Introduktion
Vi har en tendens til at tænke på matematik som rent logisk, men undervisningen i matematik, dens værdier, dens anvendelighed og dens funktion er spækket med nuancer. Så hvad er "god" matematik? I 2007, matematikeren Terence tao skrev et essay til Bulletin fra American Mathematical Society som søgte at besvare dette spørgsmål. I dag, som modtager af en Fields-medalje, en gennembrudspris i matematik og et MacArthur-stipendium, er Tao en af de mest hædrede og produktive matematikere i live. I denne episode slutter han sig til vores vært og medmatematiker Steven Strogatz at gense mulighederne for god matematik.
Lyt til Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, Stitcher, TuneIn eller din foretrukne podcasting-app, eller du kan stream det fra Quanta.
Transcript
STEVEN STROGATZ: Tilbage i oktober 2007, helt tilbage, da den første generations iPhone stadig var en varm råvare, og aktiemarkedet var på et rekordhøjt niveau før den store recession, var Terence Tao, professor i matematik ved UCLA, fast besluttet på at svare på en spørgsmål, der længe havde været diskuteret blandt matematikere: Hvad er god matematik egentlig?
Handler det om stringens? Elegance? Virkelighedsværktøj? Terry skrev et meget tankevækkende og generøst, jeg vil endda sige åbenhjertigt, essay om alle de måder, matematik kunne være godt på. Men nu, mere end 15 år senere, skal vi genoverveje, hvad god matematik er?
Jeg er Steve Strogatz, og dette er "The Joy of Why", en podcast fra Quanta Magazine hvor min medvært, Janna Levin, og jeg skiftes til at udforske nogle af de største ubesvarede spørgsmål inden for matematik og naturvidenskab i dag.
(Temaspil)
Her i dag for at gense det evige spørgsmål om, hvad der gør matematik godt, er Terry Tao selv. Professor Tao har forfattet mere end 300 forskningsartikler om en forbløffende bred vifte af matematik, herunder harmonisk analyse, partielle differentialligninger, kombinatorik, talteori, datavidenskab, tilfældige matricer og meget mere. Han er blevet omtalt som "matematikkens Mozart". Og som vinder af en Fields-medalje, en gennembrudspris i matematik, et MacArthur Fellowship og mange andre priser, er denne betegnelse bestemt velfortjent.
Terry, velkommen til "The Joy of Why."
TERENCE TAO: Fornøjelse at være her.
STROGATZ: Jeg er meget spændt på at kunne tale med dig om dette spørgsmål om, hvad det er, der gør nogle typer matematisk forskning gode. Jeg kan huske, at jeg ret levende bladde igennem Bulletin fra American Math Society tilbage i 2007 og støder på dit essay om dette problem at du stillede op for os. Det er noget, alle matematikere tænker over. Men for folk derude, som måske ikke er så bekendte, kan du fortælle os, hvordan du landede på dette spørgsmål? Hvordan definerede du god matematik dengang?
TAO: rigtigt, ja. Det var faktisk en opfordring. Så redaktøren af opslag havde på det tidspunkt bedt mig om at bidrage med en artikel. Jeg tror, jeg havde en meget naiv idé om, hvad matematik var som elev. Jeg havde sådan en idé om, at der var en slags råd af gråskæg, som ville uddele problemer for folk at arbejde på. Og det var noget af et chok for mig som kandidatstuderende, at indse, at der faktisk ikke var denne centrale autoritet til at uddele problemer, og folk lavede selvstyret forskning.
Jeg blev ved med at gå til foredrag og lytte til, hvordan andre matematikere talte om, hvad de synes er spændende, og hvad der gør dem begejstrede for matematik, og det faktum, at hver matematiker har en anden måde at gribe matematik an på. Nogle ville forfølge applikationer, nogle af slags æstetisk skønhed, nogle ved blot at løse problemer. De ønskede at løse et problem, og de ville fokusere på slags de sværeste, de mest udfordrende opgaver. Nogle ville fokusere på teknik; nogle ville forsøge at gøre tingene så elegante som muligt.
Men det, der slog mig, da jeg lyttede til så mange af disse forskellige matematikere, der taler om, hvad de finder værdifuldt i matematik, er, at selvom vi alle havde forskellige idealer om, hvordan god matematik skulle se ud, så har de alle en tendens til at konvergere til det samme.
Hvis et stykke matematik er rigtig godt, vil folk, der forfølger skønhed, til sidst ske på tværs af det. Folk, der forfølger, som værdsætter, du ved, teknisk magt eller applikationer, vil i sidste ende lande på det.
Eugene Wigner havde et meget berømt essay om urimelig effektivitet af matematik i de fysiske videnskaber for næsten et århundrede siden, hvor han netop observerede, at der var områder inden for matematik - for eksempel Riemannsk geometri, studiet af buet rum - som oprindeligt kun var en rent teoretisk øvelse for matematikere, du ved, der forsøgte at bevise parallelt postulat og så videre, som viste sig at være præcis, hvad Einstein og Poincaré og Hilbert havde brug for for at beskrive den almene relativitetsteoris matematik. Og det er bare et fænomen, der opstår.
Så det er ikke kun matematikken, at det [hvad] matematikere finder intellektuelt interessant ender med at blive fysisk vigtigt. Men selv inden for matematik giver fag, som matematikere finder elegante, også dyb indsigt.
Det, jeg har lyst til, er, at du ved, at der er noget platonisk god matematik derude, og alle vores forskellige værdisystemer er bare forskellige måder at få adgang til de objektive gode ting på.
STROGATZ: Det er meget interessant. Da jeg selv er en slags person, der er tilbøjelig til platonisk tænkning, er jeg fristet til at være enig. Selvom jeg er lidt overrasket over at høre dig sige det, fordi jeg ville have troet, hvor du var på vej hen i starten syntes at være, ligesom der er så mange forskellige synspunkter om dette. Det er dog en interessant kendsgerning, en slags empirisk kendsgerning, at vi konvergerer om at blive enige om, hvad der er godt eller ikke godt, selvom vi, som du siger, kommer til det fra så mange forskellige værdier.
TAO: Højre. Konvergensen kan tage tid. Du ved, så der er helt sikkert felter, for eksempel, hvor de ser meget bedre ud målt ved en metrisk end andre. Ligesom de måske har mange applikationer, men deres præsentation er ekstremt modbydelig, du ved.
(Strogatz ler)
Eller ting, der er meget elegante, men som endnu ikke har mange gode applikationer i den virkelige verden. Men jeg føler, at det til sidst vil konvergere.
STROGATZ: Nå, lad mig spørge dig om dette kontaktpunkt med den virkelige verden. Det er en interessant spænding i matematik. Og du ved, som små børn, lad os sige, når vi først lærer om geometri, tror du måske på det tidspunkt, at trekanter er rigtige, eller cirkler eller rette linjer er rigtige, og at de kan fortælle dig om de rektangulære former, du ser. i bygninger ude i verden, eller at landmålere skal bruge geometri. Og når alt kommer til alt, kommer ordet fra måling af Jorden, rigtigt, "geometri." Og så var der en tid, hvor geometri var empirisk.
Men det, jeg ville spørge dig om, har at gøre med en kommentar John von Neumann lavet. Så von Neumann var, for enhver, der ikke var bekendt, selv en stor matematiker. Og han kom med denne kommentar i dette essay, "Matematikeren,” om forholdet mellem matematik og den empiriske verden, den virkelige verden, hvor han groft sagt siger, at matematiske ideer stammer fra empirien, men at faget på et tidspunkt, når man først har fået de matematiske ideer, begynder at få sit liv. egen. Og så er det mere som et kreativt stykke kunst. Æstetiske kriterier bliver vigtige. Men han siger, at det medfører fare. At når et emne begynder at blive for langt væk fra sin empiriske kilde, som især i sin anden eller tredje generation, siger han, at der er en chance for, at emnet kan lide af for meget abstrakt indavl, og det er i fare for degeneration.
Nogle tanker om det? Jeg mener, skal matematik forblive i kontakt med dens empiriske kilde?
TAO: Ja, jeg synes, det skal have jordforbindelse. Når jeg siger, at empirisk set alle disse forskellige måder at lave matematik konvergerer på, er det kun fordi - dette sker kun, når faget er sundt. Så du ved, den gode nyhed er, at det normalt er det.
Men for eksempel sætter matematikere pris på korte beviser frem for lange, alt andet lige. Men man kunne forestille sig, at folk går overbord og ligesom et underfelt af matematik er besat af at gøre beviser så korte som muligt og have disse ekstremt uigennemsigtige to-linjers beviser for dybe sætninger. Og de gør det til en slags konkurrence, og så bliver det denne slags abstrude spil, og så mister du al intuitionen. Du mister måske dybere forståelse, fordi du bare er så besat af at gøre alle dine beviser så korte som muligt. Nu sker det faktisk ikke i praksis. Men dette er lidt af et teoretisk eksempel, og jeg tror, von Neumann gjorde en lignende pointe.
Og i tresserne og halvfjerdserne, ligesom, var der en æra med matematik, hvor abstraktion gjorde store fremskridt med at forenkle og forene en masse matematik, som tidligere var meget empirisk. Især i algebra indså folk, du ved, tal og polynomier og mange andre objekter, der tidligere blev behandlet separat, I kunne alle tænke på dem som medlemmer af den samme algebraiske klasse, i dette tilfælde en ring.
Og der blev gjort mange fremskridt inden for matematikken ved at finde den rigtige abstraktion, du ved, uanset om det var et topologisk rum eller et vektorrum, hvad som helst, og at bevise sætninger i stor almindelighed. Og det er nogle gange det, vi kalder Bourbaki-æraen i matematik. Og det svingede lidt for langt fra at være jordet.
Vi havde selvfølgelig ligesom hele New Math-episoden i USA, hvor undervisere forsøgte at undervise i matematik i Bourbaki-stilen og indså til sidst, at det ikke var den passende pædagogik på det niveau.
Men nu er pendulet svinget en del tilbage. Vi har en slags — faget er modnet ret meget, og alle felter inden for matematik, geometri, topologi, hvad som helst, har en slags tilfredsstillende formaliseringer, og vi ved på en måde, hvad de rigtige abstraktioner er. Og nu fokuserer feltet igen på sammenkoblinger og applikationer. Det forbinder meget mere med den virkelige verden nu.
Jeg mener, ikke bare en slags fysik, som er en traditionel forbindelse, men, du ved, datalogi, biovidenskab, samfundsvidenskab, du ved. Med fremkomsten af big data kan stort set enhver menneskelig disciplin nu matematiseres til en vis grad.
STROGATZ: Jeg er meget interesseret i det ord, som du lige brugte for et minut siden om "sammenkoblinger", fordi det virker som et centralt punkt for os at diskutere. Det er noget, du nævner i dit essay, at du sammen med disse, hvad du kalder "lokale" kriterier om elegance, eller applikationer i den virkelige verden, eller hvad som helst, nævner dette "globale" aspekt af god matematik: at god matematik forbinder med andre god matematik.
Det er næsten nøglen til, hvad der gør det godt, at det er integreret med andre dele. Men det er interessant, fordi det næsten lyder som cirkulært ræsonnement: at god matematik er den matematik, der forbinder med anden god matematik. Men det er en virkelig kraftfuld idé, og jeg tænker bare, om du kunne uddybe den lidt mere.
TAO: Ja, så, jeg mener, hvad matematik handler om - en af de ting, matematik gør, er, at den skaber forbindelser, der er meget grundlæggende og grundlæggende, men ikke indlysende, hvis man bare ser på det fra overfladeniveau. Et meget tidligt eksempel på dette er Descartes' opfindelse af kartesiske koordinater, der skabte en grundlæggende forbindelse mellem geometri - studiet af punkter og linjer og rumlige objekter - og tal, algebra.
Så for eksempel en cirkel, du kan tænke på som et geometrisk objekt, men du kan også tænke på det som en ligning: x2 + y2 = 1 er ligningen for en cirkel. På det tidspunkt var det en meget revolutionerende forbindelse. Du ved, de gamle grækere betragtede talteori og geometri som næsten fuldstændigt usammenhængende emner.
Men med Descartes var der denne grundlæggende forbindelse. Og nu er det internaliseret; du ved, måden vi underviser i matematik på. Det er ikke længere overraskende, at hvis du har et geometrisk problem, angriber du det med tal. Eller hvis du har et problem med tal, kan du angribe det med geometri.
Det er lidt fordi både geometri og tal er aspekter af det samme matematiske koncept. Vi har et helt felt kaldet algebraisk geometri, som hverken er algebra eller geometri, men det er et samlet emne, der studerer objekter, som du enten kan tænke på som geometriske former, som linjer og cirkler og så videre, eller som ligninger.
Men egentlig er det en holistisk forening af de to, vi studerer. Og efterhånden som emnet er blevet uddybet, har vi indset, at det på en eller anden måde er mere fundamentalt end enten algebra eller geometri separat, på nogle måder. Så disse forbindelser hjælper os med at opdage en slags virkelig matematik, som i første omgang, på en eller anden måde, vores empiriske undersøgelser kun giver os et hjørne af emnet.
Der er denne berømte lignelse om elefanten, jeg glemmer hvor, at hvis du har... Der er fire blinde mænd, og de opdager en elefant. Og en af dem mærker elefantens ben, og de tænker: "Åh, det her, det er meget groft. Det må være som et træ eller noget."
Og en af dem mærker snablen, og det er først meget senere, at de ser, at der er et enkelt elefantobjekt, der forklarer alle deres separate hypoteser. Ja, så vi er alle blinde i starten, du ved. Vi ser bare skyggerne på Platons hule og indser først senere -
STROGATZ: Wow, du er meget filosofisk her. Det her er noget. Jeg kan ikke modstå nu: Hvis du vil begynde at tale om elefanten og de blinde mennesker, tyder det på, at du tror, matematik er derude - at det er noget som elefanten, og at vi er de blinde... Eller du ved, vi prøver at se noget, der eksisterer uafhængigt af mennesker. Er det virkelig det du tror på?
TAO: Når du laver god matematik, så er det ikke bare at skubbe symboler rundt. Du føler, at der er et faktisk objekt, du forsøger at forstå, og alle vores ligninger, vi har, er bare en slags tilnærmelser af det, eller skygger.
Du kan diskutere den filosofiske pointe i, hvad der faktisk er virkelighed og så videre. Jeg mener, det er ting, du faktisk kan røre ved, og jo mere virkelige ting bliver matematisk, nogle gange desto mindre fysiske virker de. Som du sagde, var geometri oprindeligt, du ved, en meget håndgribelig ting ved objekter i det fysiske rum, som du kunne - du ved, du kan faktisk bygge en cirkel og en firkant og så videre.
Men i moderne geometri, du ved, arbejder vi i højere dimensioner. Vi kan tale om diskrete geometrier, alle slags skøre topologier. Og jeg mener, emnet fortjener stadig at blive kaldt geometri, selvom der ikke længere måles Jorden. Den antikke græske etymologi er meget forældet, men det er den, men der er bestemt noget der. Om - hvor virkeligt du vil kalde det. Men jeg gætter på, at pointen er, at med det formål rent faktisk at lave matematik, hjælper det at tro, at det er ægte.
STROGATZ: Ja, er det ikke interessant? Det gør det. Det ser ud til, at det er noget, der går meget dybt i matematikkens historie. Jeg blev ramt af et essay af Archimedes, der skrev til sin ven, eller i det mindste kollega, Eratosthenes.
Vi taler nu, som om 250 f.Kr. Og han gør bemærkningen, han har opdaget en måde at finde området af, hvad vi ville kalde segmentet af en parabel. Han tager en parabel, han skærer over den med et linjestykke, der er i en skrå vinkel i forhold til parablens akse, og han finder ud af dette område. Han får et meget smukt resultat. Men han siger noget til Eratosthenes som: "Disse resultater var iboende i tallene hele tiden." Du ved, ligesom, de er der. De er der. De venter bare på, at han finder det.
Det er ikke som om han har skabt dem. Det er ikke som poesi. Jeg mener, det er faktisk interessant, ikke? At mange store kunstnere - Michelangelo talte om at slippe statuen fra stenen, du ved, som om den var derinde til at begynde med. Og det lyder som om du og mange andre store matematikere har - som du siger, det er meget nyttigt at tro på denne idé, at den er der og venter på os og venter på, at de rigtige hjerner opdager den.
TAO: Højre. Nå, jeg tror, at en manifestation af det er, at ideer, der ofte er meget komplicerede at forklare, når de først bliver opdaget, de bliver forenklet. Jeg mener, du ved, ofte er grunden til, at noget ser meget dybt eller svært ud i begyndelsen, at du ikke har den rigtige notation.
For eksempel har vi nu decimalnotation for at manipulere tal, og det er meget praktisk. Men tidligere havde vi ligesom romertal, og så var der endnu flere primitive talsystemer, der bare var virkelig, virkelig svære at arbejde med, hvis man ville lave matematik.
Euklids Elements, du ved - nogle af argumenterne i disse gamle tekster. Ligesom der er en sætning i Euklids Elements Jeg tror, den hedder Fools Bridge eller noget. Det er ligesom udsagnet, at jeg tror, at udsagnet er som en ligebenet trekant, de to grundvinkler er lige store. Det her er ligesom et to-linjers bevis i moderne geometriske tekster, du ved, med de rigtige aksiomer. Men Euklid havde denne forfærdelige måde at gøre det på. Og det var her, mange studerende i geometri i den klassiske æra bare helt opgav matematikken.
STROGATZ: Rigtigt. (griner)
TAO: Men du ved, vi har nu en meget bedre måde at gøre det på. Så ofte er de komplikationer, vi ser i matematik, artefakter af vores egne begrænsninger. Og så, efterhånden som vi modnes, du ved, bliver tingene enklere. Og det føles mere virkeligt af den grund. Vi ser ikke artefakterne. Vi ser essensen.
STROGATZ: Nå, så gå tilbage til dit essay: Da du skrev det, på det tidspunkt - jeg mener, det var ret tidligt i din karriere, ikke begyndelsen, men alligevel. Hvorfor følte du dengang, at det var vigtigt at forsøge at definere, hvad god matematik var?
TAO: Jeg tror... Så på det tidspunkt begyndte jeg allerede at rådgive kandidatstuderende, og jeg lagde mærke til, at der var nogle misforståelser om, hvad der er godt og hvad der ikke er. Og jeg talte også med matematikere inden for forskellige felter, og hvad ens felt værdsatte i matematik virkede anderledes end andres. Men alligevel, på en eller anden måde studerede vi alle det samme emne.
Og nogle gange ville nogen sige noget, der på en måde gned mig på den forkerte måde, du ved, som: "Denne matematik har ingen anvendelser, derfor har den ingen værdi." Eller “Dette bevis er bare for kompliceret; derfor har det ingen værdi,” eller noget. Eller omvendt, du ved, "Dette bevis er for simpelt; derfor er det ikke værd…” Du ved. Ligesom der var noget slags snobberi og så videre, nogle gange ville jeg støde på.
Og efter min erfaring kom den bedste matematik, når jeg forstod et andet synspunkt, en anden måde at tænke matematik på fra en person inden for et andet felt og anvende det på et problem, som jeg brød mig om. Så min oplevelse af, hvordan man bruger matematik korrekt, hvordan man bruger den, var så forskellig fra disse - en slags "en sand måde at lave matematik på."
Jeg følte, at denne pointe skulle gøres på en eller anden måde. At der virkelig er en flertalsmåde at lave matematik på, men hvorimod matematik stadig er forenet.
STROGATZ: Det er meget afslørende, for jeg havde undret mig over, du ved, ligesom, i min introduktion nævnte jeg de mange forskellige grene af matematik, som du har udforsket, og jeg inkluderede ikke engang nogle. Ligesom, jeg kan huske for bare et par år siden, dit arbejde om dette mysterium i væskedynamik, om hvorvidt visse ligninger, som vi synes, gør et godt stykke arbejde med at tilnærme vand og lufts bevægelser. Jeg vil ikke gå for meget i detaljer, men bare for at sige, her er du, folk tænker på, at du laver talteori eller harmonisk analyse, og pludselig arbejder du med spørgsmål om fluiddynamik. Jeg mener, jeg ved, at det er partielle differentialligninger. Men alligevel ser din bredde af interesse ud til at være relateret til din bredde i at acceptere forskellige indsigter, forskellige værdifulde ideer fra alle de forskellige måder at lave god matematik på.
TAO: Jeg glemmer, hvem der sagde det, men der er to typer matematikere. Der er pindsvin og ræve. En ræv er en, der ved lidt om alt. Et pindsvin er et væsen, der ved én ting meget, meget godt. Og ingen er bedre end den anden. De supplerer hinanden. Jeg mener, i matematik har du brug for folk, der er virkelig dybe domæneeksperter inden for ét underfelt, og de kender et emne ud og ind. Og du har brug for folk, der kan se sammenhænge mellem et felt og et andet. Så jeg identificerer mig bestemt som en ræv, men jeg arbejder med mange pindsvin. Det arbejde, jeg er mest stolt af, er ofte sådan et samarbejde.
STROGATZ: Oh yeah. Er de klar over, at de er pindsvin?
TAO: Nå, okay, rollerne skifter over tid. Ligesom der er andre samarbejder, hvor jeg er pindsvinet og en anden er ræven. Disse er på en måde ikke permanente - du ved, de er ikke i dit DNA.
STROGATZ: Ah, god pointe. Vi kan adoptere - vi kan bære begge kapper.
Nå, hvad med, var der et svar på essayet på det tidspunkt? Sagde folk noget tilbage til dig?
TAO: Jeg fik en ret positiv respons generelt. Jeg mener, den Bulletin af AMS Det er ikke en meget udbredt publikation, tror jeg. Og også, jeg sagde egentlig ikke noget for kontroversielt. Også denne form for tidligere sociale medier, så jeg tror måske, der er et par matematikblogs, der fandt det op, men der var ingen Twitter. Der var intet til at få det til at gå viralt.
Ja, jeg tror også generelt, at matematikere ikke bruger meget af deres tid og intellektuelle kapital på spekulation. Jeg mener, der hedder en anden matematiker Minhyong Kim der havde denne meget flotte metafor om, at for matematikere er troværdighed som valuta, som penge. Hvis du beviser teoremer, og du demonstrerer, at du kender emnet, samler du på en eller anden måde denne troværdighedsvaluta i banken. Og når først du har penge nok, kan du tillade dig at spekulere lidt ved at være en smule filosofisk og sige, hvad der kan være sandt, frem for hvad du faktisk kan bevise.
Men vi har en tendens til at være konservative, og vi vil ikke have en kassekredit på vores bankkonto. Du ved, du ønsker ikke, at det meste af dit forfatterskab skal være spekulativt og kun gerne have én procent for rent faktisk at bevise noget.
STROGATZ: Fair nok. Så okay. Så der er gået mange år siden da. Hvad taler vi om? Det er mere end 15 år.
TAO: Åh ja, tiden flyver.
STROGATZ: Har din mening ændret sig? Er der noget vi skal revidere?
TAO: Nå, matematikkulturen ændrer sig en del. Jeg havde allerede et bredt blik på matematik, og nu har jeg et endnu bredere.
Så et meget konkret eksempel er: Computerstøttede beviser var stadig kontroversielle i 2007. Der var en berømt formodning kaldet Kepler-formodningen, som vedrører den mest effektive måde at pakke enhedskugler i tredimensionelt rum. Og der er en standardpakning, jeg tror, den hedder den kubiske centralpakning eller noget, som Kepler formodede var den bedst mulige.
Dette blev endelig løst, men det beviset var meget computerstøttet. Det var ret kompliceret, og [Thomas] Halestil sidst skabte faktisk et helt computersprog for formelt at verificere dette særlige bevis, men det blev ikke accepteret som et rigtigt bevis i mange år. Men det illustrerede, hvor kontroversielt konceptet med et bevis på, at du havde brug for computerhjælp til at verificere, var.
I årene siden har der været mange, mange andre eksempler på beviser, hvor et menneske kan reducere et kompliceret problem til noget, som stadig kræver en computer at verificere. Og så går computeren videre og bekræfter det. Vi har på en måde udviklet praksis for, hvordan man gør dette ansvarligt. Du ved, hvordan man udgiver kode og data og måder at tjekke og nye open source-ting på og så videre. Og nu er der udbredt accept af computerstøttede beviser.
Nu tror jeg, det næste kulturskifte bliver om AI-genererede beviser vil blive accepteret. Lige nu er AI-værktøjer ikke på det niveau, hvor de kan generere beviser for virkelig at fremme matematiske problemer. Måske lektier på bachelorniveau, de kan sådan set klare, men forske i matematik, de er ikke på det niveau endnu. Men på et tidspunkt vil vi begynde at se AI-støttede papirer komme ud, og der vil være en debat.
Den måde, vores kultur på nogle måder har ændret sig på... Tilbage i 2007 var det kun en brøkdel af matematikere, der stillede deres fortryk til rådighed før udgivelsen. Forfattere ville jaloux vogte deres fortryk, indtil de havde modtaget besked om accept fra tidsskriftet. Og så deler de måske.
Men nu sætter alle deres papirer på offentlige servere som arXiv. Der er meget mere åbenhed for at lægge videoer og blogindlæg om, hvor ideerne til et papir kommer fra. Fordi folk indser, at det er det, der gør arbejdet mere indflydelsesrigt og mere virkningsfuldt. Hvis du forsøger ikke at offentliggøre dit arbejde og være meget hemmelighedsfuld omkring det, giver det ikke et plask.
Matematik er blevet meget mere samarbejdende. Du ved, for 50 år siden ville jeg sige, at størstedelen af artikler i matematik var enkeltforfatter. Nu er absolut flertallet to eller tre eller fire forfattere. Og vi er lige begyndt at se virkelig store projekter, som vi gør i videnskaben, du ved, som titusinder, hundredvis af mennesker samarbejder. Det er stadig svært for matematikere at gøre, men jeg tror, vi når dertil.
Samtidig bliver vi meget mere tværfaglige. Vi arbejder meget mere med andre videnskaber. Vi arbejder mellem matematiske felter. Og på grund af internettet kan vi samarbejde med mennesker over hele verden. Så måden, vi laver matematik på, ændrer sig bestemt.
Jeg håber, at vi i fremtiden vil være i stand til at bruge amatør-matematikfællesskabet mere. Der er andre områder som astronomi, hvor astronomer gør stor brug af amatør-astronomisamfundet, ligesom, du ved, mange kometer, for eksempel, bliver fundet af amatører.
Men matematikere... Der er nogle få isolerede områder af matematik, såsom lignende, fliselægning, todimensionel fliselægning og måske at finde optegnelser i primtal. Der er nogle meget udvalgte felter inden for matematik, hvor amatører bidrager, og de er velkomne. Men der er mange barrierer. På de fleste områder af matematik har du brug for så meget træning og internaliseret eller konventionel visdom, at vi ikke kan crowd source ting. Men dette kan ændre sig i fremtiden. Måske ville en effekt af AI være at tillade amatørmatematikere at bidrage meningsfuldt til matematik.
STROGATZ: Det er meget interessant.
[Pause til annonceindsættelse]
STROGATZ: Så amatørerne kan ved hjælp af AI'er enten stille nye spørgsmål, der er gode eller hjælpe med gode udforskninger af eksisterende spørgsmål, den slags?
TAO: Der er mange forskellige modaliteter - ja. Så for eksempel er der nu projekter til at formalisere beviser for store teoremer i disse ting kaldet formelle korrekturassistenter, som er ligesom computersprog, der 100 % kan verificere, at en sætning er sand eller ej, og — er bevist eller ej. Dette muliggør faktisk samarbejde i stor skala inden for matematik.
Så tidligere, hvis du samarbejder med 10 andre mennesker for at bevise en sætning, og hver enkelt bidrager med et trin, skal alle verificere alle andres matematik. For sagen med matematik er, at hvis der er en fejl i et trin, kan det hele falde fra hinanden.
Så du har brug for tillid, og så - derfor forhindrer dette, dette hæmmer virkelig store samarbejder inden for matematik. Men der er nu, der har været vellykkede eksempler på, at virkelig store teoremer er blevet formaliseret, hvor der er et enormt fællesskab, de kender ikke alle hinanden, de stoler ikke alle på hinanden, men de kommunikerer gennem upload til et Github-lager eller noget, som individuelle beviser for individuelle trin i argumentationen. Og den formelle prøvesoftware verificerer alt, så du behøver ikke bekymre dig om tillid. Så vi muliggør nye samarbejdsformer, som vi ikke rigtig har set tidligere.
STROGATZ: Det er virkelig interessant at høre din vision, Terry. Det er en fascinerende tanke. Du hører ikke udtrykket "borgermatematiker." Du hører om borgervidenskab, men hvorfor ikke borgermatematik?
Men jeg undrer mig bare over, om der er nogen tendenser, som du er bekymret for, for eksempel med computerstøttede beviser eller AI-genererede beviser? Vil vi vide, at visse resultater er sande, men vi forstår ikke hvorfor?
TAO: Så det er et problem. Jeg mener, det er allerede et problem, selv før kunstig intelligens kom. Så der er mange felter, hvor papirerne i et emne bliver længere og længere, hundredvis af sider. Og jeg håber, at AI faktisk omvendt kan hjælpe med at forenkle, og det kan både forklare og bevise.
Så der er allerede eksperimentel software, hvor f.eks. hvis du tager et bevis, der er blevet formaliseret, kan du faktisk konvertere det til et interaktivt, menneskeligt læsbart dokument, hvor du har beviset, og du ser trinene på højt niveau, og hvis der er en sætning du ikke forstår, kan du dobbeltklikke på det, og det vil udvide sig til mindre trin. Snart tror jeg, at du også kan få en AI-chatbot ved siden af dig, mens du gennemgår beviset, og de kan tage spørgsmål, og de kan forklare hvert trin, som om de var forfatteren. Jeg tror, vi allerede er meget tæt på det.
Der er bekymringer. Vi er nødt til at ændre den måde, vi uddanner vores elever på, især nu, hvor mange af vores traditionelle måder at tildele lektier på osv., er vi næsten på det punkt, hvor disse AI-værktøjer bare øjeblikkeligt kan besvare mange af vores standard eksamensspørgsmål. Og så skal vi lære vores elever nye færdigheder, såsom hvordan man verificerer, om et AI-genereret output er korrekt eller ej, og hvordan man får en second opinion.
Og vi ser måske fremkomsten af en mere eksperimenterende side af matematikken, du ved. Så matematik er næsten udelukkende teoretisk, hvorimod de fleste videnskaber har både en teoretisk og eksperimentel komponent. Vi kan i sidste ende få resultater, der først kun er bevist af computere, og som du siger, vi forstår det ikke. Men så snart vi har de data, som AI'en, de computergenererede beviser giver, kan vi muligvis køre eksperimenter.
Der er lidt eksperimentel matematik nu. Folk studerer f.eks. store datasæt af forskellige ting, f.eks. elliptiske kurver. Men det kan blive meget større i fremtiden.
STROGATZ: Puha, du har et meget optimistisk syn, lyder det som for mig. Det er ikke som guldalderen er i fortiden. Hvis jeg hører dig rigtigt, tror du, at der er mange meget spændende ting forude.
TAO: Ja, mange af de nye teknologiske værktøjer er meget styrkende. Jeg mener, AI generelt har mange komplekse op- og ulemper. Og uden for videnskaberne er der en masse mulig forstyrrelse af økonomien, intellektuelle ejendomsrettigheder og så videre. Men inden for matematik tror jeg, at forholdet mellem godt og dårligt er bedre end på mange andre områder.
Og du ved, internettet har virkelig ændret den måde, vi laver matematik på. Jeg samarbejder med mange mennesker inden for mange forskellige områder. Jeg kunne ikke gøre dette uden internettet. Det faktum, at jeg kan gå på Wikipedia eller hvad som helst og komme i gang med at lære et emne, og jeg kan sende en mail til nogen, og vi kan samarbejde online. Hvis jeg skulle lave ting i den gamle skole, hvor jeg kun kunne tale med folk i min afdeling og bruge fysisk post til alt muligt andet, kunne jeg ikke lave det regnestykke, som jeg gør nu.
STROGATZ: Wow, okay. Jeg skal bare understrege, hvad du lige sagde, for jeg troede aldrig i en million år, at jeg skulle høre dette: Terry Tao læser Wikipedia for at lære matematik?
TAO: Som udgangspunkt. Jeg mener, det er ikke altid Wikipedia, men bare for at få nøgleordene, og så vil jeg lave en mere specialiseret søgning på f.eks. MathSciNet eller en anden database. Men ja.
STROGATZ: Det er ikke en kritik. Jeg mener, jeg gør det samme. Wikipedia er faktisk, hvis der er nogen kritik af matematikken på Wikipedia, så er det måske, at det nogle gange er lidt for avanceret for læserne, som det er beregnet til, tror jeg. Ikke altid. Jeg mener, det kommer an på. Det varierer meget fra artikel til artikel. Men det er bare sjovt. Det elsker jeg at høre.
TAO: Jeg mener, disse værktøjer, du skal være i stand til at kontrollere outputtet. Du ved, så, jeg mener, grunden til, at jeg kan bruge Wikipedia til at lave matematik, er fordi jeg allerede ved nok matematik til, at jeg kan lugte, om et stykke Wikipedia i matematik er mistænkeligt eller ej. Du ved, det kan få nogle kilder, og en af dem vil være en bedre kilde end den anden. Og jeg kender forfatterne, og jeg har en idé om, hvilken reference der vil være bedre for mig. Hvis jeg brugte Wikipedia til at lære om et emne, som jeg ikke havde erfaring med, så tror jeg, det ville være mere en tilfældig variabel.
STROGATZ: Nå, så vi har talt en del om, hvad det er, der gør god matematik til den mulige fremtid for nye former for god matematik. Men måske skulle vi tage fat på spørgsmålet: Hvorfor betyder det overhovedet noget? Hvorfor er det vigtigt for matematik at være god?
TAO: Jamen, så først og fremmest mener jeg, hvorfor har vi overhovedet matematikere? Hvorfor værdsætter samfundet matematikere og giver os ressourcerne til at gøre det, vi gør? Du ved, det er fordi vi giver noget værdi. Vi kan have applikationer til den virkelige verden. Der er intellektuel interesse, og nogle af de teorier, vi udvikler, ender med at give indsigt i andre fænomener.
Og ikke al matematik er lige værdifuld. Jeg mener, du kunne beregne flere og flere cifre i pi, men på et tidspunkt lærer du ikke noget. Ethvert emne har brug for en form for værdivurdering, fordi du skal allokere ressourcer. Der er så meget matematik derude. Hvilke fremskridt vil du fremhæve og offentliggøre og lade andre vide om, og hvilke burde måske bare sidde stille i en journal et eller andet sted?
Selvom du tænker på et emne som værende fuldstændig objektivt, og du ved, der kun er sandt eller falsk, er vi stadig nødt til at træffe valg. Du ved, bare fordi tid er en begrænset ressource. Opmærksomhed er en begrænset ressource. Penge er en begrænset ressource. Så det er altid vigtige spørgsmål.
STROGATZ: Tja, interessant at du nævner om publicering, fordi det er noget, som jeg synes er et særpræg ved dit arbejde, at du også har gjort en stor indsats for at gøre matematik offentligt tilgængeligt gennem din blog, gennem forskellige artikler du' har skrevet. Jeg kan huske, at jeg diskuterede en, som du skrev i Amerikansk forsker om universalitet og den idé. Hvorfor er det vigtigt at gøre matematik offentligt tilgængeligt og forståeligt? Jeg mener, hvad er det du prøver på?
TAO: Det skete sådan set organisk. Tidligt i min karriere var World Wide Web stadig meget nyt, og matematikere begyndte at have websider med forskelligt indhold, men der var ikke meget af en central mappe. Før Google og så videre var det faktisk svært at finde individuelle ressourcer.
Så jeg begyndte på en måde at lave små mapper på min webside. Og jeg ville også lave websider til mine egne papirer, og jeg ville lave nogle kommentarer. I starten var det mere til min egen fordel, blot som et organisatorisk værktøj, bare for at hjælpe mig med at finde ting. Som et biprodukt var det tilgængeligt for offentligheden, men jeg var en slags primær forbruger, eller i det mindste troede jeg, af mine egne websider.
Men jeg husker meget tydeligt, at der var en gang, hvor jeg skrev et papir, og jeg lagde det på min webside, og jeg havde en lille underside, der hed "Hvad er nyt?" Og jeg sagde bare: "Her er et papir. Der er et spørgsmål i det, som jeg stadig ikke kunne svare på, og jeg ved ikke, hvordan jeg skal løse det.” Og jeg har lige lavet denne kommentar. Og så som to dage senere, fik jeg en e-mail, der sagde: "Åh, jeg tjekkede lige din hjemmeside. Jeg kender svaret på dette. Der er et papir, der vil løse dit problem."
Og det fik mig først og fremmest til at indse, at folk faktisk besøgte min webside, hvilket jeg ikke rigtig vidste. Men den interaktion med fællesskabet kunne virkelig - ja, det kunne hjælpe mig direkte med at løse mine spørgsmål.
Der hedder denne lov Metcalfes lov i netværk det ved du, hvis du har n mennesker, og de taler alle sammen med hinanden, er der ca n2 forbindelser mellem dem. Så jo større publikum og jo større forum, hvor alle kan tale med alle andre, jo flere potentielle forbindelser kan du skabe, og jo flere gode ting kan der ske.
Jeg mener, i min karriere er så mange af de opdagelser, jeg har gjort, eller de forbindelser, jeg har lavet, på grund af en uventet forbindelse. Hele min karriereerfaring har været sådan, at flere forbindelser er lig med bare bedre ting, der sker.
STROGATZ: Jeg synes, at et smukt eksempel på det, du lige refererer til, men jeg ville elske at høre dig tale om det, er de forbindelser, du skabte med folk inden for datavidenskab, som er interesserede i spørgsmål, der har med medicinsk resonansbilleddannelse at gøre , MRI. Kan du fortælle os lidt om den historie?
TAO: Så det var omkring 2006, 2005, tror jeg. Så der var et tværfagligt program her på campus ved UCLA om, tror jeg, multiskala geometrisk analyse, eller sådan noget, hvor de samlede rene matematikere, der var interesserede i en slags multiskala type geometri i sig selv, og så, du ved, folk, der havde meget konkrete datatypeproblemer.
Og jeg var lige begyndt at arbejde på nogle problemer i tilfældig matrix-teori, så jeg var på en måde kendt som en, der kunne manipulere matricer. Og jeg mødte en, som jeg allerede kendte, Emmanuel Candès, fordi han på det tidspunkt arbejdede lige ved siden af i Caltech. Og han og en anden samarbejdspartner, Justin Romberg, havde de opdaget dette usædvanlige fænomen.
Så de kiggede på MR-billeder, men de er meget langsomme. For at indsamle nok billeder i virkelig høj opløsning af en menneskekrop, eller nok til måske at fange en tumor, eller hvilken som helst medicinsk vigtig funktion du vil finde, tager det ofte flere minutter, fordi de skal scanne alle disse forskellige vinkler og derefter syntetisere dataene . Og det var faktisk et problem, fordi små børn for eksempel bare at sidde stille i tre minutter i MR-maskinen var ret problematisk.
Så de eksperimenterede på en anden måde ved at bruge en eller anden lineær algebra. De håbede på at få en 10%, 20% bedre præstationsforbedring. Du ved, et lidt skarpere billede ved at justere standardalgoritmen en lille smule.
Så standardalgoritmen blev kaldt mindste kvadraters tilnærmelse, og de lavede noget andet, kaldet total variationsminimering. Men da de kørte computersoftwaren, fik de en næsten perfekt rekonstruktion af deres testbillede. Massiv, massiv forbedring. Og de kunne ikke forklare dette.
Men Emmanuel var til dette program, og vi snakkede til te eller noget. Og han nævnte lige dette, og faktisk var min første tanke, at du må have lavet en fejl i din beregning, at det du siger, faktisk ikke er muligt. Og jeg kan huske, at jeg gik hjem den aften og prøvede at skrive et faktisk bevis ned på, at det, de så, faktisk ikke kunne ske. Og så halvvejs igennem, indså jeg, at jeg havde lavet en antagelse, som ikke var sand. Og så indså jeg, at det faktisk kunne fungere. Og så fandt jeg ud af, hvad forklaringen kunne være. Og så arbejdede vi sammen, og vi fandt faktisk en god forklaring, og den offentliggjorde vi.
Og når vi gjorde det, indså folk, at der var mange andre situationer, hvor man skulle tage en måling, som normalt krævede masser af data, og i nogle tilfælde kan man tage en meget mindre mængde data og stadig få en rigtig høj opløsningsmåling.
Så nu, moderne MR-maskiner, for eksempel - en scanning, der plejede at tage tre minutter, kan nu tage 30 sekunder, fordi denne software, denne algoritme, er fastkablet, hårdkodet ind i maskinerne nu.
STROGATZ: Det er en smuk historie, det er sådan en fantastisk historie. Jeg mener, tal om vigtig matematik, der ændrer liv, bogstaveligt talt, i denne sammenhæng med medicinsk billeddannelse. Jeg elsker serendipiteten i det og din åbenhed, du ved, at høre denne idé og så tænke, "det er umuligt, jeg kan bevise det." Og så indse, nej, faktisk. Fantastisk at se matematik gøre sådan en indflydelse.
Nå, okay, jeg tror, jeg må hellere lade dig gå, Terry. Det har været en sand fornøjelse at diskutere essensen af god matematik med dig. Tusind tak for at være med i dag.
TAO: Ja, nej, det har været en fornøjelse.
[Pause til annonceindsættelse]
STROGATZ: "Glæden ved hvorfor" er en podcast fra Quanta Magazine, en redaktionelt uafhængig publikation støttet af Simons Fonden. Finansieringsbeslutninger fra Simons Fonden har ingen indflydelse på valget af emner, gæster eller andre redaktionelle beslutninger i denne podcast eller i Quanta Magazine.
"The Joy of Why" er produceret af PRX Productions. Produktionsteamet er Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler og Merritt Jacob. Den udøvende producent af PRX Productions er Jocelyn Gonzales. Morgan Church og Edwin Ochoa ydede yderligere hjælp. Fra Quanta Magazine, John Rennie og Thomas Lin leverede redaktionel vejledning med støtte fra Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana og Madison Goldberg.
Vores temamusik er fra APM Music. Julian Lin fandt på podcastnavnet. Afsnittet er af Peter Greenwood, og vores logo er af Jaki King og Kristina Armitage. Særlig tak til Columbia Journalism School og Burt Odom-Reed på Cornell Broadcast Studios.
Jeg er din vært, Steve Strogatz. Hvis du har spørgsmål eller kommentarer til os, bedes du kontakte os på . Tak for at lytte.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Bliv forstærket i dag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrk dig selv. Adgang her.
- PlatoAiStream. Web3 intelligens. Viden forstærket. Adgang her.
- PlatoESG. Kulstof, CleanTech, Energi, Miljø, Solenergi, Affaldshåndtering. Adgang her.
- PlatoHealth. Bioteknologiske og kliniske forsøgs intelligens. Adgang her.
- Kilde: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :har
- :er
- :ikke
- :hvor
- ][s
- $OP
- 1
- 10
- 15 år
- 15 %
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 Years
- a
- I stand
- Om
- om det
- ABSTRACT
- abstraktion
- AC
- accept
- accepteret
- acceptere
- tilgængelig
- Adgang
- Konto
- tværs
- faktiske
- faktisk
- Ad
- Yderligere
- adresse
- vedtage
- fremme
- fremskreden
- fremskridt
- advent
- rådgive
- Efter
- igen
- alder
- siden
- enige
- forude
- AI
- AI chatbot
- LUFT
- ais
- algoritme
- live
- Alle
- tildele
- tillade
- næsten
- sammen
- allerede
- også
- Skønt
- altid
- amatør
- amerikansk
- blandt
- beløb
- an
- analyse
- Ancient
- ,
- En anden
- besvare
- enhver
- længere
- nogen
- noget
- fra hinanden
- app
- Apple
- applikationer
- Anvendelse
- nærmer sig
- passende
- ER
- OMRÅDE
- områder
- argument
- argumenter
- omkring
- Kunst
- artikel
- artikler
- Artister
- AS
- spørg
- udseende
- aspekter
- Assistance
- antagelse
- astronomi
- At
- angribe
- opmærksomhed
- publikum
- forfatter
- forfattet
- myndighed
- forfattere
- til rådighed
- Præmier
- Axis
- b
- tilbage
- Bad
- Bank
- bankkonto
- barrierer
- bund
- grundlæggende
- BE
- smuk
- Skønhed
- fordi
- bliver
- bliver
- blive
- været
- før
- begynde
- Begyndelse
- være
- væsener
- Tro
- gavner det dig
- BEDSTE
- Bedre
- mellem
- Big
- Big data
- større
- Største
- Bit
- blinde
- Blog
- Blogindlæg
- blogs
- krop
- både
- grene
- bredde
- Pause
- gennembrud
- BRIDGE
- Bringe
- bred
- udsende
- bredere
- Brock
- bygge
- men
- by
- beregning
- ringe
- kaldet
- kom
- Campus
- CAN
- kapital
- Karriere
- tilfælde
- tilfælde
- brydning
- årsager
- Cave
- central
- central myndighed
- Århundrede
- vis
- sikkert
- udfordrende
- chance
- lave om
- ændret
- skiftende
- chatbot
- chatter
- kontrollere
- kontrol
- valg
- kirke
- Circle
- kredse
- cirkulær
- borger
- klasse
- Luk
- Co-Host
- kode
- samarbejde
- samarbejde
- samarbejder
- kollega
- indsamler
- Columbia
- Kom
- kommer
- Kometer
- kommer
- KOMMENTAR
- Kommentar
- kommentarer
- råvare
- kommunikere
- samfund
- komplement
- fuldstændig
- komplekse
- kompliceret
- komplikationer
- komponent
- Compute
- computer
- Datalogi
- Computer Software
- computergenereret
- computere
- Konceptet
- Bekymringer
- beton
- formodning
- Tilslutning
- tilslutning
- Tilslutninger
- forbinder
- konservativ
- forbruger
- kontakt
- indhold
- konkurrence
- sammenhæng
- bidrage
- bidrager
- kontroversielle
- Praktisk
- konventionelle
- Converge
- Konvergens
- omvendt
- konvertere
- Cornell
- Corner
- korrigere
- kunne
- Rådet
- kursus
- oprettet
- Kreativ
- væsen
- Troværdighed
- kriterier
- kritik
- crowd
- kulturelle
- Medarbejder kultur
- Valuta
- nedskæringer
- FARE
- data
- datalogi
- datasæt
- Database
- Dage
- debat
- afgørelser
- dyb
- dybere
- definere
- definitivt
- demonstrere
- Afdeling
- afhænger
- beskrive
- fortjener
- detaljer
- bestemmes
- udvikle
- udviklet
- DID
- forskellige
- svært
- cifre
- størrelse
- direkte
- mapper
- disciplin
- opdage
- opdaget
- diskutere
- diskuterer
- Forstyrrelse
- karakteristisk
- tydeligt
- dna
- do
- dokumentet
- gør
- Er ikke
- gør
- domæne
- Dont
- Ved
- ned
- ulemper
- dynamik
- hver
- Tidligt
- jorden
- økonomi
- editor
- Editorial
- uddanne
- pædagoger
- Edwin
- effektivitet
- effektiv
- indsats
- Einstein
- enten
- elefant
- Elliptisk
- andet
- Ellers
- bemyndigelse
- muliggør
- muliggør
- møde
- ende
- nok
- Hele
- helt
- episode
- lige
- Lig
- ligninger
- Era
- fejl
- især
- HISTORIE
- Essensen
- Endog
- til sidst
- Hver
- alle
- alle
- at alt
- præcist nok
- eksamen
- eksempel
- eksempler
- ophidset
- spændende
- udøvende
- executive producer
- Dyrke motion
- eksisterende
- eksisterer
- Udvid
- erfaring
- eksperimenterende
- eksperimentere
- eksperimenter
- eksperter
- Forklar
- forklarer
- forklaring
- udforsket
- Udforskning
- udstrækning
- ekstremt
- Faktisk
- retfærdig
- retfærdigt
- Fall
- falsk
- bekendt
- berømt
- fantastisk
- langt
- fascinerende
- Favorit
- Feature
- føler sig
- føler sig
- fyr
- fejl
- få
- felt
- Fields
- regnede
- tal
- Endelig
- Finde
- finde
- Fornavn
- væske
- Væskedynamik
- Fokus
- fokusering
- Til
- formel
- Formelt
- frem
- forum
- fundet
- Foundation
- fire
- ræv
- fraktion
- ven
- fra
- fundamental
- finansiering
- sjovt
- fremtiden
- spil
- gav
- Generelt
- generere
- generation
- generøse
- geometri
- få
- får
- få
- GitHub
- Giv
- Go
- Goes
- gå
- Golden
- godt
- godt arbejde
- fik
- eksamen
- stor
- græsk
- Greenwood
- Griffin
- jordet
- Guard
- gætte
- gæster
- vejledning
- havde
- halvvejs
- hånd
- ske
- skete
- Happening
- sker
- Hård Ost
- Have
- have
- he
- sund
- høre
- høre
- pindsvin
- hjælpe
- hjælpe
- hjælper
- link.
- Høj
- højt niveau
- høj opløsning
- højere
- Fremhæv
- ham
- selv
- hans
- historie
- holistisk
- Home
- hjemmeside
- hjemmearbejde
- hædret
- håber
- håbefuld
- håber
- host
- HOT
- Hvordan
- How To
- HTTPS
- kæmpe
- Enormt
- menneskelig
- læsbar
- Hundreder
- i
- idé
- idealer
- ideer
- identificere
- if
- billede
- billeder
- billede
- Imaging
- KIMOs Succeshistorier
- effektfuld
- vigtigt
- umuligt
- in
- skrå
- omfatter
- Herunder
- uafhængig
- individuel
- indflydelse
- Indflydelsesrig
- iboende
- i første omgang
- indsigt
- indsigt
- øjeblikkeligt
- integreret
- intellektuel
- intellektuel ejendomsret
- beregnet
- interaktion
- interaktiv
- interesse
- interesseret
- interessant
- Internet
- ind
- Introduktion
- intuition
- Opfindelse
- iPhone
- isolerede
- IT
- ITS
- Job
- John
- sammenføjning
- slutter sig til os
- Sammenføjninger
- tidsskrift
- journalistik
- glæde
- lige
- holdt
- Nøgle
- søgeord
- børn
- Venlig
- slags
- King (Konge)
- Kend
- kendt
- kender
- Land
- Sprog
- Sprog
- stor
- storstilet
- større
- senere
- Lov
- LÆR
- læring
- mindst
- mindre
- lad
- Niveau
- Livet
- Life Sciences
- ligesom
- begrænsninger
- Limited
- lin
- Line (linje)
- lineær
- linjer
- Lytte
- lidt
- Lives
- logisk
- logo
- Lang
- længere
- Se
- ligner
- leder
- UDSEENDE
- taber
- Lot
- masser
- kærlighed
- maskine
- Maskiner
- lavet
- magasin
- Flertal
- lave
- maerker
- Making
- administrere
- mange
- Marked
- massive
- matematik
- matematiske
- matematisk
- matematik
- Matrix
- mat
- Matter
- modne
- Kan..
- kan være
- me
- betyde
- målt
- måling
- Medier
- medicinsk
- medicinsk billeddannelse
- Medlemmer
- Hudpleje
- nævne
- nævnte
- mødte
- metrisk
- måske
- million
- sind
- minimering
- minut
- minutter
- misforståelser
- fejltagelse
- modaliteter
- Moderne
- modes
- penge
- mere
- Morgan
- mest
- bevægelser
- MRI
- meget
- Musik
- skal
- my
- mig selv
- Mystery
- naiv
- navn
- Behov
- behov
- behov
- Ingen
- aldrig
- Ny
- nyheder
- næste
- rart
- nat
- ingen
- heller ikke
- Normalt
- intet
- underretning
- nu
- Nuance
- nummer
- numre
- objekt
- objektiv
- objekter
- observeret
- Obvious
- OCHOA
- oktober
- of
- tit
- oh
- Okay
- on
- engang
- ONE
- dem
- online
- kun
- uigennemsigtig
- open source
- Åbenhed
- Udtalelse
- Optimistisk
- or
- økologisk
- organisatorisk
- Andet
- Andre
- vores
- ud
- forældet
- output
- uden for
- i løbet af
- egen
- Pack
- pakket
- sider
- Papir
- papirer
- Parallel
- partiel
- særlig
- især
- dele
- Bestået
- forbi
- Mennesker
- procent
- perfekt
- ydeevne
- permanent
- person,
- Peter
- fænomen
- fysisk
- Fysiske Videnskaber
- Fysisk
- Fysik
- plukket
- stykke
- plato
- Platon Data Intelligence
- Platons
- PlatoData
- Vær venlig
- glæde
- podcast
- Podcasting
- Poetry
- Punkt
- Synspunkt
- punkter
- stillet
- positiv
- mulig
- Indlæg
- potentiale
- magt
- vigtigste
- praksis
- praksis
- præcist
- præsentation
- smuk
- forhindrer
- tidligere
- primære
- Prime
- primitive
- præmie
- Problem
- problemer
- produceret
- producent
- produktion
- produktioner
- Professor
- Program
- Progress
- projekter
- frodig
- bevis
- beviser
- korrekt
- ejendom
- Ejendomsrettigheder
- beskyttet
- stolt
- Bevise
- gennemprøvet
- give
- forudsat
- leverer
- bevise
- offentlige
- Offentliggørelse
- offentligt
- offentliggøre
- offentliggjort
- Publicering
- ren
- rent
- formål
- forfølge
- Pushing
- sætte
- sætter
- Quantamagazin
- spørgsmål
- Spørgsmål
- roligt
- helt
- tilfældig
- hellere
- forholdet
- læsere
- ægte
- virkelige verden
- Reality
- indse
- gik op for
- realisere
- virkelig
- grund
- recession
- optegnelser
- reducere
- henvisningen
- benævnt
- relaterede
- forhold
- relativitetsteori
- frigive
- huske
- fjernet
- Repository
- påkrævet
- Kræver
- forskning
- løst
- resonans
- ressource
- Ressourcer
- svar
- ansvarligt
- resultere
- Resultater
- afslørende
- revidere
- revolutionerende
- højre
- rettigheder
- ring
- Rise
- roller
- groft
- Kør
- Said
- samme
- siger
- siger
- siger
- scanne
- Skole
- Videnskab
- VIDENSKABER
- Søg
- Anden
- sekunder
- se
- se
- synes
- syntes
- synes
- set
- segment
- Vælg
- valg
- selvstyret
- dømme
- adskille
- servere
- sæt
- flere
- former
- Del
- skifte
- Kort
- bør
- side
- lignende
- Simpelt
- enklere
- forenklet
- forenkle
- forenkle
- siden
- enkelt
- sidde
- Siddende
- situationer
- færdigheder
- langsom
- mindre
- Lugt
- So
- Social
- sociale medier
- Samfund
- Software
- opfordring
- SOLVE
- Løsning
- nogle
- en eller anden måde
- Nogen
- noget
- sommetider
- noget
- et eller andet sted
- Snart
- søgte
- lyde
- Kilde
- Kilder
- Space
- rumlige
- særligt
- specialiserede
- spekulation
- spekulative
- tilbringe
- Spotify
- firkant
- firkanter
- standard
- Stanford
- starte
- påbegyndt
- Starter
- starter
- Statement
- Stater
- forblive
- Trin
- Steps
- Steve
- Stadig
- bestand
- aktiemarkedet
- STONE
- Story
- lige
- fremskridt
- studerende
- Studerende
- undersøgelser
- Studios
- Studere
- studere
- emne
- vellykket
- sådan
- foreslår
- support
- Understøttet
- overflade
- overrasket
- overraskende
- mistænksom
- syntetisere
- Systemer
- Tag
- tager
- tager
- Tal
- taler
- Talks
- materielle
- opgaver
- Te
- Undervisning
- hold
- Teknisk
- teknik
- teknologisk
- fortælle
- tendens
- tiere
- prøve
- end
- tak
- at
- Området
- Fremtiden
- verdenen
- deres
- Them
- tema
- derefter
- teoretisk
- teori
- Der.
- derfor
- Disse
- de
- ting
- ting
- tror
- Tænker
- Tredje
- Tredje generation
- denne
- selvom?
- tænkte
- tre
- tredimensionale
- Gennem
- tid
- til
- i dag
- sammen
- også
- værktøj
- værktøjer
- Emner
- I alt
- traditionelle
- Kurser
- omdannet
- behandlet
- træ
- Tendenser
- forsøgte
- sand
- Stol
- prøv
- forsøger
- tumor
- Drejning
- vender
- tweaking
- to
- typen
- typer
- UCLA
- understrege
- forstå
- forståelig
- forståelse
- forstået
- Uventet
- forenet
- union
- enhed
- Forenet
- indtil
- usædvanlig
- Uploading
- på
- UPS
- us
- brug
- anvendte
- nyttigt
- ved brug af
- sædvanligvis
- nytte
- udnytte
- Værdifuld
- værdi
- værdiansættes
- Værdier
- variabel
- forskellige
- Veer
- verificere
- meget
- VET
- Videoer
- Specifikation
- set
- viral
- vision
- af
- Venter
- ønsker
- ønskede
- var
- ser
- Vand
- Vej..
- måder
- we
- slid
- web
- WebP
- velkommen
- hilste
- GODT
- var
- Hvad
- Hvad er
- uanset
- hvornår
- ud fra følgende betragtninger
- hvorvidt
- som
- mens
- WHO
- Hele
- hvorfor
- bred
- bredt
- udbredt
- Sving
- Wikipedia
- vilje
- vinder
- visdom
- med
- inden for
- uden
- undrende
- ord
- WordPress
- Arbejde
- arbejdede
- arbejder
- arbejdssteder
- world
- world wide web
- bekymret
- bekymre sig
- ville
- WoW
- skriver
- skrivning
- skriftlig
- Forkert
- skrev
- år
- Ja
- endnu
- dig
- Din
- zephyrnet