Hvis du har fulgt med i matematiknyhederne i denne måned, ved du, at den 35-årige talteoretiker James Maynard vandt en Fields -medalje — den højeste ære for en matematiker. Maynard kan lide matematiske spørgsmål, der "er enkle nok til at forklare for en gymnasieelev, men svære nok til at støde matematikere i århundreder," Quanta rapporteret, og et af de simple spørgsmål er dette: Når du bevæger dig ud langs tallinjen, skal der så altid være primtal, der ligger tæt på hinanden?
Du har måske bemærket, at matematikere er besat af primtal. Hvad trækker dem ind? Måske er det det faktum, at primtal legemliggør nogle af matematikkens mest fundamentale strukturer og mysterier. Primtallene kortlægger multiplikationsuniverset ved at tillade os at klassificere og kategorisere hvert tal med en unik faktorisering. Men selvom mennesker har leget med primtal siden multiplikationens morgen, er vi stadig ikke helt sikre på, hvor primtal vil dukke op, hvor spredte de er, eller hvor tæt de skal være. Så vidt vi ved, følger primtal ikke noget simpelt mønster.
Vores fascination af disse grundlæggende genstande har ført til opfindelsen eller opdagelsen af hundredvis af forskellige typer primtal: Mersenne primtal (primtal af form 2)n − 1), afbalancerede primtal (primtal, der er gennemsnittet af to tilstødende primtal) og Sophie Germain primtal (et primtal p sådan at 2p + 1 er også primtal), for at nævne nogle få.
Interessen for disse særlige primtal voksede ud af at lege med tal og opdage noget nyt. Det gælder også for "digitalt delikate primtal", en nylig tilføjelse til listen, der har ført til nogle overraskende resultater om de mest basale spørgsmål: Hvor sjældne eller almindelige kan visse typer primtal være?
For at forstå dette spørgsmål, lad os starte med en af de første spændende fakta, som en håbefuld talentusiast lærer: Der er uendeligt mange primtal. Euklid beviste dette for 2,000 år siden ved at bruge et af de mest berømte modsigelsesbeviser i hele matematikhistorien. Han startede med at antage, at der kun er endeligt mange primtal og forestillede sig alle n af dem på en liste:
$latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$.
Så gjorde han noget smart: Han tænkte på tallet $latexq=p_1 gange p_2 gange p_3 gange … gange p_n+1$.
Læg mærke til det q kan ikke være på listen over primtal, fordi den er større end alt på listen. Så hvis der findes en endelig liste af primtal, dette tal q kan ikke være prime. Men hvis q er ikke et primtal, det skal være deleligt med noget andet end sig selv og 1. Det betyder igen, at q skal være deleligt med nogle primtal på listen, men på grund af måden q er konstrueret, opdeling q af noget på listen efterlader en rest på 1. Så tilsyneladende q er hverken primtal eller deleligt med noget primtal, hvilket er en modsigelse, der er resultatet af at antage, at der kun er endeligt mange primtal. For at undgå denne modsigelse skal der derfor i virkeligheden være uendeligt mange primtal.
I betragtning af at der er uendeligt mange af dem, tror du måske, at primtal af alle slags er nemme at finde, men en af de næste ting en primtalsdetektiv lærer er, hvor spredt primtallene kan være. Et simpelt resultat om mellemrummene mellem på hinanden følgende primtal, kaldet primtal, siger noget ganske overraskende.
Blandt de første 10 primtal — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29 — kan du se huller, der består af et eller flere sammensatte tal (tal, der ikke er primtal, f.eks. 4, 12 eller 27). Du kan måle disse mellemrum ved at tælle de sammensatte tal imellem: For eksempel er der et mellemrum på størrelse 0 mellem 2 og 3, et mellemrum på størrelse 1 mellem både 3 og 5 og 5 og 7, et mellemrum på størrelse 3 mellem 7 og 11 og så videre. Det største primtal på denne liste består af de fem sammensatte tal - 24, 25, 26, 27 og 28 - mellem 23 og 29.
Nu til det utrolige resultat: Prime huller kan være vilkårligt lange. Det betyder, at der eksisterer på hinanden følgende primtal så langt fra hinanden, som du kan forestille dig. Måske lige så utroligt er, hvor let dette faktum er at bevise.
Vi har allerede et primegab på længde 5 ovenfor. Kunne der være en med længde 6? I stedet for at søge på lister over primtal i håb om at finde en, bygger vi den bare selv. For at gøre det bruger vi den faktorielle funktion, der bruges i grundlæggende tælleformler: Per definition, $latexn!=n gange(n-1) gange (n-2) gange … gange 3 gange 2 gange 1$, så for eksempel $ latex3!=3 gange 2 gange 1 = 6$ og $latex5!=5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1=120$.
Lad os nu bygge vores største kløft. Overvej følgende rækkefølge af fortløbende tal:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$.
Da $latex7!=7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1$, er det første tal i vores rækkefølge, $latex7!+2$, deleligt med 2, hvilket du kan se efter lidt factoring:
$latex7!+2=7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1+2$
$latex= 2(7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 1+1)$.
Ligeledes er det andet tal, $latex7!+3$, deleligt med 3, siden
$latex7!+3=7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1+3$
$latex= 3(7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 2 gange 1+1)$.
Tilsvarende 7! + 4 er deleligt med 4, 7! + 5 gange 5, 7! + 6 gange 6 og 7! + 7 gange 7, hvilket gør 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7 en sekvens af seks på hinanden følgende sammensatte tal. Vi har et prime gap på mindst 6.
Denne strategi er let at generalisere. Rækkefølgen
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$.
er en sekvens af $latexn-1$ fortløbende sammensatte tal, hvilket betyder, at for evt n, er der et primegab med en længde på mindst $latexn-1$. Dette viser, at der er vilkårligt lange primtal, og så ude langs listen over naturlige tal er der steder, hvor de nærmeste primtal er 100, eller 1,000 eller endda 1,000,000,000 tal fra hinanden.
En klassisk spænding kan ses i disse resultater. Der er uendeligt mange primtal, men på hinanden følgende primtal kan også være uendeligt langt fra hinanden. Hvad mere er, er der uendeligt mange på hinanden følgende primtal, der er tæt på hinanden. For omkring 10 år siden satte Yitang Zhangs banebrydende arbejde i gang et kapløb om at lukke hullet og bevise tvillingeprimtalsformodningerne, som hævder, at der er uendeligt mange primtalspar, der kun adskiller sig med 2. Tvillingprimtalsformodningerne er en af de mest berømte åbne spørgsmål i matematik, og James Maynard har ydet sine egne væsentlige bidrag til at bevise dette undvigende resultat.
Denne spænding er også til stede i de seneste resultater om såkaldte digitalt sarte primtal. For at få en fornemmelse af, hvad disse tal er, og hvor de kan være eller ikke er, skal du bruge et øjeblik på at overveje følgende mærkelige spørgsmål: Er der et tocifret primtal, der altid bliver sammensat med en ændring af dets et-ciffer?
For at få en fornemmelse af digital delikatesse, lad os lege med tallet 23. Vi ved, at det er et primtal, men hvad sker der, hvis du ændrer dets ciffer? Nå, 20, 22, 24, 26 og 28 er alle lige og dermed sammensatte; 21 er deleligt med 3, 25 er deleligt med 5, og 27 er deleligt med 9. Så langt er det godt. Men hvis du ændrer et-cifferet til et 9, får du 29, hvilket stadig er et primtal. Så 23 er ikke den slags prime, vi leder efter.
Hvad med 37? Som vi så ovenfor, behøver vi ikke besvære at tjekke lige tal eller tal, der ender på 5, så vi tjekker bare 31, 33 og 39. Da 31 også er primtal, virker 37 heller ikke.
Findes et sådant nummer overhovedet? Svaret er ja, men vi skal helt op til 97 for at finde det: 97 er et primtal, men 91 (deleligt med 7), 93 (deleligt med 3) og 99 (også deleligt med 3) er alle sammensatte , sammen med de lige tal og 95.
Et primtal er "sart", hvis det, når du ændrer et af dets cifre til noget andet, mister dets "primehed" (eller primalitet, for at bruge det tekniske udtryk). Indtil videre ser vi, at 97 er sart i et-cifferet - da ændring af det ciffer altid producerer et sammensat tal - men opfylder 97 de fulde kriterier for at være digitalt sart? Svaret er nej, for hvis du ændrer tier-cifferet til 1, får du 17, et primtal. (Bemærk, at 37, 47 og 67 også er primtal.)
Faktisk er der ingen tocifret digitalt delikat primtal. Den følgende tabel med alle de to-cifrede tal, med de to-cifrede primtal skraveret i, viser hvorfor.
Alle tallene i en given række har det samme tier-ciffer, og alle tallene i en given kolonne har det samme et-ciffer. Det faktum, at 97 er det eneste skraverede tal i rækken, afspejler det faktum, at det er sart i et-cifferet, men det er ikke det eneste primtal i dens kolonne, hvilket betyder, at det ikke er sart i tier-cifferet.
Et digitalt delikat tocifret primtal skal være det eneste primtal i sin række og kolonne. Som tabellen viser, eksisterer der ikke et sådant tocifret primtal. Hvad med en digitalt delikat trecifret primtal? Her er en lignende tabel, der viser layoutet af de trecifrede primtal mellem 100 og 199, med sammensatte tal udeladt.
Her ser vi, at 113 er i sin egen række, hvilket betyder, at den er sart i et-cifferet. Men 113 er ikke i sin egen kolonne, så nogle ændringer af ti-cifret (som til 0 for 103 eller til 6 for 163) producerer primtal. Da der ikke optræder et tal i både sin egen række og sin egen kolonne, ser vi hurtigt, at der ikke er et trecifret tal, der med garanti er sammensat, hvis du ændrer dets et-ciffer eller dets tier-ciffer. Det betyder, at der ikke kan være nogen trecifret digitalt delikat prime. Bemærk, at vi ikke engang tjekkede hundrede-cifferet. For at være virkelig digitalt sart, ville et trecifret tal skulle undgå primtal i tre retninger i en tredimensionel tabel.
Findes der overhovedet digitalt sarte primtal? Når du går længere ud på tallinjen, har primtallene en tendens til at blive sparsommere, hvilket gør dem mindre tilbøjelige til at krydse stier i rækkerne og kolonnerne i disse højdimensionelle tabeller. Men større tal har flere cifre, og hvert ekstra ciffer mindsker sandsynligheden for, at et primtal er digitalt sart.
Hvis du fortsætter, vil du opdage, at der findes digitalt sarte primtal. Den mindste er 294,001. Når du ændrer et af dets cifre, vil det tal, du får - 794,001, f.eks. eller 284,001 - være sammensat. Og der er flere: De næste par er 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; og 1,062,599. Faktisk stopper de ikke. Den berømte matematiker Paul Erdős beviste, at der er uendeligt mange digitalt sarte primtal. Og det var bare det første af mange overraskende resultater om disse mærkelige tal.
For eksempel beviste Erdős ikke bare, at der er uendeligt mange digitalt sarte primtal: Han beviste, at der er uendeligt mange digitalt sarte primtal i enhver base. Så hvis du vælger at repræsentere dine tal i binære, ternære eller hexadecimale, er du stadig garanteret at finde uendeligt mange digitalt sarte primtal.
Og digitalt sarte primtal er ikke bare uendelige: De udgør en procentdel, der ikke er nul, af alle primtal. Det betyder, at hvis man ser på forholdet mellem antallet af digitalt sarte primtal og antallet af primtal generelt, er denne brøk et eller andet tal større end nul. Rent teknisk er en "positiv andel" af alle primtal digitalt sarte, som Fields-medaljevinderen Terence Tao beviste i 2010. Primtallene i sig selv udgør ikke en positiv andel af alle tal, da du vil finde færre og færre primtal. jo længere ud kommer du langs tallinjen. Men blandt disse primtal vil du fortsat finde digitalt sarte primtal ofte nok til at holde forholdet mellem sarte primtal og det samlede primtal over nul.
Måske den mest chokerende opdagelse var en resultat fra 2020 om en ny variation af disse mærkelige tal. Ved at slække på konceptet om, hvad et ciffer er, gentænkte matematikere repræsentationen af et tal: I stedet for at tænke på 97 af sig selv, tænkte de i stedet på, at det havde indledende nuller:
... 0000000097.
Hvert indledende nul kan opfattes som et ciffer, og spørgsmålet om digital delikatesse kan udvides til disse nye repræsentationer. Kunne der eksistere "vidt digitalt sarte primtal" - primtal, der altid bliver sammensatte, hvis du ændrer nogen af cifrene, inklusive nogen af de indledende nuller? Takket være matematikernes arbejde Michael Filaseta og Jeremiah Southwick ved vi, at svaret overraskende nok er ja. Ikke alene findes der meget digitalt sarte primtal, men der er uendeligt mange af dem.
Primtal danner en uendelig række af matematiske puslespil, som professionelle og entusiaster kan lege med. Vi afslører måske aldrig alle deres mysterier, men du kan regne med, at matematikere løbende opdager og opfinder nye slags primtal at udforske.
Øvelser
1. Hvad er det største primtal mellem primtallene fra 2 til 101?
2. For at bevise, at der er uendeligt mange primtal, antager Euklid, at der er endeligt mange primtal $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$, og viser derefter, at $latexq=p_1 gange p_2 gange p_3 gange … gange p_n+1$ isn 't deleligt med nogen primtal på listen. Betyder det ikke det q skal være prime?
3. Et berømt resultat i talteorien er, at der altid er et primtal imellem k og 2k (inklusive). Det er svært at bevise, men det er nemt at bevise, at der altid er en prime imellem k og $latexq=p_1 gange p_2 gange p_3 gange … gange p_n+1$ (inklusive), hvor $latexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ er alle primtal mindre end eller lig med k. Bevis det.
4. Kan du finde det mindste primtal, der er digitalt sart i en- og tier-cifrene? Det betyder, at ændring af et- eller tier-cifferet altid vil producere et sammensat tal. (Du vil måske skrive et computerprogram til at gøre dette!)
Udfordringsproblem: Kan du finde det mindste primtal, der er digitalt sart, når det repræsenteres i binært? Husk, at i binær eller grundtal 2 er de eneste cifre 0 og 1, og hver pladsværdi repræsenterer en potens af 2. For eksempel er 8 repræsenteret som $latex1000_2$, da $latex 8=1 gange 2^3 + 0 gange 2^2 + 0 gange 2^1 + 0 gange 2^0$, og 7 i base 2 er $latex111_2$, da $latex7=1 gange2^2 + 1 gange 2^1 + 1 gange 2^0$.
Klik for svar 1:
Klik for svar 2:
Nej. Overvej de første seks primtal: 2, 3, 5, 7, 11 og 13. I dette tilfælde er tallet q ville være $latex 2 gange 3 gange 5 gange 7 gange 11 gange13 + 1 = 30,031$ . Dette er ikke deleligt med 2, 3, 5, 7, 11 eller 13, men det er ikke et primtal: det faktorer som $latex 30,031 = 59 gange 509$. Bemærk, at den har primtal, men de er alle større end de første seks primtal.
Klik for svar 3:
Hvis enten k or q er prime vi er færdige. Hvis q er ikke primtal, det er sammensat, hvilket betyder, at det er deleligt med et eller andet primtal, men vi ved allerede, at det ikke er deleligt med nogen af de første n primtal. Det skal derfor være deleligt med et primtal, der er større end det første n primtal, og da disse er alle primtal mindre end k, skal denne prime være større end k. Men denne prime skelner q, så det skal være mindre end q, så der skal være en prime imellem k , q.
Klik for svar 4:
Det første primtal, der opfylder denne egenskab, er 2,459, da 2,451, 2,453 og 2,457 alle er sammensatte (opfylder det sarte cifferkriterium) og 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469 og 2,479, er alle sammensat. det delikate tier-cifre-kriterium). Alligevel er 2,489 ikke digitalt sart, fordi 2,499 er prime, så det mislykkes, når du begynder at overveje hundrede-cifferet. (Tak til matematikeren John D. Cook for at udgive sin digitalt delikat prime-finding Python-kode.)
Klik for at få svar på udfordringsproblem:
$latex127=1111111_2$ er digitalt sart, da $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $latex111_1101111$, $latex2_95$, $latex1011111_2$, $63x0111111$2$, $XNUMX$XNUMX$, $XNUMXxXNUMX$, $XNUMX_XNUMX$, $latexXNUMX_XNUMX$, $latex =XNUMX_XNUMX$ er alle sammensatte.
