Τα εκπληκτικά απλά μαθηματικά πίσω από αινιγματικούς αγώνες | Περιοδικό Quanta

Είναι ο αγώνας πρωταθλήματος της Imaginary Math League, όπου οι Atlanta Algebras θα αντιμετωπίσουν τους Carolina Cross Products. Οι δύο ομάδες δεν έχουν παίξει μεταξύ τους αυτή τη σεζόν, αλλά νωρίτερα μέσα στη χρονιά η Ατλάντα νίκησε τους Μπρούκλιν Μπίσεκτερς με σκορ 10 προς 5 και το Μπρούκλιν νίκησε την Καρολίνα με σκορ 7 προς 3. Μας δίνει αυτό κάποια εικόνα για το ποιος θα πάρει τον τίτλο;

Λοιπόν, εδώ είναι μια γραμμή σκέψης. Αν η Ατλάντα κέρδισε το Μπρούκλιν, τότε η Ατλάντα είναι καλύτερη από το Μπρούκλιν και αν το Μπρούκλιν κέρδισε την Καρολίνα, τότε το Μπρούκλιν είναι καλύτερο από την Καρολίνα. Έτσι, αν η Ατλάντα είναι καλύτερη από το Μπρούκλιν και το Μπρούκλιν είναι καλύτερο από την Καρολίνα, τότε η Ατλάντα θα πρέπει να είναι καλύτερη από την Καρολίνα και να κερδίσει το πρωτάθλημα.

Εάν παίζετε ανταγωνιστικά παιχνίδια ή αθλήματα, γνωρίζετε ότι η πρόβλεψη του αποτελέσματος ενός αγώνα δεν είναι ποτέ τόσο απλή. Αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό το επιχείρημα έχει κάποια ελκυστικότητα. Χρησιμοποιεί μια σημαντική ιδέα στα μαθηματικά, γνωστή ως μεταβατικότητα, μια γνωστή ιδιότητα που μας επιτρέπει να κατασκευάζουμε σειρές συγκρίσεων μεταξύ των σχέσεων. Η μεταβατικότητα είναι μια από εκείνες τις μαθηματικές ιδιότητες που είναι τόσο θεμελιώδεις που μπορεί να μην την παρατηρήσετε καν.

Για παράδειγμα, η ισότητα των αριθμών είναι μεταβατική. Αυτό σημαίνει ότι αν το γνωρίζουμε a = b και b = c, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι a = c. Η σχέση «μεγαλύτερο από» είναι επίσης μεταβατική: Για πραγματικούς αριθμούς, αν a > b και b > c, Τότε a > c. Όταν οι σχέσεις είναι μεταβατικές, μπορούμε να τις συγκρίνουμε και να τις συνδυάσουμε, δημιουργώντας μια σειρά αντικειμένων. Αν η Άννα είναι ψηλότερη από τον Μπέντζι και ο Μπέντζι από τον Καρλ, τότε μπορούμε να παραγγείλουμε τα τρία με βάση το ύψος τους: A, B, C. Η μεταβατικότητα βρίσκεται επίσης πίσω από το αφελές επιχείρημά μας ότι αν A είναι καλύτερο από B και B είναι καλύτερο από C, Τότε A είναι καλύτερο από C.

Η μεταβατικότητα είναι παρούσα στην ισότητα, την ομοιότητα, την ομοιότητα, ακόμη και τον παραλληλισμό. Είναι μέρος όλων των βασικών μαθηματικών που κάνουμε, κάτι που τα κάνει ιδιαίτερα μαθηματικά ενδιαφέροντα όταν δεν είναι εκεί. Όταν οι αναλυτές κατατάσσουν ομάδες, οι οικονομολόγοι μελετούν τις προτιμήσεις των καταναλωτών ή οι πολίτες ψηφίζουν τους υποψηφίους που προτιμούν, η έλλειψη μεταβατικότητας μπορεί να οδηγήσει σε εκπληκτικά αποτελέσματα. Για να κατανοήσουν καλύτερα αυτά τα είδη συστημάτων, οι μαθηματικοί μελετούν τα «αδιάβατα ζάρια» για πάνω από 50 χρόνια και πρόσφατο έγγραφο από τη διαδικτυακή μαθηματική συνεργασία που είναι γνωστή ως το έργο Polymath έχει προωθήσει αυτήν την κατανόηση. Για να καταλάβουμε πώς είναι η αδιαλλαξία, ας δημιουργήσουμε ένα δικό μας πρωτάθλημα και ας παίξουμε γύρω μας.

Στο νέο μας πρωτάθλημα μαθηματικών, οι παίκτες διαγωνίζονται γυρίζοντας προσαρμοσμένα νομίσματα και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα. Παίκτης ας πούμε A έχει ένα νόμισμα με τον αριθμό 10 στη μία όψη και τον αριθμό 6 στην άλλη, και παίκτης BΤο κέρμα του έχει τους αριθμούς 8 και 3. Θα υποθέσουμε ότι τα νομίσματα είναι δίκαια — που σημαίνει ότι κάθε όψη είναι εξίσου πιθανό να εμφανίζεται όταν τα νομίσματα αναστρέφονται — και θα αναπαραστήσουμε τους αριθμούς στα νομίσματα έτσι.

Σε ένα παιχνίδι, οι παίκτες γυρίζουν τα νομίσματά τους και όποιος το κέρμα δείχνει τον μεγαλύτερο αριθμό είναι ο νικητής. Ποιος θα κερδίσει πότε A παίζει B?

Φυσικά, εξαρτάται. Ωρες ωρες A θα κερδίσει, μερικές φορές B Θα κερδίσω. Αλλά δεν είναι δύσκολο να το δεις αυτό A ευνοείται να κερδίσει εναντίον B. Υπάρχουν τέσσερις τρόποι που θα μπορούσε να εξελιχθεί το παιχνίδι και A κερδίζει σε τρία από αυτά.

Έτσι στο παιχνίδι του A έναντι B, A έχει 75% πιθανότητες να κερδίσει.

Τώρα C έρχεται και προκλήσεις B σε ένα παιχνίδι. CΤο νόμισμα έχει ένα 5 στη μια όψη και ένα 4 στην άλλη. Και πάλι υπάρχουν τέσσερις πιθανότητες.

Εδώ B και C ο καθένας κερδίζει δύο από τους τέσσερις αγώνες, οπότε θα κερδίσει ο καθένας το 50% των αγώνων. B και C ταιριάζουν ομοιόμορφα.

Τώρα, τι θα περιμένατε να συμβεί πότε A και C παίζω? Καλά, A συνήθως χτυπάει B, να B ταιριάζει ομοιόμορφα με C, οπότε φαίνεται λογικό να το περιμένουμε A μάλλον θα ευνοηθεί κατά C.

Αλλά A είναι κάτι παραπάνω από αγαπημένο. A κυριαρχεί C, κερδίζοντας το 100% του χρόνου.

Αυτό μπορεί να φαίνεται εκπληκτικό, αλλά μαθηματικά δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει. CΟι αριθμοί του είναι ενδιάμεσα Bέτσι C κερδίζει ανά πάσα στιγμή B ανατρέπει τον μικρότερο αριθμό τους. Αλλά CΟι αριθμοί του είναι και οι δύο παρακάτω Aέτσι C δεν θα κερδίσει ποτέ αυτό το ματς. Αυτό το παράδειγμα δεν παραβιάζει την ιδέα της μεταβατικότητας, αλλά δείχνει ότι τα πράγματα μπορεί να είναι πιο περίπλοκα από A > B > C. Μια μικρή αλλαγή στο παιχνίδι μας δείχνει πόσο πιο περίπλοκο μπορεί να είναι.

Οι ανταγωνιστές μας κουράζονται γρήγορα από το παιχνίδι ανατροπής νομισμάτων δύο όψεων, καθώς είναι εύκολο να το κατανοήσετε πλήρως μαθηματικά (δείτε τις ασκήσεις στο τέλος της στήλης για περισσότερες λεπτομέρειες), οπότε το πρωτάθλημα αποφασίζει να αναβαθμίσει σε νομίσματα τριών όψεων. (Ένα από τα οφέλη του να παίζεις σε ένα φανταστικό πρωτάθλημα μαθηματικών είναι ότι όλα είναι δυνατά.)

Εδώ είναι A και Bνομίσματα του:

Ποιος ευνοείται σε ένα παιχνίδι μεταξύ A και B? Λοιπόν, υπάρχουν τρία αποτελέσματα για Aρίψη κέρματος και τρία για B, που οδηγεί σε εννέα πιθανά αποτελέσματα παιχνιδιού τα οποία μπορούμε εύκολα να χαρτογραφήσουμε.

Υποθέτοντας πάλι ότι όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά, A κτυπά B σε πέντε από τα εννέα αποτελέσματα. Αυτό σημαίνει A θα πρέπει να κερδίσει $latex frac{5}{9} περίπου $55% του χρόνου, έτσι A ευνοείται κατά B.

Αισθάνονται λίγο απογοητευμένοι για τις προοπτικές τους, B προκλήσεις C σε ένα παιχνίδι. CΟι αριθμοί του φαίνονται παρακάτω. Σου αρέσει Bοι πιθανότητες του;

Και πάλι, υπάρχουν εννέα πιθανά αποτελέσματα σε ένα παιχνίδι B έναντι C, έτσι μπορούμε απλώς να τα απαριθμήσουμε.

Μπορούμε να το δούμε B φαίνεται αρκετά καλή κόντρα C. Σε πέντε από τα εννέα πιθανά αποτελέσματα, B κερδίζει. Έτσι B ευνοείται κατά C.

Φτωχό C τώρα πρέπει να παίξει A. Με A ευνοήθηκε κατά B και B ευνοήθηκε κατά C, τι κάνει η ευκαιρία C πρέπει να κερδίσει; Ένα αρκετά καλό, όπως αποδεικνύεται.

Σε πέντε από τα εννέα πιθανά αποτελέσματα εδώ, C κτυπά A. Αυτό σημαίνει ότι C ευνοείται κατά A, Αν και Aευνοείται κατά B και B ευνοείται κατά C.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αμετάβατου συστήματος. Με πιο τεχνικούς όρους, η σχέση «ευνοούμενος» στο παιχνίδι μας δεν είναι μεταβατική: A ευνοείται κατά B, να B ευνοείται κατά C, Αλλά A δεν ευνοείται απαραίτητα κατά C.

Δεν το βλέπουμε συχνά στα μαθηματικά, αλλά αυτού του είδους η συμπεριφορά δεν θα ξάφνιαζε τους λάτρεις των σπορ. Αν οι Γίγαντες κέρδιζαν τους Αετούς και οι Αετοί τους Καουμπόηδες, οι Καουμπόηδες θα μπορούσαν κάλλιστα να νικήσουν τους Γίγαντες. Υπάρχουν πολλοί παράγοντες που συμβάλλουν στο αποτέλεσμα ενός ατομικού παιχνιδιού. Οι ομάδες μπορούν να γίνουν καλύτερες με την εξάσκηση ή να μείνουν στάσιμες αν δεν καινοτομήσουν. Οι παίκτες μπορούν να αλλάξουν ομάδα. Λεπτομέρειες όπως η τοποθεσία του παιχνιδιού — εντός ή εκτός έδρας — ή το πόσο πρόσφατα έπαιξαν οι ομάδες μπορούν να επηρεάσουν το ποιος κερδίζει και ποιος χάνει.

Αλλά αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχουν και καθαρά μαθηματικοί λόγοι πίσω από αυτό το είδος της αδιαλλαξίας. Και αυτή η καθαρά μαθηματική θεώρηση έχει κάτι κοινό με τους πραγματικούς περιορισμούς του ανταγωνισμού: τα matchups.

Εδώ είναι οι αριθμοί για A, B και C.

Όταν τα βλέπουμε δίπλα-δίπλα, είναι ευκολότερο να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει η αδιαλλαξία σε αυτήν την κατάσταση. Αν και B ευνοείται να κερδίσει εναντίον C, CΟι δύο μεσαίου-υψηλοί αριθμοί του - το 7 και το 6 - τους δίνουν ένα πλεονέκτημα έναντι A ότι B δεν έχει. Αν και A ευνοείται κατά B και B ευνοείται κατά C, C ταιριάζουν με A καλύτερα από B κάνει. Αυτό είναι παρόμοιο με το πώς μια αθλητική ομάδα αουτσάιντερ μπορεί να ταιριάξει καλά με έναν ανώτερο αντίπαλο επειδή το στυλ παιχνιδιού της είναι δύσκολο να χειριστεί αυτή η ομάδα ή επειδή ένας παίκτης ή προπονητής τους δίνει πλεονέκτημα έναντι του συγκεκριμένου αντιπάλου.

Το γεγονός ότι τα αθλήματα είναι αμετάβατα είναι μέρος αυτού που τα κάνει διασκεδαστικά και συναρπαστικά. Άλλωστε, αν A κτυπά B και B κτυπά C, C δεν πρόκειται απλώς να χάσει λόγω της μεταβατικότητας όταν αντιμετωπίζουν A. Στον ανταγωνισμό όλα μπορούν να συμβούν. Όπως πολλοί σχολιαστές έχουν πει μετά από μια αναστάτωση, «Γι’ αυτό παίζουν το παιχνίδι».

Και γι' αυτό παίζουμε με τα μαθηματικά. Για να βρείτε τι είναι διασκεδαστικό, συναρπαστικό και εκπληκτικό. Οτιδήποτε μπορεί να συμβεί.

Ασκήσεις

1. Ας υποθέσουμε ότι δύο παίκτες παίζουν το παιχνίδι με δύο όψεις και οι τέσσερις αριθμοί από τα δύο νομίσματα είναι όλοι διαφορετικοί. Υπάρχουν ουσιαστικά μόνο έξι πιθανά σενάρια για το ποιος κερδίζει και πόσο συχνά. Τι είναι?

2. Στο σενάριο παιχνιδιού τριών όψεων που περιγράφεται παραπάνω, βρείτε ένα διαφορετικό νόμισμα τριών όψεων για C ούτως ώστε B εξακολουθεί να ευνοείται κατά C και C εξακολουθεί να ευνοείται κατά A.

3. Αποδείξτε ότι σε ένα παιχνίδι δύο όψεων νομισμάτων, είναι αδύνατο να έχετε τρεις παίκτες A, B, C έτσι ώστε A ευνοείται κατά B, B ευνοείται κατά C, να C ευνοείται κατά A.

διόρθωση: Ιανουάριος 26, 2024
Δύο στοιχεία που δημοσιεύθηκαν προηγουμένως έδειξαν αντιστοιχίσεις με εσφαλμένη ετικέτα μεταξύ των παικτών A έναντι C και B έναντι C. Τα στοιχεία έχουν διορθωθεί.