en el centro de investigación de IBM al norte de la ciudad de Nueva York. Cuando fue nombrado miembro de IBM en 1974, tuvo aún más libertad para realizar proyectos independientes. Decidió aplicar la considerable potencia informática del centro para sacar de la hibernación dinámicas complejas.

Al principio, Mandelbrot utilizó las computadoras para generar los tipos de formas que Fatou y Julia habían estudiado. Las imágenes codificaban información sobre cuándo un punto de partida, al repetirse, escaparía al infinito y cuándo quedaría atrapado en algún otro patrón. Los dibujos de Fatou y Julia de 60 años antes parecían grupos de círculos y triángulos, pero las imágenes generadas por computadora que Mandelbrot hizo parecían dragones y mariposas, conejos, catedrales y cabezas de coliflor, a veces incluso nubes de polvo desconectadas. Para entonces, Mandelbrot ya había acuñado la palabra “fractal” para designar formas que parecían similares en diferentes escalas; la palabra evocaba la noción de un nuevo tipo de geometría: algo fragmentado, fraccionado o roto.

Las imágenes que aparecían en la pantalla de su computadora, hoy conocidas como conjuntos de Julia, eran algunos de los ejemplos de fractales más bellos y complicados que Mandelbrot había visto jamás.

El trabajo de Fatou y Julia se había centrado en la geometría y dinámica de cada uno de estos conjuntos (y sus correspondientes funciones) individualmente. Pero las computadoras le dieron a Mandelbrot una manera de pensar en toda una familia de funciones a la vez. Pudo codificarlos todos en la imagen que llevaría su nombre, aunque sigue siendo un tema de debate si realmente fue el primero en descubrirlo.

El conjunto de Mandelbrot trata con las ecuaciones más simples que aún hacen algo interesante cuando se itera. Estas son funciones cuadráticas de la forma f(z) = z² + c. Fijar un valor de c — puede ser cualquier número complejo. Si iteras la ecuación comenzando con z = 0 y descubres que los números que generas siguen siendo pequeños (o acotados, como dicen los matemáticos), entonces c está en el conjunto de Mandelbrot. Si, por otro lado, itera y descubre que eventualmente sus números comienzan a crecer hacia el infinito, entonces c no está en el conjunto de Mandelbrot.

Es sencillo demostrar que los valores de c cercanas a cero están en el conjunto. Y es igualmente sencillo demostrar que los grandes valores de c no lo son. Pero los números complejos hacen honor a su nombre: los límites del conjunto son magníficamente intrincados. No hay ninguna razón obvia para cambiar c en pequeñas cantidades debería hacer que sigas cruzando el límite, pero a medida que te acercas, aparecen cantidades infinitas de detalles.

Es más, el conjunto de Mandelbrot actúa como un mapa de los conjuntos de Julia, como se puede ver en la figura interactiva siguiente. Elija un valor de c en el conjunto de Mandelbrot. Se conectará el conjunto Julia correspondiente. Pero si deja el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia correspondiente se desconectará del polvo.