Λίγα λεπτά σε μια ομιλία του 2018 στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν, Ίαν Τομπάσκο πήρε ένα μεγάλο κομμάτι χαρτί και το τσάκισε σε μια φαινομενικά άτακτη μπάλα χάους. Το κράτησε ψηλά για να το δει το κοινό, το έσφιξε για τα καλά και μετά το άπλωσε ξανά.
«Παίρνω μια άγρια μάζα πτυχών που αναδύονται, και αυτό είναι το παζλ», είπε. "Τι επιλέγει αυτό το μοτίβο από ένα άλλο, πιο τακτοποιημένο μοτίβο;"
Στη συνέχεια, κράτησε ένα δεύτερο μεγάλο κομμάτι χαρτί - αυτό προδιπλωμένο σε ένα διάσημο μοτίβο origami παραλληλογραμμών γνωστό ως Miura-ori - και το πάτησε επίπεδη. Η δύναμη που χρησιμοποίησε σε κάθε φύλλο χαρτιού ήταν περίπου η ίδια, είπε, αλλά τα αποτελέσματα δεν θα μπορούσαν να ήταν πιο διαφορετικά. Το Miura-ori χωρίστηκε τακτοποιημένα σε γεωμετρικές περιοχές. η τσαλακωμένη μπάλα ήταν ένα χάος από οδοντωτές γραμμές.
«Έχετε την αίσθηση ότι αυτό», είπε, δείχνοντας τη διάσπαρτη διάταξη των πτυχών στο τσαλακωμένο φύλλο, «είναι απλώς μια τυχαία άτακτη εκδοχή αυτού». Έδειξε την τακτοποιημένη, τακτοποιημένη Miura-ori. «Αλλά δεν έχουμε βάλει το δάχτυλό μας στο αν αυτό είναι αλήθεια ή όχι».
Η πραγματοποίηση αυτής της σύνδεσης δεν θα απαιτούσε τίποτα λιγότερο από τη θέσπιση καθολικών μαθηματικών κανόνων ελαστικών μοτίβων. Ο Tobasco εργάζεται πάνω σε αυτό εδώ και χρόνια, μελετώντας εξισώσεις που περιγράφουν λεπτά ελαστικά υλικά - υλικό που ανταποκρίνεται σε μια παραμόρφωση προσπαθώντας να επανέλθει στο αρχικό του σχήμα. Σπρώξτε ένα μπαλόνι αρκετά δυνατά και θα σχηματιστεί ένα μοτίβο ακτινωτών ρυτίδων. αφαιρέστε το δάχτυλό σας και θα εξομαλυνθούν ξανά. Πιέστε μια τσαλακωμένη μπάλα χαρτιού και θα επεκταθεί όταν την αφήσετε (αν και δεν θα ξετσαλακωθεί τελείως). Μηχανικοί και φυσικοί έχουν μελετήσει πώς αναδύονται αυτά τα μοτίβα κάτω από ορισμένες συνθήκες, αλλά για έναν μαθηματικό αυτά τα πρακτικά αποτελέσματα υποδηλώνουν ένα πιο θεμελιώδες ερώτημα: Είναι δυνατόν να κατανοήσουμε, γενικά, τι επιλέγει ένα μοτίβο αντί για ένα άλλο;
Τον Ιανουάριο του 2021, η Tobasco δημοσίευσε ένα χαρτί που απάντησε καταφατικά σε αυτή την ερώτηση — τουλάχιστον στην περίπτωση ενός λείου, καμπυλωμένου, ελαστικού φύλλου που συμπιέζεται σε επίπεδη επιφάνεια (μια κατάσταση που προσφέρει έναν σαφή τρόπο εξερεύνησης της ερώτησης). Οι εξισώσεις του προβλέπουν πώς οι φαινομενικά τυχαίες ρυτίδες περιέχουν «τακτοποιημένες» περιοχές, οι οποίες έχουν ένα επαναλαμβανόμενο, αναγνωρίσιμο μοτίβο. Και συνέγραψε μια εργασία, που δημοσιεύτηκε τον περασμένο μήνα, που δείχνει μια νέα φυσική θεωρία, βασισμένη σε αυστηρά μαθηματικά, που θα μπορούσε να προβλέψει μοτίβα σε ρεαλιστικά σενάρια.
Σημειωτέον, το έργο του Tobasco προτείνει ότι η ρυτίδωση, με τις πολλές μορφές της, μπορεί να θεωρηθεί ως η λύση σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα. «Είναι ένα όμορφο κομμάτι μαθηματικής ανάλυσης», είπε Στέφαν Μίλερ του Κέντρου Μαθηματικών Hausdorff του Πανεπιστημίου της Βόννης στη Γερμανία.
Εκθέτει κομψά, για πρώτη φορά, τους μαθηματικούς κανόνες —και μια νέα κατανόηση— πίσω από αυτό το κοινό φαινόμενο. «Ο ρόλος των μαθηματικών εδώ δεν ήταν να αποδείξουν μια εικασία που είχαν ήδη κάνει οι φυσικοί», είπε Ρόμπερτ Κον, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Courant του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης και σύμβουλος μεταπτυχιακών σχολών του Tobasco, «αλλά μάλλον για να παράσχει μια θεωρία όπου προηγουμένως δεν υπήρχε συστηματική κατανόηση».
Τέντωμα έξω
Ο στόχος της ανάπτυξης μιας θεωρίας για τις ρυτίδες και τα ελαστικά σχέδια είναι παλιός. Το 1894, σε μια κριτική στο Φύση, ο μαθηματικός Τζορτζ Γκρίνχιλ επεσήμανε τη διαφορά μεταξύ των θεωρητικών («Τι πρέπει να σκεφτούμε;») και των χρήσιμων εφαρμογών που μπορούσαν να καταλάβουν («Τι πρέπει να κάνουμε;»).
Τον 19ο και τον 20ο αιώνα, οι επιστήμονες σημείωσαν σε μεγάλο βαθμό πρόοδο στο τελευταίο, μελετώντας προβλήματα που αφορούν τις ρυτίδες σε συγκεκριμένα αντικείμενα που παραμορφώνονται. Τα πρώτα παραδείγματα περιλαμβάνουν το πρόβλημα της σφυρηλάτησης λείων, καμπύλων μεταλλικών πλακών για ναυτικά πλοία και την προσπάθεια σύνδεσης του σχηματισμού βουνών με τη θέρμανση του φλοιού της Γης.
Πιο πρόσφατα, οι μαθηματικοί και οι φυσικοί έχουν επεκτείνει την προσπάθεια να συνδέσουν τη θεωρία και την παρατήρηση με ένα ευρύ φάσμα τσαλακωμένων καταστάσεων, γεωμετριών και υλικών. «Αυτό συμβαίνει τα τελευταία 10 χρόνια, όπου κάνουμε πρώτα πειράματα και μετά προσπαθούμε να βρούμε τη θεωρία για να τα καταλάβουμε», είπε ο μαθηματικός. Ντόμινικ Βέλα του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. «Μόλις πρόσφατα αρχίσαμε να έχουμε σωστή κατανόηση».
Υπήρξαν συναρπαστικά ορόσημα. Το 2015, ο Pedro Reis, μηχανολόγος μηχανικός στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης, περιέγραψε φυσικούς νόμους για τα γεωμετρικά σχέδια που σχηματίζονται σε ξεφουσκωμένες μπάλες πυριτίου. Η δουλειά του συνέδεσε αυτές τις ρυτίδες με το πάχος των εσωτερικών και εξωτερικών στρωμάτων του ελαστικού υλικού. Ο Reis σημείωσε επίσης ότι οι ρυτίδες, αντί να θεωρούνται ελαττώματα, μπορεί να προσφέρουν ευκαιρίες για τον σχεδιασμό νέων μηχανικών συμπεριφορών. Στη συνέχεια, το 2017, η Vella οδήγησε την ανάλυση των τσαλακωτικών αστάθειας μιας λεπτής ελαστικής μεμβράνης υπό πίεση, που χαρακτηρίζει τον τρόπο με τον οποίο άλλαξε ο αριθμός των ρυτίδων ανάλογα με το βάθος του αρχικού τρυπήματος και άλλες συγκεκριμένες λεπτομέρειες.
Αλλά αυτές οι εξελίξεις έλυσαν μόνο κομμάτια του προβλήματος. Για μια γενικότερη μαθηματική κατανόηση του πώς σχηματίζονται οι ρυτίδες, ήταν απαραίτητη μια διαφορετική προσέγγιση. Ο Tobasco θα ήταν αυτός που θα το προχωρήσει.
Ακολουθώντας το Curiosity
Όταν ήταν νεότερος, ο Τομπάσκο νόμιζε ότι θα πήγαινε στην αεροδιαστημική μηχανική. Αποφοίτησε από το Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν το 2011 με πτυχίο στον τομέα, αλλά μέχρι εκείνο το σημείο είχε ήδη παρασυρθεί στο να σκεφτεί βαθιά τη μαθηματική λογική και τα φυσικά συστήματα. Κέρδισε διδακτορικό στα μαθηματικά, αλλά κατηγορεί τον Joey Paulsen, έναν φυσικό τώρα στο Πανεπιστήμιο των Συρακουσών, που τον έβαλε στο συγκεκριμένο μονοπάτι των ρυτίδων.
Νωρίτερα στην καριέρα του Paulsen, όταν μελετούσε τις ιδιότητες των ασυνήθιστων υλικών, έμαθε να κατασκευάζει και να αναλύει εξαιρετικά λεπτές πολυμερείς μεμβράνες χρησιμοποιώντας μια τεχνική που ονομάζεται επικάλυψη spin. Πρώτα θα δημιουργούσε ένα ειδικό υγρό υλικό που θα περιέχει ίχνη διαλυμένου πολυμερούς. μετά έβαζε το υλικό σε μια περιστρεφόμενη πλάκα. Το μεγαλύτερο μέρος του υγρού θα εξατμιζόταν, ενώ το πολυμερές εξαπλώθηκε σε ομοιόμορφο πάχος πριν στερεοποιηθεί. Μόλις είχε το δικό του εργαστήριο στις Συρακούσες, ο Paulsen έμαθε πώς να προσαρμόζει την επίστρωση περιστροφής για να δημιουργεί καμπύλες μεμβράνες - όπως πολύ λεπτά κοχύλια χελώνας.
Μια μέρα, τοποθέτησε μερικές από αυτές τις καμπύλες μεμβράνες πάνω σε ακίνητο νερό και φωτογράφισε πώς κατακάθισαν στην επιφάνεια. «Ήταν καθαρά με γνώμονα την περιέργεια», είπε. Οι φωτογραφίες τράβηξαν την προσοχή του Tobasco σε μια άτυπη συνάντηση με τον Paulsen το 2017.
«Έδειξαν ότι θα μπορούσατε να έχετε αυτά τα τυχαία διαταραγμένα μοτίβα ρυτίδων – όταν κάνατε το πείραμα δύο φορές, είχατε δύο διαφορετικά μοτίβα», είπε ο Τομπάσκο, ο οποίος είναι τώρα επίκουρος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Ιλινόις, στο Σικάγο. «Ήθελα να δω αν θα μπορούσα να βρω κάποιον τρόπο [για να προβλέψω αυτά τα σχέδια] από την ελαστικότητα, που να ενσωματώνει το σχήμα του κελύφους. Και ότι το μοντέλο δεν θα άλλαζε από κέλυφος σε κέλυφος».
Τα μοτίβα ρυτίδων είναι διαμορφώσεις με τη λιγότερη δυνατή ενέργεια. Δηλαδή, καθώς η λεπτή μεμβράνη επικάθεται σε μια επίπεδη επιφάνεια, μεταμορφώνεται έως ότου βρει τη διάταξη των ρυτίδων, διαταραγμένη ή μη, που απαιτεί τη λιγότερη ενέργεια για να διατηρηθεί. «Μπορείτε να οργανώσετε μοτίβα με βάση την ποσότητα ενέργειας που αποθηκεύεται όταν εμφανίζεται [το μοτίβο]», είπε ο Τομπάσκο.
Καθοδηγούμενος από αυτή την κατευθυντήρια αρχή, απομόνωσε μερικά χαρακτηριστικά της ταινίας που αποδείχθηκαν εκείνα που επέλεξαν το μοτίβο της, συμπεριλαμβανομένου ενός μέτρου του σχήματός της που ονομάζεται Gaussian curbature. Μια επιφάνεια με θετική Gaussian καμπυλότητα κάμπτεται μακριά από τον εαυτό της, όπως το εξωτερικό μιας μπάλας. Οι αρνητικά καμπύλες επιφάνειες, αντίθετα, έχουν σχήμα σέλας, όπως ένα τσιπ Pringles: Αν πάτε προς μια κατεύθυνση, ταξιδεύετε προς τα πάνω, αλλά αν πηγαίνετε σε διαφορετική κατεύθυνση, κατεβαίνετε.
Ο Tobasco βρήκε ότι οι περιοχές θετικής καμπυλότητας Gauss παράγουν ένα είδος διάταξης τακτοποιημένων και διαταραγμένων περιοχών και οι περιοχές με αρνητική καμπυλότητα παράγουν άλλα είδη. «Η λεπτομερής γεωμετρία δεν είναι τόσο σημαντική», είπε ο Vella. «Εξαρτάται πραγματικά από το πρόσημο της καμπυλότητας Gauss».
Είχαν υποψιαστεί ότι η καμπυλότητα Gauss ήταν σημαντική για τη ρυτίδωση, αλλά ο Vella είπε ότι ήταν έκπληξη το γεγονός ότι οι τομείς εξαρτώνται τόσο πολύ από το σημάδι. Επιπλέον, η θεωρία του Tobasco εφαρμόζεται επίσης σε ένα ευρύ φάσμα ελαστικών υλικών, όχι μόνο στις μορφές του Paulsen. «Είναι μια ωραία γεωμετρική κατασκευή που δείχνει πού θα εμφανιστούν οι ρυτίδες», είπε ο Vella. «Αλλά η κατανόηση από πού προέρχεται είναι πραγματικά βαθιά και είναι κάπως εκπληκτική».
Ο Πόλσεν συμφώνησε. «Αυτό που κάνει πολύ όμορφα η θεωρία του Ίαν είναι να σου δίνει όλο το μοτίβο, ταυτόχρονα».
Ρυτίδες πραγματικής ζωής
Στις αρχές του 2018, ο Τομπάσκο είχε ως επί το πλείστον διευθετήσει τη θεωρία του — αλλά παρόλο που λειτούργησε σε χαρτί, δεν μπορούσε να είναι σίγουρος ότι θα ήταν ακριβής στον πραγματικό κόσμο. Ο Tobasco επικοινώνησε με τον Paulsen και τον ρώτησε αν θα τον ενδιέφερε να συνεργαστεί. «Κάτι λειτούργησε αμέσως», είπε ο Paulsen. «Με μερικές από τις προβλέψεις του Ίαν, πάνω από τις πειραματικές φωτογραφίες, μπορούσαμε να δούμε αμέσως ότι παρατάχθηκαν».
Στο συνέδριο του Society for Industrial and Applied Mathematics on Mathematical Aspects of Materials Science, η Tobasco εισήχθη στο Ελένη Κατηφόρη, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια που εξερευνούσε το πρόβλημα των μοτίβων ρυτίδων σε περιορισμένα κελύφη και έφτιαχνε μια βάση δεδομένων με αποτελέσματα. Ήταν μια στιγμή ηρεμίας. «Μπορούσαμε να δούμε τους τομείς [στις προσομοιώσεις] που εξήγησε η δουλειά του Ian», είπε. Το ματς ήταν απίθανο. Ακόμη και κατά τις πρώτες συζητήσεις τους, ήταν ξεκάθαρο ότι η θεωρία του Tobasco, οι πειραματικές εικόνες του Paulsen και οι προσομοιώσεις του Katifori περιέγραφαν όλα τα ίδια φαινόμενα. «Ακόμη και στα πρώτα στάδια, όταν δεν είχαμε τίποτα συγκεκριμένο, μπορούσαμε να δούμε τη σύνδεση».
Αυτός ο πρώιμος ενθουσιασμός προκάλεσε γρήγορα σκεπτικισμό. Φαινόταν σχεδόν πολύ καλό για να είναι αληθινό. «Είναι μαθηματικός και κάνει όλα αυτά τα πράγματα μη-διάστατα», είπε ο Paulsen, αναφερόμενος στο πώς οι ιδέες του Tobasco για την καμπυλότητα θα μπορούσαν να επεκταθούν πολύ πέρα από τα δισδιάστατα επίπεδα υλικά. «Αλήθεια κοιτάμε το ίδιο σύστημα; Συμφωνεί, αλλά θα έπρεπε να είχε συμφωνήσει;»
Για τα επόμενα δύο χρόνια, οι τρεις ερευνητές κατασκεύασαν τις λεπτομέρειες, δείχνοντας ότι η θεωρία του Tobasco πράγματι προέβλεπε - ακριβώς - τη διάταξη των ρυτίδων που είδε ο Paulsen στα πειράματά του και η Katifori στα μοντέλα του υπολογιστή της. Στις 25 Αυγούστου, δημοσίευσαν μια εργασία στο Φυσική της Φύσης επίδειξη πώς όλες οι τρεις προσεγγίσεις συγκλίνουν στην ίδια, απλή γεωμετρική διάταξη των ρυτίδων. Συγκεκριμένα, διαπίστωσαν ότι τα μοτίβα εμπίπτουν σε τακτοποιημένες οικογένειες ισοσκελές τριγώνων που οριοθετούσαν τομείς τάξης και αταξίας. Επιπλέον, τα αποτελέσματα δεν περιορίζονται σε μαθηματικές αφαιρέσεις απίστευτα λεπτών υλικών, αλλά αφορούν πολλαπλές τάξεις μεγέθους πάχους.
Η εργασία τους προτείνει επίσης ευκαιρίες για επέκταση της θεωρίας και των εφαρμογών της. Η Κατηφόρη είπε ότι ως φυσικός, ενδιαφέρεται να αξιοποιήσει τις προβλέψεις για να σχεδιάσει νέα υλικά. «Θέλω να καταλάβω πώς μπορείτε να σχεδιάσετε επιφάνειες έτσι ώστε να οργανώνουν μόνοι τους τα μοτίβα τσαλακώματος σε κάτι που θέλετε».
Ένα άλλο ανοιχτό ερώτημα είναι πόσο γενικά μπορεί να εφαρμοστεί η θεωρία σε διαφορετικά είδη καμπυλωτών επιφανειών. "Είναι πολύ επικεντρωμένο σε καταστάσεις όπου [η καμπυλότητα Gauss] είναι είτε θετική είτε αρνητική, αλλά υπάρχουν πολλές καταστάσεις με ορισμένες περιοχές που είναι θετικές και κάποιες αρνητικές», είπε ο Vella.
Ο Paulsen συμφώνησε ότι αυτή είναι μια συναρπαστική πιθανότητα και ο Tobasco είπε ότι εργάζεται ενεργά σε αυτόν τον τομέα και εξετάζει άλλα σχήματα κοχυλιών - όπως αυτά με τρύπες.
Αλλά ο Paulsen είπε ότι η θεωρία, ακόμη και ως έχει αυτή τη στιγμή, είναι όμορφη και εκπληκτική. «Αν σας δώσω ένα κέλυφος και ένα σχήμα ορίου και αυτό το απλό σύνολο κανόνων που προέβλεψε η θεωρία του Ian, τότε μπορείτε να πάρετε μια πυξίδα και έναν χάρακα και βασικά να σχεδιάσετε τις ρυτίδες», είπε. «Δεν θα έπρεπε να συμβεί έτσι. Θα μπορούσε να ήταν εντελώς φρικτό.»
