পাজলিং ম্যাচআপের পিছনে আশ্চর্যজনকভাবে সহজ গণিত | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

এটি কাল্পনিক গণিত লীগের চ্যাম্পিয়নশিপ খেলা, যেখানে আটলান্টা অ্যালজেব্রাস ক্যারোলিনা ক্রস পণ্যের মুখোমুখি হবে। এই মৌসুমে দুটি দল একে অপরের সাথে খেলেনি, তবে বছরের শুরুতে আটলান্টা ব্রুকলিন বিসেক্টরসকে 10 থেকে 5 স্কোর দিয়ে পরাজিত করেছিল এবং ব্রুকলিন ক্যারোলিনাকে 7 থেকে 3 স্কোরে পরাজিত করেছিল। এতে কি আমাদের কে কোন অন্তর্দৃষ্টি দেয়? শিরোনাম নেবে?

ওয়েল, এখানে চিন্তার এক লাইন. আটলান্টা যদি ব্রুকলিনকে পরাজিত করে, তাহলে আটলান্টা ব্রুকলিনের চেয়ে ভালো, এবং যদি ব্রুকলিন ক্যারোলিনাকে হারায়, তাহলে ব্রুকলিন ক্যারোলিনার চেয়ে ভালো। সুতরাং, যদি আটলান্টা ব্রুকলিনের চেয়ে ভালো হয় এবং ব্রুকলিন ক্যারোলিনার চেয়ে ভালো হয়, তাহলে আটলান্টার ক্যারোলিনার চেয়ে ভালো হওয়া উচিত এবং চ্যাম্পিয়নশিপ জেতা উচিত।

আপনি যদি প্রতিযোগিতামূলক গেমস বা খেলাধুলা খেলেন, আপনি জানেন যে একটি ম্যাচের ফলাফলের ভবিষ্যদ্বাণী করা এত সোজা নয়। কিন্তু সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এই যুক্তি কিছু আবেদন আছে. এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা ব্যবহার করে যা ট্রানজিটিভিটি নামে পরিচিত, একটি পরিচিত সম্পত্তি যা আমাদের সম্পর্ক জুড়ে তুলনার স্ট্রিং তৈরি করতে দেয়। ট্রানজিটিভিটি সেই গাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি যা এতটাই মৌলিক যে আপনি এটি লক্ষ্যও করতে পারবেন না।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার সমতা ট্রানজিটিভ। এর মানে হল যে যদি আমরা জানি a = b এবং b = c, আমরা যে উপসংহার করতে পারেন a = c. "এর চেয়ে বড়" সম্পর্কটিও ট্রানজিটিভ: বাস্তব সংখ্যার জন্য, যদি a > b এবং b > c, তারপর a > c. যখন সম্পর্কগুলি ট্রানজিটিভ হয়, তখন আমরা তাদের তুলনা করতে এবং একত্রিত করতে পারি, বস্তুর একটি ক্রম তৈরি করতে পারি। যদি আনা বেঞ্জির চেয়ে লম্বা হয় এবং বেঞ্জি কার্ল থেকে লম্বা হয়, তাহলে আমরা তিনটিকে তাদের উচ্চতা অনুসারে অর্ডার করতে পারি: A, B, C. ট্রানজিটিভিটির পেছনেও রয়েছে আমাদের নির্বোধ যুক্তি যে যদি A বেশী ভালো B এবং B বেশী ভালো C, তারপর A বেশী ভালো C.

ট্রানজিটিভিটি সাম্য, সঙ্গতি, সাদৃশ্য, এমনকি সমান্তরালে উপস্থিত। এটি আমাদের সমস্ত মৌলিক গণিতের অংশ, যা এটি না থাকলে এটিকে বিশেষ করে গাণিতিকভাবে আকর্ষণীয় করে তোলে। যখন বিশ্লেষক দল র‌্যাঙ্ক করেন, অর্থনীতিবিদরা ভোক্তাদের পছন্দ অধ্যয়ন করেন বা নাগরিকরা তাদের পছন্দের প্রার্থীদের ভোট দেন, তখন ট্রানজিটিভিটির অভাব আশ্চর্যজনক ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে। এই ধরণের সিস্টেমগুলিকে আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, গণিতবিদরা 50 বছরেরও বেশি সময় ধরে "অনাক্রম্য পাশা" অধ্যয়ন করছেন এবং একটি সাম্প্রতিক কাগজ পলিম্যাথ প্রকল্প নামে পরিচিত অনলাইন গাণিতিক সহযোগী থেকে সেই বোঝাপড়ার উন্নতি হয়েছে। অস্থিরতা দেখতে এবং কেমন লাগে তা বোঝার জন্য, আসুন নিজেদের একটি লিগ তৈরি করি এবং চারপাশে খেলি।

আমাদের নতুন গণিত লীগে, খেলোয়াড়রা কাস্টম কয়েন ফ্লিপ করে এবং ফলাফলের তুলনা করে প্রতিযোগিতা করে। ধরা যাক প্লেয়ার A একদিকে 10 নম্বর এবং অন্য দিকে 6 নম্বর সহ একটি মুদ্রা এবং প্লেয়ার রয়েছে Bএর মুদ্রায় 8 এবং 3 নম্বর রয়েছে। আমরা ধরে নেব যে কয়েনগুলি ন্যায্য - যার অর্থ প্রতিটি দিক সমানভাবে প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা থাকে যখন কয়েনগুলি উল্টানো হয় - এবং আমরা এইভাবে মুদ্রার সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করব।

একটি খেলায়, খেলোয়াড়রা তাদের কয়েন ফ্লিপ করে, এবং যার কয়েন বেশি সংখ্যা দেখায় সে বিজয়ী। কে কখন জিতবে A নাটক B?

অবশ্যই, এটা নির্ভর করে। মাঝে মাঝে A কখনো কখনো জিতবে B জিতবে. কিন্তু এটা দেখতে কঠিন না A বিরুদ্ধে জয়ের পক্ষে B. গেমটি উদ্ঘাটিত হতে পারে এমন চারটি উপায় রয়েছে এবং A তিনটিতে জয়ী।

তাই এর খেলায় A বনাম B, A জয়ের 75% সম্ভাবনা রয়েছে।

এখন C সঙ্গে আসে এবং চ্যালেঞ্জ B একটি খেলা Cএর মুদ্রার একপাশে 5 এবং অন্য দিকে 4 আছে। আবার চারটি সম্ভাবনা আছে।

এখানে B এবং C প্রত্যেকে চারটি ম্যাচআপের মধ্যে দুটি জিতেছে, তাই তারা প্রত্যেকে 50% গেম জিতবে। B এবং C সমানভাবে মিলে যায়।

এখন, আপনি কখন কি ঘটতে আশা করবেন A এবং C খেলা? আমরা হব, A সাধারণত মারধর করে B, এবং B সঙ্গে সমানভাবে মিলে যায় C, তাই এটা আশা করা যুক্তিসঙ্গত মনে হয় A সম্ভবত বিরুদ্ধে পক্ষপাতী করা হবে C.

কিন্তু A একটি প্রিয় চেয়ে বেশি. A আধিপত্য C, 100% সময়ের জয়।

এটি আশ্চর্যজনক মনে হতে পারে, কিন্তু গাণিতিকভাবে এটি কেন ঘটে তা দেখা কঠিন নয়। Cএর সংখ্যা মাঝখানে Bএর, তাই C যে কোন সময় জিতে যায় B তাদের নিম্ন সংখ্যা flips. কিন্তু Cএর সংখ্যা দুটি নীচে Aএর, তাই C যে ম্যাচআপ জিতবে না. এই উদাহরণটি ট্রানজিটিভিটির ধারণা লঙ্ঘন করে না, তবে এটি দেখায় যে জিনিসগুলি কেবলমাত্র তার চেয়ে বেশি জটিল হতে পারে A > B > C. আমাদের গেমের সামান্য পরিবর্তন দেখায় যে এটি কতটা জটিল হতে পারে।

আমাদের প্রতিযোগীরা দুই-পার্শ্বযুক্ত মুদ্রা ফ্লিপিং গেমে দ্রুত ক্লান্ত হয়ে পড়ে, কারণ এটি গাণিতিকভাবে সম্পূর্ণরূপে বোঝা সহজ (আরো বিশদ বিবরণের জন্য কলামের শেষে অনুশীলনগুলি দেখুন), তাই লীগ তিন-পার্শ্বযুক্ত মুদ্রায় আপগ্রেড করার সিদ্ধান্ত নেয়। (একটি কাল্পনিক গণিত লিগে খেলার সুবিধাগুলির মধ্যে একটি হল যে কিছু সম্ভব।)

এখানে A এবং Bএর কয়েন:

একটি খেলার মধ্যে যারা পক্ষপাতী হয় A এবং B? ওয়েল, জন্য তিনটি ফলাফল আছে Aএর কয়েন টস এবং তিনটির জন্য B, নয়টি সম্ভাব্য খেলার ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে যা আমরা সহজেই চার্ট করতে পারি।

আবার ধরে নিচ্ছি যে সমস্ত ফলাফল সমানভাবে সম্ভাব্য, A beats B নয়টি ফলাফলের মধ্যে পাঁচটিতে। এর মানে A $latex frac{5}{9} প্রায় $55% জিততে হবে, তাই A বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় B.

তাদের সম্ভাবনা সম্পর্কে কিছুটা হতাশ বোধ করা, B চ্যালেঞ্জ C একটি খেলা Cএর সংখ্যা নীচে দেখানো হয়েছে। তুমি কি পছন্দ কর Bএর সম্ভাবনা?

আবার, একটি খেলায় নয়টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে B বনাম C, তাই আমরা শুধু তাদের তালিকা করতে পারেন.

আমরা ওটা দেখতে পারি B বিরুদ্ধে বেশ ভাল দেখাচ্ছে C. নয়টি সম্ভাব্য ফলাফলের মধ্যে পাঁচটিতে, B জয় তাই B বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় C.

দরিদ্র C এখন খেলতে হবে A। সঙ্গে A বিরুদ্ধে পক্ষপাতী B এবং B বিরুদ্ধে পক্ষপাতী C, কি সুযোগ করে C জিততে হবে? একটি চমত্কার ভাল এক, এটা সক্রিয় হিসাবে.

এখানে নয়টি সম্ভাব্য ফলাফলের মধ্যে পাঁচটিতে, C beats A। এই যে মানে C বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় A, যদিও Aবিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় B এবং B বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় C.

এটি একটি অকার্যকর সিস্টেমের একটি উদাহরণ। আরও প্রযুক্তিগত পরিভাষায়, আমাদের গেমে "বিরুদ্ধে সমর্থন করা" সম্পর্কটি ট্রানজিটিভ নয়: A বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় B, এবং B বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় Cকিন্তু A অগত্যা বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় না C.

আমরা প্রায়শই এটি গণিতে দেখি না, তবে এই ধরনের আচরণ ক্রীড়া অনুরাগীদের অবাক করবে না। যদি জায়ান্টরা ঈগলদের পরাজিত করে এবং ঈগলরা কাউবয়দের পরাজিত করে, কাউবয়রা এখনও খুব ভালভাবে জায়ান্টদের পরাজিত করতে পারে। একটি পৃথক খেলার ফলাফলে অবদান রাখে এমন অনেকগুলি কারণ রয়েছে। দলগুলি অনুশীলনের মাধ্যমে আরও ভাল হতে পারে বা স্থবির হয়ে যেতে পারে যদি তারা উদ্ভাবন না করে। খেলোয়াড়রা দল পরিবর্তন করতে পারে। গেমের অবস্থানের মতো বিশদ বিবরণ — বাড়িতে বা বাইরে — বা সম্প্রতি দলগুলি কীভাবে খেলেছে কে জিতেছে এবং কে হারবে তা প্রভাবিত করতে পারে।

কিন্তু এই সাধারণ উদাহরণটি দেখায় যে এই ধরনের অসংক্রামকতার পিছনেও সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক কারণ রয়েছে। এবং এই খাঁটি গাণিতিক বিবেচনার সাথে প্রতিযোগিতার বাস্তব-বিশ্বের সীমাবদ্ধতার সাথে কিছু মিল রয়েছে: ম্যাচআপ।

এখানে জন্য সংখ্যা A, B এবং C.

যখন আমরা তাদের পাশাপাশি দেখি, তখন এই পরিস্থিতিতে কেন অস্থিরতা ঘটে তা দেখা সহজ হয়। যদিও B বিরুদ্ধে জয়ের পক্ষে C, Cএর দুটি মাঝারি-উচ্চ সংখ্যা - 7 এবং 6 - তাদের একটি সুবিধা দেয় A যে B আছে না যদিও A বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় B এবং B বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় C, C বিরুদ্ধে মেলে A থেকে উত্তম B করে এটি একটি আন্ডারডগ স্পোর্টস টিম একটি উচ্চতর প্রতিপক্ষের বিরুদ্ধে কীভাবে ভালভাবে ম্যাচ করতে পারে তার অনুরূপ কারণ তাদের খেলার ধরনটি সেই দলের পক্ষে পরিচালনা করা কঠিন, বা একজন খেলোয়াড় বা কোচ তাদের সেই নির্দিষ্ট প্রতিপক্ষের বিরুদ্ধে একটি প্রান্ত দেয়।

খেলাধুলা অকার্যকর এই বিষয়টি তাদের মজাদার এবং বাধ্যতামূলক করে তোলে। সব পরে, যদি A beats B এবং B beats C, C তারা সঙ্গে বন্ধ সম্মুখীন যখন ট্রানজিটিভিটি কারণে শুধু বাজেয়াপ্ত করা যাচ্ছে না A. প্রতিযোগিতায়, যে কোনও কিছু ঘটতে পারে। অনেক ধারাভাষ্যকার মন খারাপের পর বলেছেন, "তাই তারা খেলা খেলে।"

আর তাই আমরা গণিত নিয়ে খেলি। মজার, এবং আকর্ষক, এবং আশ্চর্যজনক কি খুঁজে পেতে. যে কোনো কিছু ঘটতে পারে।

অনুশীলন

1. ধরুন দুইজন খেলোয়াড় দ্বিমুখী-মুদ্রা খেলা খেলছেন, এবং দুটি মুদ্রার চারটি সংখ্যাই আলাদা। কে জিতবে এবং কতবার জিতবে তার জন্য মূলত মাত্র ছয়টি সম্ভাব্য পরিস্থিতি রয়েছে। তারা কি?

2. উপরে বর্ণিত তিন-পার্শ্বযুক্ত খেলার দৃশ্যে, এর জন্য একটি ভিন্ন তিন-পার্শ্বযুক্ত মুদ্রা খুঁজুন C তাই যে B এখনও বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় C এবং C এখনও বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় A.

3. প্রমাণ করুন যে একটি দ্বি-তরফা-মুদ্রা খেলায়, তিনজন খেলোয়াড় থাকা অসম্ভব A, B, C যেমন যে A বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় B, B বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় C, এবং C বিরুদ্ধে পক্ষপাতী হয় A.

কারেকশন: জানুয়ারী 26, 2024
Two previously published figures showed mislabeled matchups between players A versus C and B versus C. The figures have been corrected.