Si ha estado siguiendo las noticias de matemáticas este mes, sabe que el teórico de números de 35 años James Maynard ganó un Medalla Fields — el más alto honor para un matemático. A Maynard le gustan las preguntas de matemáticas que "son lo suficientemente simples como para explicarlas a un estudiante de secundaria, pero lo suficientemente difíciles como para dejar perplejos a los matemáticos durante siglos". ¿Cuánto reportaron, y una de esas preguntas sencillas es la siguiente: a medida que te desplazas por la recta numérica, ¿debe haber siempre números primos que estén muy juntos?
Es posible que haya notado que los matemáticos están obsesionados con los números primos. ¿Qué los atrae? Tal vez sea el hecho de que los números primos encarnan algunas de las estructuras y misterios más fundamentales de las matemáticas. Los primos mapean el universo de la multiplicación permitiéndonos clasificar y categorizar cada número con una factorización única. Pero a pesar de que los humanos han estado jugando con los números primos desde los albores de la multiplicación, todavía no estamos seguros de dónde aparecerán los números primos, qué tan dispersos están o qué tan cerca deben estar. Hasta donde sabemos, los números primos no siguen un patrón simple.
Nuestra fascinación por estos objetos fundamentales ha llevado a la invención, o descubrimiento, de cientos de tipos diferentes de números primos: números primos de Mersenne (primos de la forma 2n − 1), primos balanceados (primos que son el promedio de dos primos vecinos) y primos de Sophie Germain (un primo p tal que 2p + 1 también es primo), por nombrar algunos.
El interés en estos números primos especiales surgió al jugar con los números y descubrir algo nuevo. Eso también es cierto para los "primos digitales delicados", una adición reciente a la lista que ha llevado a algunos resultados sorprendentes sobre las preguntas más básicas: ¿Qué tan raros o comunes pueden ser ciertos tipos de números primos?
Para apreciar esta pregunta, comencemos con uno de los primeros hechos intrigantes que aprende un aspirante a entusiasta de los números: hay infinitos números primos. Euclides demostró esto hace 2,000 años utilizando una de las pruebas por contradicción más famosas de toda la historia de las matemáticas. Comenzó asumiendo que solo hay un número finito de números primos e imaginó todos n de ellos en una lista:
$látex_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Luego hizo algo inteligente: pensó en el número $latexq=p_1 veces p_2 veces p_3 veces … veces p_n+1$.
Darse cuenta de q no puede estar en la lista de primos, porque es más grande que todo en la lista. Entonces, si existe una lista finita de números primos, este número q no puede ser primo. Pero si q no es un primo, debe ser divisible por algo distinto de sí mismo y 1. Esto, a su vez, significa que q debe ser divisible por algún número primo de la lista, pero debido a la forma q se construye dividiendo q por cualquier cosa en la lista deja un resto de 1. Así que aparentemente q no es ni primo ni divisible por ningún primo, lo cual es una contradicción que resulta de suponer que solo hay un número finito de primos. Por lo tanto, para evitar esta contradicción, de hecho debe haber infinitos números primos.
Dado que hay una cantidad infinita de ellos, podrías pensar que los números primos de todo tipo son fáciles de encontrar, pero una de las siguientes cosas que aprende un detective de números primos es qué tan dispersos pueden estar los números primos. Un simple resultado sobre los espacios entre números primos consecutivos, llamados espacios entre números primos, dice algo bastante sorprendente.
Entre los primeros 10 números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29) puede ver espacios que consisten en uno o más números compuestos (números que no son primos, como 4, 12 o 27). Puede medir estas brechas contando los números compuestos intermedios: por ejemplo, hay una brecha de tamaño 0 entre 2 y 3, una brecha de tamaño 1 entre 3 y 5 y 5 y 7, una brecha de tamaño 3 entre 7 y 11, y así sucesivamente. La brecha principal más grande en esta lista consiste en los cinco números compuestos (24, 25, 26, 27 y 28) entre 23 y 29.
Ahora, el resultado increíble: los intervalos principales pueden ser arbitrariamente largos. Esto significa que existen números primos consecutivos tan separados como puedas imaginar. Quizás igual de increíble es lo fácil que es probar este hecho.
Ya tenemos un primer espacio de longitud 5 arriba. ¿Podría haber uno de longitud 6? En lugar de buscar listas de números primos con la esperanza de encontrar uno, lo construiremos nosotros mismos. Para hacerlo, usaremos la función factorial utilizada en las fórmulas básicas de conteo: Por definición, $latexn!=n veces(n-1) veces (n-2) veces … veces 3 veces 2 veces 1$, por ejemplo $ látex3!=3 veces 2 veces 1 = 6$ y $látex5!=5 veces 4 veces 3 veces 2 veces 1=120$.
Ahora construyamos nuestra brecha principal. Considere la siguiente secuencia de números consecutivos:
$látex 7!+2$, $látex7!+3$, $látex 7!+4$, $látex7!+5$, $látex 7!+6$, $látex 7!+7$.
Dado que $latex7!=7 por 6 por 5 por 4 por 3 por 2 por 1$, el primer número de nuestra secuencia, $latex7!+2$, es divisible por 2, lo cual puedes ver después de un poco de factorización:
$látex7!+2=7 veces 6 veces 5 veces 4 veces 3 veces 2 veces 1+2$
$látex= 2(7 veces 6 veces 5 veces 4 veces 3 veces 1+1)$.
Asimismo, el segundo número, $latex7!+3$, es divisible por 3, ya que
$látex7!+3=7 veces 6 veces 5 veces 4 veces 3 veces 2 veces 1+3$
$látex= 3(7 veces 6 veces 5 veces 4 veces 2 veces 1+1)$.
Del mismo modo, 7! + 4 es divisible por 4, 7! + 5 por 5, 7! + 6 por 6, y 7! + 7 por 7, lo que hace 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 una secuencia de seis números compuestos consecutivos. Tenemos una brecha principal de al menos 6.
Esta estrategia es fácil de generalizar. La secuencia
$látexn!+2$, $látexn!+3$, $látexn!+4$, $látex…$, $látexn!+n$.
es una secuencia de $latexn-1$ números compuestos consecutivos, lo que significa que, para cualquier n, hay una brecha principal con una longitud de al menos $latexn-1$. Esto muestra que hay brechas de números primos arbitrariamente largas, y así a lo largo de la lista de números naturales hay lugares donde los números primos más cercanos están separados por 100, o 1,000, o incluso por 1,000,000,000.
Una tensión clásica se puede ver en estos resultados. Hay infinitos números primos, pero los números primos consecutivos también pueden estar infinitamente separados. Además, hay infinitos números primos consecutivos que están muy juntos. Hace aproximadamente 10 años, el innovador trabajo de Yitang Zhang inició una carrera para cerrar la brecha y probar la conjetura de los números primos gemelos, que afirma que hay infinitos pares de números primos que difieren en solo 2. La conjetura de los números primos gemelos es una de las más importantes. famosas preguntas abiertas en matemáticas, y James Maynard ha hecho sus propias contribuciones significativas para probar este elusivo resultado.
Esta tensión también está presente en resultados recientes sobre los llamados primos digitalmente delicados. Para tener una idea de qué son estos números y dónde pueden estar o no, tómese un momento para reflexionar sobre la siguiente pregunta extraña: ¿Existe un número primo de dos dígitos que siempre se vuelve compuesto con cualquier cambio en el dígito de sus unidades?
Para tener una idea de la delicadeza digital, juguemos con el número 23. Sabemos que es un número primo, pero ¿qué sucede si cambias el dígito de las unidades? Bueno, 20, 22, 24, 26 y 28 son todos pares y, por lo tanto, compuestos; 21 es divisible por 3, 25 es divisible por 5 y 27 es divisible por 9. Hasta aquí todo bien. Pero si cambias el dígito de las unidades a 9, obtienes 29, que sigue siendo un número primo. Así que 23 no es el tipo de número primo que estamos buscando.
¿Y el 37? Como vimos anteriormente, no necesitamos molestarnos en verificar los números pares o los números que terminan en 5, así que solo verificaremos 31, 33 y 39. Dado que 31 también es primo, 37 tampoco funciona.
¿Existe tal número? La respuesta es sí, pero tenemos que llegar hasta el 97 para encontrarlo: 97 es un número primo, pero 91 (divisible por 7), 93 (divisible por 3) y 99 (también divisible por 3) son todos compuestos , junto con los números pares y el 95.
Un número primo es "delicado" si, cuando cambia cualquiera de sus dígitos por cualquier otra cosa, pierde su "primosidad" (o primalidad, para usar el término técnico). Hasta ahora vemos que 97 es delicado en el dígito de las unidades, ya que cambiar ese dígito siempre produce un número compuesto, pero ¿97 satisface todos los criterios de ser digitalmente delicado? La respuesta es no, porque si cambias el dígito de las decenas a 1 obtienes 17, un número primo. (Observe que 37, 47 y 67 también son números primos).
De hecho, no hay números primos digitalmente delicados de dos dígitos. La siguiente tabla de todos los números de dos dígitos, con los números primos de dos dígitos sombreados, muestra por qué.
Todos los números en cualquier fila dada tienen el mismo dígito de las decenas, y todos los números en cualquier columna dada tienen el mismo dígito de las unidades. El hecho de que 97 sea el único número sombreado en su fila refleja el hecho de que es delicado en el dígito de las unidades, pero no es el único primo en su columna, lo que significa que no es delicado en el dígito de las decenas.
Un primo de dos dígitos digitalmente delicado tendría que ser el único primo en su fila y columna. Como muestra la tabla, no existe tal número primo de dos dígitos. ¿Qué pasa con un primo de tres dígitos digitalmente delicado? Aquí hay una tabla similar que muestra el diseño de los números primos de tres dígitos entre 100 y 199, con los números compuestos omitidos.
Aquí vemos que 113 está en su propia fila, lo que significa que es delicado en el dígito de las unidades. Pero 113 no está en su propia columna, por lo que algunos cambios en el dígito de las decenas (como 0 para 103 o 6 para 163) producen números primos. Dado que ningún número aparece tanto en su propia fila como en su propia columna, vemos rápidamente que no hay un número de tres dígitos que esté garantizado que sea compuesto si cambia el dígito de las unidades o el dígito de las decenas. Esto significa que no puede haber números primos digitalmente delicados de tres dígitos. Note que ni siquiera revisamos el dígito de las centenas. Para ser verdaderamente digitalmente delicado, un número de tres dígitos tendría que evitar los números primos en tres direcciones en una tabla tridimensional.
¿Existen números primos digitalmente delicados? A medida que avanza en la recta numérica, los números primos tienden a ser más dispersos, lo que hace que sea menos probable que se crucen en las filas y columnas de estas tablas de dimensiones elevadas. Pero los números más grandes tienen más dígitos, y cada dígito adicional disminuye la probabilidad de que un número primo sea digitalmente delicado.
Si continúa, descubrirá que los primos digitalmente delicados existen. El más pequeño es 294,001. Cuando cambias uno de sus dígitos, el número que obtienes, digamos 794,001 284,001 o 505,447 584,141, será compuesto. Y hay más: Los siguientes son 604,171; 971,767; 1,062,599; XNUMX; y XNUMX. De hecho, no paran. El famoso matemático Paul Erdős demostró que hay infinitos números primos digitalmente delicados. Y ese fue solo el primero de muchos resultados sorprendentes sobre estos curiosos números.
Por ejemplo, Erdős no solo demostró que hay un número infinito de números primos digitalmente delicados: demostró que hay un número infinito de números primos digitalmente delicados en cualquier base. Entonces, si elige representar sus números en binario, ternario o hexadecimal, aún tiene la garantía de encontrar infinitos primos digitalmente delicados.
Y los primos digitalmente delicados no son solo infinitos: comprenden un porcentaje distinto de cero de todos los números primos. Esto significa que si observa la relación entre el número de números primos digitalmente delicados y el número total de números primos, esta fracción es un número mayor que cero. En términos técnicos, una "proporción positiva" de todos los números primos es digitalmente delicada, como demostró el medallista de Fields Terence Tao en 2010. Los números primos en sí mismos no constituyen una proporción positiva de todos los números, ya que encontrará cada vez menos números primos. cuanto más te alejes a lo largo de la recta numérica. Sin embargo, entre esos números primos, seguirás encontrando números primos digitalmente delicados con la suficiente frecuencia como para mantener la proporción de números primos delicados con respecto al total de números primos por encima de cero.
Tal vez el descubrimiento más impactante fue un resultado de 2020 sobre una nueva variación de estos extraños números. Al relajar el concepto de lo que es un dígito, los matemáticos reinventaron la representación de un número: en lugar de pensar en el 97 por sí mismo, pensaron que tenía ceros a la izquierda:
… 0000000097.
Cada cero inicial puede considerarse como un dígito, y la cuestión de la delicadeza digital puede extenderse a estas nuevas representaciones. ¿Podrían existir "primos digitalmente delicados", es decir, números primos que siempre se convierten en compuestos si cambia cualquiera de los dígitos, incluido cualquiera de esos ceros a la izquierda? Gracias al trabajo de los matemáticos Michael Filaseta y Jeremiah Southwick sabemos que la respuesta, sorprendentemente, es sí. No solo existen números primos digitalmente delicados, sino que hay un número infinito de ellos.
Los números primos forman una cadena infinita de acertijos matemáticos para profesionales y entusiastas. Es posible que nunca desentrañemos todos sus misterios, pero puede contar con los matemáticos para descubrir e inventar continuamente nuevos tipos de números primos para explorar.
Ejercicios
1. ¿Cuál es la mayor brecha de primos entre los primos del 2 al 101?
2. Para demostrar que hay un número infinito de números primos, Euclides asume que hay un número finito de números primos $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, y luego muestra que $latexq=p_1 veces p_2 veces p_3 veces … veces p_n+1$ es no es divisible por ningún número primo de la lista. ¿No significa esto que q tiene que ser primo?
3. Un resultado famoso en teoría de números es que siempre hay un primo entre k y séptimak (inclusivo). Esto es difícil de probar, pero es fácil probar que siempre hay un número primo entre k y $latexq=p_1 por p_2 por p_3 por … por p_n+1$ (inclusive), donde $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ son todos los números primos menores o iguales que k. Pruébalo.
4. ¿Puedes encontrar el número primo más pequeño que sea digitalmente delicado en los dígitos de las unidades y las decenas? Esto significa que cambiar el dígito de las unidades o las decenas siempre producirá un número compuesto. (¡Es posible que desee escribir un programa de computadora para hacer esto!)
Problema de desafío: ¿Puedes encontrar el número primo más pequeño que sea digitalmente delicado cuando se representa en binario? Recuerda que en binario, o base 2, los únicos dígitos son 0 y 1, y cada valor posicional representa una potencia de 2. Por ejemplo, 8 se representa como $latex1000_2$, ya que $latex 8=1 por 2^3 + 0 por 2^2 + 0 por 2^1 + 0 por 2^0$, y 7 en base 2 es $latex111_2$, ya que $latex7=1 por 2^2 + 1 por 2^1 + 1 por 2^0$.
Haga clic para la respuesta 1:
Haga clic para la respuesta 2:
No. Considera los primeros seis números primos: 2, 3, 5, 7, 11 y 13. En este caso el número q sería $latex 2 por 3 por 5 por 7 por 11 por 13 + 1 = 30,031$. Esto no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11 o 13, pero no es un primo: se factoriza como $latex 30,031 = 59 por 509$. Observe que tiene factores primos, pero todos son más grandes que los primeros seis primos.
Haga clic para la respuesta 3:
Si alguno k or q es primo hemos terminado. Si q no es primo, es compuesto, lo que significa que es divisible por algún número primo, pero ya sabemos que no es divisible por ninguno de los primeros n primos Por lo tanto, tiene que ser divisible por un número primo mayor que el primero. n primos, y dado que estos son todos los primos menores que k, este primo debe ser mayor que k. Pero este primo divide q, por lo que debe ser menor que q, entonces debe haber un primo entre k y q.
Haga clic para la respuesta 4:
El primer primo que satisface esta propiedad es 2,459, ya que 2,451, 2,453 y 2,457 son todos compuestos (satisfaciendo el criterio de dígitos delicados) y 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489 y 2,499 son todos compuestos (satisfaciendo el delicado criterio de las decenas). Sin embargo, 2,459 no es digitalmente delicado, porque 2,659 es primo, por lo que falla una vez que comienzas a considerar el dígito de las centenas. (Gracias al matemático John D. Cook por publicar su Código de Python de búsqueda de primos digitalmente delicado.)
Haga clic para obtener la respuesta al problema de desafío:
$latex127=1111111_2$ es digitalmente delicado, ya que $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111=1101111_2$, $latex95=1011111$, y $2 =63_0111111$ son todos compuestos.
