Εισαγωγή
Έχουμε την τάση να θεωρούμε τα μαθηματικά ως καθαρά λογικά, αλλά η διδασκαλία των μαθηματικών, οι αξίες τους, η χρησιμότητά τους και η λειτουργία τους είναι γεμάτη με αποχρώσεις. Τι είναι λοιπόν τα «καλά» μαθηματικά; Το 2007, ο μαθηματικός Τερένς Τάο έγραψε ένα δοκίμιο για το Δελτίο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας που προσπάθησε να απαντήσει σε αυτό το ερώτημα. Σήμερα, ως αποδέκτης ενός μεταλλίου Fields, ενός Βραβείου Πρωτοπορίας στα Μαθηματικά και μιας υποτροφίας MacArthur, ο Tao είναι ένας από τους πιο τιμητικούς και παραγωγικούς μαθηματικούς εν ζωή. Σε αυτό το επεισόδιο, ενώνεται με τον οικοδεσπότη και συνάδελφό μας μαθηματικό Στίβεν Στροτζάτζ να επανεξετάσουμε τα αποτελέσματα των καλών μαθηματικών.
Ακούστε Apple Podcasts, Spotify, Podcasts Google, Ράπτων, Συντονιστείτε ή την αγαπημένη σας εφαρμογή podcasting, ή μπορείτε μεταδώστε το από Quanta.
Αντίγραφο
ΣΤΙΒΕΝ ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Τον Οκτώβριο του 2007, πολύ πίσω όταν το iPhone πρώτης γενιάς ήταν ακόμα ένα καυτό εμπόρευμα και το χρηματιστήριο βρισκόταν σε υψηλό όλων των εποχών πριν από τη Μεγάλη Ύφεση, ο Terence Tao, καθηγητής μαθηματικών στο UCLA, ήταν αποφασισμένος να απαντήσει ερώτηση που είχε συζητηθεί εδώ και καιρό μεταξύ των μαθηματικών: Τι ακριβώς είναι τα καλά μαθηματικά;
Πρόκειται για αυστηρότητα; Κομψότητα? Βοηθητικό πρόγραμμα στον πραγματικό κόσμο; Ο Terry έγραψε ένα πολύ στοχαστικό και γενναιόδωρο, θα έλεγα ακόμη και ανοιχτόκαρδο, δοκίμιο για όλους τους τρόπους με τους οποίους τα μαθηματικά θα μπορούσαν να είναι καλά. Αλλά τώρα, περισσότερα από 15 χρόνια μετά, χρειάζεται να ξανασκεφτούμε τι είναι καλά μαθηματικά;
Είμαι ο Steve Strogatz και αυτό είναι το "The Joy of Why", ένα podcast από Quanta Magazine όπου η συμπαρουσιάστριά μου, Janna Levin, και εγώ εξερευνούμε εκ περιτροπής μερικές από τις μεγαλύτερες αναπάντητα ερωτήματα στα μαθηματικά και τις επιστήμες σήμερα.
(Θεματικά παιχνίδια)
Εδώ σήμερα για να επανεξετάσουμε το αιώνιο ερώτημα του τι κάνει τα μαθηματικά καλά είναι ο ίδιος ο Terry Tao. Ο καθηγητής Tao έχει συγγράψει περισσότερες από 300 ερευνητικές εργασίες σε μια εκπληκτικά ευρεία σειρά μαθηματικών, όπως αρμονική ανάλυση, μερικές διαφορικές εξισώσεις, συνδυαστική, θεωρία αριθμών, επιστήμη δεδομένων, τυχαίους πίνακες και πολλά άλλα. Έχει αναφερθεί ως ο «Μότσαρτ των Μαθηματικών». Και ως νικητής ενός μεταλλίου Fields, ενός Breakthrough Prize in Mathematics, ενός MacArthur Fellowship και πολλών άλλων βραβείων, αυτό το παρατσούκλι είναι σίγουρα άξιο.
Terry, καλώς ήρθατε στο "The Joy of Why".
ΤΕΡΕΝΣ ΤΑΟ: Χαίρομαι που βρίσκομαι εδώ.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Είμαι πολύ ενθουσιασμένος που μπορώ να σας μιλήσω για αυτήν την ερώτηση σχετικά με το τι είναι αυτό που κάνει ορισμένους τύπους μαθηματικής έρευνας καλούς. Θυμάμαι πολύ έντονα να ξεφυλλίζω το Δελτίο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας πίσω το 2007 και συναντάμε το δοκίμιό σας για αυτό το θέμα που μας πόζαρες. Είναι κάτι που σκέφτονται όλοι οι μαθηματικοί. Αλλά για ανθρώπους εκεί έξω που μπορεί να μην είναι τόσο εξοικειωμένοι, θα μπορούσατε να μας πείτε, πώς καταλήξατε σε αυτήν την ερώτηση; Πώς ορίζατε τα καλά μαθηματικά τότε;
ΤΑΟ: Σωστά, ναι. Στην πραγματικότητα ήταν μια πρόσκληση. Έτσι ο συντάκτης του Δελτίο τότε μου είχε ζητήσει να συνεισφέρω ένα άρθρο. Νομίζω ότι είχα μια πολύ αφελή ιδέα για το τι ήταν τα μαθηματικά ως μαθητής. Είχα κάπως την ιδέα ότι υπήρχε κάποιο είδος συμβουλίου γκριζογένειας που θα μοίραζε προβλήματα στους ανθρώπους για να δουλέψουν. Και ήταν ένα είδος σοκ για εμένα ως μεταπτυχιακός φοιτητής, καθώς συνειδητοποίησα ότι στην πραγματικότητα δεν υπήρχε αυτή η κεντρική αρχή για να επιλύσει προβλήματα, και οι άνθρωποι έκαναν έρευνα που κατευθύνεται από τον εαυτό μου.
Συνέχισα να πηγαίνω σε ομιλίες και να ακούω πώς μιλούσαν άλλοι μαθηματικοί για το τι βρίσκουν συναρπαστικό και τι τους κάνει να ενθουσιάζονται με τα μαθηματικά και το γεγονός ότι κάθε μαθηματικός έχει διαφορετικό τρόπο προσέγγισης των μαθηματικών. Όπως, κάποιοι θα ακολουθούσαν εφαρμογές, κάποιοι με κάποιο είδος αισθητικής ομορφιάς, κάποιοι μόνο με την επίλυση προβλημάτων. Ήθελαν να λύσουν ένα πρόβλημα και θα εστιάζονταν στα πιο δύσκολα, στις πιο απαιτητικές εργασίες. Κάποιοι θα επικεντρωθούν στην τεχνική. κάποιοι θα προσπαθούσαν να κάνουν τα πράγματα όσο το δυνατόν πιο κομψά.
Αλλά αυτό που με εντυπωσίασε όταν ακούω τόσους πολλούς από αυτούς τους διαφορετικούς μαθηματικούς να μιλούν για το τι βρίσκουν πολύτιμο στα μαθηματικά είναι ότι, παρόλο που όλοι είχαμε διαφορετικά ιδανικά ως προς το πώς θα έπρεπε να είναι τα καλά μαθηματικά, όλοι τείνουν να συγκλίνουν στο ίδιο πράγμα.
Εάν ένα κομμάτι των μαθηματικών είναι πραγματικά καλό, οι άνθρωποι που επιδιώκουν την ομορφιά θα συμβούν τελικά σε αυτό. Άνθρωποι που επιδιώκουν, που εκτιμούν, ξέρετε, την τεχνική δύναμη ή τις εφαρμογές θα προσγειωθούν τελικά σε αυτήν.
Eugene Wigner είχε ένα πολύ διάσημο δοκίμιο για το παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες σχεδόν πριν από έναν αιώνα, όπου μόλις παρατήρησε ότι υπήρχαν τομείς των μαθηματικών - για παράδειγμα, η γεωμετρία του Ρίμαν, η μελέτη του καμπύλου χώρου - που ήταν αρχικά απλώς μια καθαρά θεωρητική άσκηση για τους μαθηματικούς, ξέρετε, που προσπαθούσαν να αποδείξουν παράλληλο αξίωμα και ούτω καθεξής, αποδεικνύεται ότι ήταν ακριβώς αυτό που χρειάζονταν ο Αϊνστάιν και ο Πουανκαρέ και ο Χίλμπερτ για να περιγράψουν τα μαθηματικά της γενικής σχετικότητας. Και αυτό είναι απλώς ένα φαινόμενο που εμφανίζεται.
Έτσι, δεν είναι μόνο αυτά τα μαθηματικά, που [ό,τι] οι μαθηματικοί βρίσκουν διανοητικά ενδιαφέρον καταλήγουν να είναι σωματικά σημαντικά. Αλλά ακόμη και στα μαθηματικά, τα θέματα που οι μαθηματικοί βρίσκουν κομψά τυγχάνει επίσης να παρέχουν βαθιά γνώση.
Αυτό που νιώθω είναι ότι, ξέρετε, υπάρχουν κάποια πλατωνικά καλά μαθηματικά εκεί έξω, και όλα τα διαφορετικά συστήματα αξιών μας είναι απλώς διαφορετικοί τρόποι πρόσβασης σε αυτό το αντικειμενικό καλό υλικό.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Είναι πολύ ενδιαφέρον. Όντας ένα είδος ατόμου με τάση για πλατωνική σκέψη, μπαίνω στον πειρασμό να συμφωνήσω. Αν και εκπλήσσομαι λίγο που σας ακούω να το λέτε αυτό, γιατί θα πίστευα ότι το πού πηγαίνατε αρχικά φαινόταν ότι, όπως, υπάρχουν τόσες πολλές διαφορετικές απόψεις σχετικά με αυτό. Είναι ένα ενδιαφέρον γεγονός, ωστόσο, κάπως εμπειρικό γεγονός, ότι όντως συγκλίνουμε στο να συμφωνήσουμε για το τι είναι καλό ή όχι, παρόλο που, όπως λέτε, προερχόμαστε από τόσες πολλές διαφορετικές αξίες.
ΤΑΟ: Σωστά. Η σύγκλιση μπορεί να πάρει χρόνο. Ξέρετε, επομένως υπάρχουν σίγουρα πεδία, για παράδειγμα, όπου φαίνονται πολύ καλύτερα όπως μετρώνται με μία μέτρηση από άλλα. Όπως μπορεί να έχουν πολλές εφαρμογές, αλλά η παρουσίασή τους είναι εξαιρετικά αηδιαστική, ξέρετε.
(Ο Στρόγκατς γελάει)
Ή πράγματα που είναι πολύ κομψά αλλά δεν έχουν ακόμα πολλές καλές εφαρμογές στον πραγματικό κόσμο. Αλλά νιώθω ότι τελικά θα συγκλίνει.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Λοιπόν, να σε ρωτήσω για αυτό το σημείο επαφής με τον πραγματικό κόσμο. Είναι μια ενδιαφέρουσα ένταση στα μαθηματικά. Και, ξέρετε, ως μικρά παιδιά, ας πούμε, όταν μάθαμε για πρώτη φορά για τη γεωμετρία, μπορεί να σκεφτείτε ότι τα τρίγωνα είναι πραγματικά ή οι κύκλοι ή οι ευθείες γραμμές είναι αληθινά και ότι μπορούν να σας πουν για τα ορθογώνια σχήματα που βλέπετε σε κτίρια στον κόσμο ή ότι οι επιθεωρητές πρέπει να χρησιμοποιούν γεωμετρία. Και τελικά, η λέξη προέρχεται από τη μέτρηση της Γης, σωστά, «γεωμετρία». Και έτσι, υπήρξε μια εποχή που η γεωμετρία ήταν εμπειρική.
Αλλά αυτό που ήθελα να σας ρωτήσω έχει να κάνει με ένα σχόλιο αυτό John von Neumann έκανε. Έτσι, ο φον Νόιμαν, για όποιον δεν γνωρίζει, ήταν ο ίδιος ένας σπουδαίος μαθηματικός. Και έκανε αυτό το σχόλιο σε αυτό το δοκίμιο, "Ο Μαθηματικός», για τη σχέση μεταξύ των μαθηματικών και του εμπειρικού κόσμου, του πραγματικού κόσμου, όπου λέει χονδρικά ότι οι μαθηματικές ιδέες πηγάζουν από την εμπειρική, αλλά ότι κάποια στιγμή, μόλις αποκτήσετε τις μαθηματικές ιδέες, το θέμα αρχίζει να παίρνει μια ζωή τα δικά. Και μετά μοιάζει περισσότερο με ένα δημιουργικό έργο τέχνης. Τα αισθητικά κριτήρια γίνονται σημαντικά. Αλλά λέει ότι αυτό προκαλεί κίνδυνο. Ότι όταν ένα υποκείμενο αρχίζει να απομακρύνεται πολύ από την εμπειρική του πηγή, όπως ειδικά στη δεύτερη ή τρίτη γενιά του, λέει ότι υπάρχει πιθανότητα το υποκείμενο να υποφέρει από υπερβολική αφηρημένη ενδογαμία και να κινδυνεύει να εκφυλιστεί.
Κάποιες σκέψεις για αυτό; Θέλω να πω, τα μαθηματικά πρέπει να παραμένουν σε επαφή με την εμπειρική τους πηγή;
TAO: Ναι, νομίζω ότι πρέπει να είναι γειωμένο. Όταν λέω ότι, εμπειρικά, όλοι αυτοί οι διαφορετικοί τρόποι μαθηματικών συγκλίνουν, είναι μόνο επειδή — αυτό συμβαίνει μόνο όταν το θέμα είναι υγιές. Έτσι, ξέρετε, τα καλά νέα είναι ότι συνήθως είναι.
Αλλά, για παράδειγμα, οι μαθηματικοί εκτιμούν τις σύντομες αποδείξεις σε σχέση με τις μεγάλες, ενώ όλα τα άλλα πράγματα είναι ίσα. Αλλά θα μπορούσε κανείς να φανταστεί τους ανθρώπους να περνούν στη θάλασσα και, όπως, ένα υποπεδίο των μαθηματικών να έχει εμμονή να κάνει αποδείξεις όσο το δυνατόν πιο σύντομες και να έχει αυτές τις εξαιρετικά αδιαφανείς αποδείξεις δύο γραμμών βαθιών θεωρημάτων. Και το κάνουν σαν τέτοιο διαγωνισμό, και μετά γίνεται τέτοιου είδους δυσάρεστο παιχνίδι και μετά χάνεις όλη τη διαίσθηση. Χάνεις ίσως τη βαθύτερη κατανόηση επειδή είσαι πολύ εμμονή με το να κάνεις όλες τις αποδείξεις σου όσο το δυνατόν πιο σύντομες. Τώρα, αυτό δεν συμβαίνει στην πράξη. Αλλά αυτό είναι ένα είδος θεωρητικού παραδείγματος, και νομίζω ότι ο von Neumann έκανε μια παρόμοια άποψη.
Και στη δεκαετία του εξήντα και του εβδομήντα, όπως, υπήρχε μια εποχή μαθηματικών όπου η αφαίρεση έκανε τεράστια βήματα προς την απλοποίηση και την ενοποίηση πολλών μαθηματικών που προηγουμένως ήταν πολύ εμπειρικά. Ειδικά στην άλγεβρα, οι άνθρωποι συνειδητοποιούσαν, ξέρετε, αριθμούς και πολυώνυμα και πολλά άλλα αντικείμενα που προηγουμένως αντιμετωπίζονταν ξεχωριστά, θα μπορούσατε όλοι να τα σκεφτείτε ως μέλη της ίδιας αλγεβρικής τάξης, στην προκειμένη περίπτωση ως δακτύλιο.
Και γινόταν μεγάλη πρόοδος στα μαθηματικά με την εύρεση της σωστής αφαίρεσης, ξέρετε, είτε ήταν ένας τοπολογικός χώρος είτε ένας διανυσματικός χώρος, ό,τι κι αν είναι, και με την απόδειξη θεωρημάτων σε μεγάλη γενικότητα. Και αυτό μερικές φορές λέμε εποχή Μπουρμπάκη στα μαθηματικά. Και παρέσυρε λίγο πολύ από το να γειωθεί.
Φυσικά είχαμε, όπως, ολόκληρο το επεισόδιο των New Math στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου οι εκπαιδευτικοί προσπάθησαν διδάσκουν μαθηματικά σε στυλ Μπουρμπάκη και τελικά συνειδητοποίησε ότι αυτή δεν ήταν η κατάλληλη παιδαγωγική σε αυτό το επίπεδο.
Αλλά τώρα το εκκρεμές έχει γυρίσει αρκετά πίσω. Έχουμε κάπως — το θέμα έχει ωριμάσει αρκετά και κάθε τομέας των μαθηματικών, της γεωμετρίας, της τοπολογίας, οτιδήποτε, έχουμε κάπως ικανοποιητικές επισημοποιήσεις και ξέρουμε κάπως ποιες είναι οι σωστές αφαιρέσεις. Και τώρα το πεδίο εστιάζει ξανά στις διασυνδέσεις και τις εφαρμογές. Συνδέεται πολύ περισσότερο με τον πραγματικό κόσμο τώρα.
Εννοώ, όχι απλώς ένα είδος φυσικής, που είναι μια παραδοσιακή σύνδεση, αλλά, ξέρετε, η επιστήμη των υπολογιστών, οι βιοεπιστήμες, οι κοινωνικές επιστήμες, ξέρετε. Με την άνοδο των μεγάλων δεδομένων, σχεδόν κάθε ανθρώπινη πειθαρχία τώρα μπορεί να μαθηματοποιηθεί σε κάποιο βαθμό.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Με ενδιαφέρει πολύ η λέξη που μόλις πριν από ένα λεπτό χρησιμοποιήσατε για τις «διασυνδέσεις», γιατί αυτό φαίνεται σαν ένα κεντρικό σημείο για να συζητήσουμε. Είναι κάτι που αναφέρετε στο δοκίμιό σας ότι, μαζί με αυτά, αυτά που ονομάζετε «τοπικά» κριτήρια σχετικά με την κομψότητα, ή τις εφαρμογές του πραγματικού κόσμου, ή οτιδήποτε άλλο, αναφέρετε αυτήν την «παγκόσμια» πτυχή των καλών μαθηματικών: ότι τα καλά μαθηματικά συνδέονται με άλλα καλά μαθηματικά.
Αυτό είναι σχεδόν το κλειδί για αυτό που το κάνει καλό, ότι είναι ενσωματωμένο με άλλα μέρη. Αλλά είναι ενδιαφέρον γιατί ακούγεται σχεδόν σαν κυκλικός συλλογισμός: ότι τα καλά μαθηματικά είναι τα μαθηματικά που συνδέονται με άλλα καλά μαθηματικά. Αλλά είναι μια πραγματικά ισχυρή ιδέα, και απλά αναρωτιέμαι αν θα μπορούσατε να την επεκτείνετε λίγο περισσότερο.
ΤΑΟ: Ναι, λοιπόν, εννοώ, τι είναι τα μαθηματικά — ένα από τα πράγματα που κάνουν τα μαθηματικά είναι ότι δημιουργούν συνδέσεις που είναι πολύ βασικές και θεμελιώδεις, αλλά όχι προφανείς αν το κοιτάξεις από το επιφανειακό επίπεδο. Ένα πολύ πρώιμο παράδειγμα αυτού είναι η εφεύρεση του Descartes για τις καρτεσιανές συντεταγμένες που έκανε μια θεμελιώδη σύνδεση μεταξύ της γεωμετρίας - της μελέτης σημείων και γραμμών και χωρικών αντικειμένων - και των αριθμών, της άλγεβρας.
Έτσι, για παράδειγμα, ένας κύκλος που μπορείτε να σκεφτείτε ως γεωμετρικό αντικείμενο, αλλά μπορείτε επίσης να τον σκεφτείτε ως εξίσωση: x2 + y2 = 1 είναι η εξίσωση ενός κύκλου. Εκείνη την εποχή, ήταν μια πολύ επαναστατική σύνδεση. Ξέρετε, οι αρχαίοι Έλληνες έβλεπαν τη θεωρία των αριθμών και τη γεωμετρία ως σχεδόν εντελώς ασύνδετα θέματα.
Αλλά με τον Ντεκάρτ, υπήρχε αυτή η θεμελιώδης σύνδεση. Και τώρα εσωτερικεύεται. ξέρετε, με τον τρόπο που διδάσκουμε τα μαθηματικά. Δεν είναι πλέον περίεργο που αν έχεις γεωμετρικό πρόβλημα, του επιτίθεταις με αριθμούς. Ή αν έχετε πρόβλημα με τους αριθμούς, μπορείτε να του επιτεθείτε με γεωμετρία.
Είναι κάπως επειδή τόσο η γεωμετρία όσο και οι αριθμοί είναι πτυχές της ίδιας μαθηματικής έννοιας. Έχουμε ένα ολόκληρο πεδίο που ονομάζεται αλγεβρική γεωμετρία, το οποίο δεν είναι ούτε άλγεβρα ούτε γεωμετρία, αλλά είναι ένα ενοποιημένο θέμα που μελετά αντικείμενα που μπορείτε να τα θεωρήσετε είτε ως γεωμετρικά σχήματα, όπως γραμμές και κύκλοι κ.λπ., είτε ως εξισώσεις.
Αλλά πραγματικά, είναι μια ολιστική ένωση των δύο που μελετάμε. Και καθώς το θέμα έχει βαθύνει, έχουμε συνειδητοποιήσει ότι αυτό είναι κατά κάποιο τρόπο πιο θεμελιώδες από είτε την άλγεβρα είτε τη γεωμετρία ξεχωριστά, κατά κάποιο τρόπο. Έτσι, αυτές οι συνδέσεις μας βοηθούν να ανακαλύψουμε ένα είδος πραγματικών μαθηματικών που αρχικά, κατά κάποιο τρόπο, οι εμπειρικές μας μελέτες μας δίνουν μόνο μια γωνιά του θέματος.
Υπάρχει αυτή η περίφημη παραβολή του ελέφαντα, ξεχνώ πού, ότι αν έχεις… Υπάρχουν τέσσερις τυφλοί και ανακαλύπτουν έναν ελέφαντα. Και ένας από αυτούς νιώθει το πόδι του ελέφαντα και σκέφτονται, «Α, αυτό, είναι πολύ τραχύ. Πρέπει να είναι σαν δέντρο ή κάτι τέτοιο».
Και ένας από αυτούς αισθάνεται τον κορμό, και μόνο πολύ αργότερα βλέπουν ότι υπάρχει ένα μοναδικό αντικείμενο ελέφαντα που εξηγεί όλες τις ξεχωριστές υποθέσεις τους. Ναι, άρα είμαστε όλοι τυφλοί αρχικά, ξέρετε. Απλώς παρακολουθούμε τις σκιές στη σπηλιά του Πλάτωνα και μόνο αργότερα συνειδητοποιούμε —
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Πω πω, είσαι πολύ φιλοσοφημένος εδώ. Αυτό είναι κάτι. Δεν μπορώ να αντισταθώ τώρα: Εάν πρόκειται να αρχίσετε να μιλάτε για τον ελέφαντα και τους τυφλούς, αυτό υποδηλώνει ότι πιστεύετε ότι τα μαθηματικά είναι εκεί έξω — ότι είναι κάτι σαν τον ελέφαντα και ότι εμείς είμαστε οι τυφλοί… Ή, εσείς ξέρετε, προσπαθούμε να δούμε κάτι που υπάρχει ανεξάρτητα από τα ανθρώπινα όντα. Είναι αλήθεια αυτό που πιστεύεις;
ΤΑΟ: Όταν κάνεις καλά μαθηματικά, για παράδειγμα, δεν είναι απλώς να σπρώχνεις σύμβολα. Νιώθεις ότι υπάρχει κάποιο πραγματικό αντικείμενο που προσπαθείς να καταλάβεις, και όλες οι εξισώσεις που έχουμε είναι απλώς προσεγγίσεις αυτού ή σκιές.
Μπορείτε να συζητήσετε το φιλοσοφικό σημείο του τι είναι στην πραγματικότητα πραγματικότητα και ούτω καθεξής. Θέλω να πω, αυτά είναι πράγματα που μπορείτε πραγματικά να αγγίξετε, και όσο πιο αληθινά γίνονται τα πράγματα μαθηματικά, μερικές φορές τόσο λιγότερο φυσικά φαίνονται. Όπως είπατε, η γεωμετρία αρχικά, ξέρετε, ήταν ένα πολύ απτό πράγμα σχετικά με τα αντικείμενα στο φυσικό χώρο που θα μπορούσατε - ξέρετε, μπορείτε πραγματικά να χτίσετε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο και ούτω καθεξής.
Αλλά στη σύγχρονη γεωμετρία, ξέρετε, δουλεύουμε σε υψηλότερες διαστάσεις. Μπορούμε να μιλήσουμε για διακριτές γεωμετρίες, κάθε είδους εκκεντρικές τοπολογίες. Και, εννοώ, το θέμα εξακολουθεί να αξίζει να ονομάζεται γεωμετρία, παρόλο που δεν μετριέται πια Γη. Η αρχαία ελληνική ετυμολογία είναι πολύ ξεπερασμένη αλλά είναι, αλλά σίγουρα υπάρχει κάτι εκεί. Είτε — πόσο αληθινό θέλετε να το πείτε. Αλλά υποθέτω ότι το θέμα είναι ότι για να κάνουμε πραγματικά μαθηματικά, βοηθάει να πιστεύουμε ότι είναι αληθινό.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Ναι, δεν είναι ενδιαφέρον; Κάνει. Φαίνεται ότι αυτό είναι κάτι που πηγαίνει πολύ βαθιά στην ιστορία των μαθηματικών. Μου έκανε εντύπωση ένα δοκίμιο του Αρχιμήδη που έγραφε στον φίλο του, ή τουλάχιστον στον συνάδελφό του, Ερατοσθένη.
Μιλάμε τώρα, όπως το 250 π.Χ. Και κάνει την παρατήρηση, ανακάλυψε έναν τρόπο να βρει την περιοχή αυτού που θα ονομάζαμε το τμήμα μιας παραβολής. Παίρνει μια παραβολή, την κόβει με ένα ευθύγραμμο τμήμα που βρίσκεται σε λοξή γωνία ως προς τον άξονα της παραβολής, και υπολογίζει αυτή την περιοχή. Παίρνει ένα πολύ όμορφο αποτέλεσμα. Αλλά λέει κάτι στον Ερατοσθένη όπως: «Αυτά τα αποτελέσματα ήταν εγγενή στους αριθμούς από τότε». Ξέρεις, είναι εκεί. Είναι εκεί. Απλώς περιμένουν να βρει.
Δεν είναι σαν να τα δημιούργησε. Δεν είναι σαν την ποίηση. Θέλω να πω, είναι ενδιαφέρον, στην πραγματικότητα, έτσι δεν είναι; Ότι πολλοί μεγάλοι καλλιτέχνες — ο Μιχαήλ Άγγελος μίλησαν για την απελευθέρωση του αγάλματος από την πέτρα, ξέρετε, σαν να ήταν εκεί στην αρχή. Και ακούγεται όπως εσείς και πολλοί άλλοι σπουδαίοι μαθηματικοί – όπως λέτε, είναι πολύ χρήσιμο να πιστεύουμε αυτή την ιδέα, ότι είναι εκεί και μας περιμένει, περιμένοντας τα σωστά μυαλά να την ανακαλύψουν.
ΤΑΟ: Σωστά. Λοιπόν, νομίζω ότι μια εκδήλωση αυτού είναι ότι οι ιδέες που συχνά είναι πολύ περίπλοκο να εξηγηθούν όταν ανακαλύπτονται για πρώτη φορά, απλοποιούνται. Εννοώ, ξέρετε, συχνά ο λόγος για τον οποίο κάτι φαίνεται πολύ βαθύ ή δύσκολο στην αρχή είναι ότι δεν έχετε τη σωστή σημείωση.
Για παράδειγμα, τώρα έχουμε δεκαδικό συμβολισμό για να χειριζόμαστε αριθμούς και είναι πολύ βολικό. Αλλά στο παρελθόν, είχαμε όπως, ξέρετε, ρωμαϊκούς αριθμούς και στη συνέχεια υπήρχαν ακόμη πιο πρωτόγονα συστήματα αριθμών με τα οποία ήταν πραγματικά πολύ δύσκολο να δουλέψεις αν ήθελες να κάνεις μαθηματικά.
του Ευκλείδη Στοιχεία, ξέρετε — μερικά από τα επιχειρήματα σε αυτά τα αρχαία κείμενα. Όπως, υπάρχει ένα θεώρημα σε αυτό του Ευκλείδη Στοιχεία Νομίζω ότι ονομάζεται Γέφυρα των Ηλίθιων ή κάτι τέτοιο. Είναι σαν τη δήλωση ότι, νομίζω ότι η πρόταση είναι σαν ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι δύο γωνίες βάσης είναι ίσες. Όπως, αυτό είναι σαν μια απόδειξη δύο γραμμών σε σύγχρονα γεωμετρικά κείμενα, ξέρετε, με τα σωστά αξιώματα. Αλλά ο Ευκλείδης είχε αυτόν τον φρικτό τρόπο να το κάνει. Και ήταν όπου πολλοί σπουδαστές γεωμετρίας στην κλασική εποχή εγκατέλειψαν εντελώς τα μαθηματικά.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Αλήθεια. (Γελάει)
ΤΑΟ: Αλλά, ξέρετε, τώρα έχουμε έναν πολύ καλύτερο τρόπο να το κάνουμε αυτό. Έτσι συχνά οι επιπλοκές που βλέπουμε στα μαθηματικά είναι τεχνουργήματα των δικών μας περιορισμών. Και, έτσι, όσο ωριμάζουμε, ξέρετε, τα πράγματα γίνονται πιο απλά. Και αισθάνεται πιο αληθινό εξαιτίας αυτού. Δεν βλέπουμε τα τεχνουργήματα. Βλέπουμε την ουσία.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Λοιπόν, επιστρέφοντας λοιπόν στο δοκίμιό σας: Όταν το γράψατε, τότε — εννοώ, ήταν αρκετά νωρίς στην καριέρα σας, όχι στην αρχή, αλλά ακόμα. Γιατί νιώσατε τότε ότι ήταν σημαντικό να προσπαθήσετε να ορίσετε τι ήταν τα καλά μαθηματικά;
ΤΑΟ: Νομίζω… Σε εκείνο το σημείο λοιπόν, άρχισα ήδη να συμβουλεύω τους μεταπτυχιακούς φοιτητές και παρατηρούσα ότι, ξέρετε, υπήρχαν κάποιες λανθασμένες αντιλήψεις σχετικά με το τι είναι καλό και τι όχι. Και μιλούσα επίσης με μαθηματικούς σε διαφορετικούς τομείς, και αυτό που εκτιμούσε το πεδίο κάποιου στα μαθηματικά φαινόταν διαφορετικό από άλλα. Ωστόσο, κατά κάποιο τρόπο όλοι μελετούσαμε το ίδιο θέμα.
Και μερικές φορές κάποιος θα έλεγε κάτι που με έτριβε με λάθος τρόπο, ξέρετε, όπως, «Αυτά τα μαθηματικά δεν έχουν εφαρμογές, επομένως δεν έχουν καμία αξία». Ή «Αυτή η απόδειξη είναι πολύ περίπλοκη. επομένως δεν έχει αξία», ή κάτι τέτοιο. Ή αντίστροφα, ξέρετε, «Αυτή η απόδειξη είναι πολύ απλή. επομένως δεν αξίζει…» Ξέρεις. Υπήρχε, όπως, κάποιου είδους σνομπισμός και ούτω καθεξής, που μερικές φορές συναντούσα.
Και από την εμπειρία μου, τα καλύτερα μαθηματικά ήρθαν όταν κατάλαβα μια διαφορετική άποψη, έναν διαφορετικό τρόπο σκέψης για τα μαθηματικά από κάποιον σε διαφορετικό πεδίο και την εφαρμογή του σε ένα πρόβλημα που με ένοιαζε. Και έτσι η εμπειρία μου για το πώς να χρησιμοποιώ σωστά τα μαθηματικά, πώς να τα χειρίζομαι, ήταν τόσο διαφορετική από αυτές – κάπως σαν τον «ένα αληθινό τρόπο να κάνεις μαθηματικά».
Ένιωσα ότι αυτό το σημείο έπρεπε να γίνει με κάποιο τρόπο. Ότι υπάρχει πραγματικά ένας πληθυντικός τρόπος για να κάνεις μαθηματικά, αλλά ενώ τα μαθηματικά είναι ακόμα ενωμένα.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Αυτό είναι πολύ αποκαλυπτικό, γιατί είχα αναρωτηθεί, ξέρετε, όπως, στην εισαγωγή μου ανέφερα τους πολλούς διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών που έχετε εξερευνήσει, και δεν συμπεριέλαβα καν μερικούς. Όπως, μπορώ να θυμηθώ μόλις πριν από λίγα χρόνια, την εργασία σας σχετικά με αυτό το μυστήριο στη ρευστοδυναμική, σχετικά με το αν ορισμένες εξισώσεις που πιστεύουμε ότι κάνουν καλή δουλειά στην προσέγγιση των κινήσεων του νερού και του αέρα. Δεν θέλω να υπεισέλθω σε λεπτομέρειες πάρα πολύ, αλλά απλώς για να πω, εδώ είστε, οι άνθρωποι νομίζουν ότι κάνετε θεωρία αριθμών ή αρμονική ανάλυση, και ξαφνικά εργάζεστε σε ερωτήσεις ρευστής δυναμικής. Εννοώ, συνειδητοποιώ ότι είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις. Ωστόσο, το εύρος των ενδιαφερόντων σας φαίνεται να σχετίζεται με το εύρος της αποδοχής διαφορετικών γνώσεων, διαφορετικών πολύτιμων ιδεών από όλους τους διαφορετικούς τρόπους για να κάνετε καλά μαθηματικά.
ΤΑΟ: Ξεχνώ ποιος το είπε, αλλά υπάρχουν δύο τύποι μαθηματικών. Υπάρχουν σκαντζόχοιροι και αλεπούδες. Αλεπού είναι κάποιος που ξέρει λίγα πράγματα για τα πάντα. Ο σκαντζόχοιρος είναι ένα πλάσμα που ξέρει ένα πράγμα πολύ, πολύ καλά. Και κανένα δεν είναι καλύτερο από το άλλο. Συμπληρώνονται ο ένας τον άλλον. Θέλω να πω, στα μαθηματικά, χρειάζεσαι ανθρώπους που είναι πραγματικά ειδικοί σε βάθος σε ένα υποτομέα και γνωρίζουν ένα θέμα από μέσα προς τα έξω. Και χρειάζεστε ανθρώπους που μπορούν να δουν τις συνδέσεις μεταξύ ενός πεδίου και ενός άλλου. Οπότε σίγουρα ταυτίζομαι ως αλεπού, αλλά δουλεύω με πολλούς σκαντζόχοιρους. Η δουλειά για την οποία είμαι πιο περήφανος είναι συχνά μια τέτοια συνεργασία.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Ω! ναι. Καταλαβαίνουν ότι είναι σκαντζόχοιροι;
ΤΑΟ: Λοιπόν, εντάξει, οι ρόλοι αλλάζουν με τον καιρό. Όπως, υπάρχουν και άλλες συνεργασίες όπου εγώ είμαι ο σκαντζόχοιρος και κάποιος άλλος είναι η αλεπού. Αυτά δεν είναι κάπως μόνιμα - ξέρετε, αυτά δεν υπάρχουν στο DNA σας.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Α, καλό σημείο. Μπορούμε να υιοθετήσουμε — μπορούμε να φορέσουμε και τους δύο μανδύες.
Λοιπόν, τι γίνεται, υπήρχε ανταπόκριση στο δοκίμιο εκείνη την εποχή; Ο κόσμος σου είπε τίποτα;
ΤΑΟ: Πήρα μια αρκετά θετική απάντηση γενικά. Εννοώ, το Δελτίο ΑΜΣ δεν είναι μια δημοσίευση μεγάλης, ευρείας κυκλοφορίας, νομίζω. Και επίσης, δεν είπα τίποτα πολύ αμφιλεγόμενο. Επίσης, αυτού του είδους τα προηγούμενα μέσα κοινωνικής δικτύωσης, έτσι, νομίζω ότι ίσως υπάρχουν μερικά μαθηματικά ιστολόγια που το πήραν, αλλά δεν υπήρχε Twitter. Δεν υπήρχε τίποτα που να το κάνει viral.
Ναι, επίσης νομίζω ότι, γενικά, οι μαθηματικοί δεν ξοδεύουν πολύ από τον χρόνο και το πνευματικό τους κεφάλαιο σε κερδοσκοπία. Δηλαδή, λέγεται ένας άλλος μαθηματικός Minhyong Kim που είχε αυτή την πολύ ωραία μεταφορά ότι, για τους μαθηματικούς, η αξιοπιστία είναι σαν το νόμισμα, σαν το χρήμα. Εάν αποδείξετε θεωρήματα και αποδείξετε ότι γνωρίζετε το θέμα, συσσωρεύετε κατά κάποιον τρόπο αυτό το νόμισμα αξιοπιστίας στην τράπεζα. Και από τη στιγμή που έχετε αρκετό νόμισμα, μπορείτε να αντέξετε οικονομικά να κάνετε εικασίες, όντας λίγο φιλοσοφημένοι και λέγοντας τι θα μπορούσε να είναι αλήθεια και όχι αυτό που μπορείτε πραγματικά να αποδείξετε.
Αλλά τείνουμε να είμαστε συντηρητικοί και δεν θέλουμε υπερανάληψη στον τραπεζικό μας λογαριασμό. Ξέρετε, δεν θέλετε το μεγαλύτερο μέρος του γραπτού σας να είναι εικαστικό και μόνο το ένα τοις εκατό να αποδεικνύει κάτι πραγματικά.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Δίκαιο. Λοιπόν, εντάξει. Έτσι, έχουν περάσει πολλά χρόνια από τότε. Για τι πράγμα μιλάμε? Είναι πάνω από 15 χρόνια.
ΤΑΟ: Ω ναι, ο χρόνος κυλά.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Έχει αλλάξει η γνώμη σου; Υπάρχει κάτι που πρέπει να αναθεωρήσουμε;
ΤΑΟ: Λοιπόν, η κουλτούρα των μαθηματικών αλλάζει αρκετά. Είχα ήδη μια ευρεία άποψη για τα μαθηματικά, και τώρα έχω μια ακόμη ευρύτερη.
Έτσι, ένα πολύ συγκεκριμένο παράδειγμα είναι: Οι αποδείξεις με τη βοήθεια υπολογιστή εξακολουθούσαν να αμφισβητούνται το 2007. Υπήρχε μια περίφημη εικασία που ονομάζεται εικασία Kepler, η οποία αφορά τον πιο αποτελεσματικό τρόπο συσκευασίας μπάλες μονάδας σε τρισδιάστατο χώρο. Και υπάρχει μια τυπική συσκευασία, νομίζω ότι ονομάζεται κυβική κεντρική συσκευασία ή κάτι τέτοιο, που ο Kepler υπέθεσε ότι ήταν η καλύτερη δυνατή.
Αυτό τελικά επιλύθηκε, αλλά το Η απόδειξη ήταν πολύ υποβοηθούμενη από υπολογιστή. Ήταν αρκετά περίπλοκο και [Thomas] Halesτελικά δημιούργησε μια ολόκληρη γλώσσα υπολογιστή για να επαληθεύσει επίσημα αυτή τη συγκεκριμένη απόδειξη, αλλά δεν έγινε αποδεκτή ως πραγματική απόδειξη για πολλά χρόνια. Αλλά απέδειξε πόσο αμφιλεγόμενη ήταν η έννοια της απόδειξης ότι χρειαζόσασταν βοήθεια υπολογιστή για να επαληθεύσετε.
Στα χρόνια που πέρασαν, υπήρξαν πολλά, πολλά άλλα παραδείγματα αποδείξεων όπου ένας άνθρωπος μπορεί να μειώσει ένα περίπλοκο πρόβλημα σε κάτι που εξακολουθεί να απαιτεί έναν υπολογιστή για επαλήθευση. Και μετά ο υπολογιστής προχωρά και το επαληθεύει. Έχουμε αναπτύξει πρακτικές για το πώς να το κάνουμε αυτό με υπευθυνότητα. Ξέρετε, πώς να δημοσιεύετε κώδικα και δεδομένα και τρόπους ελέγχου και νέα πράγματα ανοιχτού κώδικα και ούτω καθεξής. Και τώρα, υπάρχει ευρεία αποδοχή των αποδείξεων με τη βοήθεια υπολογιστή.
Τώρα, νομίζω, η επόμενη πολιτιστική αλλαγή θα είναι εάν οι αποδείξεις που δημιουργούνται από την τεχνητή νοημοσύνη θα γίνουν δεκτές. Αυτήν τη στιγμή, τα εργαλεία τεχνητής νοημοσύνης δεν είναι στο επίπεδο που μπορούν να δημιουργήσουν αποδείξεις για να προωθήσουν πραγματικά μαθηματικά προβλήματα. Ίσως οι εργασίες προπτυχιακού επιπέδου, να μπορούν να διαχειριστούν, αλλά ερευνήστε τα μαθηματικά, δεν είναι ακόμα σε αυτό το επίπεδο. Αλλά κάποια στιγμή, θα αρχίσουμε να βλέπουμε να βγαίνουν έγγραφα με τη βοήθεια AI και θα υπάρξει μια συζήτηση.
Ο τρόπος με τον οποίο η κουλτούρα μας έχει αλλάξει κατά κάποιο τρόπο… Πίσω στο 2007, μόνο ένα κλάσμα μαθηματικών διέθετε τις προεκτυπώσεις τους πριν από τη δημοσίευση. Οι συγγραφείς θα φύλαγαν με ζήλο τις προεκτυπώσεις τους μέχρι να λάβουν την ειδοποίηση αποδοχής από το περιοδικό. Και τότε μπορεί να μοιραστούν.
Τώρα όμως όλοι βάζουν τα χαρτιά τους δημόσιους διακομιστές όπως ο arXiv. Υπάρχει πολύ μεγαλύτερο άνοιγμα για την τοποθέτηση βίντεο και αναρτήσεων ιστολογίου, σχετικά με το από πού προέρχονται οι ιδέες ενός χαρτιού. Επειδή οι άνθρωποι συνειδητοποιούν ότι αυτό είναι που κάνει την εργασία πιο επιδραστική και πιο επιδραστική. Εάν προσπαθήσετε να μην δημοσιοποιήσετε τη δουλειά σας και να είστε πολύ μυστικοπαθείς σχετικά με αυτό, δεν προκαλεί πάταγο.
Τα μαθηματικά έχουν γίνει πολύ πιο συνεργατικά. Ξέρετε, πριν από 50 χρόνια, θα έλεγα ότι η πλειονότητα των εργασιών στα μαθηματικά ήταν μονοσυγγραφέας. Τώρα, σίγουρα η πλειοψηφία είναι δύο ή τρεις ή τέσσερις συγγραφείς. Και μόλις αρχίζουμε να βλέπουμε πραγματικά μεγάλα έργα όπως κάνουμε στις επιστήμες, ξέρετε, όπως δεκάδες, εκατοντάδες άνθρωποι συνεργάζονται. Αυτό είναι ακόμα δύσκολο για τους μαθηματικούς να το κάνουν, αλλά νομίζω ότι θα φτάσουμε εκεί.
Ταυτόχρονα, γινόμαστε πολύ πιο διεπιστημονικοί. Δουλεύουμε πολύ περισσότερο με άλλες επιστήμες. Δουλεύουμε μεταξύ μαθηματικών πεδίων. Και λόγω του διαδικτύου, μπορούμε να συνεργαζόμαστε με ανθρώπους σε όλο τον κόσμο. Έτσι, ο τρόπος που κάνουμε τα μαθηματικά αλλάζει σίγουρα.
Ελπίζω στο μέλλον, να μπορούμε να αξιοποιήσουμε περισσότερο την ερασιτεχνική κοινότητα των μαθηματικών. Υπάρχουν και άλλα πεδία όπως η αστρονομία, όπου οι αστρονόμοι κάνουν μεγάλη χρήση της κοινότητας της ερασιτεχνικής αστρονομίας, όπως, ξέρετε, πολλοί κομήτες, για παράδειγμα, βρίσκονται από ερασιτέχνες.
Αλλά οι μαθηματικοί… Υπάρχουν μερικές μεμονωμένες περιοχές των μαθηματικών, όπως η τοποθέτηση πλακιδίων, η δισδιάστατη τοποθέτηση πλακιδίων και ίσως η εύρεση εγγραφών σε πρώτους αριθμούς. Υπάρχουν μερικά πολύ επιλεγμένα πεδία των μαθηματικών όπου οι ερασιτέχνες συνεισφέρουν, και είναι ευπρόσδεκτοι. Αλλά υπάρχουν πολλά εμπόδια. Στους περισσότερους τομείς των μαθηματικών, χρειάζεσαι τόση εκπαίδευση και εσωτερικευμένη ή συμβατική σοφία που δεν μπορούμε να συνωστίσουμε τα πηγαία πράγματα. Αλλά αυτό μπορεί να αλλάξει στο μέλλον. Ίσως ένας αντίκτυπος της τεχνητής νοημοσύνης θα ήταν να επιτρέψει στους ερασιτέχνες μαθηματικούς να συνεισφέρουν ουσιαστικά στα μαθηματικά.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Είναι πολύ ενδιαφέρον.
[Διάλειμμα για εισαγωγή διαφήμισης]
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Έτσι, οι ερασιτέχνες θα μπορούσαν, με τη βοήθεια AI, είτε να κάνουν νέες ερωτήσεις που είναι καλές είτε να βοηθήσουν με καλές εξερευνήσεις υπαρχόντων ερωτήσεων, κάτι τέτοιο;
ΤΑΟ: Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι — ναι. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν τώρα έργα για την επισημοποίηση αποδείξεων μεγάλων θεωρημάτων σε αυτά τα πράγματα που ονομάζονται επίσημους βοηθούς απόδειξης, οι οποίες είναι σαν γλώσσες υπολογιστών που μπορούν 100% να επαληθεύσουν ότι ένα θεώρημα είναι αληθές ή όχι και — αποδεικνύεται ή όχι. Αυτό στην πραγματικότητα επιτρέπει τη μεγάλης κλίμακας συνεργασία στα μαθηματικά.
Έτσι, στο παρελθόν, εάν συνεργάζεστε με άλλα 10 άτομα για να αποδείξετε ένα θεώρημα, και ο καθένας συνεισφέρει ένα βήμα, ο καθένας πρέπει να επαληθεύσει τα μαθηματικά όλων των άλλων. Γιατί το θέμα με τα μαθηματικά είναι ότι αν ένα βήμα έχει ένα σφάλμα, το όλο θέμα μπορεί να καταρρεύσει.
Χρειάζεστε λοιπόν εμπιστοσύνη, και έτσι — επομένως αυτό αποτρέπει, αυτό εμποδίζει πραγματικά τις συνεργασίες μεγάλης κλίμακας στα μαθηματικά. Αλλά υπάρχουν τώρα, υπήρξαν επιτυχημένα παραδείγματα πολύ μεγάλων θεωρημάτων που έχουν επισημοποιηθεί όπου υπάρχει μια τεράστια κοινότητα, δεν γνωρίζονται όλοι μεταξύ τους, δεν εμπιστεύονται όλοι ο ένας τον άλλον, αλλά επικοινωνούν μέσω μεταφόρτωσης σε κάποιο αποθετήριο Github ή κάτι, όπως, μεμονωμένες αποδείξεις μεμονωμένων βημάτων στο επιχείρημα. Και το επίσημο λογισμικό απόδειξης επαληθεύει τα πάντα, και έτσι δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για την εμπιστοσύνη. Έτσι, ενεργοποιούμε νέους τρόπους συνεργασίας, που δεν έχουμε δει πραγματικά στο παρελθόν.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Είναι πολύ ενδιαφέρον να ακούς το όραμά σου, Terry. Είναι μια συναρπαστική σκέψη. Δεν ακούτε τη φράση «πολίτης μαθηματικός». Ακούτε για την επιστήμη των πολιτών, αλλά γιατί όχι και για τα μαθηματικά των πολιτών;
Αλλά απλώς αναρωτιέμαι, υπάρχουν κάποιες τάσεις για τις οποίες ανησυχείτε, για παράδειγμα, με αποδείξεις υποβοηθούμενη από υπολογιστή ή αποδείξεις τεχνητής νοημοσύνης; Θα ξέρουμε ότι ορισμένα αποτελέσματα είναι αληθινά, αλλά δεν θα καταλάβουμε γιατί;
ΤΑΟ: Άρα αυτό είναι πρόβλημα. Θέλω να πω, είναι ήδη ένα πρόβλημα ακόμη και πριν από την έλευση της AI. Έτσι, υπάρχουν πολλά πεδία όπου οι εργασίες σε ένα θέμα γίνονται όλο και μεγαλύτερες, εκατοντάδες σελίδες. Και ελπίζω ότι η τεχνητή νοημοσύνη μπορεί πραγματικά να βοηθήσει στην απλούστευση και μπορεί να εξηγήσει αλλά και να αποδείξει.
Επομένως, υπάρχει ήδη πειραματικό λογισμικό όπου, για παράδειγμα, εάν πάρετε μια απόδειξη που έχει επισημοποιηθεί, μπορείτε πραγματικά να τη μετατρέψετε σε ένα διαδραστικό έγγραφο αναγνώσιμο από τον άνθρωπο, όπου έχετε την απόδειξη και βλέπετε τα βήματα υψηλού επιπέδου και εάν υπάρχει μια πρόταση δεν καταλαβαίνετε ότι μπορείτε να κάνετε διπλό κλικ πάνω του και θα επεκταθεί σε μικρότερα βήματα. Σύντομα νομίζω ότι μπορείτε επίσης να βάλετε ένα chatbot AI να κάθεται δίπλα σας ενώ εξετάζετε την απόδειξη, και μπορεί να κάνει ερωτήσεις και να εξηγεί κάθε βήμα σαν να ήταν ο συγγραφέας. Νομίζω ότι είμαστε ήδη πολύ κοντά σε αυτό.
Υπάρχουν ανησυχίες. Πρέπει να αλλάξουμε τον τρόπο με τον οποίο εκπαιδεύουμε τους μαθητές μας, ιδιαίτερα τώρα που πολλοί από τους παραδοσιακούς τρόπους ανάθεσης εργασιών στο σπίτι και ούτω καθεξής, βρισκόμαστε σχεδόν στο σημείο όπου αυτά τα εργαλεία τεχνητής νοημοσύνης μπορούν να απαντήσουν άμεσα σε πολλές από τις τυπικές ερωτήσεις εξετάσεών μας. Και έτσι, πρέπει να διδάξουμε στους μαθητές μας νέες δεξιότητες, όπως πώς να επαληθεύσουν εάν ένα αποτέλεσμα που δημιουργείται από AI είναι σωστό ή όχι και πώς να λάβουν μια δεύτερη γνώμη.
Και μπορεί να δούμε την εμφάνιση μιας πιο πειραματικής πλευράς στα μαθηματικά, ξέρετε. Έτσι, τα μαθηματικά είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου θεωρητικά, ενώ οι περισσότερες επιστήμες έχουν τόσο θεωρητικό όσο και πειραματικό στοιχείο. Μπορεί τελικά να έχουμε αποτελέσματα που πρώτα αποδεικνύονται μόνο από υπολογιστές και, όπως λέτε, δεν καταλαβαίνουμε. Στη συνέχεια, όμως, μόλις έχουμε τα δεδομένα που παρέχουν η τεχνητή νοημοσύνη, οι αποδείξεις που δημιουργούνται από υπολογιστή, μπορεί να είμαστε σε θέση να εκτελέσουμε πειράματα.
Υπάρχουν λίγο πειραματικά μαθηματικά τώρα. Οι άνθρωποι μελετούν, όπως, μεγάλα σύνολα δεδομένων διαφόρων πραγμάτων, ελλειπτικές καμπύλες, ας πούμε. Αλλά θα μπορούσε να γίνει πολύ μεγαλύτερο στο μέλλον.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Ε, έχεις πολύ αισιόδοξη άποψη, μου ακούγεται. Δεν είναι όπως η Χρυσή Εποχή είναι στο παρελθόν. Αν σας ακούω καλά, νομίζετε ότι υπάρχουν πολλά πολύ συναρπαστικά πράγματα μπροστά σας.
ΤΑΟ: Ναι, πολλά από τα νέα τεχνολογικά εργαλεία είναι πολύ ενδυναμωτικά. Εννοώ ότι η τεχνητή νοημοσύνη γενικά έχει πολλά σύνθετα σκαμπανεβάσματα και μειονεκτήματα. Και εκτός των επιστημών, υπάρχουν πολλές πιθανές διαταραχές στην οικονομία, τα δικαιώματα πνευματικής ιδιοκτησίας και ούτω καθεξής. Αλλά στα μαθηματικά, νομίζω ότι η αναλογία του καλού προς το κακό είναι καλύτερη από ό,τι σε πολλούς άλλους τομείς.
Και, ξέρετε, το Διαδίκτυο έχει πραγματικά μεταμορφώσει τον τρόπο που κάνουμε τα μαθηματικά. Συνεργάζομαι με πολλούς ανθρώπους σε πολλούς και διαφορετικούς τομείς. Δεν θα μπορούσα να το κάνω αυτό χωρίς το διαδίκτυο. Το γεγονός ότι μπορώ να μπω στη Wikipedia ή οτιδήποτε άλλο και να αρχίσω να μαθαίνω ένα θέμα, και μπορώ να στείλω email σε κάποιον και να συνεργαστούμε διαδικτυακά. Αν έπρεπε να κάνω πράγματα παλιάς σχολής όπου μπορούσα να μιλήσω μόνο με άτομα στο τμήμα μου και να χρησιμοποιήσω φυσική αλληλογραφία για οτιδήποτε άλλο, δεν θα μπορούσα να κάνω τα μαθηματικά που κάνω τώρα.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Ουάου, εντάξει. Πρέπει απλώς να υπογραμμίσω αυτό που μόλις είπατε, γιατί ποτέ δεν πίστευα ότι σε ένα εκατομμύριο χρόνια θα άκουγα αυτό: ο Terry Tao διαβάζει τη Wikipedia για να μάθει μαθηματικά;
ΤΑΟ: Ως αφετηρία. Θέλω να πω, δεν είναι πάντα η Wikipedia, αλλά μόνο για να λάβω τις λέξεις-κλειδιά, και μετά θα κάνω μια πιο εξειδικευμένη αναζήτηση, ας πούμε, MathSciNet ή κάποια άλλη βάση δεδομένων. Αλλά ναι.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Δεν είναι κριτική. Δηλαδή κάνω το ίδιο πράγμα. Η Wikipedia είναι στην πραγματικότητα, αν υπάρχει κάποια κριτική για τα μαθηματικά στη Wikipedia, ίσως είναι ότι μερικές φορές είναι λίγο πολύ προχωρημένη για τους αναγνώστες για τους οποίους προορίζεται, νομίζω. Δεν είναι πάντα. Θέλω να πω, εξαρτάται. Διαφέρει πολύ από άρθρο σε άρθρο. Αλλά αυτό είναι απλώς αστείο. Μου αρέσει να το ακούω αυτό.
ΤΑΟ: Θέλω να πω, αυτά τα εργαλεία, πρέπει να μπορείτε να ελέγξετε την έξοδο. Ξέρετε, λοιπόν, εννοώ, ο λόγος για τον οποίο μπορώ να χρησιμοποιήσω τη Wikipedia για να κάνω μαθηματικά είναι επειδή γνωρίζω ήδη αρκετά μαθηματικά που μπορώ να μυρίσω εάν ένα κομμάτι της Wikipedia στα μαθηματικά είναι ύποπτο ή όχι. Ξέρετε, μπορεί να έχει κάποιες πηγές και η μία από αυτές θα είναι καλύτερη πηγή από την άλλη. Και γνωρίζω τους συγγραφείς και έχω μια ιδέα για το ποια αναφορά θα είναι καλύτερη για μένα. Αν χρησιμοποιούσα τη Wikipedia για να μάθω για ένα θέμα στο οποίο δεν είχα εμπειρία, τότε νομίζω ότι θα ήταν περισσότερο μια τυχαία μεταβλητή.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Λοιπόν, έχουμε μιλήσει αρκετά για το τι είναι αυτό που κάνει τα καλά μαθηματικά, το πιθανό μέλλον για νέα είδη καλών μαθηματικών. Αλλά ίσως θα έπρεπε να απαντήσουμε στο ερώτημα: Γιατί έχει σημασία αυτό; Γιατί είναι σημαντικό τα μαθηματικά να είναι καλά;
ΤΑΟ: Λοιπόν, πρώτα από όλα, θέλω να πω, γιατί έχουμε μαθηματικούς καθόλου; Γιατί η κοινωνία εκτιμά τους μαθηματικούς και μας δίνει τους πόρους για να κάνουμε αυτό που κάνουμε; Ξέρετε, είναι επειδή παρέχουμε κάποια αξία. Μπορούμε να έχουμε εφαρμογές στον πραγματικό κόσμο. Υπάρχει πνευματικό ενδιαφέρον και μερικές από τις θεωρίες που αναπτύσσουμε καταλήγουν να παρέχουν εικόνα για άλλα φαινόμενα.
Και δεν είναι όλα τα μαθηματικά ίσης αξίας. Εννοώ, θα μπορούσατε να υπολογίσετε όλο και περισσότερα ψηφία του pi, αλλά κάποια στιγμή δεν μαθαίνετε τίποτα. Οποιοδήποτε θέμα χρειάζεται κάποιου είδους αξιολογική κρίση γιατί πρέπει να διαθέσετε πόρους. Υπάρχουν τόσα μαθηματικά εκεί έξω. Ποιες προόδους θέλετε να επισημάνετε και να δημοσιοποιήσετε και να ενημερώσετε άλλους ανθρώπους και ποιες ίσως θα έπρεπε απλώς να κάθονται ήσυχα σε ένα ημερολόγιο κάπου;
Ακόμα κι αν πιστεύετε ότι ένα θέμα είναι εντελώς αντικειμενικό και, ξέρετε, υπάρχει μόνο αλήθεια ή ψέμα, πρέπει να κάνουμε επιλογές. Ξέρετε, ακριβώς επειδή ο χρόνος είναι περιορισμένος πόρος. Η προσοχή είναι περιορισμένος πόρος. Τα χρήματα είναι περιορισμένος πόρος. Επομένως, αυτά είναι πάντα σημαντικά ερωτήματα.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Λοιπόν, ενδιαφέρον αυτό που αναφέρεις για τη δημοσιοποίηση, γιατί είναι κάτι που πιστεύω ότι είναι ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της δουλειάς σου, ότι έχεις καταβάλει επίσης μεγάλη προσπάθεια για να κάνεις τα μαθηματικά δημόσια προσβάσιμα μέσω του ιστολογίου σου, μέσω διαφόρων άρθρων έχω γράψει. Θυμάμαι ότι συζητούσα για ένα που έγραψες Αμερικανός επιστήμονας για την καθολικότητα και αυτή την ιδέα. Γιατί είναι σημαντικό να γίνουν τα μαθηματικά δημόσια προσβάσιμα και κατανοητά; Δηλαδή, τι προσπαθείς να κάνεις;
ΤΑΟ: Κάπως οργανικά συνέβη. Στις αρχές της καριέρας μου, ο Παγκόσμιος Ιστός ήταν ακόμα πολύ νέος και οι μαθηματικοί άρχισαν να έχουν ιστοσελίδες με διαφορετικό περιεχόμενο, αλλά δεν υπήρχε πολύς κεντρικός κατάλογος. Πριν από την Google και ούτω καθεξής, ήταν πραγματικά δύσκολο να βρεθούν μεμονωμένοι πόροι.
Έτσι, άρχισα να φτιάχνω μικρούς καταλόγους στην ιστοσελίδα μου. Και θα έφτιαχνα επίσης ιστοσελίδες για τις δικές μου εφημερίδες και θα έκανα κάποιο σχόλιο. Αρχικά, ήταν περισσότερο για δικό μου όφελος, απλώς ως οργανωτικό εργαλείο, απλώς για να με βοηθήσει να βρω πράγματα. Ως υποπροϊόν, ήταν διαθέσιμο στο κοινό, αλλά ήμουν ο κύριος καταναλωτής, ή τουλάχιστον έτσι νόμιζα, των δικών μου ιστοσελίδων.
Αλλά θυμάμαι πολύ καθαρά, ήταν μια φορά που έγραψα μια εργασία και την έβαλα στην ιστοσελίδα μου και είχα μια μικρή υποσελίδα που ονομαζόταν «Τι νέο υπάρχει;» Και είπα απλώς, «Εδώ είναι ένα χαρτί. Υπάρχει μια ερώτηση που δεν μπόρεσα ακόμα να απαντήσω και δεν ξέρω πώς να τη λύσω». Και μόλις έκανα αυτό το σχόλιο. Και μετά, σαν δύο μέρες αργότερα, έλαβα ένα email που έλεγε: «Ω, μόλις έλεγξα την αρχική σας σελίδα. Ξέρω την απάντηση σε αυτό. Υπάρχει ένα χαρτί που θα λύσει το πρόβλημά σας».
Και με έκανε να συνειδητοποιήσω, πρώτα απ 'όλα, ότι οι άνθρωποι επισκέπτονταν πραγματικά την ιστοσελίδα μου, κάτι που δεν ήξερα πραγματικά. Αλλά αυτή η αλληλεπίδραση με την κοινότητα θα μπορούσε πραγματικά — καλά, θα μπορούσε να με βοηθήσει να λύσω άμεσα τις απορίες μου.
Αυτός ο νόμος λέγεται Ο νόμος του Metcalfe στη δικτύωση αυτό, ξέρεις, αν έχεις n άνθρωποι, και όλοι μιλούν μεταξύ τους, υπάρχει περίπου n2 συνδέσεις μεταξύ τους. Και έτσι, όσο μεγαλύτερο είναι το κοινό και όσο μεγαλύτερο είναι το φόρουμ όπου ο καθένας μπορεί να μιλήσει με όλους τους άλλους, τόσο περισσότερες πιθανές συνδέσεις μπορείτε να κάνετε και τόσο περισσότερα καλά πράγματα μπορούν να συμβούν.
Εννοώ, στην καριέρα μου, πολλές από τις ανακαλύψεις που έχω κάνει, ή τις συνδέσεις που έχω κάνει οφείλονται σε μια απροσδόκητη σύνδεση. Ολόκληρη η επαγγελματική μου εμπειρία ήταν κατά κάποιο τρόπο οι περισσότερες συνδέσεις ισοδυναμούν με το να συμβαίνουν καλύτερα πράγματα.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Νομίζω ότι ένα όμορφο παράδειγμα αυτού στο οποίο απλώς αναφέρεστε, αλλά θα ήθελα πολύ να σας ακούσω να μιλάτε για αυτό, είναι οι σχέσεις που κάνατε με ανθρώπους στην επιστήμη δεδομένων που ενδιαφέρονται για ερωτήσεις που σχετίζονται με την ιατρική τομογραφία , μαγνητική τομογραφία. Θα μπορούσατε να μας πείτε λίγα λόγια για αυτήν την ιστορία;
ΤΑΟ: Λοιπόν, αυτό ήταν περίπου το 2006, το 2005, νομίζω. Λοιπόν, υπήρχε ένα διεπιστημονικό πρόγραμμα εδώ στην πανεπιστημιούπολη στο UCLA σχετικά με, νομίζω, γεωμετρική ανάλυση πολλαπλών κλιμάκων, ή κάτι τέτοιο, όπου συγκέντρωναν καθαρούς μαθηματικούς που ενδιαφερόντουσαν για το είδος της γεωμετρίας πολλαπλών κλιμάκων από μόνη της, και μετά, Ξέρετε, άτομα που είχαν πολύ συγκεκριμένα προβλήματα τύπου δεδομένων.
Και μόλις είχα αρχίσει να δουλεύω πάνω σε ορισμένα προβλήματα στη θεωρία τυχαίων πινάκων, οπότε ήμουν κάπως γνωστός ως κάποιος που μπορούσε να χειριστεί πίνακες. Και γνώρισα κάποιον που ήξερα ήδη, Emmanuel Candès, γιατί τότε δούλευε ακριβώς δίπλα στο Κάλτεκ. Και αυτός και ένας άλλος συνεργάτης του, Τζάστιν Ρόμπεργκ, είχαν ανακαλύψει αυτό το ασυνήθιστο φαινόμενο.
Έτσι, κοιτούσαν εικόνες μαγνητικής τομογραφίας, αλλά είναι πολύ αργές. Για να συλλέξετε αρκετή εικόνα ενός ανθρώπινου σώματος πραγματικά υψηλής ανάλυσης ή αρκετή για να κολλήσετε έναν όγκο ή οποιοδήποτε ιατρικά σημαντικό χαρακτηριστικό θέλετε να βρείτε, συχνά χρειάζονται αρκετά λεπτά επειδή πρέπει να σαρώσουν όλες αυτές τις διαφορετικές γωνίες και στη συνέχεια να συνθέσουν τα δεδομένα . Και αυτό ήταν ένα πρόβλημα, στην πραγματικότητα, γιατί τα μικρά παιδιά, για παράδειγμα, απλώς και μόνο να κάθονται ακίνητα για τρία λεπτά στο μηχάνημα μαγνητικής τομογραφίας ήταν αρκετά προβληματικό.
Έτσι πειραματίζονταν με έναν διαφορετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας κάποια γραμμική άλγεβρα. Ήλπιζαν να έχουν 10%, 20% καλύτερη βελτίωση απόδοσης. Ξέρετε, μια ελαφρώς πιο ευκρινής εικόνα, τροποποιώντας λίγο τον τυπικό αλγόριθμο.
Έτσι, ο τυπικός αλγόριθμος ονομαζόταν προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων, και έκαναν κάτι άλλο, που ονομάζεται ελαχιστοποίηση συνολικής διακύμανσης. Στη συνέχεια, όμως, όταν έτρεξαν το λογισμικό του υπολογιστή, είχαν σχεδόν τέλεια ανακατασκευή της δοκιμαστικής τους εικόνας. Τεράστια, τεράστια βελτίωση. Και δεν μπορούσαν να το εξηγήσουν αυτό.
Αλλά ο Εμμανουήλ ήταν σε αυτό το πρόγραμμα και κουβεντιάζαμε για τσάι ή κάτι τέτοιο. Και μόλις το ανέφερε αυτό και, στην πραγματικότητα, η πρώτη μου σκέψη ήταν ότι πρέπει να κάνατε λάθος στον υπολογισμό σας, ότι αυτό που λέτε δεν είναι πραγματικά δυνατό. Και θυμάμαι ότι επέστρεψα σπίτι εκείνο το βράδυ και προσπαθούσα να γράψω μια πραγματική απόδειξη ότι αυτό που έβλεπαν δεν μπορούσε να συμβεί στην πραγματικότητα. Και μετά στα μισά του δρόμου, συνειδητοποίησα ότι είχα κάνει μια υπόθεση που δεν ήταν αληθινή. Και τότε συνειδητοποίησα ότι στην πραγματικότητα θα μπορούσε να λειτουργήσει. Και μετά κατάλαβα ποια θα μπορούσε να είναι η εξήγηση. Και μετά δουλέψαμε μαζί, και στην πραγματικότητα βρήκαμε μια καλή εξήγηση και τη δημοσιεύσαμε.
Και μόλις το κάναμε αυτό, οι άνθρωποι συνειδητοποίησαν ότι υπήρχαν πολλές άλλες καταστάσεις όπου έπρεπε να κάνετε μια μέτρηση η οποία συνήθως απαιτούσε πολλά και πολλά δεδομένα, και σε ορισμένες περιπτώσεις μπορείτε να πάρετε πολύ μικρότερο όγκο δεδομένων και να συνεχίσετε να λαμβάνετε πολύ υψηλό μέτρηση ανάλυσης.
Έτσι τώρα, για παράδειγμα, οι σύγχρονες μηχανές μαγνητικής τομογραφίας — μια σάρωση που έπαιρνε τρία λεπτά μπορεί τώρα να διαρκέσει 30 δευτερόλεπτα επειδή αυτό το λογισμικό, αυτός ο αλγόριθμος είναι ενσωματωμένος, κωδικοποιημένος σκληρά στα μηχανήματα τώρα.
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Είναι μια όμορφη ιστορία, είναι μια υπέροχη ιστορία. Εννοώ, μιλάμε για σημαντικά μαθηματικά που αλλάζουν ζωές, κυριολεκτικά, σε αυτό το πλαίσιο της ιατρικής απεικόνισης. Λατρεύω τη γαλήνη και την ανοιχτόμυαλή σου, ξέρεις, να ακούς αυτή την ιδέα και μετά να σκέφτεσαι, «αυτό είναι αδύνατο, μπορώ να το αποδείξω». Και μετά συνειδητοποιώντας, όχι, στην πραγματικότητα. Φανταστικό να βλέπεις τα μαθηματικά να έχουν τέτοιο αντίκτυπο.
Λοιπόν, εντάξει, νομίζω ότι καλύτερα να σε αφήσω να φύγεις, Τέρυ. Ήταν πραγματική ευχαρίστηση να συζητάμε μαζί σας την ουσία των καλών μαθηματικών. Ευχαριστούμε πολύ που ήρθατε σήμερα μαζί μας.
ΤΑΟ: Ναι, όχι, ήταν απόλαυση.
[Διάλειμμα για εισαγωγή διαφήμισης]
ΣΤΡΟΓΚΑΤΣ: Το "The Joy of Why" είναι ένα podcast από Quanta Magazine, μια εκδοτικά ανεξάρτητη έκδοση που υποστηρίζεται από το Ίδρυμα Simons. Οι αποφάσεις χρηματοδότησης από το Ίδρυμα Simons δεν επηρεάζουν την επιλογή των θεμάτων, των προσκεκλημένων ή άλλων συντακτικών αποφάσεων σε αυτό το podcast ή σε Quanta Magazine.
Το «The Joy of Why» είναι παραγωγή του PRX Productions. Η ομάδα παραγωγής είναι η Caitlin Faulds, η Livia Brock, η Genevieve Sponsler και η Merritt Jacob. Εκτελεστικός παραγωγός της PRX Productions είναι η Jocelyn Gonzales. Η Morgan Church και ο Edwin Ochoa παρείχαν πρόσθετη βοήθεια. Από Quanta Magazine, ο John Rennie και ο Thomas Lin παρείχαν συντακτική καθοδήγηση, με την υποστήριξη των Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana και Madison Goldberg.
Η θεματική μας μουσική είναι από την APM Music. Ο Τζούλιαν Λιν επινόησε το όνομα του podcast. Το καλλιτεχνικό επεισόδιο είναι του Peter Greenwood και το λογότυπό μας είναι των Jaki King και Kristina Armitage. Ιδιαίτερες ευχαριστίες στο Columbia Journalism School και τον Burt Odom-Reed στο Cornell Broadcast Studios.
Είμαι ο οικοδεσπότης σου, Steve Strogatz. Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή σχόλια για εμάς, στείλτε μας email στο . Ευχαριστώ που άκουσες.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Ενισχύστε σήμερα.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Ενδυναμώστε τον εαυτό σας. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Ενισχύθηκε η γνώση. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoESG. Ανθρακας, Cleantech, Ενέργεια, Περιβάλλον, Ηλιακός, Διαχείριση των αποβλήτων. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoHealth. Ευφυΐα βιοτεχνολογίας και κλινικών δοκιμών. Πρόσβαση εδώ.
- πηγή: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :έχει
- :είναι
- :δεν
- :που
- ][Π
- $UP
- 1
- 10
- 15 χρόνια
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 χρόνια
- a
- Ικανός
- Σχετικα
- σχετικά με αυτό
- ΠΕΡΙΛΗΨΗ
- αφαίρεση
- AC
- αποδοχή
- αποδεκτές
- την αποδοχή
- προσιτός
- πρόσβαση
- Λογαριασμός
- απέναντι
- πραγματικός
- πραγματικά
- Ad
- Πρόσθετος
- διεύθυνση
- ενστερνίζομαι
- εκ των προτέρων
- προηγμένες
- προκαταβολές
- έλευση
- συμβουλεύουν
- Μετά το
- πάλι
- την ηλικία του
- πριν
- συμφωνώ
- εμπρός
- AI
- AI chatbot
- ΑΕΡΑ
- ais
- αλγόριθμος
- ζωντανός
- Όλα
- διανέμω
- επιτρέπουν
- σχεδόν
- κατά μήκος
- ήδη
- Επίσης
- Αν και
- πάντοτε
- amateur
- Αμερικανικη
- μεταξύ των
- ποσό
- an
- ανάλυση
- Αρχαίος
- και
- Άλλος
- απάντηση
- κάθε
- πια
- κάποιος
- οτιδήποτε
- χώρια
- app
- Apple
- εφαρμογές
- εφαρμόζοντας
- προσεγγίζοντας
- κατάλληλος
- ΕΙΝΑΙ
- ΠΕΡΙΟΧΗ
- περιοχές
- επιχείρημα
- επιχειρήματα
- γύρω
- Τέχνη
- άρθρο
- εμπορεύματα
- Καλλιτέχνες
- AS
- ζητώ
- άποψη
- πτυχές
- Βοήθεια
- υπόθεση
- αστρονομία
- At
- επίθεση
- προσοχή
- ακροατήριο
- συγγραφέας
- συγγραφέας
- εξουσία
- συγγραφείς
- διαθέσιμος
- βραβεία
- Άξονας
- b
- πίσω
- Κακός
- Τράπεζα
- τραπεζικό λογαριασμό
- εμπόδια
- βάση
- βασικός
- BE
- όμορφη
- Ομορφιά
- επειδή
- γίνονται
- γίνεται
- να γίνει
- ήταν
- πριν
- αρχίζουν
- Αρχή
- είναι
- όντα
- Πιστεύω
- όφελος
- ΚΑΛΎΤΕΡΟΣ
- Καλύτερα
- μεταξύ
- Μεγάλος
- Big Data
- μεγαλύτερος
- Μεγαλύτερη
- Κομμάτι
- τυφλός
- Μπλοκ
- Μηνύματα Blog
- ιστολόγια
- σώμα
- και οι δύο
- υποκαταστήματα
- πλάτος
- Διακοπή
- επανάσταση
- ΓΕΦΥΡΑ
- Φέρνοντας
- ευρύς
- αναμετάδοση
- ευρύτερη
- brock
- χτίζω
- αλλά
- by
- υπολογισμός
- κλήση
- που ονομάζεται
- ήρθε
- Πανεπιστημιούπολη
- CAN
- κεφάλαιο
- Σταδιοδρομία
- περίπτωση
- περιπτώσεις
- πάλη
- αίτια
- σπήλαιο
- κεντρικός
- κεντρική αρχή
- Αιώνας
- ορισμένες
- σίγουρα
- πρόκληση
- ευκαιρία
- αλλαγή
- άλλαξε
- αλλαγή
- chatbot
- συζητώντας
- έλεγχος
- έλεγχος
- επιλογές
- εκκλησία
- Κύκλος
- κύκλους
- εγκύκλιος
- πολίτης
- τάξη
- Κλεισιμο
- Συνοικοδεσπότης
- κωδικός
- συνεργάζομαι
- συνεργασία
- συνεργασίες
- συνάδελφος
- συλλέγουν
- Κολούμπια
- Ελάτε
- έρχεται
- Comets
- ερχομός
- σχόλιο
- Σχολιασμός
- σχόλια
- εμπόρευμα
- επικοινωνούν
- κοινότητα
- Συμπλήρωμα
- εντελώς
- συγκρότημα
- περίπλοκος
- επιπλοκές
- συστατικό
- Υπολογίστε
- υπολογιστή
- Πληροφορική
- Λογισμικό υπολογιστή
- που παράγεται από υπολογιστή
- υπολογιστές
- έννοια
- Πιθανά ερωτήματα
- σκυρόδεμα
- εικασία
- Συνδετικός
- σύνδεση
- Διασυνδέσεις
- συνδέει
- συντηρητικός
- καταναλωτής
- επικοινωνήστε μαζί μας
- περιεχόμενο
- διαγωνισμός
- συμφραζόμενα
- συμβάλλει
- συμβάλλει
- αμφιλεγόμενος
- Βολικός
- συμβατικός
- συγκλίνει
- Σύγκλιση
- αντίστροφως
- μετατρέψετε
- cornell
- Γωνία
- διορθώσει
- θα μπορούσε να
- Συμβούλιο
- πορεία
- δημιουργήθηκε
- Δημιουργικός
- πλάσμα
- Αξιοπιστία
- κριτήρια
- κριτική
- πλήθος
- πολιτιστικός
- κουλτούρα
- Νόμισμα
- περικοπές
- ΚΙΝΔΥΝΟΣ
- ημερομηνία
- επιστημονικά δεδομένα
- σύνολα δεδομένων
- βάση δεδομένων
- Ημ.
- δημόσια συζήτηση
- αποφάσεις
- βαθύς
- βαθύτερη
- ορίζεται
- οπωσδηποτε
- αποδεικνύουν
- Τμήμα
- εξαρτάται
- περιγράφουν
- αξίζει
- καθέκαστα
- αποφασισμένος
- ανάπτυξη
- αναπτύχθηκε
- DID
- διαφορετικές
- δύσκολος
- ψηφία
- Διαστάσεις
- κατευθείαν
- Κατάλογοι
- πειθαρχία
- ανακαλύπτουν
- ανακάλυψαν
- συζητήσουν
- συζητώντας
- Αναστάτωση
- διακριτικός
- ξεκάθαρα
- Η κ
- do
- έγγραφο
- κάνει
- Όχι
- πράξη
- τομέα
- Μην
- Θύρα
- κάτω
- μειονεκτήματα
- δυναμική
- κάθε
- Νωρίς
- γη
- οικονομία
- συντάκτης
- Σύνταξης
- εκπαιδεύσει
- εκπαιδευτικούς
- Edwin
- αποτελεσματικότητα
- αποτελεσματικός
- προσπάθεια
- Αϊνστάιν
- είτε
- ελέφαντας
- Ελλειπτικές
- αλλιώς
- Άλλος
- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ
- ενδυνάμωση
- δίνει τη δυνατότητα
- ενεργοποίηση
- συνάντηση
- τέλος
- αρκετά
- Ολόκληρος
- εξ ολοκλήρου
- επεισόδιο
- ίσος
- ισούται
- εξισώσεις
- Εποχή
- σφάλμα
- ειδικά
- ΕΚΘΕΣΗ ΙΔΕΩΝ
- ουσία
- Even
- τελικά
- Κάθε
- όλοι
- όλοι
- πάντα
- ακριβώς
- εξέταση
- παράδειγμα
- παραδείγματα
- ενθουσιασμένοι
- συναρπαστικός
- εκτελεστικός
- εκτελεστικός παραγωγός
- Άσκηση
- υφιστάμενα
- υπάρχει
- Ανάπτυξη
- εμπειρία
- πειραματικός
- πειραματίζονται
- πειράματα
- εμπειρογνώμονες
- Εξηγήστε
- εξηγώντας
- εξήγηση
- Εξερευνήθηκε
- Εξερευνώντας
- έκταση
- εξαιρετικά
- γεγονός
- έκθεση
- αρκετά
- Πτώση
- ψευδής
- οικείος
- πασίγνωστη και
- φανταστική
- μακριά
- γοητευτικός
- Αγαπημένα
- Χαρακτηριστικό
- αισθάνομαι
- αισθάνεται
- σύντροφος
- σφάλμα
- λίγοι
- πεδίο
- Πεδία
- σχηματικός
- Σχήματα
- Τελικά
- Εύρεση
- εύρεση
- Όνομα
- υγρό
- Δυναμική ρευστού
- Συγκέντρωση
- εστιάζοντας
- Για
- επίσημος
- Επίσημα
- Εμπρός
- Φόρουμ
- Βρέθηκαν
- Θεμέλιο
- τέσσερα
- αλεπού
- κλάσμα
- φίλος
- από
- θεμελιώδης
- χρηματοδότηση
- αστείος
- μελλοντικός
- παιχνίδι
- έδωσε
- General
- παράγουν
- γενεά
- γενναιόδωρος
- γεωμετρία
- παίρνω
- παίρνει
- να πάρει
- GitHub
- Δώστε
- Go
- πηγαίνει
- μετάβαση
- Χρυσή
- καλός
- καλή δουλειά
- πήρε
- αποφοιτήσουν
- εξαιρετική
- ελληνικο
- Greenwood
- Γρύπας
- γειωμένο
- φρουρά
- υποθέτω
- επισκέπτες
- καθοδήγηση
- είχε
- στα μέσα του δρόμου
- χέρι
- συμβαίνω
- συνέβη
- Συμβαίνει
- συμβαίνει
- Σκληρά
- Έχω
- που έχει
- he
- διαιτιτικο
- ακούω
- ακοή
- Σκατζόχοιρος
- βοήθεια
- βοήθεια
- βοηθά
- εδώ
- Ψηλά
- υψηλού επιπέδου
- υψηλής ανάλυσης
- υψηλότερο
- Επισημάνετε
- αυτόν
- ίδιος
- του
- ιστορία
- ολιστική
- Αρχική
- αρχική σελίδα
- εργασία
- τιμημένος
- ελπίζω
- ελπιδοφόρος
- ελπίζοντας
- οικοδεσπότης
- ΚΑΥΤΌ
- Πως
- Πώς να
- HTTPS
- τεράστιος
- Τεράστια
- ανθρώπινος
- αναγνώσιμη από άνθρωπο
- Εκατοντάδες
- i
- ιδέα
- ιδανικά
- ιδεών
- προσδιορίσει
- if
- εικόνα
- εικόνες
- φαντάζομαι
- Απεικόνιση
- Επίπτωση
- επιπτώσεις
- σημαντικό
- αδύνατος
- βελτίωση
- in
- Κεκλιμένος
- περιλαμβάνουν
- Συμπεριλαμβανομένου
- ανεξάρτητος
- ατομικές
- επιρροή
- Με επιρροή
- συμφυής
- αρχικά
- διορατικότητα
- ιδέες
- στη στιγμή
- ενσωματωθεί
- διανοούμενος
- πνευματικής ιδιοκτησίας
- προορίζονται
- αλληλεπίδραση
- διαδραστικό
- τόκος
- ενδιαφερόμενος
- ενδιαφέρον
- Internet
- σε
- Εισαγωγή
- διαίσθηση
- Εφεύρεση
- iPhone
- απομονωμένος
- IT
- ΤΟΥ
- Δουλειά
- Γιάννης
- ενώνει
- έλα μαζί μας
- Ενώνει
- ημερολόγιο
- δημοσιογραφία
- χαρά
- μόλις
- διατηρούνται
- Κλειδί
- λέξεις-κλειδιά
- παιδιά
- Είδος
- είδη
- βασιλιάς
- Ξέρω
- γνωστός
- ξέρει
- Οικόπεδο
- Γλώσσα
- Γλώσσες
- large
- μεγάλης κλίμακας
- μεγαλύτερος
- αργότερα
- Νόμος
- ΜΑΘΑΊΝΩ
- μάθηση
- ελάχιστα
- μείον
- ας
- Επίπεδο
- ζωή
- Επιστήμες της Ζωής
- Μου αρέσει
- περιορισμούς
- Περιωρισμένος
- lin
- γραμμή
- γραμμικός
- γραμμές
- Ακούγοντας
- λίγο
- ζωές
- λογικός
- λογότυπο
- Μακριά
- πλέον
- ματιά
- μοιάζει
- κοιτάζοντας
- ΦΑΊΝΕΤΑΙ
- χάνουν
- Παρτίδα
- πλήθος
- αγάπη
- μηχανή
- μηχανήματα
- που
- περιοδικό
- Η πλειοψηφία
- κάνω
- ΚΑΝΕΙ
- Κατασκευή
- διαχείριση
- πολοί
- αγορά
- μαζική
- μαθηματικά
- μαθηματικός
- Μαθηματικά
- μαθηματικά
- Μήτρα
- ματ
- ύλη
- ώριμος
- Ενδέχεται..
- μπορεί
- me
- εννοώ
- μετράται
- μέτρηση
- Εικόνες / Βίντεο
- ιατρικών
- ιατρική απεικόνιση
- Μέλη
- Άνδρες
- αναφέρω
- που αναφέρθηκαν
- πληρούνται
- μετρικός
- ενδέχεται να
- εκατομμύριο
- μυαλά
- σμικροποίηση
- λεπτό
- πρακτικά
- παρανοήσεις
- λάθος
- λεπτομέρειες
- ΜΟΝΤΕΡΝΑ
- τρόπων
- χρήματα
- περισσότερο
- Morgan
- πλέον
- κινήσεις
- MRI
- πολύ
- Μουσική
- πρέπει
- my
- τον εαυτό μου
- Μυστήριο
- αφελής
- όνομα
- Ανάγκη
- που απαιτούνται
- ανάγκες
- κανενα απο τα δυο
- ποτέ
- Νέα
- νέα
- επόμενη
- όμορφη
- βράδυ
- Όχι.
- ούτε
- Κανονικά
- τίποτα
- κοινοποίηση
- τώρα
- Απόχρωση
- αριθμός
- αριθμοί
- αντικείμενο
- σκοπός
- αντικειμένων
- παρατηρούμενη
- Εμφανή
- OCHOA
- Οκτώβριος
- of
- συχνά
- oh
- Καλά
- on
- μια φορά
- ONE
- αυτά
- διαδικτυακά (online)
- αποκλειστικά
- αδιαφανής
- ανοικτού κώδικα
- Ειλικρίνεια
- Γνώμη
- Αισιόδοξος
- or
- οργανικά
- οργανωτικός
- ΑΛΛΑ
- Άλλα
- δικός μας
- έξω
- απαρχαιωμένος
- παραγωγή
- εκτός
- επί
- δική
- Πακέτο
- συσκευασμένα
- σελίδες
- Χαρτί
- χαρτιά
- Παράλληλο
- μερικώς
- Ειδικότερα
- ιδιαίτερα
- εξαρτήματα
- πέρασε
- Το παρελθόν
- People
- τοις εκατό
- τέλειος
- επίδοση
- μόνιμος
- person
- Πέτρος
- φαινόμενο
- φυσικός
- Φυσικές Επιστήμες
- Φυσικώς
- Φυσική
- εκλεκτός
- κομμάτι
- Πλάτων
- Πληροφορία δεδομένων Plato
- Ο Πλάτων
- Πλάτωνα δεδομένα
- σας παρακαλούμε
- ευχαρίστηση
- το podcast
- Podcasting
- Ποίηση
- Σημείο
- Απόψεις
- σημεία
- θέτει
- θετικός
- δυνατός
- Δημοσιεύσεις
- δυναμικού
- δύναμη
- ισχυρός
- πρακτική
- πρακτικές
- ακριβώς
- παρουσίαση
- αρκετά
- αποτρέπει
- προηγουμένως
- πρωταρχικός
- Ακμή
- πρωτόγονος
- βραβείο
- Πρόβλημα
- προβλήματα
- Παράγεται
- παραγωγός
- παραγωγή
- παραγωγές
- Δάσκαλος
- Πρόγραμμα
- Πρόοδος
- έργα
- γόνιμος
- απόδειξη
- αποδείξεις
- δεόντως
- περιουσία
- Δικαιώματα ιδιοκτησίας
- προστατεύονται
- υπερήφανος
- Αποδείξτε
- αποδεδειγμένη
- παρέχουν
- παρέχεται
- χορήγηση
- αποδεικνύοντας
- δημόσιο
- Δημοσίευση
- δημοσίως
- δημοσιεύει
- δημοσιεύθηκε
- Δημοσιεύσεις
- καθαρός
- καθαρώς
- σκοπός
- επιδιώκω
- Δραστήριος
- βάζω
- Βάζει
- Quantamamagazine
- ερώτηση
- Ερωτήσεις
- ήσυχα
- αρκετά
- τυχαίος
- μάλλον
- αναλογία
- αναγνώστες
- πραγματικός
- πραγματικό κόσμο
- Πραγματικότητα
- συνειδητοποιήσουν
- συνειδητοποίησα
- συνειδητοποιώντας
- πραγματικά
- λόγος
- ύφεση
- αρχεία
- μείωση
- αναφορά
- αναφέρεται
- σχετίζεται με
- σχέση
- σχετικότητα
- απελευθερώνοντας
- θυμάμαι
- Καταργήθηκε
- Αποθήκη
- απαιτείται
- Απαιτεί
- έρευνα
- επιλυθεί
- απήχηση
- πόρος
- Υποστηρικτικό υλικό
- απάντησης
- αξιοπίστως
- αποτέλεσμα
- Αποτελέσματα
- αποκαλύπτοντας
- υβρίζω
- επαναστατικός
- δεξιά
- δικαιώματα
- Δαχτυλίδι
- Αύξηση
- ρόλους
- περίπου
- τρέξιμο
- Είπε
- ίδιο
- λένε
- ρητό
- λέει
- σάρωση
- Σχολείο
- Επιστήμη
- ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ
- Αναζήτηση
- Δεύτερος
- δευτερόλεπτα
- δείτε
- βλέποντας
- φαίνομαι
- φαινόταν
- φαίνεται
- δει
- τμήμα
- επιλέξτε
- επιλογή
- αυτοκατευθυνόμενος
- ποινή
- ξεχωριστό
- διακομιστές
- Σέτς
- διάφοροι
- σχήματα
- Κοινοποίηση
- αλλαγή
- Κοντά
- θα πρέπει να
- πλευρά
- παρόμοιες
- Απλούς
- απλούστερη
- απλοποιημένη
- απλοποίηση
- απλουστεύοντας
- αφού
- ενιαίας
- καθίσει
- Συνεδρίαση
- καταστάσεων
- δεξιότητες
- επιβραδύνουν
- μικρότερος
- Μυρωδιά
- So
- Μ.Κ.Δ
- social media
- Κοινωνία
- λογισμικό
- παράκληση
- SOLVE
- Επίλυση
- μερικοί
- κάπως
- Κάποιος
- κάτι
- μερικές φορές
- κάπως
- κάπου
- Σύντομα
- επιδιώξει
- ήχοι
- Πηγή
- Πηγές
- Χώρος
- χωρική
- ειδική
- ειδικευμένος
- κερδοσκοπία
- κερδοσκοπικός
- δαπανήσει
- Spotify
- πλατεία
- πλατείες
- πρότυπο
- stanford
- Εκκίνηση
- ξεκίνησε
- Ξεκινήστε
- ξεκινά
- Δήλωση
- Μελών
- παραμονή
- Βήμα
- Βήματα
- Ο Steve
- Ακόμη
- στοκ
- χρηματιστηριακή αγορά
- STONE
- Ιστορία
- ευθεία
- άλματα
- Φοιτητής
- Φοιτητές
- μελέτες
- στούντιο
- Μελέτη
- μελετώντας
- θέμα
- επιτυχής
- τέτοιος
- Προτείνει
- υποστήριξη
- υποστηριζόνται!
- Επιφάνεια
- έκπληκτος
- εκπληκτικός
- ύποπτος
- συνθέτω
- συστήματα
- Πάρτε
- παίρνει
- λήψη
- Συζήτηση
- ομιλία
- συνομιλίες
- απτά
- εργασίες
- Τσάι
- Διδασκαλία
- Τεχνικός
- τεχνική
- τεχνολογικός
- πει
- Τείνουν
- δεκάδες
- δοκιμή
- από
- ευχαριστώ
- ότι
- Η
- Η περιοχή
- Το μέλλον
- ο κόσμος
- τους
- Τους
- θέμα
- τότε
- θεωρητικός
- θεωρία
- Εκεί.
- επομένως
- Αυτοί
- αυτοί
- πράγμα
- πράγματα
- νομίζω
- Σκέψη
- Τρίτος
- Τρίτη γενιά
- αυτό
- αν και?
- σκέψη
- τρία
- τρισδιάστατος
- Μέσω
- ώρα
- προς την
- σήμερα
- μαζι
- πολύ
- εργαλείο
- εργαλεία
- Θέματα
- Σύνολο
- αφή
- παραδοσιακός
- Εκπαίδευση
- μετασχηματίζεται
- αντιμετωπίζεται
- δέντρο
- Τάσεις
- Προσπάθησα
- αληθής
- Εμπιστευθείτε
- προσπαθώ
- προσπαθώντας
- όγκος
- Στροφή
- μετατρέπει
- μικροαλλαγές
- Τουίτερ
- δύο
- τύπος
- τύποι
- UCLA
- υπογραμμίζω
- καταλαβαίνω
- κατανοητός
- κατανόηση
- κατανοητή
- Απροσδόκητος
- ενιαία
- ένωση
- μονάδα
- Ενωμένος
- μέχρι
- ασυνήθης
- Ανέβασμα
- επάνω σε
- UPS
- us
- χρήση
- μεταχειρισμένος
- χρήσιμος
- χρησιμοποιώντας
- συνήθως
- χρησιμότητα
- χρησιμοποιώ
- Πολύτιμος
- αξία
- αποτιμώνται
- Αξίες
- μεταβλητή
- διάφορα
- Γυρίζω
- επαληθεύει
- πολύ
- VET
- Βίντεο
- Δες
- βλέπετε
- ιογενή
- όραμα
- του
- Αναμονή
- θέλω
- ήθελε
- ήταν
- παρακολουθείτε
- Νερό
- Τρόπος..
- τρόπους
- we
- φθορά
- ιστός
- webp
- καλωσόρισμα
- εξέφρασε την ικανοποίησή του
- ΛΟΙΠΌΝ
- ήταν
- Τι
- Τι είναι
- ανεξαρτήτως
- πότε
- ενώ
- αν
- Ποιό
- ενώ
- Ο ΟΠΟΊΟΣ
- ολόκληρο
- WHY
- ευρύς
- ευρέως
- διαδεδομένη
- χειρίζομαι
- Wikipedia
- θα
- νικητής
- σοφία
- με
- εντός
- χωρίς
- Αναρωτιούνται
- λέξη
- WordPress
- Εργασία
- εργάστηκαν
- εργαζόμενος
- εργασίες
- κόσμος
- world wide web
- ανήσυχος
- ανησυχία
- θα
- Ουάου
- γράφω
- γραφή
- γραπτή
- Λανθασμένος
- Έγραψε
- χρόνια
- Ναί
- ακόμη
- εσείς
- Σας
- zephyrnet