Kædekortlægningsmetoder til relativistiske lys-stof-interaktioner

Kædekortlægningsmetoder til relativistiske lys-stof-interaktioner

Kildeknude: 3089374

Robert H. Jonsson1,2 og Johannes Knörzer3

1Max-Planck-Institut für Quantenoptik, Hans-Kopfermann-Str. 1, 85748 Garching, Tyskland
2Nordita, Stockholms Universitet og KTH Royal Institute of Technology, Hannes Alfvéns väg 12, SE-106 91 Stockholm, Sverige
3Institut for Teoretiske Studier, ETH Zürich, 8092 Zürich, Schweiz

Finder du denne artikel interessant eller vil du diskutere? Scite eller efterlade en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Interaktionen mellem lokaliserede emittere og kvantefelter, både i relativistiske indstillinger og i tilfælde af ultrastærke koblinger, kræver ikke-perturbative metoder ud over den roterende bølgetilnærmelse. I dette arbejde anvender vi kædekortlægningsmetoder for at opnå en numerisk nøjagtig behandling af interaktionen mellem en lokaliseret emitter og et skalært kvantefelt. Vi udvider anvendelsesområdet for disse metoder ud over emitterobservabler og anvender dem til at studere feltobservabler. Vi giver først et overblik over kædekortlægningsmetoder og deres fysiske fortolkning og diskuterer den termiske dobbeltkonstruktion for systemer koblet til termiske felttilstande. Ved at modellere emitteren som en Unruh-DeWitt-partikeldetektor beregner vi derefter den energitæthed, der udsendes af en detektor, der kobler stærkt til feltet. Som en stimulerende demonstration af tilgangens potentiale beregner vi strålingen udsendt fra en accelereret detektor i Unruh-effekten, som er tæt forbundet med den termiske dobbeltkonstruktion, som vi diskuterer. Vi kommenterer perspektiver og udfordringer ved metoden.

[Indlejret indhold]

Kvantesystemer, der er stærkt koblet til deres miljø, er ofte udfordrende at behandle, selv med avancerede numeriske metoder. Mange sådanne åbne kvantesystemer kan modelleres ved en lineær kobling mellem systemet af interesse og uafhængige, harmoniske badetilstande.
Artiklen studerer denne type teoretisk model og udforsker beregningsmetoder til at studere interaktionerne mellem lokaliserede emittere og kvantefelter, især i relativistiske og ultrastærke koblingsscenarier. Ved hjælp af såkaldte kædekortlægningsteknikker opnås en numerisk nøjagtig behandling af problemet. Artiklen fremmer beregningsteknikker for lys-stof-interaktioner ved at udvide disse metoder til både emitter- og feltobserverbare. Som en spændende demonstration beregnes strålingen udsendt af en accelereret partikeldetektor i Unruh-effekten.
I de numeriske fund kan de fejl, der indføres ved numeriske implementeringer af kædekortlægningen, overvåges nøje. Dette bidrager til en rig numerisk værktøjskasse til at studere stærke koblingsregimer i relativistisk kvanteinformation og kvanteoptik.

► BibTeX-data

► Referencer

[1] Heinz-Peter Breuer og F. Petruccione. "Teorien om åbne kvantesystemer". Oxford University Press. Oxford ; New York (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​acprof:oso/​9780199213900.001.0001

[2] Heinz-Peter Breuer, Elsi-Mari Laine, Jyrki Piilo og Bassano Vacchini. "Colloquium: Ikke-markovsk dynamik i åbne kvantesystemer". Anmeldelser af Modern Physics 88, 021002 (2016).
https://​/​doi.org/​10.1103/​RevModPhys.88.021002

[3] Hendrik Weimer, Augustine Kshetrimayum og Román Orús. "Simuleringsmetoder for åbne kvante-mangekropssystemer". Anmeldelser af Modern Physics 93, 015008 (2021).
https://​/​doi.org/​10.1103/​RevModPhys.93.015008

[4] Martin V. Gustafsson, Thomas Aref, Anton Frisk Kockum, Maria K. Ekström, Göran Johansson og Per Delsing. "Forplantningsfononer koblet til et kunstigt atom". Science 346, 207-211 (2014).
https://​doi.org/​10.1126/​science.1257219

[5] Gustav Andersson, Baladitya Suri, Lingzhen Guo, Thomas Aref og Per Delsing. "Ikke-eksponentielt henfald af et kæmpe kunstigt atom". Nature Physics 15, 1123-1127 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-019-0605-6

[6] A. González-Tudela, C. Sánchez Muñoz og JI Cirac. "Konstruktion og udnyttelse af gigantiske atomer i højdimensionelle bade: Et forslag til implementering med kolde atomer". Physical Review Letters 122, 203603 (2019).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.122.203603

[7] Inés de Vega, Diego Porras og J. Ignacio Cirac. "Materie-bølgeemission i optiske gitter: Enkeltpartikel og kollektive effekter". Physical Review Letters 101, 260404 (2008).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.101.260404

[8] S. Gröblacher, A. Trubarov, N. Prigge, GD Cole, M. Aspelmeyer og J. Eisert. "Observation af ikke-markovsk mikromekanisk Brownsk bevægelse". Nature Communications 6, 7606 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1038/​ncomms8606

[9] Javier del Pino, Florian AYN Schröder, Alex W. Chin, Johannes Feist og Francisco J. Garcia-Vidal. "Tensornetværkssimulering af ikke-markovisk dynamik i organiske polaritoner". Physical Review Letters 121, 227401 (2018).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.121.227401

[10] SF Huelga og MB Plenio. "Vibrationer, kvanter og biologi". Contemporary Physics 54, 181-207 (2013).
https://​/​doi.org/​10.1080/​00405000.2013.829687

[11] Hong-Bin Chen, Neill Lambert, Yuan-Chung Cheng, Yueh-Nan Chen og Franco Nori. "Brug af ikke-markoviske foranstaltninger til at evaluere kvantemesterligninger for fotosyntese". Scientific Reports 5, 12753 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1038/​srep12753

[12] Felix A. Pollock, César Rodríguez-Rosario, Thomas Frauenheim, Mauro Paternostro og Kavan Modi. "Ikke-markoviske kvanteprocesser: Fuldstændig ramme og effektiv karakterisering". Fysisk anmeldelse A 97, 012127 (2018).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.97.012127

[13] Richard Lopp og Eduardo Martín-Martínez. "Kvantedelokalisering, måler og kvanteoptik: Lys-stof-interaktion i relativistisk kvanteinformation". Physical Review A 103, 013703 (2021).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.103.013703

[14] Barbara Šoda, Vivishek Sudhir og Achim Kempf. "Accelerationsinducerede effekter i stimulerede lys-stof-interaktioner". Physical Review Letters 128, 163603 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.128.163603

[15] Sadao Nakajima. "Om kvanteteori om transportfænomener: Steady diffusion". Progress of Theoretical Physics 20, 948-959 (1958).
https://​/​doi.org/​10.1143/​PTP.20.948

[16] Robert Zwanzig. "Ensemblemetode i teorien om irreversibilitet". The Journal of Chemical Physics 33, 1338-1341 (1960).
https://​/​doi.org/​10.1063/​1.1731409

[17] Yoshitaka Tanimura og Ryogo Kubo. "Tidsudvikling af et kvantesystem i kontakt med et næsten gaussisk-markoffisk støjbad". Journal of the Physical Society of Japan 58, 101-114 (1989).
https://​/​doi.org/​10.1143/​JPSJ.58.101

[18] Yoshitaka Tanimura. "Numerisk "nøjagtig" tilgang til åben kvantedynamik: De hierarkiske bevægelsesligninger (HEOM)". The Journal of Chemical Physics 153, 020901 (2020).
https://​/​doi.org/​10.1063/​5.0011599

[19] Javier Prior, Alex W. Chin, Susana F. Huelga og Martin B. Plenio. "Effektiv simulering af stærke system-miljø-interaktioner". Physical Review Letters 105, 050404 (2010).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.105.050404

[20] Alex W. Chin, Ángel Rivas, Susana F. Huelga og Martin B. Plenio. "Nøjagtig kortlægning mellem system-reservoir kvantemodeller og semi-uendelige diskrete kæder ved hjælp af ortogonale polynomier". Journal of Mathematical Physics 51, 092109 (2010).
https://​/​doi.org/​10.1063/​1.3490188

[21] RP Feynman og FL Vernon. "Teorien om et generelt kvantesystem, der interagerer med et lineært dissipativt system". Annals of Physics 24, 118-173 (1963).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0003-4916(63)90068-X

[22] Kenneth G. Wilson. "Renormaliseringsgruppen: Kritiske fænomener og Kondo-problemet". Reviews of Modern Physics 47, 773-840 (1975).
https://​/​doi.org/​10.1103/​RevModPhys.47.773

[23] Matthias Vojta, Ning-Hua Tong og Ralf Bulla. "Kvantefaseovergange i den sub-ohmiske spin-boson-model: fiasko ved den kvante-klassiske kortlægning". Physical Review Letters 94, 070604 (2005).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.94.070604

[24] Ralf Bulla, Hyun-Jung Lee, Ning-Hua Tong og Matthias Vojta. "Numerisk renormaliseringsgruppe for kvanteurenheder i et bosonisk bad". Fysisk gennemgang B 71, 045122 (2005).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.71.045122

[25] Ralf Bulla, Theo A. Costi og Thomas Pruschke. "Numerisk renormaliseringsgruppemetode til kvanteurenhedssystemer". Reviews of Modern Physics 80, 395-450 (2008).
https://​/​doi.org/​10.1103/​RevModPhys.80.395

[26] Ahsan Nazir og Gernot Schaller. "The Reaction Coordinate Mapping in Quantum Termodynamik". I Felix Binder, Luis A. Correa, Christian Gogolin, Janet Anders og Gerardo Adesso, redaktører, Thermodynamics in the Quantum Regime: Fundamental Aspects and New Directions. Side 551–577. Grundlæggende teorier om fysik. Springer International Publishing, Cham (2018).

[27] Ricardo Puebla, Giorgio Zicari, Iñigo Arrazola, Enrique Solano, Mauro Paternostro og Jorge Casanova. "Spin-Boson-model som en simulator af ikke-markoviske multifoton Jaynes-Cummings-modeller". Symmetry 11, 695 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.3390/​sym11050695

[28] Philipp Strasberg, Gernot Schaller, Neill Lambert og Tobias Brandes. "Ikke ligevægt termodynamik i det stærke koblings- og ikke-markovske regime baseret på en reaktionskoordinatkortlægning". New Journal of Physics 18, 073007 (2016).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​18/​7/​073007

[29] Guifré Vidal. "Effektiv simulering af endimensionelle kvantesystemer med mange krop". Physical Review Letters 93, 040502 (2004).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.93.040502

[30] J. Ignacio Cirac, David Pérez-García, Norbert Schuch og Frank Verstraete. "Matrix produkttilstande og projekterede sammenfiltrede partilstande: Begreber, symmetrier, teoremer". Anmeldelser af Modern Physics 93, 045003 (2021).
https://​/​doi.org/​10.1103/​RevModPhys.93.045003

[31] MP Woods, M. Cramer og MB Plenio. "Simulering af Bosonic Baths med fejlbjælker". Physical Review Letters 115, 130401 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.115.130401

[32] MP Woods og MB Plenio. "Dynamiske fejl grænser for kontinuum diskretisering via Gauss kvadraturregler - En Lieb-Robinson bundet tilgang". Journal of Mathematical Physics 57, 022105 (2016).
https://​/​doi.org/​10.1063/​1.4940436

[33] F. Mascherpa, A. Smirne, SF Huelga og MB Plenio. "Åbne systemer med fejlgrænser: Spin-Boson-model med spektrale tæthedsvariationer". Physical Review Letters 118, 100401 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.118.100401

[34] Inés de Vega, Ulrich Schollwöck og F. Alexander Wolf. "Sådan diskretiseres et kvantebad til evolution i realtid". Fysisk gennemgang B 92, 155126 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.92.155126

[35] Rahul Trivedi, Daniel Malz og J. Ignacio Cirac. "Konvergensgarantier for diskrete tilstandstilnærmelser til ikke-markoviske kvantebade". Physical Review Letters 127, 250404 (2021).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.127.250404

[36] Carlos Sánchez Muñoz, Franco Nori og Simone De Liberato. "Opløsning af superluminal signalering i ikke-perturbativ hulrumskvanteelektrodynamik". Naturkommunikation 9, 1924 (2018).
https://​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-04339-w

[37] Neill Lambert, Shahnawaz Ahmed, Mauro Cirio og Franco Nori. "Modellering af den ultra-stærkt koblede spin-boson-model med ufysiske tilstande". Nature Communications 10, 1–9 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-019-11656-1

[38] David D. Noachtar, Johannes Knörzer og Robert H. Jonsson. "Ikke-perturbativ behandling af gigantiske atomer ved hjælp af kædetransformationer". Physical Review A 106, 013702 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.106.013702

[39] CA Büsser, GB Martins og AE Feiguin. "Lanczos transformation for kvanteurenhedsproblemer i d-dimensionelle gittere: Anvendelse på grafen nanobånd". Fysisk gennemgang B 88, 245113 (2013).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.88.245113

[40] Andrew Allerdt, CA Büsser, GB Martins og AE Feiguin. "Kondo versus indirekte udveksling: Rolle af gitter og faktisk række af RKKY-interaktioner i rigtige materialer". Fysisk gennemgang B 91, 085101 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.91.085101

[41] Andrew Allerdt og Adrian E. Feiguin. "En numerisk nøjagtig tilgang til kvanteurenhedsproblemer i realistiske gittergeometrier". Frontiers in Physics 7, 67 (2019).
https://​/​doi.org/​10.3389/​fphy.2019.00067

[42] V. Bargmann. "På et Hilbert-rum af analytiske funktioner og en tilhørende integreret transformationsdel I". Meddelelser om ren og anvendt matematik 14, 187–214 (1961).
https://​/​doi.org/​10.1002/​cpa.3160140303

[43] H. Araki og EJ Woods. "Repræsentationer af de kanoniske kommutationsforhold, der beskriver en ikke-relativistisk uendelig fri Bose-gas". Journal of Mathematical Physics 4, 637–662 (1963).
https://​/​doi.org/​10.1063/​1.1704002

[44] Yasushi Takahashi og Hiroomi Umezawa. "TERMO FELT DYNAMIK". International Journal of Modern Physics B 10, 1755–1805 (1996).
https://​/​doi.org/​10.1142/​S0217979296000817

[45] Inés de Vega og Mari-Carmen Bañuls. "Thermofield-baseret kæde-mapping tilgang til åbne kvantesystemer". Fysisk anmeldelse A 92, 052116 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.92.052116

[46] Dario Tamascelli, Andrea Smirne, James Lim, Susana F. Huelga og Martin B. Plenio. "Effektiv simulering af åbne kvantesystemer med endelig temperatur". Physical Review Letters 123, 090402 (2019). arxiv:1811.12418.
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.123.090402
arXiv: 1811.12418

[47] Gabriel T. Landi, Dario Poletti og Gernot Schaller. "Grænsedrevne kvantesystemer uden ligevægt: modeller, metoder og egenskaber". Anmeldelser af Modern Physics 94, 045006 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1103/​RevModPhys.94.045006

[48] Chu Guo, Ines de Vega, Ulrich Schollwöck og Dario Poletti. "Stabil-ustabil overgang for en Bose-Hubbard-kæde koblet til et miljø". Fysisk anmeldelse A 97, 053610 (2018).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.97.053610

[49] F. Schwarz, I. Weymann, J. von Delft og A. Weichselbaum. "Ikke-ligevægts-steady-state-transport i kvanteurenhedsmodeller: En termofelt- og kvantedæmpningstilgang ved brug af matrixprodukttilstande". Physical Review Letters 121, 137702 (2018).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.121.137702

[50] Tianqi Chen, Vinitha Balachandran, Chu Guo og Dario Poletti. "Steady-state kvantetransport gennem en anharmonisk oscillator stærkt koblet til to varmereservoirer". Fysisk gennemgang E 102, 012155 (2020).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevE.102.012155

[51] Angus J. Dunnett og Alex W. Chin. "Matrix produkttilstandssimuleringer af ikke-ligevægtsstabile tilstande og forbigående varmestrømme i to-bads spin-bosonmodellen ved endelige temperaturer". Entropy 23, 77 (2021).
https://​/​doi.org/​10.3390/​e23010077

[52] Thibaut Lacroix, Angus Dunnett, Dominic Gribben, Brendon W. Lovett og Alex Chin. "Afsløring af ikke-Markovsk rumtidssignalering i åbne kvantesystemer med langrækkende tensornetværksdynamik". Physical Review A 104, 052204 (2021).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.104.052204

[53] Angela Riva, Dario Tamascelli, Angus J. Dunnett og Alex W. Chin. "Termisk cyklus og polarondannelse i strukturerede bosoniske miljøer". Fysisk gennemgang B 108, 195138 (2023).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevB.108.195138

[54] WG Unruh. "Noter om fordampning af sorte huller". Physical Review D 14, 870-892 (1976).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.14.870

[55] BS DeWitt. "Quantegravity: Den nye syntese". I Stephen Hawking og W. Israel, redaktører, General Relativity: An Einstein Centenary Survey. Side 680. Cambridge University Press, Cambridge Eng; New York (1979).

[56] BL Hu, Shih-Yuin Lin og Jorma Louko. "Relativistisk kvanteinformation i detektorer-feltinteraktioner". Classical and Quantum Gravity 29, 224005 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​224005

[57] Luís CB Crispino, Atsushi Higuchi og George EA Matsas. "Unruh-effekten og dens anvendelser". Reviews of Modern Physics 80, 787–838 (2008).
https://​/​doi.org/​10.1103/​RevModPhys.80.787

[58] RB Mann og TC Ralph. "Relativistisk kvanteinformation". Classical and Quantum Gravity 29, 220301 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​29/​22/​220301

[59] Shih-Yuin Lin og BL Hu. "Accelererede detektor-kvantefeltkorrelationer: Fra vakuumfluktuationer til strålingsflux". Fysisk gennemgang D 73, 124018 (2006).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.73.124018

[60] DJ Raine, DW Sciama og PG Grove. "Udstråler en ensartet accelereret kvanteoscillator?". Proceedings: Mathematical and Physical Sciences 435, 205–215 (1991).

[61] F. Hinterleitner. "Inertielle og accelererede partikeldetektorer med tilbagereaktion i flad rumtid". Annals of Physics 226, 165-204 (1993).
https://​/​doi.org/​10.1006/​aphy.1993.1066

[62] S. Massar, R. Parentani og R. Brout. "Om problemet med den ensartet accelererede oscillator". Classical and Quantum Gravity 10, 385 (1993).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0264-9381/​10/​2/​020

[63] S. Massar og R. Parentani. ”Fra vakuumsvingninger til stråling. I. Accelererede detektorer”. Physical Review D 54, 7426-7443 (1996).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.54.7426

[64] Jürgen Audretsch og Rainer Müller. "Stråling fra en ensartet accelereret partikeldetektor: Energi, partikler og kvantemålingsprocessen". Physical Review D 49, 6566-6575 (1994).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.49.6566

[65] Hyeong-Chan Kim og Jae Kwan Kim. "Stråling fra en ensartet accelereret harmonisk oscillator". Physical Review D 56, 3537-3547 (1997).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.56.3537

[66] Hyeong-Chan Kim. "Kvantefelt og ensartet accelereret oscillator". Physical Review D 59, 064024 (1999).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.59.064024

[67] Erickson Tjoa. "Ikke-perturbative simpelt genererede interaktioner med et kvantefelt for vilkårlige Gaussiske tilstande" (2023).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.108.045003

[68] Eric G. Brown, Eduardo Martín-Martínez, Nicolas C. Menicucci og Robert B. Mann. "Detektorer til sondering af relativistisk kvantefysik ud over forstyrrelsesteori". Fysisk gennemgang D 87, 084062 (2013).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.87.084062

[69] David Edward Bruschi, Antony R. Lee og Ivette Fuentes. "Tidsudviklingsteknikker til detektorer i relativistisk kvanteinformation". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 165303 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​46/​16/​165303

[70] Wolfram Research, Inc. "Mathematica, Version 12.3.1". Champaign, IL, 2022.

[71] Sebastian Paeckel, Thomas Köhler, Andreas Swoboda, Salvatore R. Manmana, Ulrich Schollwöck og Claudius Hubig. "Tidsudviklingsmetoder for matrix-produkttilstande". Annals of Physics 411, 167998 (2019).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.aop.2019.167998

[72] Lucas Hackl og Eugenio Bianchi. "Bosoniske og fermioniske Gaussiske tilstande fra Kähler-strukturer". SciPost Physics Core 4, 025 (2021). arxiv:2010.15518.
https://​/​doi.org/​10.21468/​SciPostPhysCore.4.3.025
arXiv: 2010.15518

[73] ND Birrell og PCW Davies. "Kvantefelter i buet rum". Cambridge monografier om matematisk fysik. Cambridge University Press. Cambridge (1982).
https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511622632

[74] Dario Tamascelli. "Excitationsdynamik i kædekortlagte miljøer". Entropy 22, 1320 (2020). arxiv:2011.11295.
https://​/​doi.org/​10.3390/​e22111320
arXiv: 2011.11295

[75] Robert H. Jonsson, Eduardo Martín-Martínez og Achim Kempf. "Kvantesignalering i hulrum QED". Fysisk anmeldelse A 89, 022330 (2014).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.89.022330

[76] Eduardo Martín-Martínez. "Kausalitetsproblemer for partikeldetektormodeller i QFT og kvanteoptik". Fysisk gennemgang D 92, 104019 (2015).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevD.92.104019

[77] Robert M. Wald. "Kvantefeltteori i buet rumtid og sorthuls termodynamik". Chicago forelæsninger i fysik. University of Chicago Press. Chicago, IL (1994).

[78] Shin Takagi. "På reaktion fra en Rindler-partikeldetektor". Progress of Theoretical Physics 72, 505-512 (1984).
https://​/​doi.org/​10.1143/​PTP.72.505

[79] Izrail Solomonovich Gradshteyn og Iosif Moiseevich Ryzhik. "Tabel over integraler, serier og produkter (ottende udgave)". Akademisk presse. (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​c2010-0-64839-5

Citeret af

Kunne ikke hente Crossref citeret af data under sidste forsøg 2024-01-30 14:00:51: Kunne ikke hente citerede data for 10.22331/q-2024-01-30-1237 fra Crossref. Dette er normalt, hvis DOI blev registreret for nylig. På SAO/NASA ADS ingen data om at citere værker blev fundet (sidste forsøg 2024-01-30 14:00:52).

Tidsstempel:

Mere fra Quantum Journal